五年(2018-2022)全国各省份高考数学真题分类汇编(全国卷新高考卷北京天津卷等)专题18三角函数解答题(解析版)

2018-2022五年全国各省份高考数学真题分类汇编

专题18三角函数解答题一、解答题.(2022高考北京卷•第16题)在aABC中，sin2C=V3sinC.⑴求NC；(2)若人=6,且aABC的面积为6行，求aABC的周长.【答案】解析:因为Ce(O,%)，贝iJsinC>0,由已知可得6sinC=2sinCcosC，可得cosC=@，因此，C=-.2 6解：由三角形的面积公式可得5“叱=3。力411。=1。=66,解得q=4&.由余弦定理可得c?=a2+/-2abcosC=48+36-2x4Gx6x±=12，:.c=2#，2所以，aABC的周长为a+b+c=66+6.【题目栏目】三角函数'正弦定理和余弦定理'余弦定理【题目来源】2022高考北京卷•第16题.(2022年浙江省高考数学试题•第18题)在aABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知34a=\[5c,cosC=—.(1)求sinA的值；(2)若方=11,求aABC的面积.TOC\o"1-5"\h\z4 r-【答案】解析：(1)由于cosC=j0<C<n,贝UsinC=q.因为4a=辰，由正弦定理知4sinA=后sinC,贝UsinA=—^sinC=—^-5Le162 .ia1(2)因为4a=后c,由余弦定理，得„a2+b2-c2a+121-J67 J3,cosC= = = -=—2ab 22a 2a54即〃2+6。-55=0，解得。=5,而sinC=—,b=ll,1 1 4所以△ABC的面积S=-a〃sinC=-x5xllx—=22.2 2 5【题目栏目】三角函数\正弦定理和余弦定理'余弦定理【题目来源】2022年浙江省高考数学试题•第

18题.（2022新高考全国II卷•第18题）记aABC的内角4B,C的对边分别为a,b,c,分别以。，b,c为边长的三个正三角形的面积依次为S,,S2,S3,已知5,-S2+S3=y-,sinB=（2）若sinAsinC=＞一，求b.3【答案】（1）立8⑵3解析：⑴由题意得S—产近小02+旦2=目3 4 4 4 2整理得QC8sB=1，则COS3>0,又即/+。2一少2=2整理得QC8sB=1，则COS3>0,又则cos8=Jl一冉=迪,ac=—1―=—.则SA8c=LacsinB=也;V 3cosfi4"bc2 8（2）由正弦定理得：——sinBa_（2）由正弦定理得：——sinBa_c

sinAsinCb2则sin?BsinAsinC3x/2ac_4_9sinAsinC0 4V【题目栏目】三角函数'正弦定理和余弦定理'正弦定理【题目来源】2022新高考全国II卷•第18题sin231sin231+cos25.（2022新高考全国I卷•第18题）记△ABC的内角48,C的对边分别为a,b,c,已知——■——1+sinA2tt（1）若。二一，求8；32 r2（2）求"的最小值.【答案】（1）一；c2 6

（2）4夜-5.…广/、「、,cosAsin282sinBcosBsinBnM解析：（1）因为 = = 5——= ,即1+sinA1+cos28 2cos'8cos8sinB=cosAcos8-sinAsinB=cos（A+B）=-cosC=—,IT jr而0<8<一,所以B=F：TOC\o"1-5"\h\z2 6一兀 71（2）由（1）知，sinB=—cosC>0,所以一<C<7r,0v3<一,2 2而sin而sin8=—cosC=sinC—I2所以C=¥+B,即有A=4-2B.2 2所以匕夕

c所以匕夕

csin2A+sin?B

sin2ccos22B+l-cos2B

cos2B（2cos2B-1V4-1-cos2B,2 r-r- =4cos2B+—；——5>2V8-5=4V2-5•cos-B cos-B当且仅当cos2b=暂时取等号，所以"一:"一的最小值为4人—5・【题目栏目】三角函数'正弦定理和余弦定理'余弦定理【题目来源】2022新高考全国I卷•第18题(2022年高考全国乙卷数学(理)•第17题)记aABC的内角的对边分别为仇C,已知sinCsin(A-B)=sinBsin(C-A).（1）证明：2。2=〃+。2；25（2）若。=5,cosA=§j,求△ABC的周长.【答案】（1）见解析 （2）14解析：【小问1详解】证明：因为sinCsin（A-5）=sinBsin（C-A）,所以sinCsinAcosB—sinCsinBcosA=sinBsinCcosA—sinBsinAcosC，所以也2V+cj2互即2ac 2bc 2aba2+ca2+c2-b2W+c2-a2\a2+b2-c2.尸 所以2/=〃+片；【小问2详解】25解：因为〃=5,cosA=—,31由⑴得/+。2=50，由余弦定理可得4?=b24-c2-2Z;ccosA»则50——be=25,3131所以反二看，2故e+c『=y+c2+2/?c=50+31=81,所以人+c=9,所以aABC的周长为a+b+c=14.【题目栏目】三角函数'正弦定理和余弦定理'余弦定理【题目来源】2022年高考全国乙卷数学（理）•第17题（2021年高考浙江卷•第18题）设函数/（x）=sinx+cosx（xeR）.⑴求函数y= + 的最小正周期；⑵求函数y=〃x）小勺在o,j上的最大值.【答案】（1）7;（2）1+也.2解析：⑴由辅助角公式得/（x）=sinx+cosx=x/5sin（x+f],所以该函数的最小正周期7=丁=乃；2(2)由题意，y=f =应sin(x+?)夜sinx=2sin(x+?}inx=2sinx{"^sinx+^^cosx)=>/2sin2x+>/2sinxcosxAl-cos2x^V2.. y[2..垃，工夜.L吟,及=V2 1 sin2x- sin2x cos2xH —sin2x H ,2 2 2 2 21412

由xe0,g可得2x-f 学］,所以当2x-f=1即x=W时，函数取最大值i+也._2J 4144」 42 8 2【题目栏目】三角函数'三角函数的综合问题【题目来源】2021年高考浙江卷•第18题（2021年新高考全国］［卷•第18题）在aABC中，角A、B、C所对的边长分别为。、b、c,b=a+\,c=a+2..（1）若2sinC=3sinA,求aABC的面积；（2）是否存在正整数。，使得aASC为钝角三角形?若存在，求出。的值；若不存在，说明理由.【答案】解析：（1）因为2sinC=3sinA,则2c=2（〃+2）=3〃，则。=4,故b=5,c=6,TOC\o"1-5"\h\zcosC="仞——=—,所以，C锐角，则sinC=J1-cos?C= ,lab8 8ra.IK„ 1,.„ 15八广币15«因Wj,'人=-ahsinC=-x4x5x = ；△树2 2 8 4(2)显然c>b>a,若aABC为钝角三角形，则C为钝角，由余弦定理可得cosC=。2+cosC=。2+从“2

2aba2+(n+l)2_(a+2)-

2a(〃+l)〃一2a—3由T°'解得T<"3,则。<"3,由三角形三边关系可得a+a+l>a+2,可得a>l,:aeZ,故a=2.【题目栏目】三角函数'正弦定理和余弦定理'正、余弦定理的综合应用【题目来源】2021年新高考全国II卷•第18题8.（2021年新高考I卷•第19题）记“ABC是内角A,B,C的对边分别为。，b,J己知尸=团，点。在边AC上，BDsinZABC=asinC.（1）证明：BD=b-,（2）若4）=2£>C,求cosNASC.【答案】解析:⑴由题设‘BD【答案】解析:⑴由题设‘BD=^'由正弦定理知sinCsinZABC：.BD=—,又从=改，ABD=b,得证.bTOC\o"1-5"\h\z（2）由题意知：BD=b,AD=—,DC=~,3 32上46 2 13从 2 八2上从2 10b2b+ c c bH a /.cosZADB= ——=—T；—,同理cosNCDB= ——=—^―0,2b 4b2 b 2b3 3 3 3ZADB=7T-NCDB,134c2“2 1。户9/----,整理得2a2+c2=*-,又及=ac,4Zr lb' 3~3~ ~T：.2a2+^=-,整理得面—11八2+劝4=0,解得4=1或4=3,a-3 b23b22zr24-r2—h24CT由余弦定理知：cosZABC--_-=--lac32h~TOC\o"1-5"\h\z2 i "I 2 q 7当4=2■时，cosNA8C=->l不合题意；当勺=士时，cosZABC=—；b1 3 6 b1 2 12上 7综上，cosZABC=—.12【题目栏目】三角函数'正弦定理和余弦定理'正、余弦定理的综合应用【题目来源】2021年新高考［卷•第19题27r9.（2021高考北京•第16题）在aABC中，c=2bcosB.C=—.3（1）求角B的大小；（2）再从条件①、条件②，、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使aABC存在且唯一确定，求边上中线的长.条件①：c=y/2b；条件②：aABC周长为4+2月；条件③：aABC的面积为土；4【答案】（1）丁；（2）答案不唯一，具体见解析.6解析：（l）：c=2bcos8,则由正弦定理可得sinC=2sin8cosB,...sin2B=sin*亭•.・°=小••・研0•，2研0,57T TT・・.28=£,解得8=二;J 6

⑵若选择①：由正弦定理结合⑴可得-=吧C==-=G,bsinB12与c=J5。矛盾，故这样的aAbc不存在；7T若选择②：由（1）可得4=一，6设aABC的外接圆半径为R,TT则由正弦定理可得〃=/?=2Rsin—=R,6c=2/?sin—=>/3/?,3则周长a+b+c=2R+6/?=4+26，解得R=2，则a=2,c=2V3,由余弦定理可得8C边上的中线的长度为：7T7T若选择③：由（1）可得A=7,即。=。，6则Sabc=24。5出。=4/'/=^—,解得。=百，“2 2 2 4则由余弦定理可得边上的中线的长度为：^2+^J-2xZ?x^xcosy=/+；+国当=理.【题目栏目】三角函数'正弦定理和余弦定理'正弦定理【题目来源】2021高考北京•第16题10.（2020年高考课标H卷理科•第17题）aABC中，sin24—sin2B—sin2C=sinBsinC.⑴求A；（2）若803,求aABC周长的最大值.【答案】⑴丁；（2）3+273.解析：（1）由正弦定理可得：BC2-AC2-AB2=ACAB>：.：.cosA=AC2+AB2-BC2

2ACAB' 7 3（2）由余弦定理得：BC2=AC2+AB2-2AC-ABcos4=AC2+AB2+AC-AB=9，即（AC+幽2-ACA3=9.9434/华（当且仅当AC=A8时取等号），••.9=（AC+A8）2-ACA8N（AC+A8）2-（^^^）=1（AC+AB）2.解得：AC+A8W2G（当且仅当AC=AB时取等号），.•.△ABC周长L=AC+A8+8CW3+2ji,.♦.△ABC周长的最大值为3+.【点睛】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理角化边的应用、余弦定理的应用、三角形周长最大值的求解问题；求解周长最大值的关键是能够在余弦定理构造的等式中，结合基本不等式构造不等关系求得最值.【题目栏目】三角函数'正弦定理和余弦定理'正、余弦定理的综合应用【题目来源】2020年高考课标II卷理科•第17题（2020年新高考全国I卷（山东）•第17题）在①吨=6,②csinA=3,③c=J。这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求。的值；若问题中的三角形不存在，说明理- jr由.问题：是否存在aABC,它的内角A,8,C的对边分别为a,b,c,且sinA=GsinB,C=--,6 ?注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】解法一：由sinA=sin3可得：f=b不妨设a= =m（m>0）,则：c2=a24-Z?2-2a/?cosC=3w2+〃/-2xy/3mxmx=m2，即。=机.2选择条件①的解析：据此可得：ac=y/3mxzn=>/3/h2=y/3» /?/=1,此时c=m=l.选择条件②的解析:

选择条件③的解析:=3.则：选择条件③的解析:=3.则：c=m=2y/3.与条件c=矛盾，则问题中的三角形不存在.解法二：*.*sinA=\13sinB,C=—,fl=^-（A+C）,6sinAsinA=>/Jsin（A+C）=百siv4[sinA=\/3sin（714-C）=y/3sinA!i^~+JcosAgsinA=-yficosA，•二tanA=—>/3,・'・A=若选①，ac->/3»•a=y/3h—>/3c,>/3c2=\/3,，c=l;若选②，csbiA=3,则+>^=3,c=2y/3;若选③,与条件c=矛盾.2【题目栏目】三角函数'正弦定理和余弦定理'正、余弦定理的综合应用【题目来源】2020年新高考全国I卷（山东）•第17题（2020年新高考全国卷H数学（海南）•第17题）在①〃c=G，②csinA=3,③c=&这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中三角形存在，求。的值；若问题中的三角形不存在，说明理由.）i问题:是否存在aABC,它的内角A,B,C的对边分别为a,0,c,且sinA=>/3sinB，C=--, ?6注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】解析：解法一：由sin4=百sin8可得：f=6，b不妨设a=\^m,b= >0）,

则：c2=/+。2-2a/?cosC=3m2-\-nv-2x\/3nixmx-^-=m2»即c二机.2选择条件①的解析：据此可得：ac=y（3tnxm=yj3m1=y/3»ah=1,此时c=/n=l.选择条件②的解析：=3，=3，则：c=m=26选择条件③的解析：-T-zecm可得一=一=1,c=b,bm与条件c=G/?矛盾，则问题中的三角形不存在.解法二：VsinA—\/3sinB,C=—,B=^-（A+C）,6sinA=5/3sin（A+C）=>/3sin（A+^）,sinA=5/3sin（A+C）=>/3sinA——ypicosA.,•••tcinA——y/3,A=~ ，•=8=C=~若选①'ac=>/3,•a=+b=>/3c，•二>/3c2=6»•'•c=l;若选②，csinA=3,则叵=3,c=2>/J;2若选③,与条件c=\[?>h矛盾.【题目栏目】三角函数'正弦定理和余弦定理'正、余弦定理的综合应用【题目来源】2020年新高考全国卷H数学（海南）•第17题（2020年浙江省高考数学试卷•第18题）在锐角△A8C中，角A,8,C的对边分别为a,b,c,且2bsinA=百。.⑴求角8；（II）求cos-4+cosS+cosC的取值范围.

・ /、n式zx(G+13【答案】⑴8=、；(II)——3I2 2_解析：⑴由2/?sinA=6a结合正弦定理可得：2sinBsinA=GsinA「.sinB=——2TT△ABC为锐角三角形，故8=一.3⑴)结合(1)的结论有：cosA+cosB+cosC=cosA+—+cos(——A]=cosA——cosAh——sinA+—2I3J2 2 2V3 1 1 .(.7T]\=——sinA+—cosA+—=sm|A+—+—.2 2 2I6；2由＜2nQ<-7T-A<-_ .TT0<A<一由＜2nQ<-7T-A<-_ .TT0<A<一22可得:71人冗71a兀2兀nl.f 47t—<A<— ,—<A+—<—,则sin A+一7t32即cosA+cosB+cosC的取值范围是V3+1-2【题目栏目】三角函数'正弦定理和余弦定理'正、余弦定理的综合应用【题目来源】2020年浙江省高考数学试卷•第18题（2020天津高考•第16题）在aABC中，角ARC所对的边分别为a也c.已知a=20,〃=5,c=9.(I)求角C的大小：(II)求sinA的值；(III)求sin(2A+7)的值.【答案】【答案】(I):；(II)sinA= ;(HI)sin2A+-= .4 13 14yl26【解析】（I）在aABC中，由〃=2应/=5,c= 及余弦定理得所以+〃~―/ 8+25-13y/2T7rafn所以cosC= = 尸—=—，又因为C£(0,4)2ab2x2V2x5 2

)BV2TOC\o"1-5"\h\z(ID在aABC中，由C=f，a=2a,c=JB及正弦定理，可得6nd〃sinC2V2x《2>/13；c713 13(III)由〃<c知1角A为锐角，由sinA=.2\/i3,可得以^、=>/l-sin2A=土叵,13 13j2 5进而sin2A=2sinAcosA=—,cos2A=2cos2A—l=—,13 13「匚.小a乃、.can.4, \2\/2 54117夜丹「以sin(2AH——)=sinzAcos——Fcos2Asin—=—x 1—x—= .4 4 4132 132 26【题目栏目】三角函数'正弦定理和余弦定理'余弦定理【题目来源】2020天津高考•第16题（2020江苏高考•第16题）在AA8C中，角的对边分别为。，仇c,已知a=3,c=0,8=45。.⑴求sinC⑴求sinC的值;4(2)在边8C上取一点。，使得cosNADC=-w，求tan〃4c的值.【答案】【答案】(1)sinC=^-;(2)tanZDAC=4，5 H【解析】⑴由余弦定理得从=/+《2-2℃cos8=9+2-2x3x&x二=5,所以b=#.2由正弦定理得一J=，一nsinC=mW=^.sinCsin8 b5(2)由于cosZA£)C=-1, 所以sinNADC=Jl-cos?ZADC=|.由于乙4。八整万)，所以Ce(0,£|,所以cosC=Jl-sin2c=¥2石~25~所以sinADAC=sin(亓-ADAC)=sin(ZADC2石~25~=sinZ4DCcosC+cosZADCsinC=|x^+由于N。4ce(0,—j,所以cosNDAC=>/l-sin2Z.DAC="§.所以tan所以tanNDAC=sinZDACcosZDAC【题目栏目】三角函数'正弦定理和余弦定理'余弦定理【题目来源】2020江苏高考•第16题（2020北京高考•第18题）某校为举办甲、乙两项不同活动，分别设计了相应的活动方案：方案一、方案二.为了解该校学生对活动方案是否支持，对学生进行简单随机抽样，获得数据如下表:男生女生支持不支持支持不支持方案一200人400人300人100人方案二350人250人150人250人假设所有学生对活动方案是否支持相互独立.（I）分别估计该校男生支持方案一的概率、该校女生支持方案一的概率；（II）从该校全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，估计这3人中恰有2人支持方案一的概率；（HI）将该校学生支持方案的概率估计值记为外，假设该校年级有500名男生和300名女生，除一年级外其他年级学生支持方案二的概率估计值记为小，试比较%与四的大小.（结论不要求证明）1 3【答案】（I）该校男生支持方案一的概率为:，该校女生支持方案一的概率为:；13（n）-J,（in）A<P036【解析】（I）该校男生支持方案一的概率为就为=（,300 3该校女生支持方案一的概率为）二==;300+1004（11）3人中恰有2人支持方案一分两种情况，（1）仅有两个男生支持方案一，（2）仅有一个男生支持方案一，一个女生支持方案一，所以3人中恰有2人支持方案一概率为：q）2（l-}+C；W）（l-g）；=q;(HI)R<p0

【题目栏目】三角函数'正弦定理和余弦定理'三角形中的面积问题【题目来源】2020北京高考•第18题17.(2020北京高考•第17题)在中，a+b=ll,再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为己知，求：(H)sinC和A相。的面积.条件①：c=7,cosA=-；：1 9条件②：cosA=—,cosB=—.8 16注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.【答案】【解析】选择条件①(I)・.・c=7,cosA=-;,a+b=\\-,-a2=b2+c2-2bccosA:.a2=(11-a)2+72-2(11-a)-7-(--).-.a=8(II)7,.•cosA=-—,Ag(0,^-)/.sinA=>/l-cos2A= 由正弦定理得:TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"7 7ac8 7 ._>/3~\ =~ —~； sinC=—sinAsinC4y/3 sinC 271 1 /o 1 QS=-basinC=-(ll-8)x8xJ=6百选择条件②(I)•••cosA=：;,cosB=77,A,8e(0,万)2 2 2 8 16：.sinA=：.sinA=\!\-cos2A=^—^-,sinB=\[\-

8cos2B=之工由正弦定理得：sinA16b a1\—a , —=—；・a=bsin83V75V78 16(II)sinC=sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA=^2-x—+ x-=8 16 168 4S=-tesinC=-(ll-6)x6x—=1^2 2 4 4【题目栏目】三角函数'正弦定理和余弦定理'三角形中的面积问题【题目来源】2020北京高考•第17题18.(2019年高考浙江•第18题)设函数/(x)=sinx,xeR(I)已知。6。2万)，函数/'(X+仍是偶函数，求。的值;(11)求函数y=(x+^)]2+[f(x+?)『的值域.【答案】【意图】本题主要考查三角函数及其恒等变换等基础知识，同时考查运算求解能力。满分14分。【解析】(I)解法一：因为fa+6)=sin(x+6)是偶函数，所以，对任意实数X都有sina+8)=sin(r+8),BPsinxcos^4-cosxsin^=—sinxcos^+cosxsin^,故sinxcos6=0,所以cos6=0,又。£[0,27r],因此，o=-^e=—.TOC\o"1-5"\h\z2 2rr 37F解法二：根据诱导公式，sin(x+—)=cosx,sin(x+^-)=-cosx,因为/(x+e)=sin(x+。)是偶函数,问0,2乃],所以冗 兀rr/4、12rn4、12 .2,冗、•2,冗、1-COS(2x+—)1-COS(2x+)(II)y=[/(x+—)]2+[/(x+-)]-=sin2(x+—)+sin2(x+-)_ 6. 212 4 12 4- 2 + 2 =1-^(^cos2x-^sin2x)=1-^cos(2x+y).因此，函数的值域是0-孚,1+日].【题目栏目】三角函数'三角函数的图像与性质'三角函数的图象与性质的综合问题【题目来源】2019年高考浙江•第18题19.(2019年高考天津理•第15题)在△ABC中，内角A,8,C所对的边分别为a,4c.已知8+。=勿，3csin8=4asinC.(I)求cosB的值；(H)求5皿(28+看)的值.【答案】本小题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和正弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，以及正弦定理、余弦定理等基础知识.考查运算求解能力，满分13分.hc(I)解：在△ABC中，由正弦定理；一=-—,得加inC=csin8,又由3csinB=4asinC,sinBsinC得TOC\o"1-5"\h\z4 23/7sinC=4asinC,Bp3b=4a,又因为Z?+c=2。，得到〃=—a,c=—a.3 32421622 2_r2aH CT CT]由余弦定理可得cosB=-__J■/=——2__—=一一.2 c2 4(II)解：由(I)可得sinB— —cos"B- ,4J15 7从而sin2B=2sin8cos8= ，cos28=cos28-sin2B=——，8 8

故sin2B+-16故sin2B+-16•cn冗 crk•冗—sin28cos——Fcosznsm—=V15

x

836+716【题目栏目】三角函数'三角函数的综合问题【题目来源】2019年高考天津理•第15题20.（2019年高考上海•第19题）如图，A—8—C为海岸线，为线段，弧BC为四分之一圆弧,BD=392km,NBDC=22°,NC5O=68,ZBDA=58\（1）求弧BC长度;（2）若AB=40km,求D到海岸线A—8—C的最短距离.（精确到0.0015z）【答案】【答案】（1）16.310km；（2）35.752km【解析】⑴依题意：BC=BD-sin22°,弧8c所在圆的半径一.71R=BC・sin-4弧 8c 长度为：R=•BC•X3.141X39.2xsin220=16.310km2 2 2 4（2）根据正弦定理：图-=_丝一，求得：sinA=—xsin58°=0.831,A=56.2°sinAsin580 40ZABD=180-56.2-58=65.8°DH=BDxsinZA5D=35.752km<CD=36346km：.D到海岸线最短距离为35.752km.【点评】本题主要考查解三角形。【题目栏目】三角函数\正弦定理和余弦定理、正、余弦定理的综合应用【题目来源】2019年高考上海•第19题21.（2019年高考全国HI理•第18题）A4BC的内角A,8,C的对边分别为a,b,c,已知.A+C,“asin =psinA.2⑴求8;（2）若△ABC为锐角三角形，且c=l,求△ABC面积的取值范围.【答案】【答案】（1）8=鼻;（2）（巫,立）.【官方解析】（1）由题设及正弦定理得sinAsin =sinBsinA,2A+C因为sinAWO,所以sin =sinB.2TOC\o"1-5"\h\zA+C b B B B由A+B+C=18O°,可得sin =cos—,故cos—=2sin—cos—.2 2 2 2 2R R1因为cos—HO,故sin—=—，因此8=60°.2 22（2）由题设及（1）知AABC的面积S/、"c=苧a.由正弦定理得a='si］：=sm（120。-C）=6+.sinCsinC2tanC2由于△ABC为锐角三角形，故00<Av90。，0°<C<90°.由（1）知A+C=120。，所以30°<C<90°,故!<a<2,嫡@<s .2 8 2因此△ABC面积的取值范围是（噜,亭）.【点评】这道题考查了三角函数的基础知识，和正弦定理或者余弦定理的使用（此题也可以用余弦定理求解），最后考查AABC是锐角三角形这个条件的利用.考查的很全面，是一道很好的考题.【题目栏目】三角函数'三角函数的综合问题【题目来源】2019年高考全国III理•第18题22.（2019年高考全国I理•第17题）AABC的内角的对边分别为a,b,c.设(sinB-sinC)2=sin2A-sinBsinC.⑴求A；(2)若0a+b=2c,求sinC.【答案】解析：(1)由已知得sii?B+sin2C-sin2A=sinBsinC,故由正弦定理得从+c2-a2=bc.由余弦定理得cosA=，’+< =」.因为0。<4<180。，所以A=60。.2bc2(2)由⑴知B=120。一C,由题设及正弦定理得加sinA+sin(120°-C)=2sinC,即逅+且cosC+'sinC=2sinC,可得cos(C+60°).2 2 2 2

72由于0°<C<120。，所以sin(C+60°)=j-,故sinC=sin(C+60°-60°)=sin(C+60°)cos60°-cos(C+60°)sin600=4【题目栏目】三角函数'正弦定理和余弦定理'正、余弦定理的综合应用【题目来源】2019年高考全国I理•第17题23.（2019年高考江苏•第18题）如图，一个湖的边界是圆心为O的圆，湖的一侧有一条直线型公路/,湖上有桥川（反是圆。的直径）.规划在公路/上选两个点尸、Q,并修建两段直线型道路PRQA.规划要求:线段尸8、QA上的所有点到点O的距离均不小于回。的半径.已知点43到直线/的距离分别为AC和比）（C、。为垂足），测得AB=10,AC=6,3/A12（单位:百米）.（1）若道路P3与桥河垂直，求道路P8的长；（2）在规划要求下，P和Q中能否有一个点选在。处？并说明理由；（3）对规划要求下，若道路PB和。4的长度均为d（单位：百米）.求当d最小时，尸、。两点间的距离.【答案】【答案】见解析【解析】解法一：（1）过A作垂足为E.由已知条件得，四边形ACZ把为矩形，DE=BE=AC=f>,AE=CD=8：因为依„ 8 4所以cosNP8O=sin/A8E=—=-.105所以尸8所以尸8=_BD牛|5cosNPBD4因此道路P8的长为15（百米）.pI)pI)（2）①若尸在。处，由（1）可得E在圆上，则线段8E上的点（除B,E）到点。的距离均小于圆。的半径，所以P选在。处不满足规划要求.②若Q在。处，连结4）,由（1）知A£>=JAE?+ =io,4 ,AD-_Dj\^7AkitffcosZBAD= " =—>0,所以44。为锐角.2ADAB25所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆。的半径.因此，Q选在。处也不满足规划要求.综上，尸和。均不能选在。处.（3）先讨论点P的位置.当NO8P<90。时，线段P5上存在点到点O的距离小于圆O的半径，点P不符合规划要求；当NO8PN90。时，对线段EB上任意一点尸，OF^OB,即线段尸8上所有点到点。的距离均不小于圆。的半径，点夕符合规划要求.设《为/上一点，且由（1）知，《8=15,3此时PXD=[BsinNRBD=PtBcosNEBA=15x—=9；当NOBP>9。。时，在中，PB>PiB=\5.由上可知，d215.再讨论点。的位置.由⑵知，要使得04215,点。只有位于点C的右侧，才能符合规划要求.当QA=15时，CQ/qN-AC?=V152-62=3721.此时，线段QA上所有点到点0的距离均不小于圆。的半径.综上，当PBL由PBLA8,点Q位于点C右侧，且CQ=3&T时，d最小，此时P,Q两点间的距离PQ=PD+CD+CQ=11+3向.因此，d最小时，P,。两点间的距离为17+3&T（百米）.解法二：（1）如图，过O作O”_L/,垂足为，.

的纵坐标分别为3,-3.以0为坐标原点，直线。，为的纵坐标分别为3,-3.因为80=12,AC=6,所以0/7=9,直线/的方程为y=9,点AB因为为圆。的直径，AB=10,所以圆。的方程为丁+尸=25.从而A(4,3),B(Y,-3),直线AB的斜率为一4__ . 4 4 25因为所以直线尸8的斜率为-士，直线PB的方程为y=-2x-三.所以P(-l3,9),PB=J(-13+4>+(9+3)2=15因此道路P8的长为15(百米).(2)①若P在。处，取线段班)上一点E(-4,0),则EO=4<5,所以P选在。处不满足规划要求.②若Q在。处，连结A。，由⑴知£>(Y,9),又A(4,3),3所以线段AD：y--一x+6(TWxW4).4在线段AD上取点M(3,?),因为OM=卜+仁)<V32+42=5,所以线段上存在点到点O的距离小于圆。的半径.因此Q选在。处也不满足规划要求.综上，P和。均不能选在。处.(3)先讨论点P的位置.当NO8P<90。时，线段依上存在点到点0的距离小于圆。的半径，点P不符合规划要求;当NOBPN90。时，对线段P8上任意一点尸，OF^OB,即线段依上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径，点P符合规划要求.设4为/上一点，且LAB,由(1)知，々8=15,此时片(-13,9)；当NOBP>90。时，在中，PB>PiB=l5.

由上可知，心15.再讨论点Q的位置.由(2)知，要使得04^15,点Q只有位于点C的右侧，才能符合规划要求.当QA=15时，设Q(a,9),由AQ="(a-4)2+(9-3)2=15(。＞4),得。=4+3历，所以。(4+3历,9),此时，线段QA上所有点到点。的距离均不小于圆O的半径.综上，当P(-13,9),Q(4+3及1,9)时，d最小，此时P,。两点间的距离产。=4+3万一(-13)=17+3历.因此，d最小时，P,Q两点间的距离为17+3&1(百米).【题目栏目】三角函数'三角函数的实际应用问题【题目来源】2019年高考江苏•第18题24.(2019年高考江苏•第15题)在ZVIBC中，角A,8,C的对边分别为a,b,c.(1)若a=3c,b=&,cosB=—,求c的值;3zxsinAcosB_p..⑵若 = ,求sin(3+-)的值.TOC\o"1-5"\h\za2b 2【答案】【答案】见解析【解析】(1)因为。=3c,/?=&,cosB=23由余弦定理cosB=巴士£心，得2=0c)--二(&),gpc2=llac 32x3cxc 3所以c=且.3二sinAcosB(2)因为 =——,a2b〜丁ab cosBsinBrrKI^.门由正弦定理^——=-——，得 = ,所以8s8=2sin8.叫，故cos^bJsinAsinB2h叫，故cos^bJ从而cos2B=(2sinB)2,即cos?B=4(l-cos2/s因为sin8>0,所以cos8=2sin8>0,从而cosB=―-5【题目栏目】三角函数'正弦定理和余弦定理'正、余弦定理的综合应用【题目来源】2019年高考江苏•第15题25.(2019年高考北京理•第15题)在△ABC中，a=3,b-c=2,cosB=--.2（I）求力，C的值；（ID求sin（B-C）的值.【答案】【解析】（I）由题可知a=3,b-c=2,cos5=一一，由余弦定理得:2TOC\o"1-5"\h\z_a2+c2-b2 1cosB= =—,2ac 2解得:（II）由同角三角函数基本关系可得：sinB=>/l-cos2B=—.结合正弦定理2C寸汨.„csinB5百sinBsinC14--sinCsinBsinC14很明显角C为锐角，故cosC=Jl-sin?C=」,14故sin（B-C）=sinBcosC—cosBsinC=yV3.【题目栏目】三角函数'正弦定理和余弦定理'正、余弦定理的综合应用【题目来源】2019年高考北京理•第15题26.（2018年高考数学江苏卷•第17题）（本小题满分14分）某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆。的一段圆弧MPN（P为此圆弧的中点）和线段MN构成.已知圆。的半径为40米，点「到"/7的距离为50米.现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚I内的地块形状为矩形A8CD,大棚II内的地块形状为要求均在线段上，C,。均在圆弧上.设0C与MN所成的角为6.⑴用0分别表示矩形ABCD和△CDP的面积，并确定sin8的取值范围;（2）若大棚（2）若大棚I内种植甲种蔬菜，大棚H内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为所以5/**Ij^y***£kjr*1)1 -“ '过。作O£_LBC于E,则OE〃MN,所以NCOE=，，故OE=4Ocos0,EC=40sinJ,则矩形ABCD的面积为2x40cos9(40sin9+10)=8OO(4sin0cos0+cos0),△CDP的面积为；x2x40cos夕(40-40sin0)=1600(cos6»-sin6»cos(9).过N作GMLMM分别交圆弧和OE的延长线于G和K,则GK=KN=10.令NGOK=%,则sin〃=Lc4%e(0,g)•o当。€心()时，才能作出满足条件的矩形ABCD,所以sine的取值范围是[；/).答：矩形A8CD的面积为800(4sinJcosi?+cosi?)平方米，ACDP的面积为1600(cosi?-sini?cosi?),sin。的取值范围是己,1).4(2)因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4：3,设甲的单位面积的年产值为4k,乙的单位面积的年产值为3k(k>0),则年总产值为JT4Ax800(4sinaosO+cosi?)+3Axl600(cosi?-sini?cosi?)=8000k(sini?cosi?+cosi?),0e[6(),—).TT设/(i?)=sini?cosi?+cosi?,^G[6j),—).则/'(。)=cos2。一sin2。一sin6=-(2sin20+sin0-1)=-(2sin0-l)(sin6+1).令/(。)=0,得。=¥.6当0e(4,马时，/⑻>0,所以/⑻为增函数;6当。€(2,马时，/⑻<0,所以f⑻为减函数:62因此，当。=工时，”6)取到最大值.

答：当。=工时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大.【题目栏目】三角函数'三角函数的实际应用问题【题目来源】2018年高考数学江苏卷•第17题.（2018年高考数学江苏卷•第16题）（本小题满分14分）已知a,夕为锐角，tana=g,cos（a+仍=-£.（1）求8s2a的值； （2）求tan（a-夕）的值.cosa【答案】解析：（1）因为tantz=3,tana=上山。,所以sina=9cos2.cosa因为sin?a+cos2a=1,cos2a--，25因此cos2a=2cos2a-1=一(.(2)因为a,夕为锐角，所以。+/£(0,乃).又因为cos(a+/3)———9所以sin(a+/3)— -cos?(a+/3)————,因此，tan(a+0=-22tana 241-tan-a1-tan-a因此，tan(a-0)=tan[2a-(a+£)]=7tan2a-tan(a+0)1+tan2atan(a+p)【题目栏目】三角函数'三角恒等变换'给值（角）求值与给值求角的问题【题目来源】2018年高考数学江苏卷•第16题.（2018年高考数学浙江卷•第18题）已知角a的顶点与原点。重合，始边与X轴的非负半轴重合，它34的终边过点尸（一（1）求sin（a+7t）的值；5（2）若角夕满足sin（a+/7）=—,求cos夕值.TOC\o"1-5"\h\z, _,34 4 、 4【解析】(1)由角a终边过点尸(一一,——)^sin«=——，所以sin(a+乃)=-sina=—.55 5 534 3⑵由角a终边过点P(-《，-W)得cosa=-g,5 12由sin(a+4)=不得cos(a+/)=±.5665由/=(a+4)—a得cos尸=cos[(a+J3)—a]=cos(a+/3)cosa4-sin(cif+5665当cos(a+/?)=丁时,cosft=x

12当cos(a+，)=时,所以12当cos(a+，)=时,6565【题目栏目】三角函数'三角恒等变换'给值（角）求值与给值求角的问题【题目来源】2018年高考数学浙江卷•第18题.（2018年高考数学上海•第18题）（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）设常数aeR,函数/(