多元函数的极值与拉格朗日乘数法

关于多元函数的极值与拉格朗日乘数法第一页，共四十四页，2022年，8月28日2一、多元函数的极值和最值1.极大值和极小值的定义一元函数的极值的定义:是在一点附近将函数值比大小.定义点P0为函数的极大值点.

类似可定义极小值点和极小值.?设在点P0的某个邻域,为极大值.则称多元函数的极值与拉格朗日乘数法第二页，共四十四页，2022年，8月28日3

注

函数的极大值与极小值统称为函数的函数的极大值点与极小值点统称为函数的多元函数的极值也是局部的,

一般来说:极大值未必是函数的最大值.极小值未必是函数的最小值.有时,极值.极值点.内的值比较.是与P0的邻域极小值可能比极大值还大.多元函数的极值与拉格朗日乘数法第三页，共四十四页，2022年，8月28日4例例例

函数存在极值,在(0,0)点取极小值.在(0,0)点取极大值.(也是最大值).在(0,0)点无极值.?椭圆抛物面下半个圆锥面马鞍面在简单的情形下是容易判断的.函数函数(也是最小值).函数多元函数的极值与拉格朗日乘数法第四页，共四十四页，2022年，8月28日52.极值的必要条件证定理1(必要条件)则它在该点的偏导数必然为零:有极大值,不妨设都有多元函数的极值与拉格朗日乘数法说明一元函数有极大值,必有类似地可证第五页，共四十四页，2022年，8月28日6推广如果三元函数具有偏导数,则它在有极值的必要条件为多元函数的极值与拉格朗日乘数法均称为函数的驻点极值点仿照一元函数,凡能使一阶偏导数同时为零的点,驻点.如何判定一个驻点是否为极值点如,驻点,但不是极值点.?

注第六页，共四十四页，2022年，8月28日73.极值的充分条件定理2(充分条件)的某邻域内连续,有一阶及二阶连续偏导数,处是否取得极值的条件如下:(1)有极值,有极大值,有极小值;(2)没有极值;(3)可能有极值,也可能无极值.多元函数的极值与拉格朗日乘数法第七页，共四十四页，2022年，8月28日8求函数极值的一般步骤:第一步解方程组求出实数解,得驻点.第二步对于每一个驻点求出二阶偏导数的值第三步定出的符号,再判定是否是极值.多元函数的极值与拉格朗日乘数法第八页，共四十四页，2022年，8月28日9例

解又在点(0,0)处,

在点(a,a)处,

故故即的极值.在(0,0)无极值;在(a,a)有极大值,多元函数的极值与拉格朗日乘数法第九页，共四十四页，2022年，8月28日10解练习求由方程将方程两边分别对x,y求偏导数,由函数取极值的必要条件知,驻点为将上方程组再分别对x,y求偏导数,多元函数的极值与拉格朗日乘数法法一第十页，共四十四页，2022年，8月28日11故函数在P有极值.代入原方程,为极小值;为极大值.多元函数的极值与拉格朗日乘数法所以所以第十一页，共四十四页，2022年，8月28日12求由方程多元函数的极值与拉格朗日乘数法解练习法二

配方法

方程可变形为

于是

显然,

根号中的极大值为4,※由※可知,为极值.即为极大值,为极小值.第十二页，共四十四页，2022年，8月28日13取得.然而,如函数在个别点处的偏导数不存在,这些点当然不是驻点,如:函数不存在,但函数在点(0,0)处都具有极大值.

在研究函数的极值时,除研究函数的驻点外,还应研究偏导数不存在的点.注由极值的必要条件知,极值只可能在驻点处但也可能是极值点.在点(0,0)处的偏导数多元函数的极值与拉格朗日乘数法第十三页，共四十四页，2022年，8月28日14多元函数的极值与拉格朗日乘数法2003年考研数学(一),4分选择题已知函数f(x,y)在点(0,0)的某个邻域内连续,则(A)点(0,0)不是f(x,y)的极值点.(B)点(0,0)是f(x,y)的极大值点.(C)点(0,0)是f(x,y)的极小值点.(D)根据所给条件无法判断点(0,0)是否为f(x,y)的极值点.第十四页，共四十四页，2022年，8月28日15其中最大者即为最大值,

与一元函数相类似,可利用函数的极值来求函数的最大值和最小值.4.多元函数的最值求最值的一般方法最小者即为最小值.将函数在D内的所有嫌疑点的函数值及在D的边界上的最大值和最小值相互比较,多元函数的极值与拉格朗日乘数法第十五页，共四十四页，2022年，8月28日16解(1)求函数在D内的驻点由于所以函数在D内无极值.(2)求函数在D边界上的最值(现最值只能在边界上)围成的三角形闭域D上的最大(小)值.例多元函数的极值与拉格朗日乘数法D第十六页，共四十四页，2022年，8月28日17＊在边界线＊在边界线由于最小,由于又在端点(1,0)处,所以,最大.有驻点

函数值有单调上升.多元函数的极值与拉格朗日乘数法D第十七页，共四十四页，2022年，8月28日18＊在边界线所以,最值在端点处.由于函数单调下降,(3)比较多元函数的极值与拉格朗日乘数法D第十八页，共四十四页，2022年，8月28日19解练习此时的最大值与最小值.驻点得多元函数的极值与拉格朗日乘数法上在求4:94),(2222£+++=yxDyxyxf第十九页，共四十四页，2022年，8月28日20对自变量有附加条件的极值.其他条件.无条件极值对自变量除了限制在定义域内外,并无条件极值多元函数的极值与拉格朗日乘数法二、条件极值拉格朗日乘数法第二十页，共四十四页，2022年，8月28日21解例已知长方体长宽高的和为18,问长、宽、高各取什么值时长方体的体积最大？设长方体的长、宽、高分别为由题意长方体的体积为多元函数的极值与拉格朗日乘数法且长方体体积一定有最大值,体体积最大.故当的长、宽、高都为6时长方由于V在D内只有一个驻点,第二十一页，共四十四页，2022年，8月28日22上例的极值问题也可以看成是求三元函数的极值,要受到条件的限制,这便是一个条件极值问题.目标函数约束条件多元函数的极值与拉格朗日乘数法

有时条件极值目标函数中化为无条件极值.可通过将约束条件代入但在一般情形甚至是不可能的.

下面要介绍解决条件极值问题的一般方法:下,这样做是有困难的,拉格朗日乘数法第二十二页，共四十四页，2022年，8月28日23拉格朗日乘数法:现要寻求目标函数在约束条件下取得利用隐函数的概念与求导法

如函数(1)在由条件(1)(2)极值的必要条件.取得所求的极值,那末首先有(3)确定y是x的隐函数多元函数的极值与拉格朗日乘数法

不必将它真的解出来,则于是函数(1)即,取得所取得极值.求的极值.)),(,(xyxfz=第二十三页，共四十四页，2022年，8月28日24其中代入(4)得:由一元可导函数取得极值的必要条件知:(4)多元函数的极值与拉格朗日乘数法取得极值.在(3),(5)两式取得极值的必要条件.就是函数(1)在条件(2)下的))(,(xyxfz=第二十四页，共四十四页，2022年，8月28日25

设上述必要条件变为:(6)中的前两式的左边正是函数:(6)多元函数的极值与拉格朗日乘数法的两个一阶偏导数在的值.函数称为拉格朗日函数,称为拉格朗日乘子,是一个待定常数.第二十五页，共四十四页，2022年，8月28日26拉格朗日乘数法:极值的必要条件在条件要找函数下的可能极值点,先构造函数为某一常数,其中可由解出其中就是可能的极值点的坐标.多元函数的极值与拉格朗日乘数法第二十六页，共四十四页，2022年，8月28日27如何确定所求得的点实际问题中,

非实际问题我们这里不做进一步的讨论.拉格朗日乘数法可推广:判定.可根据问题本身的性质来的情况.自变量多于两个是否为极值点?多元函数的极值与拉格朗日乘数法第二十七页，共四十四页，2022年，8月28日28解则又是实际问题,解得唯一驻点一定存在最值.令?此题是否也可化为无条件极值做多元函数的极值与拉格朗日乘数法第二十八页，共四十四页，2022年，8月28日29解为椭球面上的一点,令则的切平面方程为在第一卦限内作椭球面的使切平面与三个坐标面所围成的例切平面,四面体体积最小,求切点坐标.多元函数的极值与拉格朗日乘数法第二十九页，共四十四页，2022年，8月28日30目标函数该切平面在三个轴上的截距各为化简为所求四面体的体积约束条件在条件下求V的最小值,多元函数的极值与拉格朗日乘数法第三十页，共四十四页，2022年，8月28日31约束条件令由目标函数多元函数的极值与拉格朗日乘数法第三十一页，共四十四页，2022年，8月28日32可得即当切点坐标为四面体的体积最小多元函数的极值与拉格朗日乘数法第三十二页，共四十四页，2022年，8月28日33练习解为简化计算,令是曲面上的点,它与已知点的距离为问题化为在下求的最小值.目标函数约束条件多元函数的极值与拉格朗日乘数法第三十三页，共四十四页，2022年，8月28日34设(1)(2)(3)(4)多元函数的极值与拉格朗日乘数法第三十四页，共四十四页，2022年，8月28日35由于问题确实存在最小值，故得唯一驻点多元函数的极值与拉格朗日乘数法还有别的简单方法吗?用几何法!第三十五页，共四十四页，2022年，8月28日36练习解

为此作拉格朗日乘函数:上的最大值与最小值.在圆内的可能的极值点;在圆上的最大、最小值.多元函数的极值与拉格朗日乘数法9)2()2(2222£-+-+=yxyxz在圆求函数第三十六页，共四十四页，2022年，8月28日37最大值为最小值为多元函数的极值与拉格朗日乘数法]9)2()2[(),(2222--+-++=yxyxyxLl22yxz+=函数上，在圆9)2()2(22£-+-yx第三十七页，共四十四页，2022年，8月28日38多元函数的极值与拉格朗日乘数法2002年考研数学(一),7分

设有一小山,取它的底面所在的平面为xOy坐标面,其底部所占的区域为

小山的高度函数为(1)设M(x0,y0)为区域D上一点,问h(x,y)在该点沿平面上什么方向的方向导数最大?

若记此方向导数的最大值为g(x0,y0),试写出g(x0,y0)的表达式.(2)现欲利用此小山开展攀岩活动,为此需要在山脚寻找一上山坡度最大的点作为攀登的起点.是说,要在D的边界线上找出使(1)中的g(x,y)达到最大值的点.试确定攀岩起点的位置.也就练习第三十八页，共四十四页，2022年，8月28日39多元函数的极值与拉格朗日乘数法解(1)由梯度的几何意义知,方向的方向导数最大,h(x,y)在