复变函数教案-解析函数

PAGEPAGE7第 7 讲授课题目（章、节）

1解析函数的概念1、理解复变函数导数、微分和解析函数的概念教学 2、掌握连续、可导、可微、解析之间的关系目3、熟练应用求导法则的4、能够利用定义来判别一些函数的解析性与要求1、导数、微分、解析的定义2、可导、连续、可微、解析之间的关系3、复变函数的求导法则4、函数解析性的判别主要知识点重点为复变函数微分、解析的定义重难点是函数解析性的判别点和难点教学内容解析函数是复变函数主要的研究对象。一个函数如果是解析函数，它就具有非常好的性质，在理论中也有广泛的应用。解析函数是复变函数的重要部分，也是以后学习的基础。一．复变函数的导数和微分1.导数的定义

§1.解析函数的概念定义：设函数w=f(z)D,z0

Dz0

＋zD果极限lim

f(z0

0

)f(z)在

f(z)在zz0 z的导数，记作dw

f(z

0 0)f)

lim 0

（2.1.1）0 dz

zz0

z0 z也就是说，对于任意给定的>0，相应地有一个()>0,使得当0|z|时，有)| 0 z

f0

)|。（备注：将定义用数学语言叙述出来，0, 0|z|时，有

f(z0

0z

f0

)|）注：z0

z zz0

z z的方0式无关，这比一元实变函数的类似限制要严格得多。f(z)Df(z)D1)的导数（分析：目前对于导数只讲了定义，因此利用定义判别）f

lim

z0 z z0 z z0故(z2)2z2)x2是否可导？（分析：要判断一个函数可导，还是利用定义判别。如果z z沿着不同的路径趋zxy1，）

lim

f(zz)f(z)

lim

(xx)2(yy)ix2yi

x2yiz0z z0

z0 z

z0xyizxz，则有

x

limx

1；z0xyi x0xzyz，则有

x

2；z0xyi y0yif(zx2yi2.可导与连续定理f(z)zzf(z)zz0 0 0 0处可导。（分析limf(zz0

z)f(z0

)即可。从可导的定义入手。对于定理的后一部分，举个反例。）z0,0，使得当0z时，有0f(z0z)f(z0)f(zz

),(z)

f(z0z)f(z0)f(z)z 0则lim(z0,因为f(zz0

z)f(z0

)f(z0

)z(z)z,所以limf(zz0

z)f(z)0即f(z)在z连续。 [证毕]0反例：f(z)x2yi21、求导法则由于复变函数中导数的定义与一元实变函数中导数的定义在形式上完全一致,并且复变函数中的极限运算法则也和实变函数中一样,因而实变函数中的求导法则都可以不加更改地推广到复变函数中来,且证明方法也是相同的。求导公式与法则：(c)0, .(zn

nzn1, .(3) f(z)g(z)f(z)g(z).(4)

f(z)g(z)

f(z)g(z)f(z)g(z).f(z) (5) g(z)

f(z)g(z)f(z)g(z)g2(z)

. (g(z)0)(6) f[g(z)]f(w)g(z). wg(z)(7)

f(z)

1 , 其中wf(z)与z(w)是两个互为反函数的单值函数, 且(w)0(w)4.微分的概念定义：设函数wf(z)在z可导，则wf(z z)f(z)f(z)z(z)z，0 0 0 0式中lim(z0(z)zzf(zz0

z是函数wf(z的改变量f(zz称为函数wf(zz的微分，记作dwf(zz0 0 0zf(zzf(z)z时有0 0dwdzf(z0

zz，所以dwf(z0

)zf(z0

)dz，即f(z0

)dz

zz0f(zDf(zwf(zz可0导与在z可微是等价的。0二、解析函数的概念1.解析函数的定义f(zzzf(zzf(z)0 0 0Df(zDf(zD内的一个解析函数（全纯函数或正则函数。2.奇点的定义f(zz0z0f(z的奇点。根据定义可知：函数在区域内解析与在区域内可导是等价的。但是函数在一函数在一点处解析比在该点处可导的要求要高得多。3f(zz2g(z)x2yi和h(zz2的解析性。（分析1f(z)z22g(z)x2yi在复平面内处处不可导，因此此函数在复平面内处处不解h析。对函数h(z)z2，先计算出z

，然后求极限，判断是否可导。）解：12f(zz2g(zx2yi在复平面内处处不解析。下面讨论h(z)z2的解析性h(z0

z)h(z0

)

z2z20

(z z)(z0 0

z)

z0z0z

z

z,z z

z

0z

0,

h(z0

z)h(z)0

0.0 z0 zz 0,令zz沿直线yy k(xx)趋于z,0 0 0 0 0z

x

1iy x1ikz xiy 1iy 1ikxz 1ki h(z

z)h(z)由于k的任意性，z

不趋于一个确定的值，所以lim 0 不1ki z0 z0存在。因此h(z)z2z0处可导，而在其他点都不可导，根据定义，他在复平0面内处处不解析。4研究函数w1的解析性z（分析：对于此函数，可直接求导，但要保证分母不为零。）解：因为w1z0处处可导，且dw

，所以w在复平面内除z dz z2z0z0定理Df(zg(z的和、差、积、商（除去分母为零的点）D内解析。设函数hg(zzDwf(hh平面上的区域G内解析，如果对D内的每个点z，函数g(z)的对应值h都属于G，那么复合函数w f[g(zD内解析。以上定理的证明，可利用求导法则.根据定理可知:所有多项式在复平面内是处处解析的。P(z)在不含分母为零的点的区域内是解