电路学课件：一阶电路

一阶电路第七

章2、零输入响应零状态响应全响应重点掌握：1、基本信号：阶跃函数和冲激函数3、稳态分量暂态分量4、换路定理三要素法7.1动态电路的方程及其初始条件一．动态电路及特点：

1、动态元件：

电容元件和电感元件的电压和电流的约束关系是通过导数（或积分）表达的，称为动态元件，又称为储能元件。

2、一阶动态电路

仅含一个动态元件的电路.

其电路方程为一阶线性微分方程。含有一个电容和一个电阻的电路称为RC电路；一个电感和一个电阻的电路称为RL电路。4、换路电路的结构或元件的参数发生变化。换路是由开关的动作实现的。S(t=0)打开S(t=0)闭合12S(t=0)换动3、过渡过程

电路的结构或元件的参数发生变化时（例如电路中电源或无源元件的断开或接入，信号的突然注入等），可能使电路改变原来的工作状态，转变到另一个工作状态，这种转变往往需要经历一个过程，在工程上称为过渡过程。换路信号突然接入或改变电路的通断电路参数的改变若换路是在t=0时刻进行的，把换路前的最终时刻记为，把换路后的最初时刻记为5、电压、电流的跃变电压值、电流值在换路前后不同，称为发生跃变。若电压值、电流值在换路前后相同，则称电压、电流没有发生跃变。6、过渡过程产生的原因1).电路内部含有储能元件L、C2).电路结构或参数发生变化7、稳态分析和动态分析的区别稳态动态

1).换路发生很长时间；换路刚发生iL

、

uC

随时间变化3).

代数方程组描述电路；微分方程组描述电路2).IL、

UC不变；稳态稳态过渡过程EE/Rtt1icuc电路换路后必然引起过渡过程。过渡过程是一种稳态到另一种新的稳态之间的过程。时域分析法：经典法解微分方程复频域分析法：拉普拉斯变换法状态变量法：借助状态变量将微分方程变为一阶微分方程组数值法：计算机编程迭代计算8、过渡过程分析方法设：激励u(t)、响应i(t)总有：关于

t=0-

与t=0+换路在t=0时刻进行，分为三个区间：二、电路的初始条件－∞0-00++∞K+–uCUsRCi

t=0原稳态原稳态终值换路瞬间过渡过程新稳态换路后初始时刻值1.初始条件：是指电路中所求变量u，i及其（n－1）阶导数在t=0+时的值，也称初始值。电容电压和电感电流的初始值，即和称为独立的初始条件，其余的称为非独立的初始条件。2、换路定理设电荷为q∴∵在t=0时合开关，求t=0+时刻uc(0+)=？1).电容即K+–uCUsRCi

t=0uc(0+)=uc(0-)若i()为有限值则有结论换路瞬间，若电容电流为有限值，则电容电压（电荷）换路前后保持不变。q

(0+)=q(0-)电荷守恒电容上的电荷和电压在换路瞬间不发生跃变2).电感iLuL+-∵求t=0+时刻iL(0+)=？∴若u()为有限值iL(0+)=iL(0-)结论换路瞬间，若电感电压为有限值，则电感电流（磁链）换路前后保持不变。换路定理也可描述为

在换路瞬间，电容上的电压不能跃变

电感上的电流不能跃变而其它的响应的初始值则要由换路后电路和这两个值来确定电容电压uc(0+)和电感电流iL(0+)称为独立初始条件ψ

(0+)=ψ

(0-)则即磁链守恒电感上的磁链和电流不发生跃变换路定理1、如果电容电流为有限值，此时电容上的电荷和电压不发生跃变，即q

(0+)=q(0-)uc(0+)=uc(0-)2、如果电感电压为有限值，此时电感上的磁链和电流不发生跃变，即iL(0+)=iL(0-)ψ

(0+)=ψ

(0-)3电路初始值确定其余电量在t=o+时的值

电路初始值步骤:

1、求出电路的初始状态：

uc

(o-)、

iL(o-)

2、求出独立初始值：

uc

(o+)、

iL(o+)

3、画出o+等效电路:

非独立初始值的确定:o+等效电路法{独立初始值非独立初始值uc

(o+)、

iL(o+)电容用uc

(o+)电压源替代电感用iL

(o+)电流源替代电路其余结构不变4、求得非独立初始值解：(1)由0-电路求uC(0-)例1+-10ViiC+uC-k

10kΩ

40kΩt=0时断开开关k,求

iC(0+)？iC

(0--)

=0iC(0+)=iC(0--)=0+-10V+uC-10kΩ40kΩiCuC

(0+)=uC

(0-)=8V(2)由换路定律+-10ViiC+8V-10kΩt=0+等效电路(4)由0+等效电路求

iC(0+)iC(0--)=0iC(0+)(3)画出o+等效电路:iL(0+)=iL(0-)=10/(1+4)=2A+uL-10V140+电路2A解：∴uL(0+)=uL(0-)=0例2iL+uL-L10VK14t=0时闭合开关k,求uL(0+)?iL(0+)=iL(0-)=ISuC(0+)=uC(0-)=RISuL(0+)=-RIS0+电路uL+–iCRISRIS+–求开关闭合后iC(0+),uL(0+)？例3K(t=0)+–uLiLC+–uCLRISiC解：（1）初始值（2）0+时刻解：①t<0时，电路处于稳态

iL(0-)=0A②t=0+时，由换路定理

iL(0+)=iL(0-)=0A③作t=0+时刻等效图（图b)uL(0+)=Us-RiL(0+)=6-2×0=6V-+iL(0+)2uL(0+)+-6VUs(b)0+等效图RK-+iL(t)2L=3HuL(t)+-6VUs(a)K零状态电感→零值电流源→开路零状态电容→零值电压源→短路线

④t=∞时（图c），电路重新达到稳态，L相当于短路线。iL(∞)=6/2=3AuL(∞)=0电感电流iL不能突变，即iL(0+)=iL(0-)，但电感电压uL可能突变。本例中uL(0+)不等于uL(0-)同理，电容电压uc不能突变，即uc(0+)=uc(0-)，但电容电流ic可能突变。注：-+iL(∞)2uL(∞)+-6VUs(c)t=∞时等效图RLK例5:

如图(a)，电路原处于稳态，K于t=0时刻闭合，①求初始值ic(0+)、uL(0+)及i(0+)。②求

ic(∞)、uL(∞)及i(∞)。-+12VUsR1R2R3K245uc+-icuL+-iLi(a)解：求原始状态uc(0-)及iL(0-)t<0时（直流稳态），故：电容视为开路，电感视为短路。即：ic(0-)=0uL(0-)=0

故：

iL(0-)=Us/（R2+R3)=12/（4+2）=2A

uc(0-)=R2iL(0-)=4×2=8V由换路定理有：

iL(0+)=iL(0-)=2Auc(0+)=uc(0-)=8V

作0+等效图（图b）-+12VUsR1R2R3K245uc+-icuL+-iLi(a)ic(0+)uL(0+)+-i(0+)-+-+12VUsR1R245uc(0+)iL(0+)=2A(b)0+等效图8V在0+等效图中:电容元件用uc(0+)电压源代替电感元件用iL(0+)电流源代替激励源取t=0+时Us(0+)③由0+等效图有：

-+12VUsR1R2R3K245uc+-icuL+-iLi(a)+--+12VUsR1R245(c)t=∞等效图uL()i()ic()故ic()=0uL()=0

i

()=12/4=3At=时作等效图c

此时电路重新达到直流稳态电容视为开路，电感视为短路。5Ais1055C1C2i(t)i1(t)i2(t)Kuc1+-uc2+-+-5Ais1055i(0+)i1(0+)i2(0+)50Va0+等效图练习：如图电路原处于稳态，uc2(0-)=0，t=0时刻K闭合，作0+图并求i(0+)、i1(0+)及i2(0+)。解：(1)uc1(0-)=5×10=50Vuc2(0-)=0(2)由换路定理：uc1(0+)=uc1(0-)=50Vuc2(0+)=uc2(0-)=0(3)由0+图用节点分析法：得：ua=30V进一步可得：i(0+)=3Ai1(0+)=-4Ai2(0+)=6A思考：电容、电感有时看作开路，有时看作短路，有时看作电压源（对电容），有时又看作电流源（对电感），为什么？§7-2一阶电路的零输入响应零输入响应：激励(独立电源)为零，仅由电容或电感的

初始储能作用于电路产生的响应。一阶电路：只含有一个因变量的一阶微分方程描述的电路一、RC电路的零输入响应已知uC

(0-)=U0求uC和i。解:

iK(t=0)+–uRC+–uCRuC-uR=uC-Ri=0特征根RCp+1=0特征方程令通解为代入则初始值uC

(0+)=uC(0-)=U0A=U0令=RC

,称为一阶电路的时间常数tU0uC0I0ti0∴时间常数

的大小反映了电路过渡过程时间的长短

=RC大过渡过程时间的长,衰减越慢小

过渡过程时间的短,衰减越快电压初值一定：R大（C不变）i=u/R放电电流小放电时间长U0tuc0小大C大（R不变）储能大的曲线上任意一点的次切距长度等于时间常数OtuCU0uC(t0)uC(t0+)ABC这说明曲线上任意一点，如果以该点的斜率为固定变化率衰减，经过时间为零值。工程上认为,经过3-5,过渡过程结束。：电容电压衰减到原来电压36.8%所需的时间。U00.368U00.135U00.05U00.007U0t02

3

5U0

U0e

-1

U0e

-2

U0e

-3

U0e

-5

U0tuc00.368U0123OtuCU00.368U0增加

不同，衰减快慢也不同。能量关系C放电，C不断放能，电阻R不断耗能直至C上电场能量衰减为0。设uC(0+)=U0电容放出能量

二.RL电路的零输入响应特征方程Lp+R=0特征根p=由初始值i(0+)=I0确定积分常数AA=i(0+)=I0i

(0+)=i

(0-)=iK(t=0)USL+–uLRR1令方程通解为令=L/R,

称为一阶RL电路时间常数L大（R不变）起始能量大R小（L不变）放电过程消耗能量小放电慢大-RI0uLttI0i0电流初始值一定：时间常数=RC或L/R，表征电路固有性质，反映过渡过程长短。iL(t)uL(t)t0I0-RI0(b)以前例RL电路放电过程为例:t=时，iL()/I0=e-1=36.8%t=2时，iL(2)/I0=e-2=13.5%t=3时，iL(3)/I0=e-3=5%……t=5时，iL(5)/I0=e-5=0.7%一般认为经过3-5时间后瞬态过程已经结束。iL

(0+)=iL(0-)=1AuV

(0+)=-10000V例4iLK(t=0)+–uVL=4HR=10VRV10k10Vt=0时,打开开关K,发现电压表坏了，为什么？电压表量程：50V分析：∴造成损坏。V1.一阶电路的零输入响应是由储能元件的初值引起的响应,都是由初始值衰减为零的指数衰减函数。2.衰减快慢取决于时间常数

RC电路

=RC

,RL电路

=L/R3.同一电路中所有响应具有相同的时间常数。小结:时间常数

的计算方法：

=L/Req=L/(R1//

R2)+-R1R2LReqC

=

ReqCR1R2LReq解：=3Vτ=RCR=2//3τ=RC例5：求电容两端电压。S(t=0)1Ω2Ω3Ω5uF6VUc7.3一阶电路的零状态响应初始状态为零外电源输入直流交流充电与电源变化规律相同能量来源最终终值零状态：零状态响应：储能元件初始能量为零的电路在输入激励作用下产生的响应列方程：解答形式为：齐次方程的通解非齐次方程的特解一、

RC电路的零状态响应iK(t=0)US+–uRC+–uCRuC

(0-)=0uc(0-)=0求:电容电压uc(t)

和电流i(t)?

已知(电源通过电阻对电容充电)因为它由输入激励决定，称为强制分量；它也是电路的稳态解，也称为稳态分量变化规律由电路结构和参数决定全解:uC

(0+)=A+US=0A=-US由起始条件

uC

(0+)=0定积分常数

A齐次方程的通解：特解（强制分量、稳态分量）=US：通解（自由分量，暂态分量）此A与前节同否？强制分量(稳态)自由分量(暂态)ucuC'uC"t-USUSti0电容电压由零开始以指数规律上升到Us;电容电流则从初始值Us/R以指数规律衰减到零能量关系：电源提供的能量一半消耗在电阻上，一半转换成电场能量储存在电容中。充电效率为50％。电容储存：电源提供能量：电阻消耗例6电路如图所示，已知电容电压uC(0-)=0。t=0

打开开关，求t0的电容电压uC(t),电容电流iC(t)以及

电阻电流i1(t)。解：在开关闭合瞬间，电容电压不能跃变，由此得到先将连接于电容两端的含源电阻单口网络等效于戴维宁等效电路，得到图(b)所示电路，其中电路的时间常数为当电路达到新的稳定状态时，电容相当开路，由此求得可以得到用KCL方程得到二、RL电路的零状态响应iLK(t=0)US+–uRL+–uLRiL(0-)=0求:电感电流iL(t)

和电压uL(t)?已知uLUSt0tiL0RUS-=AISiRRLiLS(t=0)初始条件为iL(0+)=0方程的解例7电路如图a所示，已知电感电流iL(0-)=0。

t=0闭合开关，求t0的电感电流和电感电压。解：开关闭合后的电路如图(b).电感电流不能跃变，即将图(b)中连接电感的含源电阻单口网络用诺顿等效电路代替，得到图(c)所示电路。由此电路求得时间常数为可以得到假如还要计算电阻中的电流i(t)，可以根据图(b)电路，用欧姆定律求得三、电源为正弦激励的零状态响应iLK(t=0)us+–uRL+–uLR、iL(0-)=0求:电感iL(t)、uL(t)?已知:系数比较法：ωLφR等式左边=强制分量(稳态)自由分量(暂态)讨论几种情况：1）合开关时，有u=

，则2）u=±/2即u-=±/2故开关闭合后，电路中不发生过渡过程而立即进入稳定状态。0t(s)稳态响应暂态响应稳态（强制）暂态i(t)由图示曲线还可以看出在时间常数

较大时，由于暂态响应衰减较慢，电感电流全响应的最大值可能接近2Im，出现过电流的现象。全响应：非零初始状态的电路受到激励时电路中产生的响应一.一阶电路的全响应及其两种分解方式iK(t=0)US+–uRC+–uCR稳态解uC'=US解答为

uC(t)=uC'+uC"uC

(0-)=U0非齐次方程=RC1.

全解=强制分量(稳态解)+自由分量(暂态解)暂态解uC

(0+)=A+US=U0A=U0-US由起始值定A§7-4一阶电路的全响应强制分量(稳态解)自由分量(暂态解)uC"-USU0暂态解uC'US稳态解U0uc全解tuc0iK(t=0)US+–uRC+–uCRuC

(0-)=U0iK(t=0)US+–uRC+–

uCR=uC

(0-)=0+uC

(0-)=U0C+–

uCiK(t=0)+–uRR2.

全响应=零状态响应+零输入响应零状态响应零输入响应tuc0US零状态响应全响应零输入响应U0全响应零状态响应零输入响应自由响应分量强制响应自由响应稳态响应暂态响应等幅部分减幅部分响应的分解二、三要素法响应由初始值、特解、时间常数决定三要素不用列微分方程，可直接由三要素写出响应表达式。稳态值初始值时间常数直流电源激励时，特解和特解初始值均为稳态值f(∞)特解初始值特解初始值时间常数三要素：①初始值f(0+)②终值f()③时间常数=RC或(1)uc(0+)

与iL(0+)

按换路定则求出

C视作开路iL(0+)=iL(0-)(2)其它电路变量的初始值1．初始值f(0+)的计算应画出t=0+的等效电路，然后按电阻电路计算L视作短路uc(0+)=uc(0-)在t→∞的等效电路中，因为直流作用电感视作短路2．稳态值f(∞)的计算当t→∞，作出t→∞的等效电路，然后按电阻电路计算电容视作开路所以3．时间常数τ的计算RC电路RL电路

Ro为换路后的电路，从动态元件两端看进去的戴维宁等效电阻。τ=L/R0τ=R0C当正确求出f(0+)，f(∞)及τ三要素后，即可按上式写出变量的完全响应。注意标注单位4．三要素法求完全响应s(t=0) 电容C=0.1F，求S闭合后电容两端的电压uC和电流i。解：利用三要素法先求出uC 1、求初值例8：is(t=0)2、求终值10V2Ω5ΩuCs(t=0)3、求时间常数Ro=2//5=10/7ΩR02Ω5Ω4、s(t=0)ii=-电流i也可以通过三要素法直接求得s(t=0)i换路后的电路10V2Ω5ΩuCi10V2Ω5ΩuCii

的初值i1i2i

的终值S(t=0)i求电路中的电流

i和iL。解：1、求初值2、求终值例9：S(t=0)i3、求时间常数4、3V3V1125Habi(t)iL(t)(a)K例10：如图电路原处于稳态，t=0时刻K由a转向b，用三要素法求t≧0时i(t)及

iL(t)，并作出其波形。3V3V1125Habi(t)iL(t)(a)K3V112-1.2Abi(0+)iL(0+)(b)0+等效图解：（1）求初始值iL(0+)和i(0+)作0+等效图（b)1×i(0+)+2×[i(0+)-(-1.2)]=3→

i(0+)=1/5A（2）求终值iL()和i()（图c）3V112bi()iL()(c)t=

等效图112(d)求时等效图R0（3）时间常数（图d）等效内阻，从动态元件两端看出去（4）由（5）波形（图e）ti(t)09/56/51/5-6/5(A)iL(t)例11：如图(a)电路，uc(0-)=2V，t=0时K闭合，试用三要素法求t≧0时uc(t)及i1(t)。-+612VUsK2i1+-21Fi1(t)uc(t)+-(a)-+612VUsK2i1+-2i1(0+)(b)0+图+-2V解：（1）求初始值uc(0+)及i1(0+)uc(0+)=uc(0-)=2V，作0+图(b)有：6i1(0+)-2i1(0+)=12→

i1(0+)=3A（2）求终值uc()及i1()-+612VUsK2i1+-2i1()(c)t=等效图uc()+-6i1()-2i1()=12→

i1()=3Auc()=-2i1()=-6V62i1+-2i1(d)求时等效图+-U0I0（3）求时间常数=R0C设用外加电源法（图d）U0=2I0-2i16i1=2i1→i1=0U0=2I0故：等效内阻R0=U0/I0=2时间常数=R0C=2×1=2(s)（4）uc(t)=-6+[2-(-6)]e-t/2=-6+8e-t/2(V)t≧0i1(t)=3+(3-3)e-t/2=3(A)t≧0例122A2i1+-i14Ω4Ω+-8V0.1H2ΩuL+-iL12S开关合在1时已达稳定状态。t=0时，开关由1合向2，求t≥0+时的电压uL?解：再求电感两端戴维宁等效电路2A2i1+-i14Ω4Ω20.1HuL+-iL开关打到2点电路uoc2uL0.1H+-iLReq+-2i1+-i14Ω4Ω2u-+12V2uL0.1H+-iL10Ω+-1.定义t(t)01一、单位阶跃函数§7-7一阶电路的阶跃响应2.波形相当于0时刻接入电路的单位电流源或单位电压源若将直流电源表示为阶跃信号，则可省去开关：K：阶跃信号强度。10（V）→10ε（t）（V）K（V）→Kε（t）（V），例如：3.实际意义4.延迟单位阶跃信号t(t-t0)t0015．阶跃信号的单边性（截取信号的特性）若用ε（t）去乘任何信号，都使其在t<0时为零，而在t≥0时为原信号。利用此信号可描述许多信号。f(t)0tof(t)to例：to1to-1例：tototo3-41阶跃信号表示：例

用(t)函数描述开关动作K+–uCUsRCi

t=

t0+–uCUs(t-t0

)RCi单位阶跃响应：电路在零状态条件下，由单位阶跃函数引起的响应。记为s(t)线性时不变零状态电路单位阶跃信号单位阶跃响应s(t)当电路的激励为单位阶跃函数，V，或A时，相当于将电路在t=0时接通电压值为1V或电流源为1A的直流电流源。因此单位阶跃响应与直流激励的响应相同。电路的零状态响应二．阶跃响应的分析uC

(0-)=0iC+–uCRtuc1t0i例1：求如图RL电路在矩形脉冲us(t)作用下的响应电流i(t)，并作其波形。1us(t)0t(s)t0R=1-+us(t)L=1Hi(t)法一：分区间应用三要素法=L/R=1/1=1(s)i(0-)=0i(0+)=i(0-)=00≦t≦t0时：i稳态=1/R=1(A)故i(t)=1+(0-1)e-t=1-e-t(A)0≦t≦t0t0<t<时是以i(t0)为初值的放电过程1i(t)0t(s)t01-e-t法二：利用阶跃响应1U(t)0t(s)R=1-+us(t)L=1Hi(t)（1）电路的单位阶跃响应s(t)=1-e-tt≧00t<0（2）输入信号us(t)=→s

(t)i(t)=s

(t)-s(t-t0)→-s

(t-t0)（3）故us(t)作用下零状态响应：i(t)=s(t)-s(t-t0)1i(t)0t(s)t0s(t)-s(t-t0)i(t)注（1）注意各阶跃响应的时间区间。（2）方法二只适合于零状态时，若有初始储能，总响应应加上零输入响应。求解方法：三要素法

例2：求阶跃响应i。写出i(t)表达式

I1

I2解：由t=o+等效电路，有i

(o+)=0.8A由t=等效电路，i

()=0.5A例3：图示电路，已知：iL(o-)=0，求uL

(t)、

i(t)

。提示：先求单位阶跃响应，再将u用阶跃信号表示，最后利用线性时不变电路性质求响应。当时当