高中数学选修1-1课件：最大值、最小值问题(一)

2．2最大值、最小值问题(一)

第四章导数应用2．2最大值、最小值问题(一)第四章导数应用学习导航

第四章导数应用学习导航第四章导数应用1.最大值点与最小值点函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大值点x0指的是：函数在这个区间上所有点的函数值都___________f(x0)．函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最小值点x0指的是：函数在这个区间上所有点的函数值都___________f(x0)．不超过不低于1.最大值点与最小值点不超过不低于2.最大值与最小值最大(小)值或者在极大(小)值点取得,或者在区间的端点取得.因此，要想求函数的最大(小)值，应首先求出函数的极大(小)值点，然后将所有极大(小)值点与区间端点的函数值进行比较，其中最大(小)的值即为函数的最大(小)值．函数的最大值和最小值统称为___________．最值2.最大值与最小值最值3.函数的最大值与最小值函数f(x)在闭区间[a，b]上的图像是一条连续不间断的曲线,则该函数在[a，b]上一定能够取得最大值与最小值，函数的最值必在端点处或极值点处取得．注意：在开区间(a，b)上连续函数y＝f(x)的最值有如下几种情况：图①中的函数y＝f(x)在开区间(a，b)上有最大值无最小值;图②中的函数y＝f(x)在开区间(a，b)上有最小值无最大值;图③中的函数y＝f(x)在开区间(a，b)上既无最大值也无最小值;图④中的函数y＝f(x)在开区间(a，b)上既有最大值也有最小值.3.函数的最大值与最小值4．函数的最值与极值的区别和联系(1)函数的最值是一个整体性的概念．函数极值是在局部上对函数值的比较，具有相对性；而函数的最值则是表示函数在整个定义域上的情况，是对整个区间上的函数值的比较．(2)函数在一个闭区间上若存在最大值或最小值，则最大值或最小值只能各有一个，具有唯一性，而极大值和极小值可能多于一个，也可能没有，例如：常数函数既没有极大值也没有极小值．(3)极值只能在区间内取得，最值则可以在端点处取得，有极值的不一定有最值，有最值的也未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点处取得必定是极值．4．函数的最值与极值的区别和联系1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数的最值一定是极值，而极值不一定是最值(

)(2)函数的最大值大于最小值，函数的极大值大于极小值(

)(3)单调函数在闭区间上一定有最值，一定无极值(

)(4)若函数存在最大(小)值，则最大(小)值唯一(

)××√√1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)××√√AA高中数学选修1-1课件：最大值、最小值问题(一)高中数学选修1-1课件：最大值、最小值问题(一)高中数学选修1-1课件：最大值、最小值问题(一)求函数在闭区间上的最值

求函数f(x)＝－x4＋2x2＋3，x∈[－3，2]的最值．[解]法一：f′(x)＝－4x3＋4x，令f′(x)＝－4x(x＋1)(x－1)＝0，得x＝－1，x＝0，x＝1.当x变化时，f′(x)及f(x)的变化情况如下表：求函数在闭区间上的最值求函数f(x)∴当x＝－3时，f(x)取最小值－60；当x＝－1或x＝1时，f(x)取最大值4.法二：∵f(x)＝－x4＋2x2＋3，∴f′(x)＝－4x3＋4x，∴当x＝－3时，f(x)取最小值－60；令f′(x)＝0，即－4x3＋4x＝0.解得：x＝－1或x＝0或x＝1.又f(－3)＝－60，f(－1)＝4，f(0)＝3，f(1)＝4，f(2)＝－5.所以当x＝－3时，f(x)有最小值－60.当x＝±1时，f(x)有最大值4.方法归纳求一个函数在闭区间[a，b]上的最值,一般是先求出f(x)在(a,b)内所有极值和两个端点值f(a),f(b)，再比较各极值与端点值即可得到函数在[a，b]上的最值．令f′(x)＝0，即－4x3＋4x＝0.高中数学选修1-1课件：最大值、最小值问题(一)高中数学选修1-1课件：最大值、最小值问题(一)求含参数函数的最值(2013·高考浙江卷改编)函数f(x)＝2x3－3(a＋1)x2＋6ax(|a|>1)，求f(x)在闭区间[0，2|a|]上的最小值．[解]记g(a)为f(x)在闭区间[0，2|a|]上的最小值．f′(x)＝6x2－6(a＋1)x＋6a＝6(x－1)(x－a)．令f′(x)＝0，得x1＝1，x2＝a.当a>1时，求含参数函数的最值(2013·高考高中数学选修1-1课件：最大值、最小值问题(一)高中数学选修1-1课件：最大值、最小值问题(一)方法归纳求含参数函数最值的步骤是：先求导，令导数等于0,求得方程的根，方程的根都是含有参数的，然后对参数进行分类讨论，参数的取值范围不同时，函数的最值也可能有所不同.方法归纳高中数学选修1-1课件：最大值、最小值问题(一)高中数学选修1-1课件：最大值、最小值问题(一)高中数学选修1-1课件：最大值、最小值问题(一)

已知函数f(x)＝ax3－6ax2＋b，x∈[－1，2]的最大值为3，最小值为－29，求a，b的值．[解]由题设知a≠0，否则f(x)＝b为常函数，与题设矛盾.根据导数公式表和求导法则可得，f′(x)＝3ax2－12ax＝3ax(x－4)．令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝4(舍去)．①当a＞0时，列表如下：已知函数f(x)＝ax3－6a高中数学选修1-1课件：最大值、最小值问题(一)[感悟提高]此类问题关键在于确定最值，然后列方程(组)求出参数，但参数的值往往对最值点有影响，故常需

分

类讨论．[感悟提高]此类问题关键在于确定最值，然后列方程(组)求高中数学选修1-1课件：最大值、最小值问题(一)高中数学选修1-1课件：最大值、最小值问题(一)[感悟提高]本例由于f(x)的解析式中含绝对值，首先对x进行分类讨论，以去掉绝对值号,然后再对参数a进行分类讨论,两次分类讨论的对象和出发点不同．[感悟提高]本例由于f(x)的解析式中含绝对值，首先对

已知函数f(x)＝x3－3ax2＋2bx在x＝1处有极小值－1.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)求函数f(x)在闭区间[－2，2]上的最大值和最小值．已知函数f(x)＝x3－3ax高中数学选修1-1课件：最大值、最小值问题(一)(2)由(1)知，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：由表中数据知，函数f(x)在x＝2时,取得最大值2；在x＝－2时,取得最小值－10.(2)由(1)知，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况[感悟提高]本题结合函数极值的求法，用待定系数法求出函数的解析式，再根据导数的正负确定函数的单调区间．在求最值时切忌不要简单地在极值中找出最值作为结果，一定要考虑函数在端点处取得的函数值的大小．[感悟提高]本题结合函数极值的求法，用待定系数法求出2．2最大值、最小值问题(一)

第四章导数应用2．2最大值、最小值问题(一)第四章导数应用学习导航

第四章导数应用学习导航第四章导数应用1.最大值点与最小值点函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大值点x0指的是：函数在这个区间上所有点的函数值都___________f(x0)．函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最小值点x0指的是：函数在这个区间上所有点的函数值都___________f(x0)．不超过不低于1.最大值点与最小值点不超过不低于2.最大值与最小值最大(小)值或者在极大(小)值点取得,或者在区间的端点取得.因此，要想求函数的最大(小)值，应首先求出函数的极大(小)值点，然后将所有极大(小)值点与区间端点的函数值进行比较，其中最大(小)的值即为函数的最大(小)值．函数的最大值和最小值统称为___________．最值2.最大值与最小值最值3.函数的最大值与最小值函数f(x)在闭区间[a，b]上的图像是一条连续不间断的曲线,则该函数在[a，b]上一定能够取得最大值与最小值，函数的最值必在端点处或极值点处取得．注意：在开区间(a，b)上连续函数y＝f(x)的最值有如下几种情况：图①中的函数y＝f(x)在开区间(a，b)上有最大值无最小值;图②中的函数y＝f(x)在开区间(a，b)上有最小值无最大值;图③中的函数y＝f(x)在开区间(a，b)上既无最大值也无最小值;图④中的函数y＝f(x)在开区间(a，b)上既有最大值也有最小值.3.函数的最大值与最小值4．函数的最值与极值的区别和联系(1)函数的最值是一个整体性的概念．函数极值是在局部上对函数值的比较，具有相对性；而函数的最值则是表示函数在整个定义域上的情况，是对整个区间上的函数值的比较．(2)函数在一个闭区间上若存在最大值或最小值，则最大值或最小值只能各有一个，具有唯一性，而极大值和极小值可能多于一个，也可能没有，例如：常数函数既没有极大值也没有极小值．(3)极值只能在区间内取得，最值则可以在端点处取得，有极值的不一定有最值，有最值的也未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点处取得必定是极值．4．函数的最值与极值的区别和联系1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数的最值一定是极值，而极值不一定是最值(

)(2)函数的最大值大于最小值，函数的极大值大于极小值(

)(3)单调函数在闭区间上一定有最值，一定无极值(

)(4)若函数存在最大(小)值，则最大(小)值唯一(

)××√√1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)××√√AA高中数学选修1-1课件：最大值、最小值问题(一)高中数学选修1-1课件：最大值、最小值问题(一)高中数学选修1-1课件：最大值、最小值问题(一)求函数在闭区间上的最值

求函数f(x)＝－x4＋2x2＋3，x∈[－3，2]的最值．[解]法一：f′(x)＝－4x3＋4x，令f′(x)＝－4x(x＋1)(x－1)＝0，得x＝－1，x＝0，x＝1.当x变化时，f′(x)及f(x)的变化情况如下表：求函数在闭区间上的最值求函数f(x)∴当x＝－3时，f(x)取最小值－60；当x＝－1或x＝1时，f(x)取最大值4.法二：∵f(x)＝－x4＋2x2＋3，∴f′(x)＝－4x3＋4x，∴当x＝－3时，f(x)取最小值－60；令f′(x)＝0，即－4x3＋4x＝0.解得：x＝－1或x＝0或x＝1.又f(－3)＝－60，f(－1)＝4，f(0)＝3，f(1)＝4，f(2)＝－5.所以当x＝－3时，f(x)有最小值－60.当x＝±1时，f(x)有最大值4.方法归纳求一个函数在闭区间[a，b]上的最值,一般是先求出f(x)在(a,b)内所有极值和两个端点值f(a),f(b)，再比较各极值与端点值即可得到函数在[a，b]上的最值．令f′(x)＝0，即－4x3＋4x＝0.高中数学选修1-1课件：最大值、最小值问题(一)高中数学选修1-1课件：最大值、最小值问题(一)求含参数函数的最值(2013·高考浙江卷改编)函数f(x)＝2x3－3(a＋1)x2＋6ax(|a|>1)，求f(x)在闭区间[0，2|a|]上的最小值．[解]记g(a)为f(x)在闭区间[0，2|a|]上的最小值．f′(x)＝6x2－6(a＋1)x＋6a＝6(x－1)(x－a)．令f′(x)＝0，得x1＝1，x2＝a.当a>1时，求含参数函数的最值(2013·高考高中数学选修1-1课件：最大值、最小值问题(一)高中数学选修1-1课件：最大值、最小值问题(一)方法归纳求含参数函数最值的步骤是：先求导，令导数等于0,求得方程的根，方程的根都是含有参数的，然后对参数进行分类讨论，参数的取值范围不同时，函数的最值也可能有所不同.方法归纳高中数学选修1-1课件：最大值、最小值问题(一)高中数学选修1-1课件：最大值、最小值问题(一)高中数学选修1-1课件：最大值、最小值问题(一)

已知函数f(x)＝ax3－6ax2＋b，x∈[－1，2]的最大值为3，最小值为－29，求a，b的值．[解]由题设知a≠0，否则f(x)＝b为常函数，与题设矛盾.根据导数公式表和求导法则可得，f′(x)＝3ax2－12ax＝3ax(x－4)．令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝4(舍去)．①当a＞0时，列表如下：已知函数f(x)＝ax3－6a高中数学选