复变函数与积分变换第八章教案

复变函数教案周次2教学目的

课题4.1傅里叶变换1、理解傅里叶变换的概念2、掌握复数的代数运算复数的代数运算例证法、启发诱导法、讲授法

课时 课 型 教 具2 新 授 教 材教 学过 程一、引入傅立叶变换是数字信号处理领域一种很重要的算法。傅立叶原理表明：任何连续测量的时序或信号，都可以表示为不同频率的正弦波信号的无限叠加。而根据该原理创立的傅2‘立叶变换算法利用直接测量到的原始信号，以累加方式来计算该信号中不同正弦波信号的分析的频域信号（信号的频谱，可以利用一些工具对这些频域信号进行处理、加工。二、讲授新课1、傅里叶级数如果我们将基本三角函数中的函数，任意取n个组合，则我们可以得到一个较复杂4

11的函数。例如图1（a）是两个函数的组合

3 5 ；图1f(x)

4

111（b）是三个函数的组合

3 5 7 。如果我们取更多的函数组合，甚至全体的组合，将会得到更复杂的函数或我们期望的函数。T

f(t)Tf我们能否将它表示成简单的三角函数（有限个或无限个）之和呢？即能否将T如下形式：

(t)分解成0f(t)a0T 2其中

tbn 0 n1

sinnwt)0w 20 T2T

f

tn0,12,n TT22T2

Tf

0nn TT T 02如果能实现这种分解，那么对许多复杂的函数就可以通过简单的三角函数来研究其性质了。上述问题的回答是肯定的，由于正弦函数与余弦函数可以统一地由指数函数表示出来，因此我们可以得到另外一种更为简洁的形式0f(t)=cejnw）0Tnc 1T

nf

0jnwd，n0,1,2,)0①n TT 2①称为傅里叶级数的指数形式。傅里叶级数有着非常明确的物理含义。在傅里叶级数的三角形式中，基频为

w0，频率为基频的倍数

nw0。n

cn为周期函数

f(t)T 的离散频谱，

cn为离散振幅谱，Fnw=c

argcn为离散相位谱。为了进一步明确

cn与频率

nw0的对应关系，常常记 0 n例1求以T为周期的函数

f

0，-T2t0T 2,0tT2的离散频谱和它的傅里叶级数的复指数形式。解：令w 2,0 T1T当n 时，c F00

2fTT 21T

()

w10 1T2fTT T

(tdT

fT T

2fT0

(td2 21T 1T 1 T2fT0 T

(td

22dt 21T0 T 0当n当n时,c Fnwn 01TT2T2f()Tjnw01T1T2T0f()Tjnw01T1TT2f()jnw0TT20T2f()TjnwT022ejnw000T2ejnwj0ejnwT0210njn为偶数ejn1jncosnn12jn为奇数fTf(t)1T21ej2n1w0n2n振幅谱为Fnw0

02,4,2 nw1,3,

0,n0,2,4,,n1,3,5,2n相位谱为2、博氏积分与博氏变换

1,3,5,2通过前面的讨论，我们知道了一个周期函数可以展开为傅里叶级数，那么，对非周期函数是否同样适合？令T 时，由周期函数的傅里叶级数来推倒非周期函数的傅里叶积分公式。ft limft即 T T

，在按照积分定义，在一定条件下，可整理成1ft f 2

jwd

ejwtdw②则②式为傅里叶积分公式，简称博氏积分。从②式出发，令Fw则有ft 12

fte③Fwejwtdw④Fw ft其中③式为傅里叶变换（简称傅氏变换函数 称为 的像函数，记为Fx Ffx；称④为傅里叶逆函数（简称傅氏逆变换）即傅氏积分，其中，函数ft F称为

的像原函数，记为

fx F1Fx。Fw与傅氏级数一样，傅氏变换也有明确的物理含义。 为频谱密度函数（简称频Fw谱或者连续频谱

w为振幅， 为相位谱。由于傅氏变换这种特殊的物理含义，因而在工程实际中得到广泛的应用。1,tft 00,t例2求矩阵脉冲函数 的傅氏变换以及傅氏积分表达式解：Ffx Fw ft

jwtdt1e

1e

ejwjw jw2sinw2sinw振幅谱为

w wFw 2sinw相位谱为

2n 2n10, warFw n0,12,2n,

2n2wf再根据④可得到傅氏逆变换，即1

的傅氏积分表达式为ft Fw21 sinw= 2 ejwtdw2 wejwt=coswt原式=1

2sin

coswtdw2 w=1 2sin

coswtdw+

2sin

wtdw2 w 2 w1 sin= 2

coswtdw2 w0,w aFx a0,ft a ft例3 已知 的频谱为 求1解：ftF1Fx Fw21a1ejwtdw2 a1ejwta2 jtaat ate0ft a00,t0例4 求单边指数衰减函数 的傅氏变换。解：Fw Ffx ft

jwtdte0

0

ateajw0eajwt 0 1 1ajw0