广东省广州市2022届高三上学期12月调研测试数学【含答案】

广东省广州市2022届高三上学期12月调研测试数学【含答案】一、选择题：L已知集合4={%卜1<%01},8={川04%42},则AU8=( )A.{x|-l<x<2}B.{414x42}C.{x|O<x<l}D.{x|-l<x<0}.复数z=工的虚部是（）2-iA.zB.-C.-；D.133.已知角a的终边过点P(l,2),则2sina+cosg3sina-cosaA.2C.A.2C.-1D.-2.已知S“是等差数列｛%｝的前"项和，叼>0,S”<0,则S”的最小值为（）A.54B.55c.S6D.S7.如图，某建筑物是数学与建筑的完美的结合.该建筑物外形弧线的一段近似看成双曲线下支的一部分,且,y2此双曲线。a=1,（〃>0,。>0）的下焦点到渐近线的距离为3,则该双曲线的标准方程是（2 “2,2J2C.二-二=1D.E—二句.2021年7月，我国河南省多地遭受千年一遇的暴雨，为指导防汛救灾工作，某部门安排甲、乙、丙、丁、戊五名专家赴郑州，洛阳两地工作，每地至少安排一名专家，，则甲、乙被安排在不同地点工作的概率为A.-5B.A.-5B.-2C.—15.已知三棱锥P-顶点都在球。的球面上，A48C是边长为2的正三角形，球。的表面积是竺，则9三棱锥P-ABC体积的最大值是( )A.2GB.逋C.迪D・迪3 3 9.已知直线/):mx-y-3m+l=O与直线l2\x+my-3/n—1=0相交于点P,线段AB是圆C:(x+1)2+(y+l)2=4的一条动弦，且|A8|=26,则|西+丽)的最小值为()A.4夜 B.4>/2-2C.2>/2-1 D.4忘-1二、多选题：.下列命题中，真命题的是()A.若样本数据和巧,…，和的方差为2,则2再-1,2声-1,...,2国()-1的方差是8.B.若回归方程是y=-O.45x+0.6,则变量y与x负相关.C.若随机变量X服从正态分布N(3q2),P(X<4)=0.64,则P(24X43)=0.07.D.在线性回归分析中相关指数/?2用来刻画回归的效果，若正值越小，则模型的拟合效果越好.10.如图所示,一个底面半径为正的圆柱被与其底面所成的角为6=45的平面所截，截面是一个椭圆，则A.椭圆的长轴长为4B.椭圆的离心率为42 2C.椭圆的方程可以为二+”=14 2D.椭圆上的点到焦点的距离的最小值是2-a.11.对于函数/*)=；2+；/+5+乩,/€/?,下列说法正确的是()A.存在c,d使得函数f(x)的图象关于原点对称.B./a)是单调函数的充要条件是cN』.4C.若知应为函数/*)的两个极值点，贝>1.8D.若c=4=一2,则过点尸(3,0)作曲线y=/(x)的切线有且只有2条.12.已知正方体A8CD-A81GQ的棱长为2,M为棱CG上的动点，AMJ■平面。，下列说法正确的是A.若N为。A中点，当AM+MV最小时，—=1-—.1 CCi2B.当点M与点G重合时，若平面a截正方体所得截面图形的面积越大，则其周长就越大.C.直线4?与平面a所成角的余弦值范围为［也，章.D.若点M为CG的中点，平面a过点8,则平面a截正方体所得截面图形的面积为2.三、填空题：本题共四小题，每小题5分，共20分。13,已知/(幻为奇函数，当xvO时，f(x)=x2-sin(^x),则”2)=.14.若的展开式中第r+1项为常数项，则2=.3? n/-1r<J15已知函数/(x)=(，’- ,若函数/(x)恰有2个零点，则实数4的取值范围是.-x2+6x-8,x>A.已知扇形POQ的半径为2,如图所示，在此扇形中截出一个内接矩形ABCD(点8,C在弧PQ上)，则矩形ABCD面积的最大值为. /四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤..在锐角AABC中，角A,3,C所对的边分别为a,Ac,若正门4垃石虫吏⑼!!^).^〃^.(1)求角c；(2)求sinA+sinB的取值范围.18已知数列｛册｝的前"项和为S"，S„+1=2S„+n+l.(1)证明：数列｛4+1｝为等比数列；(2)在4和ak+l,(kgN*)中插入k个数构成一个新数列｛hn｝:q,2M2,4,6,的,8,10,12,4，…，其中插入的所有数构成首项和公差都是2的等差数列，求数列的｛6,J前30项和.如图，在三棱锥P-MC中，平面R4C,ADLBP,AB=2,BC=l,PD=3BD=3.(1)求证：PAA.AC-,(2)求二面角AC—。的余弦值..某校开展“学习新中国史”的主题学习活动.为了调查学生对新中国史的了解情况，需要对学生进行答题测试,答题测试的规则如下:每位参与测试的学生最多有两次答题机会.每次答一题,第一次答对,答题测试过关,得5分,停止答题测试:第一次答错,继续第二次答题,若答对,答题测试过关,得3分;若两次均答错,答题测试不过关,得0分.某班有12位学生参与答题测试,假设每位学生第一次和第二次答题答对的概率分别为九0.5,两次答题是否答对互不影响，每位学生答题测试过关的概率为p.(1)若帆=0.5,求每一位参与答题测试的学生所得分数的数学期望：(2)设该班恰有9人答题测试过关的概率为/(p),当/(p)取最大值时,求p,m.

21.已知椭圆21.已知椭圆C:=l,(a>b>0)的离心率巨6,B分别为椭圆C的左、右焦点，M为椭圆C上一点，的周长为4+26.(1)求椭圆C的方程；(2)P是圆x?+y2=5上任意一点，过P作C的两条切线，切点分别为A,B,判断丽・丽是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由.22.己知函数/(x)=2ar-x2-21nx.(1)若/(X)在定义域内单调，求实数4的取值范围；(2)若awg,也〃分别为函数/(x)的极大值和极小值，求机-〃的取值范围.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.题号12345678答案ADBCDCBB二、选择题，本题共4小题，每小题5分，共20分.9.AB 10.ACD II.BC 12.AD三、填空题：本题共4小题，每小题S分，共20分.13.-4 14,1 15.(-^0.0)0[2,4) 16.8—4^3四、解答题：本题共6小题，共70分.(10分)(1)解：山监意蔡〃〉得csinS—立^=0・ 2TOC\o"1-5"\h\z山正弦定理c=，得sinCsinB -sin^=0. 3分sinnsinC 2在△/1*中，sinBwO.MsinC=—. 4分2因为△彳8r为锐角三角形.所以。=1. 5分(2)解：山/+8=九一。=如，WB=-3 3sin/fsinZ?=sinJ4-sin--A=-sin4+—cosA 6分I3 )2 2=V3sin|J+yl 7分因为△481'为锐角：用形.则TOC\o"1-5"\h\z解得则/+ 8 分6 2 6\33)所以sin(/+：)€(*1]. 9 分所以sin/l+sin8e(；.Vj]. 10 分(12分)(1)的：山愿意,当”=1时.&=2S1+2, 1分得q+〃2=2q+2,修得。？=3. 2分徇〃22时，23=2&+〃+1,①S“=Z£」+〃，②0~@得%.1=2a”+1(〃N2). 3分因为%=3=2j+1,所以=2。”+1 4分则+]=加“+2=2(a.+1). 5分所以｛q+"是以q+1=2为首项，2为公比的等比数列.(2)解：山(1)知+1=2",q=2"-1. 7分设插入的所有数构成数列｛c“｝,则c.=2〃・ 8分山丁1+2+3+4+5+6+7=28,28+2=30,所以数列出｝的前30项中包含「数列｛4｝的前7项及数列仁｝的前23项， 9分所以q=%+%+•••+/ +c2+•••+c23 io分=2l-l-b2i-14--t-27-l+23x(2-46) n分-7+552=-7+552=799.(12分)(1)证法1：山48=2.80=1,ADS.BP.k4D=6TOC\o"1-5"\h\z山P£)=3,AD=5ADLBP.行尸/=2一， 2分山 AC.PCu平面4?C,^BCLAC,BCLPC. 3分所以/C=J/82-8C2=6,PC=>JPB2-B('2=715 4分因为/C?+/M2=15=PC， 5分所以WZC. 6分证法2i山/8=2,BD=\,ADIBP.笈AD=6 1分山「£)=3,AD=6ADLBP.得PA=25 2分因为尸8=4,所以〃8,=dfi2+〃/1\所以/MJ..48. 3分山皮'_L平面/MC,/Mu平面/8C,得8c!■，/. 4分又BC.18u平曲/改'.BCr\AB=B,故/M_L平面.4BC. 5分因为/Cu平面/8C,所以尸/J_4C. 6分证法3：山48=2,BD=l,ADLBP,德乙4BP=6O. 1分过D作DM1ABPA.W.WHM=BDcosZABP・・・3分板BM:BA=BD:BF，根DM〃PA、・・・3分山反」平面/MC,P/u平面,'得比 4分又BC.4Bu平面A8C.B(T\AB=B.故P/l平面力以二 5分因为/Cu平面/8C.所以•…(2)解法1：过D件DE〃BC父PCFE,由5C_L平面尸/('・故/)£，平面7MC.••…过EfjEFJ./fC广产,连接0F.则/CL平面OE/7.山Fu平面DEF,则4c工DF.则皿话为二面角P-彳C-D的平面角.……8分也PD=3BD=3,DE〃BC存DE=>，4EF1AC.PALAC,且PAc^itaPJC,^EF//PA.EFCE~PA=~CPBD1"BP=4得防=4,9分TOC\o"1-5"\h\zdf=>Ide2+ef2=—. 10分4所以 = = 11分DF7所以二面角「一/C-D的余弦值为平. 12分解法2；如图作/Q〃C8,以40.AC.｛尸分别为x,y,z轴建在空间H角坐标系.…7分AB=2.BC'=\.BD=\.BP=4,所以=AP=2>/3.故4(0.0.0),5(1.73.0),C(0.V3.0),P(0.0.25/3).山山5=：8"，得山山5=：8"，得a：手,4),JC=(0.V3.0).设flfilACD的法向呆为7=(x,y,z),n-AC=0.n»AD=0.令x=2,则2=-石，y=O，7=(2.0.—6)为平曲48的一个法向录. ……9分由于SCJ,平面PAC，故CB=(1,0,0)为平面PAC的一个法向最. 10分则cos7-八CBn2则cos7-八CBn2 2>/7(如"扃甲不〒“分所以.面角P-/1C-。的余弦值为斗.12分TOC\o"1-5"\h\z解法3,如图作C0〃/P,以。I.CB.CQ分别为x.y.z轴建“空向自为坐标系.…7分AB=2,BC=\,BD=\.BP=4. \所以<C=JJ,AP=l6 \\V故C(0,0.0),仅0,1,0).A(V3,0,0),P(瓜0.2®. \^\M丽=；B户行D(今3,立). 8分 、J则诟=（当（?,CA=则诟=（当（?,CA=(>5.0.0).设平巾i/CD的个法向成为”=（x,y,z）,令y=2.则z=-J5,x=0,7=(0.2,-J5)为平面ZC。的一个法向量. ……9分山于BC1平面尸/C,故而=（0」.0）为平面/XC的一个法向景. 10分lCBn22小则cos（3"）=商=万=亍. U分所以一囱用P-AC-D的余弦值为手. 12分（12分）（DW：设每6参。答题测试的学生所得分数为岫机变吊X，则X的可能取值分别为5,头0. 1分则?(X=5)=06,P(Ar=3)=(l-0.5)x0.5=0.25,尸(X=0)=(1-0.5X1-0.5)=0.25. 4分则每位参与答题测试的学生所得分数的数学期曳为TOC\o"1-5"\h\z£¥=5x0.5+3x0.25+0x0.25=3.25. 5分<2)W,山踵意得/(P)=C>9(l-p)\(0<p<l), 6分则rs)=c【9"(l-p)3-3p9(l-p)2] 7分=3C：y(l-p)2(3-4p).山/'(p)=0,得。=0.75. 8分山/'(〃)>0,得OvpvO.75.山M0.75<p<l,所以/(〃)在(0。75)上是增函数,在(0.75.1)上是减函数. 9分所以〃=0.75是/(p)的极大伫点，也是/(。)的最大值点. 10分山题点得P=l-(l-m)(l-O.5)=O.5+O.5m. “分则O.5+O.5掰=0・75,解得桁=0.5.所以/(")取得最大值时，P=0.75,m=0.5. 12分.(12分)2〃+2c=4+2行,W:山已知可得，, 2分a2a2=b、c2,解得a=2,6=1.c=6. 3分所以椭圆。的方程为l. 4分4M：设尸(七,%),则x：+y：=5. 5分之％=±2.则％=±1.&然P4工PB.则万i.丽=0. 6分当％，±2,过点P的切线可设为 7分%+4炉=4 '用(*1*+的%-他+4{(%—]=。.

所以A=64^(y0-fcQ2-16(4y+l)[(%-a)2-l]=0. 9分整理成关于上的方程(4-£)F+23"+l-y；=0, 10分”(ST：)-[

4-x：”(ST：)-[

4-x：11分•12分所以£•A,=11分•12分4-片所以P41PB.所以万•丽=0为定值•.(12分)(1)解：函数/(x)=2ax---21nx的定义域为(0.*»).因为y=-2x?+2ax-2开口向下.TOC\o"1-5"\h\z所以/(x)乂能在(0,+»)上单.调递减， 2分即一2x2+2ox-240在(0,*»)上恒成立. 3分即a4x+•!•在(0.+8)上恒成也X因为X+122,所以a《2.