角的概念的推广(课件)

角的概念扩展角的概念扩展1角的概念初中是如何定义角的？从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形.

这种概念的优点是形象、直观、容易理解，但它是从图形形状来定义角，因此角的范围是[0º,360º)，这种定义称为静态定义，其弊端在于“狭隘”.角的概念初中是如何定义角的？2

生活中很多实例会不在该范围。体操运动员转体720º，跳水运动员向内、向外转体1080º；经过1小时，时针、分针、秒针各转了多少度？这些例子不仅不在范围[0º,360º)，而且方向不同，有必要将角的概念推广到任意角，想想用什么办法才能推广到任意角？关键是用运动的观点来看待角的变化。生活中很多实例会不在该范围。31．角的概念的推广⑴“旋转”形成角一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O按逆时针方向旋转到另一位置OB，就形成角α．旋转开始时的射线OA叫做角α的始边，旋转终止的射线OB叫做角α的终边，射线的端点O叫做角α的顶点．1．角的概念的推广⑴“旋转”形成角431269快了慢了正角负角31269快了慢了正角负角5⑵．“正角”与“负角”、“0º角”我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角，把按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角，如图，以OA为始边的角α=210°，β=－150°

⑵．“正角”与“负角”、“0º角”631269OAB3126931269OAB312697

特别地，当一条射线没有作任何旋转时，我们也认为这时形成了一个角，并把这个角叫做零度角（0º）．角的记法：角α或可以简记成∠α

或简记成α

.特别地，当一条射线没有作任何旋转时，我们也认8⑶角的概念扩展的意义：用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了①角有正负之分;如：=210,

=150,

=660.②角可以任意大;

实例：体操动作：旋转2周（360×2=720）3周（360×3=1080）③还有零角,一条射线，没有旋转.⑶角的概念扩展的意义：用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩9

角的概念推广以后，它包括任意大小的正角、负角和零角．要注意，正角和负角是表示具有相反意义的旋转量，它的正负规定纯属于习惯，就好象与正数、负数的规定一样，零角无正负，就好象数零无正负一样．角的概念推广以后，它包括任意大小的正角、负角10用旋转来描述角，需要注意三个要素（旋转中心、旋转方向和旋转量）（2）旋转方向：旋转变换的方向分为逆时针和顺时针两种，这是一对意义相反的量，（1）旋转中心：作为角的顶点.用旋转来描述角，需要注意三个要素（旋转中心、旋转方向和旋转量11（3）旋转量：当旋转超过一周时，旋转量即超过360º，角度的绝对值可大于360º.于是就会出现720º，－540º等角度.（3）旋转量：12各角和的旋转量等于各角旋转量的和.OABC-300900射线OA绕端点O旋转900到射线OB,接着再旋转-300到OC求角AOC.600AOC=AOB+BOC=900+(-300)=600各角和的旋转量等于各角旋转量的和.OABC-300900射线132．“象限角”

为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角。角的顶点重合于坐标原点，角的始边重合于x轴的正半轴，这样一来，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角（角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限）

2．“象限角”为了研究方便，我们往往在平面直14例、作出下列各角并判断它们分别是第几象限的角：

（1）70°（2）210°（3）-60°例、作出下列各角并判断它们分别是第几象限的角：（115OXY

70°第一象限角哦！210

°第三象限角哦！XYOX-60°第四象限角哦！OYOXY70°第一象限角哦！210°第三象限角哦16画出30，390，330角，观察它们的终边有什么特点.画出30，390，330角，观察它们的终边有什么特点17xy

o3003900-33003900=300+3600-3300=300-3600=300+1x3600=300

-1x3600300=300+0x3600300+2x3600,300－2x3600

300+3x3600,300－3x3600

…,

…,与300终边相同的角的一般形式为300＋K·3600，K∈Zxyo3003900-33003900=300+3600183．终边相同的角

所有与终边相同的角连同在内可以构成一个集合：{β|β=α+k·360º}(k∈Z)

即：任何一个与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和3．终边相同的角所有与终边相同的角连同在19注意以下四点：①k∈Z；k的两层含义：

②

是任意角；③k·360º与之间是“+”号，如k·360º－30º,应看成k·360º+(－30º)；④终边相同的角不一定相等，但相等的角，终边一定相同，终边相同的角有无数多个，它们相差360º的整数倍.注意以下四点：20例1.在0º到360º范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它是哪个象限的角.(1)－120º；(2)640º；(3)－950º12′.解：⑴∵－120º=－360º+240º，

∴240º的角与－120º的角终边相同，它是第三象限角．⑵∵640º=360º+280º，

∴280º的角与640º的角终边相同，它是第四象限角．例1.在0º到360º范围内，找出与下列各角终边相同的角21⑶∵－950º12’=－3×360º+129º48’，

∴129º48’的角与－950º12’的角终边相同，它是第二象限角．⑶∵－950º12’=－3×360º+129º48’，22例2.写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中在－360º~720º间的角写出来：

(1)60º；(2)－21º；(3)363º14′.解：(1)S={β|β=k·360º+60º(k∈Z)},

S中在－360º～720º间的角是－1×360º+60º=－280º；

0×360º+60º=60º；

1×360º+60º=420º．例2.写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中在－323(2)S={β|β=k·360º－21º(k∈Z)}

S中在－360º～720º间的角是

0×360º－21º=－21º；

1×360º－21º=339º；

2×360º－21º=699º．(3)β|β=k·360º+363º14’(k∈Z)}S中在－360º～720º间的角是－2×360º+363º14’=－356º46’；－1×360º+363º14’=3º14’；

0×360º+363º14’=363º14’．(2)S={β|β=k·360º－21º(k∈Z)}24终边落在坐标轴上的情形xyo0090018002700

+Kx3600+Kx3600+Kx3600+Kx3600或3600＋KX36004“终边在坐标轴上的角”

Kx3600表示转整圈的倍数Kx3600表示转半圈的倍数Kx3600表示转圈的倍数终边落在坐标轴上的情形xyo0090018002700+K25终边落在坐标轴上的情形xyo0090018002700

+Kx3600+Kx3600+Kx3600+Kx3600或3600＋KX36005“终边落在不同象限的角”终边落在坐标轴上的情形xyo0090018002700+K26XYO例：写出终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合．XYOXYO例：写出终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合．XYO27如果是第一象限角,那么是第几象限角?6“八卦图”如果是第一象限角,那么是第几象限角?6“八28课堂练习1．锐角是第几象限的角？第一象限的角是否都是锐角？小于90º的角是锐角吗？区间(0º,90º)内的角是锐角吗？答：锐角是第一象限角；第一象限角不一定是锐角；小于90º的角可能是零角或负角，故它不一定是锐角；区间(0º,90º)内的角是锐角．课堂练习1．锐角是第几象限的角？第一象限的角是否都是锐角？292．已知角的顶点与坐标系原点重合，始边落在x轴的正半轴上，作出下列各角，并指出它们是哪个象限的角？(1)420º，(2)－75º，(3)855º，(4)－510º．答：(1)第一象限角；

(2)第四象限角，

(3)第二象限角，

(4)第三象限角.2．已知角的顶点与坐标系原点重合，始边落在x轴的正半轴上，作303、已知α,β角的终边相同，那么α－β的终边在（）

Ax轴的非负半轴上By轴的非负半轴上

Cx轴的非正半轴上Dy轴的非正半轴上A4、终边与坐标轴重合的角的集合是（）

A{β|β=k·360º(k∈Z)}B{β|β=k·180º(k∈Z)}C{β|β=k·90º(k∈Z)}D{β|β=k·180º+90º(k∈Z)}C3、已知α,β角的终边相同，那么α－β的终边在（315、已知角2α的终边在x轴的上方，那么α是()A第一象限角B第一、二象限角

C第一、三象限角D第一、四象限角C6、若α是第四象限角，则180º－α是（）

A第一象限角B第二象限角

C第三象限角D第四象限角C5、已知角2α的终边在x轴的上方，那么α是(327、在直角坐标系中，若α与β终边互相垂直，那么α与β之间的关系是（）

A.β=α+90o

Bβ=α±90oCβ=k·360o+90o+α,k∈ZDβ=k·360o±90o+α,k∈ZD8、若90º<β<α<135º，则α－β的范围是__________，α+β的范围是___________;(0º,45º)(180º,270º)7、在直角坐标系中，若α与β终边互相垂直，那么α与β之间的关339、若β的终边与60º角的终边相同，那么在[0º,360º]范围内，终边与角的终边相同的角为______________;解：β=k·360º+60º，k∈Z.所以=k·120º+20º，k∈Z.当k=0时，得角为20º，当k=1时，得角为140º，当k=2时，得角为260º.9、若β的终边与60º角的终边相同，那么在[0º,360º]34角的概念扩展角的概念扩展35角的概念初中是如何定义角的？从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形.

这种概念的优点是形象、直观、容易理解，但它是从图形形状来定义角，因此角的范围是[0º,360º)，这种定义称为静态定义，其弊端在于“狭隘”.角的概念初中是如何定义角的？36

生活中很多实例会不在该范围。体操运动员转体720º，跳水运动员向内、向外转体1080º；经过1小时，时针、分针、秒针各转了多少度？这些例子不仅不在范围[0º,360º)，而且方向不同，有必要将角的概念推广到任意角，想想用什么办法才能推广到任意角？关键是用运动的观点来看待角的变化。生活中很多实例会不在该范围。371．角的概念的推广⑴“旋转”形成角一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O按逆时针方向旋转到另一位置OB，就形成角α．旋转开始时的射线OA叫做角α的始边，旋转终止的射线OB叫做角α的终边，射线的端点O叫做角α的顶点．1．角的概念的推广⑴“旋转”形成角3831269快了慢了正角负角31269快了慢了正角负角39⑵．“正角”与“负角”、“0º角”我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角，把按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角，如图，以OA为始边的角α=210°，β=－150°

⑵．“正角”与“负角”、“0º角”4031269OAB3126931269OAB3126941

特别地，当一条射线没有作任何旋转时，我们也认为这时形成了一个角，并把这个角叫做零度角（0º）．角的记法：角α或可以简记成∠α

或简记成α

.特别地，当一条射线没有作任何旋转时，我们也认42⑶角的概念扩展的意义：用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了①角有正负之分;如：=210,

=150,

=660.②角可以任意大;

实例：体操动作：旋转2周（360×2=720）3周（360×3=1080）③还有零角,一条射线，没有旋转.⑶角的概念扩展的意义：用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩43

角的概念推广以后，它包括任意大小的正角、负角和零角．要注意，正角和负角是表示具有相反意义的旋转量，它的正负规定纯属于习惯，就好象与正数、负数的规定一样，零角无正负，就好象数零无正负一样．角的概念推广以后，它包括任意大小的正角、负角44用旋转来描述角，需要注意三个要素（旋转中心、旋转方向和旋转量）（2）旋转方向：旋转变换的方向分为逆时针和顺时针两种，这是一对意义相反的量，（1）旋转中心：作为角的顶点.用旋转来描述角，需要注意三个要素（旋转中心、旋转方向和旋转量45（3）旋转量：当旋转超过一周时，旋转量即超过360º，角度的绝对值可大于360º.于是就会出现720º，－540º等角度.（3）旋转量：46各角和的旋转量等于各角旋转量的和.OABC-300900射线OA绕端点O旋转900到射线OB,接着再旋转-300到OC求角AOC.600AOC=AOB+BOC=900+(-300)=600各角和的旋转量等于各角旋转量的和.OABC-300900射线472．“象限角”

为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角。角的顶点重合于坐标原点，角的始边重合于x轴的正半轴，这样一来，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角（角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限）

2．“象限角”为了研究方便，我们往往在平面直48例、作出下列各角并判断它们分别是第几象限的角：

（1）70°（2）210°（3）-60°例、作出下列各角并判断它们分别是第几象限的角：（149OXY

70°第一象限角哦！210

°第三象限角哦！XYOX-60°第四象限角哦！OYOXY70°第一象限角哦！210°第三象限角哦50画出30，390，330角，观察它们的终边有什么特点.画出30，390，330角，观察它们的终边有什么特点51xy

o3003900-33003900=300+3600-3300=300-3600=300+1x3600=300

-1x3600300=300+0x3600300+2x3600,300－2x3600

300+3x3600,300－3x3600

…,

…,与300终边相同的角的一般形式为300＋K·3600，K∈Zxyo3003900-33003900=300+3600523．终边相同的角

所有与终边相同的角连同在内可以构成一个集合：{β|β=α+k·360º}(k∈Z)

即：任何一个与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和3．终边相同的角所有与终边相同的角连同在53注意以下四点：①k∈Z；k的两层含义：

②

是任意角；③k·360º与之间是“+”号，如k·360º－30º,应看成k·360º+(－30º)；④终边相同的角不一定相等，但相等的角，终边一定相同，终边相同的角有无数多个，它们相差360º的整数倍.注意以下四点：54例1.在0º到360º范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它是哪个象限的角.(1)－120º；(2)640º；(3)－950º12′.解：⑴∵－120º=－360º+240º，

∴240º的角与－120º的角终边相同，它是第三象限角．⑵∵640º=360º+280º，

∴280º的角与640º的角终边相同，它是第四象限角．例1.在0º到360º范围内，找出与下列各角终边相同的角55⑶∵－950º12’=－3×360º+129º48’，

∴129º48’的角与－950º12’的角终边相同，它是第二象限角．⑶∵－950º12’=－3×360º+129º48’，56例2.写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中在－360º~720º间的角写出来：

(1)60º；(2)－21º；(3)363º14′.解：(1)S={β|β=k·360º+60º(k∈Z)},

S中在－360º～720º间的角是－1×360º+60º=－280º；

0×360º+60º=60º；

1×360º+60º=420º．例2.写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中在－357(2)S={β|β=k·360º－21º(k∈Z)}

S中在－360º～720º间的角是

0×360º－21º=－21º；

1×360º－21º=339º；

2×360º－21º=699º．(3)β|β=k·360º+363º14’(k∈Z)}S中在－360º～720º间的角是－2×360º+363º14’=－356º46’；－1×360º+363º14’=3º14’；

0×360º+363º14’=363º14’．(2)S={β|β=k·360º－21º(k∈Z)}58终边落在坐标轴上的情形xyo0090018002700

+Kx3600+Kx3600+Kx3600+Kx3600或3600＋KX36004“终边在坐标轴上的角”

Kx3600表示转整圈的倍数Kx3600表示转半圈的倍数Kx3600表示转圈的倍数终边落在坐标轴上的情形xyo0090018002700+K59终边落在坐标轴上的情形xyo0090018002700

+Kx3600+Kx3600+Kx3600+Kx3600或3600＋KX36005“终边落在不同象限的角”终边落在坐标轴上的情形xyo0090018002700+K60XYO例：写出终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合．XYOXYO例：写出终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合．XYO61如果是第一象限角,那么是第几象限角?6“八卦图”如果是第一象限角,那么是第几象限角?6“八62课堂练习1．锐角是第几象限的角？第一象限的角是否都是锐角？小于90º的角是锐角吗？区间(0º,90º)内的角是锐角吗？答：锐角是第一象限角；第一象限角不一定是锐角；小于90º的角可能是零角或负角，故它不一定是锐角；区间(0º,90º)内的角是锐角．课堂练习1．锐角是第几象限的角？第一象限的角是否都是锐角？632．已知角的顶点与坐标系原点重合，始边落在x轴的正半轴上，作出下列各角，并指出它们是哪个象限的角？(1)420º，(2)－75º，(3)855º，(4)－510º．答：(1)第一象限角；

(2)第四象限角，

(3)第二象限角，