数学物理方法 梁昆淼 试题1

考生注意：1、学号、姓名、专业班级等应填写准确。2、考试作弊者,责令停考,成绩作废。命题教师注意：1、试题务必用碳素墨水笔书写,字迹要工整。2、考试前一星期交试题到教务处印刷。广西民族学院试题(200—200学年度第1学期)课程名称：数学物理方法考核时长：12考核方式：闭卷、填空(每空2分)1.2.3.4.5.6.7.10.11.12.复数1+i的指数形式为:三角形式为:f(z)=2xyi+(ax2+by2)是解析函数，则系数a二f(8z3+6z2+10)dz=L=4fdz=lz1=3z2-a2级数£azn的收敛半径R=n!n=0fs[sin2wt+cos2wt]8(t一t)dt=0—s冽f(x)*f(x)]=12纟[exf(t)]=得分评卷人二阶偏微分方程uxx+6uxy+9uyy=0的特征方程是型方程，主要描述此微分方程是二阶偏微分方程uxx+4uxy+5uyy=0是.，主要描述其特征方程是稳定型方程的无界空间格林函数是类物理现象。型方程,类物理现象。f<9)一(a>b)的付氏一勒让德级数f(e)=a2一2abcos9+b2已知P(x)=1,P(x)=x,P(x)=[(3x2-1),P(x)=L(5x3-3x)

012232f(x)=2x3+3x2+2展开付氏一勒让德级数f(x)=13.15.定解问题u-a2u=0ttxxu（x,0）=eiwx,u（x,0）=taweiwx则无界问题的解为：u(x,t)=,二、判断体(每题2分)1、11P（x）dx1、11P（x）dx=0（）0入JbJ（"p）J（护P）Pdp=00mknk11Ym（9e）Yn（9e）sinOdOd^=0兀ks三、计算体（50分）3、5、2、11xP（x）dx=0（九鼻1）（）-i尢4、1bJ（詐p）J（护p）pdp=0（）0mkm久（m丰n,九Hk）（）1、导出杆作纵振动的偏微分方程，并写出一端固定，另一端被拉离平衡于h(h>L)处释放后的定解条件。

3•匀质圆柱的半径为R0高为L,上、下底的温度分别为u0柱侧面的温度分布为f(z)=你z+u.00Lo求柱内温度分布。(提示先将上、下底边界齐次化，再进行求解；齐次上下分离变量的径向为虚宗量贝塞尔方程)

Answer:一、填空（40）每空2分专业年级cos——+ism—I44丿2.113.04.05.w6.sin2wt0+cos2wt07.2nF](w)F2(w)10.椭圆y'=2-iory'=2+i专业年级cos——+ism—I44丿2.113.04.05.w6.sin2wt0+cos2wt07.2nF](w)F2(w)10.椭圆y'=2-iory'=2+i稳恒]].8.F(p-Q114k|p—p|09.y'=3抛物输运12.f(0)=£如p(cos0)ai+111=04613.f(x)=P(x)+2P(x)+P(x)+3P(x)…2510iw(x+at)+e«w(x-at)^+jx="awe/wgdg2ax—at12、判断（每题2分）1,3,4错误2,5正确、计算（50）14.eiw(x+at)or1解：将杆纵向无限分割选微元段[x,x+dx],设t时亥【」x点位移为讥x,t）x+xdx点的位移为u（x+dx,t）=u+du,则该微元段长为Zu的相对伸长为色=u。由胡克定律，张应力5=Y竺dxduux,5=Yuxx+dxxdx即在x处5=Yu则微元段所受张力=YS（u2"xx+dxx+dx—ux)，x其动力学方程为:pVu=YSuttxx+dx—YSuxx即：pSdxu=YS[uttxx+dxYux—upx1dxdx2"Y=—up]nu=xtt2"xx2"2"2"2"得:u-a2u=0杆的纵振动方程，a2=YttxxSh定解条件：u(x,0)=—xu(x,0)=0u(0,t)=u(1,t)=0Ltx

求定解问题::u—a2u=0ttxx求定解问题::u(0,t)=u(兀,t)xu(x,0)=3sinx;u(x,0)=0t2.(20分)解：令u(x,t)=X(x)T(t)u=X(x)T'(t),u=X(x)T"(t)tttu=X'(x)T(t),u=X"(x)T(t)xxx代入原方程：TffxffXTTffxffXT"—a2XT=0n——=——二一九a2TXX(0)=0X'(兀)=0T〃+a2尢T=0X"+X-X=0X(0)二0；X'(兀)二0X(0)T(t)=0X'(兀)T(t)=0对于常微分方程，X"+X-X=0的解，由其特征方程:4".xr2+X=0其解有三种可能：(1)入＜0时,X二ceJ」..x1c+c二01_2__ce——x.x+ce—x.12(2).X二0,X二(c+cx)12代入边界::c二0nX三c二020；(此解无意义)2"c—0c—0v1n<1c—0c—0J2J2丿.x代入边界:nX=02"(3)入〉0,X(x)二ccos、九.x+csin、九x12ccos0+csin0二0—LncX-Xcos七九•兀二02代入边界::c二01_ccos兀、九二012"若c=0,则X(x)三0,无意义；只有cos兀、X=0,即尢=22"1、只有此X直使原方程有意义，X为本征值。对应的解X(x)=csinn+-x为本征函数2丿2"〔1\〔1\T—0nr—±in+——anT—Acosn+——I2丿nI2丿iat+Bsinnx；(n—1.2.3)(1)n+—atI2丿(1)r1)r1)n+—at+Bsinn+—at)cosn+—I2丿nI2丿I2丿将本征值代入时间方程得：T"+a2/1\2n+—I2丿u—(Acosnn原边值问题的解:r1)r1)r1)n+—at+Bsinn+—at)sinn+—I2丿nI2丿I2丿xu-区u-另(Acosnnn—1n—14"代入初始条件:r1)aBr1)cosn+—I2丿nI2丿n(1)Asinn+—x—5cosx2丿n<x—0u(x,t)-区10(—1)n

兀n—1(1)cosn+—I2丿2(2n+1)(2n—1)2n+3)2"r1)r1)n+—atsinI2丿I2丿Bnx2(2n+1)(2n-1)2n+3)心专业年级V2u=03.解：问题有轴对称性，定解问题为:u(p,0)=u(p,L)=u0u(R,z)=你z+u,u(0,z)=有界0L0u(p,0)=u=B(p)0u(p,L)=u=A(p)L+B(p)0令：V=A(p)z+B(p)代入上下底边界得:2"令：u=V+wn<w(p,0)=0,w(p,L)=0w(R0,z)=七z，w(0,z)=有界2"2"由于此问题为齐次一类上下底边界，且轴对称，分离变量的径向为虚宗量贝塞尔方程，其解为：R(p)=cI(叩)(考虑自然有界性)将v代入轴向方程解得：Z=clcosvz+disinvzZ(0)=0ncl=0代入边界：Z(L)=0nsinvL=0nv=~~(n兀).——psin心"丿12(竺R]

<L0丿2uy(u(p,z)=V+w=u+0乂0兀T(n=1I0.n兀

smzL2"巴代入边界讽R,z)=另L0u.n兀，(-d0zsindz=L0LLn=12u.n兀sin一L0(-1》'旦R]

IL0丿[竺R]IL0丿(n兀)——psin<L丿2"2"2"0F[e-b2"2"0F[e-b2x2-±2_e4b2"\4b2兀F[e_4t]=■e-k2t即F-1[e-k2t]=『-兀令4b2=1则有tx2——e4t