复变函数 考试复习

第三章习题课一、内容提要复变函数积分的定义，计算，性质。柯西定理，柯西积分公式，高阶导数公式。柯西不等式。dzczan

i0

n1nnZ

(重要的常用的积分)其中ca在其内部的一条简单闭曲线二、习题选解例1、沿第一象限中线路C 1,2，计算积分x2y2dx2xydy，ci起点和终点分别为（1，0）和（0，1）c：xy11c :x2

y211）在cx1t,yt1则dxdtdydt,0t1(x2y22xydy 11t2t2dx21ttdt1dt1在

上，xcos,ysin, (0)2 2(x2y2)dx2xydyc225(cos2sin2)sin25

2n

cos

2d222

0 0 3(2iz)2dzc其中c为从1到2i的简单曲线 （引理）解：(2iz)2在复平面上解析（连续，且有原函数F(z)

(2iz)313i1 (2iz)2dzF(2i)Fc 12i(2i)3(2i)313(1i)3例3、计算积分 (iz)dz，这里c为c0到1i的直线段0到1iyx2的弧段1）从0到1i的直线段的方程为z1t)01ittti0t1，则iz)dz1itti)1i)0c001t1ti1i)dt01(t1idt011i2i（2）设弧段的方程为ztt2i, 0t1则iz)dz1itt2i1ti)dtc 01 2 (2t33t)(t2dt2 i0 3例4，计算 ez dzz3z(z21)（一）积分闭路内有三个奇点z=，-11，为此被积函数分解为再应用柯西公式，因为ez ez

1 ez

1 ezz(z2

1)

z 2z1 2z1故 ez dz ezdz1

ez dz1

ez dzz3z(z2z3 z 2 z3z1 2 z1 1

z12ie2ie2ie12 2i(ee12)（二作互不相交的互不包含的三个小圆周ccc1 2 3z3内，应用复合围线积分定理，有

z3

ezz(z2

dzc1

ezz(z2

dzc2

ezz(z2

dzc3

ezz(z2dz 1 dz

ez dz

ez dz1c z21 z1e1 e1

c2z(zz

c3z(zz12i(e

2 25解、被积函数

z2

i(ee12)dzz3(z1)21 z

0积z

1z2内，利z2(z2用复合围线积分定理，作圆周cz1

11141

2z1112 41 1 dz

dz dzz2

z2(z

z z3(z1)2 z4 11 (z1)2dz1

z3(z1)21z3由高阶导数公式，得

z (z0)34

z1141

(z1)2dz i 1 0 z2

z2(z1)2

2!

z12

z06，P

，9（2）证明

(x2iy2)dz，若为有半单位圆z 056 c证明：因为在C上，x2y21x4y4而x2iy2 x2x4y4故在Cx2iy2，又C的长度为，由积分估值公式，有(x2iy2)dzc

x2iy2dyc7、P

，14通过计算

12n156 z dz(n)z1

z z证明2cos2n135(2n证明：因为

0z12n

2 e2

2462n 2ei nid22ni 2 z1

z z 0 0而z1

0 kzkdkk 12n 1于z z zz2n2nz2n112n(2n1)(2nn1)z 1z

z z1z1

z z2n(2n1)(2nn1)dzz2i2n(2n1)(2nn1)n!(2n)!nco20

(2n)!)同理例8、计算

2(2n1)!!(2n)!!2cos2n1d00dzdzz2z12解：因为z所以ze0,dzieidz2d2iei2ei

d2idzzdzz2

z12

dzz2dz

z (z1)(z1)2i

z2

dzz25z42i

1 dz

1 dz3

z2z

z2z1 2i(02i)43 3或原式 2 20 54cos例9、P 6，8，16，17566、gz在D内解析

df(z)g(z)'

f'(z)g(z)f(z)g'(z)，积分与路径无关。Ex16

若f(z)在zzr0 0

内解析，且limzfz z

A，则对任意正数1rr，1

f(z)dzA，其中Krz

r，积分是按反时针方向取的。0i kr 0证明：因f(z)在区域zr0

内解析，f(z)在zr

内连续，故对rr，积分1

f(z)dz存在，又对

，只要r

r，由复围线积0 i kr

1 2 1 2 0分公式，1 取常值。

zr1

f(z)dz

1

zr2

f(z)dz，即对rr0

1 i

z

f(z)dzlimzf(z)A0zR时。z zf(z)A,则当rmaxRzr 时，0 0zzrzrzR0 01212i

f(z)dzA

zf(z)A12i12i 1rzrz0

kr kr zzf(z)zf(z)Azrz0kr 1kr

dz

r0(r)Ex17、如果函数f(z)在简单闭曲线C的外区域D内及C上每一点解析，并且limz

f(z)，那么1 f

df(z)

zD 2i

c

zC沿C的积分是按反时针方向取的。、若zD，则圆PzR，使P在Cf(zP的内部，C的外部解析，由柯西积分公式有1f(z)2i1

f)dcpz 1

f)d 1

f()d2i

pz

czlimf)

Rf,zkei1212i

f)d 12ip12i

f)dp zplim 1R

f()dpz故f(z)