第七章-经典力学的哈密顿理论课件

第七章经典力学的哈密顿理论内容：·哈密顿正则方程·哈密顿原理·正则变换·哈密顿—雅可比方程重点：·哈密顿正则方程

·正则变换难点：·正则变换第七章经典力学的哈密顿理论内容：·哈密顿正则方程1在经典力学中，力学体系的运动可用各种方法来描述。用牛顿运动定律描述，常常要解算大量的微分方程组，对约束体系更增强了问题的复杂性。1788年拉格朗日用s个广义坐标来描述力学体系的运动，导出了用广义坐标表出的拉格朗日方程，其好处是只要知道体系的动能和所受的广义力，就可写出体系的动力学方程。1834年以后哈密顿提出用s个广义坐标和s个广义动量（称为正则共轭坐标）描述体系的运动，导出了三种不同形式的方程：哈密顿正则方程、哈密顿原理和哈密顿——雅可比方程，称为经典力学的哈密顿理论。哈密顿理论和拉格朗日理论、牛顿理论是等价的。哈密顿理论的优点在于便于将力学推广到物理学其他领域。7.1哈密顿函数和正则方程（1）哈密顿函数拉格朗日函数是和t的函数：，它的全微分为

将广义动量和拉格朗日方程：在经典力学中，力学体系的运动可用各种方法来描述。用牛顿运动定2

代入上式，得（7.1）

式中（7.2）

，

是体系的广义能量。由

可以解出

故H是p、q、t的函数，表征体系的状态，称为哈密顿函数。若L不显含t，并且约束是稳定的，体系的能量守恒，则

H=E=T+V代入上式，得（7.1）式中（7.2），是体系的3（2）哈密顿正则方程哈密顿函数H=H（p，q，t）的全微分为

（7.3）比较（7.2）和（7.3）式，得

（7.4）

（7.5）

（7.4）式称为保守系哈密顿正则方程，它是2s个一阶微分方程，形式对称，结构紧凑。对于非保守系，正则方程形式为

（2）哈密顿正则方程哈密顿函数H=H（p，q，t）的全微分为4哈密顿正则方程常用来建立体系的运动方程。[例1]写出粒子在中心势场中的哈密顿函数和正则方程。解：粒子在中心势场中运动的特点、自由度、广义坐标如何？粒子的拉格朗日函数为（1）

广义动量

（2）

哈密顿函数

哈密顿正则方程常用来建立体系的运动方程。[例1]写出粒子在5于是得正则方程

（3）

（4）

[例2]写出粒子在等角速度转动参考系中的H函数和正则方程。解：取图7.3所示的转动参考系。粒子的L函数为（参见5.12式）

（1）

所以于是得正则方程（3）（4）[例2]写出粒子在等6（2）（3）则哈密顿函数（4）（3）式代入（4）式，得

（5）

正则方程为

（6）

（2）（3）则哈密顿函数（4）（3）式代入（4）式，得（7将代入上式中的第二式，可得粒子的动力学方程7.2哈密顿原理

（1）最速落径问题和变分法

数学上的变分法是为了解决最速落径这一力学问题而发展起来的。

如图7.4所示，铅直平面内在所有连接两个定点A和B的曲线中，找出一条曲线来，使得初速度为零的质点，在重力作用下，自A点沿它无摩擦地滑下时，以最短时间到达B点。设曲线AB方程为y=y(x)，质点沿曲线运动速度为质点自A沿曲线y(x)自由滑至B点所需的时间

（7.6）

将代入上式中的第二式，可得粒子的动力学方程7.2哈密顿原8显然J的值与函数y(x)有关，最速落径问题就是求J的极值问题，即y(x)取什么函数时，函数J[y(x)]取极小值。J[y(x)]称为函数y(x)的泛函数。J[y(x)]取极值的条件为δJ=0

（7.6）

算符δ称为变分记号。变分运算法则和微分运算法则相似：

（7.8）

显然J的值与函数y(x)有关，最速落径问题就是求J的极值问题9（2）变分问题的欧拉方程求泛函J[y(x)]的变分δJ=0的条件：为普遍起见，将（7.6）式改写

（7.9）

对上式求变分，令δJ=0：

（2）变分问题的欧拉方程求泛函J[y(x)]的变分δJ=10因此，（7.10）

（7.10）是泛函J[y(x)]取极值时函数y(x)必须满足条件，称为欧拉方程，思考：欧拉方程形式上与拉格朗日方程有无区别？（3）哈密顿原理

一个具有s自由度的体系，它的运动由s个广义坐标

来描述。在体系的s维位形空间中，这s个广义坐标的值确定体系的一个位形点，

随着时间的变动，位形点在位形空间描绘出体系的运动轨道。设在时刻

和

体系位于位形空间的

点和点，相应的广义坐标为

和

（或缩写为和），

由

点通向和点有多种可能的轨道（路径），但体系运动的真实轨道只能是其中的一条。如何从众多的可能轨道中挑选出体系运动的真实轨道？即在

时间内，为何确定体系的s个广义坐标？

因此，（7.10）（7.10）是泛函J[y(x)]取极值时11哈密顿原理提供了确定体系运动真实轨道的方法。·定义：体系的拉格朗日函数在内的积分

（7.11）

为哈密顿作用量（或主函数），是的泛函数。·哈密顿原理

1843年哈密顿提出：对于一个保守系的完整力学体系，其由动力学规律所决定的真实运动轨道可由泛函数

取极值的条件（7.12）

给出——哈密顿原理。对于非保守系，哈密顿原理的数学表达式为哈密顿原理提供了确定体系运动真实轨道的方法。·定义：体系的12（7.13）

式中为广义力。由哈密顿原理可以导出拉格朗日方程、正则方程以及各种动力学方程，因此，哈密顿原理是力学的第一性原理或最高原理。在力学中凡能起“几何公里”作用，可由它导出全部力学定律的原理或假说，称为力学第一性原理或最高原理，如牛顿运动定律、虚功原理、达朗贝尔原理等都是力学第一性原理，所以力学第一性原理的表述形式是多种多样的，各有优缺点，但都是等价的。7.3正则变换（1）选好广义坐标的重要性选取不同的广义坐标，所得的微分方程的形式不同，求解方程的难易程度不同。如果选取的广义坐标使H函数中能多出现一些循环坐标，就能在正则方程中多得出一些积分，对微分方程的求解就更有利，否则微分方程的求解就变得十分困难，因此，为何选取广义坐标是理论力学中最富技术性的环节。（7.13）式中为广义力。由哈密顿原理可以导出拉格朗日方程13（2）正则坐标变换的目的和条件正则坐标变换（正则变换）的理论，就是寻找最佳坐标，使H函数中出现更多的循环坐标，求解微分方程组变得更容易的方法。设原来的正则变量为p、q，通过变量变换新的正则变量为P、Q，它们的变换关系为

（7.14）

如果变换后，新的哈密顿函数仍然满足正则方程

（7.15）

满足（7.15）式子的正则坐标变换称为正则变换。满足正则变换（7.15）式的具体条件（证明见P.256-257）是：

（7.16）式中F为正则变换母函数。（2）正则坐标变换的目的和条件正则坐标14由（7.16）式可得（7.17）

（7.18）

以上二式表明：由

时，可任意规定；规定后，

则由规定，F由来选取，由来确定。

（3）四种不同类型的正则变换（7.16）式是正则变换的一种形式，是以（q，Q）为独立变量的形式，对应的母函数F（q，Q，t）为第一类正则变换母函数。也可以（q，P），（p，Q），（p，P）为独立变量。

由（7.16）式可得（7.17）（7.18）15①第一类正则变换

（7.19）

②第二类正则变换

③第二类正则变换

①第一类正则变换（7.19）②第二类正16④第二类正则变换

（4）正则变换的关键若变换后新哈密顿函数只是变量及t的函数，即

则由（7.15）式知

=常数∴④第二类正则变换（4）正则变换17可得力学体系2s个运动积分，于是体系的运动问题就完全解决了。体系能否有2s积分，全靠母函数F规定得如何而定，所以体系的运动微分方程的积分，从正则变换的眼光看，就变成为何寻找合适的母函数F的问题了，F规定适当，变换后出现很多循环坐标，问题即可大为简化。[例1]用正则变换法求平面谐振子的运动，振解：设振子沿x，y方向的动量为动频率为，哈密顿函数为设母函数由（7.19）式，得

（2）可得力学体系2s个运动积分，于是体系的运动问题就完全解决了。18将（3）式中的及表示代入（1）中，得

（4）

（5）

由（7.15）式，得

（6）

积分得

（7）

积分常数由起始条件决定。将（3）式中的及表示代入（1）中，得（4）（5）由（19由（3）式得振子运动方程

（8）

7.4哈密顿——雅可比方程（1）方程的推导通过正则变换可使新的哈密顿函数

结构简化，从而使正则方程易于求解。最理想的情况是

，这时（常数），（常数）。由（3）式得振子运动方程（8）20的结构形式与母函数F有关。在四类正则变换中，母函数和新旧哈密顿函数的关系为

（7.23）

取第二类母函数，则由（7.20）式得

（7.24）

并根据=0的要求，令，则（7.23）式为（7.25）由（7.25）式知：如果F（q,t）是方程的解，则

（常数）（7.26）

也是方程的解，故（7.25）式可改写成

（7.27）

的结构形式与母函数F有关。在四类正则变换中，母函数和新旧哈密21（7.27）式称为哈密顿——雅可比方程，其中S（q,t）称为哈密顿主函数。从（7.27）式求出S，再由

求出，由求出，就可得出正则方程的全部积分了。这样，

正则方程的求解问题归纳为为何从哈密顿——雅可比方程（7.27）式求S的问题。（2）方程的解为简单起见，设H=E（常数），即讨论能量守恒或广义能量守恒问题的求解。哈——雅方程为

（7.28）

由于上式是包含s个q和t的变量的偏微分方程，故对t积分后得

（7.29）

式中

称为哈密顿特征函数，将

（7.27）式称为哈密顿——雅可比方程，其中S（q,t）称为22（7.30）

代入关系H=E，得

（7.31）

从（7.31）式可解得W，再代入（7.29）式，就可得到H=E体系的哈密顿——雅可比方程的解，于是正则方程的求解又归结到从（7.31）式中求特征函数W的问题了。通常采用“分离变量法”求（7.31）的解。7.5解题指导（1）习题类型及基本解法哈密顿理论的三个重力学方程（正则方程、哈密顿原理、雅可比方程）主要用于建立体系的动力学方程，这是本章习题内容和类型。基本解法：将体系的拉格朗日函数L或哈密顿函数H代入相应的方程即得

体系的运动微分方程。解起的要点和步骤是：

（7.30）代入关系H=E，得（7.31）从（7.23①析体系约束类型，主动力性质；②确定自由度，选择适当的广义坐标；③正确写出体系的L函数和H函数；④将L或H代入相应的哈密顿理论的动力学方程，并进行运算，可得出体系的运动微分方程；⑤方程，出要求的量。⑵范例[例1]用哈密顿原理建立开普问题的动力学方程。

解：用极坐标描述开普勒问题较方便。自由度为2，以r，Q为广义坐标，拉格朗日函数为

①析体系约束类型，主动力性质；⑵24代入哈密顿原理表达式，得

代入哈密顿原理表达式，得25[例2]用哈密顿—雅可比方程解开普勒问题。解：开普勒问题能量守恒，其哈密顿-雅可比方程形式为

（1）

哈密顿函数

（2）

由，代入（2）和（1）得哈密顿—雅可比方程为

（3）

[例2]用哈密顿—雅可比方程解开普勒问题。26求出方程（3）的解，代入

（4）

可得用乘（3）式两边，并移项得

（5）

用分离变量法求解，令

（6）

求出方程（3）的解，代入（4）可得用乘（3）式两边，并27将（6）代入（5）得

（7）

上式左边只是r的函数，右边只是θ的函数，要使其对任意的r、θ都成立，只有当它们都等于同一个常量时才有可能。这个常量必为正值，因此把它用

来表示，由此可得

（8）

（9）

积分（8）式得

（10）（9）式可改写为将（6）代入（5）得（7）上式左边只是r的函数，右边只28所以

（11）

将（10）、（11）代入（6），最后得方程（3）的解：

（12）

将（12）代入（7.19）得

上式中的

为积分常数

，适当选取坐标原点，总可令

，于是得

（13）

所以（11）将（10）、（11）代入（6），最后得29令，则（13）式可改写为

（14）

这正是开普勒问题的轨道方程。

（15）

这就是开普勒问题的运动方程r=r（t）的积分表示式，再将（15）和（14）联立起来即可解得θ=θ（t）。

令，则（13）式可改写为（14）这正是开普30第七章经典力学的哈密顿理论内容：·哈密顿正则方程·哈密顿原理·正则变换·哈密顿—雅可比方程重点：·哈密顿正则方程

·正则变换难点：·正则变换第七章经典力学的哈密顿理论内容：·哈密顿正则方程31在经典力学中，力学体系的运动可用各种方法来描述。用牛顿运动定律描述，常常要解算大量的微分方程组，对约束体系更增强了问题的复杂性。1788年拉格朗日用s个广义坐标来描述力学体系的运动，导出了用广义坐标表出的拉格朗日方程，其好处是只要知道体系的动能和所受的广义力，就可写出体系的动力学方程。1834年以后哈密顿提出用s个广义坐标和s个广义动量（称为正则共轭坐标）描述体系的运动，导出了三种不同形式的方程：哈密顿正则方程、哈密顿原理和哈密顿——雅可比方程，称为经典力学的哈密顿理论。哈密顿理论和拉格朗日理论、牛顿理论是等价的。哈密顿理论的优点在于便于将力学推广到物理学其他领域。7.1哈密顿函数和正则方程（1）哈密顿函数拉格朗日函数是和t的函数：，它的全微分为

将广义动量和拉格朗日方程：在经典力学中，力学体系的运动可用各种方法来描述。用牛顿运动定32

代入上式，得（7.1）

式中（7.2）

，

是体系的广义能量。由

可以解出

故H是p、q、t的函数，表征体系的状态，称为哈密顿函数。若L不显含t，并且约束是稳定的，体系的能量守恒，则

H=E=T+V代入上式，得（7.1）式中（7.2），是体系的33（2）哈密顿正则方程哈密顿函数H=H（p，q，t）的全微分为

（7.3）比较（7.2）和（7.3）式，得

（7.4）

（7.5）

（7.4）式称为保守系哈密顿正则方程，它是2s个一阶微分方程，形式对称，结构紧凑。对于非保守系，正则方程形式为

（2）哈密顿正则方程哈密顿函数H=H（p，q，t）的全微分为34哈密顿正则方程常用来建立体系的运动方程。[例1]写出粒子在中心势场中的哈密顿函数和正则方程。解：粒子在中心势场中运动的特点、自由度、广义坐标如何？粒子的拉格朗日函数为（1）

广义动量

（2）

哈密顿函数

哈密顿正则方程常用来建立体系的运动方程。[例1]写出粒子在35于是得正则方程

（3）

（4）

[例2]写出粒子在等角速度转动参考系中的H函数和正则方程。解：取图7.3所示的转动参考系。粒子的L函数为（参见5.12式）

（1）

所以于是得正则方程（3）（4）[例2]写出粒子在等36（2）（3）则哈密顿函数（4）（3）式代入（4）式，得

（5）

正则方程为

（6）

（2）（3）则哈密顿函数（4）（3）式代入（4）式，得（37将代入上式中的第二式，可得粒子的动力学方程7.2哈密顿原理

（1）最速落径问题和变分法

数学上的变分法是为了解决最速落径这一力学问题而发展起来的。

如图7.4所示，铅直平面内在所有连接两个定点A和B的曲线中，找出一条曲线来，使得初速度为零的质点，在重力作用下，自A点沿它无摩擦地滑下时，以最短时间到达B点。设曲线AB方程为y=y(x)，质点沿曲线运动速度为质点自A沿曲线y(x)自由滑至B点所需的时间

（7.6）

将代入上式中的第二式，可得粒子的动力学方程7.2哈密顿原38显然J的值与函数y(x)有关，最速落径问题就是求J的极值问题，即y(x)取什么函数时，函数J[y(x)]取极小值。J[y(x)]称为函数y(x)的泛函数。J[y(x)]取极值的条件为δJ=0

（7.6）

算符δ称为变分记号。变分运算法则和微分运算法则相似：

（7.8）

显然J的值与函数y(x)有关，最速落径问题就是求J的极值问题39（2）变分问题的欧拉方程求泛函J[y(x)]的变分δJ=0的条件：为普遍起见，将（7.6）式改写

（7.9）

对上式求变分，令δJ=0：

（2）变分问题的欧拉方程求泛函J[y(x)]的变分δJ=40因此，（7.10）

（7.10）是泛函J[y(x)]取极值时函数y(x)必须满足条件，称为欧拉方程，思考：欧拉方程形式上与拉格朗日方程有无区别？（3）哈密顿原理

一个具有s自由度的体系，它的运动由s个广义坐标

来描述。在体系的s维位形空间中，这s个广义坐标的值确定体系的一个位形点，

随着时间的变动，位形点在位形空间描绘出体系的运动轨道。设在时刻

和

体系位于位形空间的

点和点，相应的广义坐标为

和

（或缩写为和），

由

点通向和点有多种可能的轨道（路径），但体系运动的真实轨道只能是其中的一条。如何从众多的可能轨道中挑选出体系运动的真实轨道？即在

时间内，为何确定体系的s个广义坐标？

因此，（7.10）（7.10）是泛函J[y(x)]取极值时41哈密顿原理提供了确定体系运动真实轨道的方法。·定义：体系的拉格朗日函数在内的积分

（7.11）

为哈密顿作用量（或主函数），是的泛函数。·哈密顿原理

1843年哈密顿提出：对于一个保守系的完整力学体系，其由动力学规律所决定的真实运动轨道可由泛函数

取极值的条件（7.12）

给出——哈密顿原理。对于非保守系，哈密顿原理的数学表达式为哈密顿原理提供了确定体系运动真实轨道的方法。·定义：体系的42（7.13）

式中为广义力。由哈密顿原理可以导出拉格朗日方程、正则方程以及各种动力学方程，因此，哈密顿原理是力学的第一性原理或最高原理。在力学中凡能起“几何公里”作用，可由它导出全部力学定律的原理或假说，称为力学第一性原理或最高原理，如牛顿运动定律、虚功原理、达朗贝尔原理等都是力学第一性原理，所以力学第一性原理的表述形式是多种多样的，各有优缺点，但都是等价的。7.3正则变换（1）选好广义坐标的重要性选取不同的广义坐标，所得的微分方程的形式不同，求解方程的难易程度不同。如果选取的广义坐标使H函数中能多出现一些循环坐标，就能在正则方程中多得出一些积分，对微分方程的求解就更有利，否则微分方程的求解就变得十分困难，因此，为何选取广义坐标是理论力学中最富技术性的环节。（7.13）式中为广义力。由哈密顿原理可以导出拉格朗日方程43（2）正则坐标变换的目的和条件正则坐标变换（正则变换）的理论，就是寻找最佳坐标，使H函数中出现更多的循环坐标，求解微分方程组变得更容易的方法。设原来的正则变量为p、q，通过变量变换新的正则变量为P、Q，它们的变换关系为

（7.14）

如果变换后，新的哈密顿函数仍然满足正则方程

（7.15）

满足（7.15）式子的正则坐标变换称为正则变换。满足正则变换（7.15）式的具体条件（证明见P.256-257）是：

（7.16）式中F为正则变换母函数。（2）正则坐标变换的目的和条件正则坐标44由（7.16）式可得（7.17）

（7.18）

以上二式表明：由

时，可任意规定；规定后，

则由规定，F由来选取，由来确定。

（3）四种不同类型的正则变换（7.16）式是正则变换的一种形式，是以（q，Q）为独立变量的形式，对应的母函数F（q，Q，t）为第一类正则变换母函数。也可以（q，P），（p，Q），（p，P）为独立变量。

由（7.16）式可得（7.17）（7.18）45①第一类正则变换

（7.19）

②第二类正则变换

③第二类正则变换

①第一类正则变换（7.19）②第二类正46④第二类正则变换

（4）正则变换的关键若变换后新哈密顿函数只是变量及t的函数，即

则由（7.15）式知

=常数∴④第二类正则变换（4）正则变换47可得力学体系2s个运动积分，于是体系的运动问题就完全解决了。体系能否有2s积分，全靠母函数F规定得如何而定，所以体系的运动微分方程的积分，从正则变换的眼光看，就变成为何寻找合适的母函数F的问题了，F规定适当，变换后出现很多循环坐标，问题即可大为简化。[例1]用正则变换法求平面谐振子的运动，振解：设振子沿x，y方向的动量为动频率为，哈密顿函数为设母函数由（7.19）式，得

（2）可得力学体系2s个运动积分，于是体系的运动问题就完全解决了。48将（3）式中的及表示代入（1）中，得

（4）

（5）

由（7.15）式，得

（6）

积分得

（7）

积分常数由起始条件决定。将（3）式中的及表示代入（1）中，得（4）（5）由（49由（3）式得振子运动方程

（8）

7.4哈密顿——雅可比方程（1）方程的推导通过正则变换可使新的哈密顿函数

结构简化，从而使正则方程易于求解。最理想的情况是

，这时（常数），（常数）。由（3）式得振子运动方程（8）50的结构形式与母函数F有关。在四类正则变换中，母函数和新旧哈密顿函数的关系为

（7.23）

取第二类母函数，则由（7.20）式得

（7.24）

并根据=0的要求，令，则（7.23）式为（7.25）由（7.25）式知：如果F（q,t）是方程的解，则

（常数）（7.26）

也是方程的解，故（7.25）式可改写成

（7.27）

的结构形式与母函数F有关。在四类正则变换中，母函数和新旧哈密51（7.27）式称为哈密顿——雅可比方程，其中S（q,t）称为哈密顿主函数。从（7.27）式求出S，再由

求出，由求出，就可得出正则方程的全部积分了。这样，

正则方程的求解问题归纳为为何从哈密顿——雅可比方程（7.27）式求S的问题。（2）方程的解为简单起见，设H=E（常数），即讨论能量守恒或广义能量守恒问题的求解。哈——雅方程为

（7.28）

由于上式是包含s个q和t的变量的偏微分方程，故对t积分后得

（7.29）

式中

称为哈密顿特征函数，将

（7.27）式称为哈密顿——雅可比方程，其中S（q,t）称为52（7.30）

代入关系H=E，得

（7.31）

从（7.31）式可解得W，再代入（7.29）式，就可得到H=E体系的哈密顿——雅可比方程的解，于是正则方程的求解又归结到从（7.31）式中求特征函数W的问题了。通常采用“分离变量法”求（7.31）的解。7.5解题指导（1）习题类型及基本解法哈密顿理论的三个重力学方程（正则方程、哈密顿原理、雅可比方程）主要用于建立体系的动力学方程，这是本章习题内容和类型。