多级火箭建模讲解课件

§1

为什么要用三级火箭来发射人造卫星构造数学模型，以说明为什么不能用一级火箭而必须用多级火箭来发射人造卫星？为什么一般都采用三级火箭系统？1、为什么不能用一级火箭发射人造卫星?

（1）卫星能在轨道上运动的最低速度假设：（i）卫星轨道为过地球中心的某一平面上的圆，卫星在此轨道上作匀速圆周运动。（ii）地球是固定于空间中的均匀球体，其它星球对卫星的引力忽略不计。分析：根据牛顿第三定律，地球对卫星的引力为:在地面有:得:k=gR2

R为地球半径，约为6400公里故引力:假设(ii)§1为什么要用三级火箭来发射人造卫星构造数学模型，以说明为dmm-dmvu-v假设(i)卫星所受到的引力也就是它作匀速圆周运动的向心力故又有:从而:设g=9.81米/秒2，得:

卫星离地面高度(公里)卫星速度(公里/秒)10020040060080010007.807.697.587.477.377.86（2）火箭推进力及速度的分析假设：火箭重力及空气阻力均不计分析：记火箭在时刻t的质量和速度分别为m(t)和υ(t)有：记火箭喷出的气体相对于火箭的速度为u（常数），由动量守恒定理：υ0和m0一定的情况下，火箭速度υ(t)由喷发速度u及质量比决定。

故：由此解得：(1)

dmm-dmvu-v假设(i)卫星所受到的引力也就是它作匀速（2）火箭推进力及速度的分析现将火箭——卫星系统的质量分成三部分：（i）mP（有效负载，如卫星）（ii）mF（燃料质量）（iii）mS（结构质量——如外壳、燃料容器及推进器）。最终质量为mP+mS，初始速度为0，所以末速度：根据目前的技术条件和燃料性能，u只能达到3公里/秒，即使发射空壳火箭，其末速度也不超过6.6公里/秒。目前根本不可能用一级火箭发射人造卫星火箭推进力在加速整个火箭时，其实际效益越来越低。如果将结构质量在燃料燃烧过程中不断减少，那么末速度能达到要求吗？（2）火箭推进力及速度的分析现将火箭——卫星系统的质量分成2、理想火箭模型假设：记结构质量mS在mS+mF中占的比例为λ，假设火箭能随时抛弃无用的结构，结构质量与燃料质量以λ与（1-λ）的比例同时减少。建模:

由

得到：解得：

理想火箭与一级火箭最大的区别在于，当火箭燃料耗尽时，结构质量也逐渐抛尽，它的最终质量为mP，所以最终速度为：

只要m0足够大，我们可以使卫星达到我们希望它具有的任意速度。考虑到空气阻力和重力等因素，估计（按比例的粗略估计）发射卫星要使υ=10.5公里/秒才行，则可推算出m0/mp约为51,即发射一吨重的卫星大约需要50吨重的理想火箭2、理想火箭模型假设：记结构质量mS在mS3、理想过程的实际逼近——多级火箭卫星系统记火箭级数为n，当第i级火箭的燃料烧尽时，第i+1级火箭立即自动点火，并抛弃已经无用的第i级火箭。用mi表示第i级火箭的质量，mP表示有效负载。先作如下假设：（i）设各级火箭具有相同的λ,即i级火箭中λmi为结构质量，（1-λ）mi为燃料质量。（ii）设燃烧级初始质量与其负载质量之比保持不变，并记比值为k。考虑二级火箭：

由1式，当第一级火箭燃烧完时，其末速度为：当第二级火箭燃尽时，末速度为：该假设有点强加的味道，先权作讨论的方便吧3、理想过程的实际逼近——多级火箭卫星系统又由假设（ii），m2=kmP，m1=k(m2+mP)，代入上式，仍设u=3公里/秒，且为了计算方便，近似取λ=0.1，则可得：要使υ2=10.5公里/秒，则应使:即k≈11.2，而:类似地，可以推算出三级火箭：

在同样假设下:

要使υ3=10.5公里/秒，则(k+1)/(0.1k+1)≈3.21，k≈3.25，而（m1+m2+m3+mP）/mP≈77。三级火箭比二级火箭几乎节省了一半是否三级火箭就是最省呢？最简单的方法就是对四级、五级等火箭进行讨论。又由假设（ii），m2=kmP，m1=k(m2+mP)，代入考虑N级火箭：

记n级火箭的总质量（包含有效负载mP）为m0，在相同的假设下可以计算出相应的m0/mP的值，见表3-2n（级数）12345…

∞（理想）

火箭质量（吨）/149776560…50表3-2由于工艺的复杂性及每节火箭都需配备一个推进器，所以使用四级或四级以上火箭是不合算的，三级火箭提供了一个最好的方案。当然若燃料的价钱很便宜而推进器的价钱很贵切且制作工艺非常复杂的话，也可选择二级火箭。考虑N级火箭：记n级火箭的总质量（包含有效4、火箭结构的优化设计3中已经能说过假设(ii)有点强加的味道；现去掉该假设，在各级火箭具有相同λ的粗糙假设下，来讨论火箭结构的最优设计。W1=m1+…+mn+mP

W2=m2+…+mn+mP……Wn=mn+mPWn+1=mP记应用（3.11）可求得末速度：记则又问题化为，在υn一定的条件下，求使k1k2…kn最小

解条件极值问题：或等价地求解无约束极值问题：可以解出最优结构设计应满足：火箭结构优化设计讨论中我们得到与假设（ii）相符的结果，这说明前面的讨论都是有效的！4、火箭结构的优化设计3中已经能说过假设(ii)有点§2

空中防撞系统的模型设计

在约10,000米高空的某边长160公里的正方形区域内，经常有若干架飞机作水平飞行。区域内每架飞机的位置和速度向量均由计算机记录其数据，以便进行飞行管理。当一架欲进入该区域的飞机到达区域边缘时，记录其数据后，要立即计算并判断是否会与区域内的飞机发生碰撞。如果会碰撞，则应计算如何调整各架（包括新进入的）飞机飞行的方向角。以避免碰撞。现假定条件如下：（1）不碰撞的标准为任意两架飞机的距离大于8公里（2）飞机飞行方向角调整的幅度不应超过30度（3）所有飞机飞行速度均为每小时800公里（4）进入该区域的飞机在到达区域边缘时，与区域内飞机的距离应在60公里以上（5）最多需考虑6架飞机（6）不必考虑飞机离开此区域后的状况。请你对这个避免碰撞的飞行管理问题建立数学模型。列出计算步骤，对以下数据进行计算（方向角误差不超过0.01度）。要求飞机飞行方向角调整的幅度尽量小。

§2空中防撞系统的模型设计在约10设该区域4个顶点的座标为（0,0）,(160,0),(160,160),(0,160)。

记录数据为：飞机编号横座标X纵座标Y方向角（度）1150140243285852363150155220.54145501595130150230新进入0052注：方向角指飞行方向与X轴正向的夹角。

试根据实际应用背景对你的模型进行评价与推广。设该区域4个顶点的座标为（0,0）,(160,0),(161问题的实际背景

空中交通管制问题中抽象出来的。空中交通管制是保证飞机飞行安全以及提高飞行效率的重要手段。设想在一繁忙的航空港附近或主要航线的交叉地带，经常有不同航向、不同高度层的飞机在飞行，如何调度它们，使它们在飞行过程中互不相碰，就构成了交通管制系统要解决的主要问题。目前航空界采取的一种方案是，把空间区域按高度分层（例如以600米间隔为一层），然后设定一水平坐标系，规定飞行方向角在0度到180度之间的飞机在偶数层飞行，方向角在180度至360度之间的飞机在奇数层飞行。这样使得在同一层内飞机的航向基本一致，而航向相反的飞机在不同层次飞行。如果在同一层内飞行的飞机仍有航线冲突，则令其中一架上升（或下降），以避免碰撞。1问题的实际背景空中交通管制问题中抽象出来的。空中2合理的假设（1）每架飞机可视为区域内的一个几何点。因为飞机的长度与区域的大小相比可以忽略不计；（2）忽略飞机调整方向的反应时间，即认为从控制中心发出指令到飞机调整完毕是瞬时的；（3）暂不考虑飞机的转弯半径及由拐弯导致的时间的延迟，即认为飞机在区域内做直线或折线飞行；（4）区域内的飞机已满足互不相撞的条件，即认为从第一架飞机开始，每当有一架新飞机进入到该区域，则作及时的调整，以保证区域内飞机互不相撞；（5）忽略调整方向角引起的误差，忽略飞机速度变化所引起的误差，即认为飞机做匀速飞行。2合理的假设（1）每架飞机可视为区域内的一个几何3符号的约定代表本问题中某一高层中的正方形区域代表第i架飞机，飞机的飞行速度时间第i架飞机的位置第i架飞机的初始时刻（即新飞机到达区域边缘的时刻）的位置第i架飞机的飞行方向角初始时刻第i架飞机的飞行方向角第i架飞机的偏转角从初始时刻起，第i架飞机沿某一固定方向角在区域内的飞行时间从初始时刻起，第i架飞机与第j架飞机分别沿某一固定方向角在区域内的共同飞行时间

3符号的约定代表本问题中某一高层中的正方形区域3符号的约定t时刻第i架飞机和第j架飞机之间的距离当的最小值第i架飞机的偏转角的权系数被调整的飞机架数飞机的转弯半径优化目标函数3符号的约定t时刻第i架飞机和第j架飞机之间的距§1

为什么要用三级火箭来发射人造卫星构造数学模型，以说明为什么不能用一级火箭而必须用多级火箭来发射人造卫星？为什么一般都采用三级火箭系统？1、为什么不能用一级火箭发射人造卫星?

（1）卫星能在轨道上运动的最低速度假设：（i）卫星轨道为过地球中心的某一平面上的圆，卫星在此轨道上作匀速圆周运动。（ii）地球是固定于空间中的均匀球体，其它星球对卫星的引力忽略不计。分析：根据牛顿第三定律，地球对卫星的引力为:在地面有:得:k=gR2

R为地球半径，约为6400公里故引力:假设(ii)§1为什么要用三级火箭来发射人造卫星构造数学模型，以说明为dmm-dmvu-v假设(i)卫星所受到的引力也就是它作匀速圆周运动的向心力故又有:从而:设g=9.81米/秒2，得:

卫星离地面高度(公里)卫星速度(公里/秒)10020040060080010007.807.697.587.477.377.86（2）火箭推进力及速度的分析假设：火箭重力及空气阻力均不计分析：记火箭在时刻t的质量和速度分别为m(t)和υ(t)有：记火箭喷出的气体相对于火箭的速度为u（常数），由动量守恒定理：υ0和m0一定的情况下，火箭速度υ(t)由喷发速度u及质量比决定。

故：由此解得：(1)

dmm-dmvu-v假设(i)卫星所受到的引力也就是它作匀速（2）火箭推进力及速度的分析现将火箭——卫星系统的质量分成三部分：（i）mP（有效负载，如卫星）（ii）mF（燃料质量）（iii）mS（结构质量——如外壳、燃料容器及推进器）。最终质量为mP+mS，初始速度为0，所以末速度：根据目前的技术条件和燃料性能，u只能达到3公里/秒，即使发射空壳火箭，其末速度也不超过6.6公里/秒。目前根本不可能用一级火箭发射人造卫星火箭推进力在加速整个火箭时，其实际效益越来越低。如果将结构质量在燃料燃烧过程中不断减少，那么末速度能达到要求吗？（2）火箭推进力及速度的分析现将火箭——卫星系统的质量分成2、理想火箭模型假设：记结构质量mS在mS+mF中占的比例为λ，假设火箭能随时抛弃无用的结构，结构质量与燃料质量以λ与（1-λ）的比例同时减少。建模:

由

得到：解得：

理想火箭与一级火箭最大的区别在于，当火箭燃料耗尽时，结构质量也逐渐抛尽，它的最终质量为mP，所以最终速度为：

只要m0足够大，我们可以使卫星达到我们希望它具有的任意速度。考虑到空气阻力和重力等因素，估计（按比例的粗略估计）发射卫星要使υ=10.5公里/秒才行，则可推算出m0/mp约为51,即发射一吨重的卫星大约需要50吨重的理想火箭2、理想火箭模型假设：记结构质量mS在mS3、理想过程的实际逼近——多级火箭卫星系统记火箭级数为n，当第i级火箭的燃料烧尽时，第i+1级火箭立即自动点火，并抛弃已经无用的第i级火箭。用mi表示第i级火箭的质量，mP表示有效负载。先作如下假设：（i）设各级火箭具有相同的λ,即i级火箭中λmi为结构质量，（1-λ）mi为燃料质量。（ii）设燃烧级初始质量与其负载质量之比保持不变，并记比值为k。考虑二级火箭：

由1式，当第一级火箭燃烧完时，其末速度为：当第二级火箭燃尽时，末速度为：该假设有点强加的味道，先权作讨论的方便吧3、理想过程的实际逼近——多级火箭卫星系统又由假设（ii），m2=kmP，m1=k(m2+mP)，代入上式，仍设u=3公里/秒，且为了计算方便，近似取λ=0.1，则可得：要使υ2=10.5公里/秒，则应使:即k≈11.2，而:类似地，可以推算出三级火箭：

在同样假设下:

要使υ3=10.5公里/秒，则(k+1)/(0.1k+1)≈3.21，k≈3.25，而（m1+m2+m3+mP）/mP≈77。三级火箭比二级火箭几乎节省了一半是否三级火箭就是最省呢？最简单的方法就是对四级、五级等火箭进行讨论。又由假设（ii），m2=kmP，m1=k(m2+mP)，代入考虑N级火箭：

记n级火箭的总质量（包含有效负载mP）为m0，在相同的假设下可以计算出相应的m0/mP的值，见表3-2n（级数）12345…

∞（理想）

火箭质量（吨）/149776560…50表3-2由于工艺的复杂性及每节火箭都需配备一个推进器，所以使用四级或四级以上火箭是不合算的，三级火箭提供了一个最好的方案。当然若燃料的价钱很便宜而推进器的价钱很贵切且制作工艺非常复杂的话，也可选择二级火箭。考虑N级火箭：记n级火箭的总质量（包含有效4、火箭结构的优化设计3中已经能说过假设(ii)有点强加的味道；现去掉该假设，在各级火箭具有相同λ的粗糙假设下，来讨论火箭结构的最优设计。W1=m1+…+mn+mP

W2=m2+…+mn+mP……Wn=mn+mPWn+1=mP记应用（3.11）可求得末速度：记则又问题化为，在υn一定的条件下，求使k1k2…kn最小

解条件极值问题：或等价地求解无约束极值问题：可以解出最优结构设计应满足：火箭结构优化设计讨论中我们得到与假设（ii）相符的结果，这说明前面的讨论都是有效的！4、火箭结构的优化设计3中已经能说过假设(ii)有点§2

空中防撞系统的模型设计

在约10,000米高空的某边长160公里的正方形区域内，经常有若干架飞机作水平飞行。区域内每架飞机的位置和速度向量均由计算机记录其数据，以便进行飞行管理。当一架欲进入该区域的飞机到达区域边缘时，记录其数据后，要立即计算并判断是否会与区域内的飞机发生碰撞。如果会碰撞，则应计算如何调整各架（包括新进入的）飞机飞行的方向角。以避免碰撞。现假定条件如下：（1）不碰撞的标准为任意两架飞机的距离大于8公里（2）飞机飞行方向角调整的幅度不应超过30度（3）所有飞机飞行速度均为每小时800公里（4）进入该区域的飞机在到达区域边缘时，与区域内飞机的距离应在60公里以上（5）最多需考虑6架飞机（6）不必考虑飞机离开此区域后的状况。请你对这个避免碰撞的飞行管理问题建立数学模型。列出计算步骤，对以下数据进行计算（方向角误差不超过0.01度）。要求飞机飞行方向角调整的幅度尽量小。

§2空中防撞系统的模型设计在约10设该区域4个顶点的座标为（0,0）,(160,0),(160,160),(0,160)。

记录数据为：飞机编号横座标X纵座标Y方向角（度）1150140243285852363150155220.54145501595130150230新进入0052注：方向角指飞行方向与X轴正向的夹角。

试根据实际应用背景对你的模型进行评价与推广。设该区域4个顶点的座标为（0,0）,(160,0),(161问题的实际背景

空中交通管制问题中抽象出来的。空中交通管制是保证飞机飞行安全以及提高飞行效率的重要手段。设想在一繁忙的航空港附近或主要航线的交叉地带，经常有不同航向、不同高度层的飞机在飞行，如何调度它