中考数学考前30天迅速提分复习方案专题-初中数学解答题解题技巧

专题3.2初中数学解答题解题技巧。几何证明❷函数与几何综合题❷变换综合题类型一：几何证明1.（2020•浙江台州市•中考真题）如图，在aABC中，ZACB=90°,将△ABC沿直线AB翻折得到aABD,连接CD交AB于点M.E是线段CM上的点，连接BE.F是ABDE的外接圆与AD的另一个交点，连接EF,BF,（1）求证：4BEF是直角三角形；（2）求证：ABEF^ABCA；（3）当AB=6,BC=m时，在线段CM正存在点E,使得EF和AB互相平分，求m的值.AAD D【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）273【分析】（1）想办法证明NBEF=90°即可解决问题（也可以利用圆内接四边形的性质直接证明）.（2）根据两角对应相等两三角形相似证明.1 1 加2（3）证明四边形AFBE是平行四边形，推出FJ=-BD=-m,EF=m,由△ABCs/\CBM,可得BM=巴-2 2 6由△befs/\bca,推出= 由此构建方程求解即可.EFBE【详解】（1）证明：由折叠可知，ZADB=ZACB=90°VZEFB=ZEDB,ZEBF=ZEDF,AZEFB+ZEBF=ZEDB+ZEDF=ZADB=90°,AZBEF=90°,，ZXBEF是直角三角形.（2）证明：VBC=BD,AZBDC=ZBCD,VZEFB=ZEDB,，NEFB二NBCD,VAC=AD,BC=BD,AABICD,ZAMC=90°,YNBCD+NACD=NACD+NCAB=90°,AZBCD=ZCAB,AZBFE=ZCAB,

VZACB=ZFEB=90°,.,.△BEF^ABCA.(3)设EF交AB于J.连接AE,如卜.图所示:ACBC；ABEF^ABCA,——=ACBC；ABEF^ABCA,——=——，即EFBE-s/36-zn2minm72BC:MB=AB:BCmBE二正,TEF与AB互相平分，,四边形AFBE是平行四边形，,NEFA=NFEB=90°,即EFJ_AD,VBD±AD,,・・EF〃BD,VAJ=JB,JAF=DF,FJ=-BD=—,AVAABC^ACBM,2 2/.BM=—,△BEJs/XBME,BE:BM=BJ:BE,；6解得,”=2百（负根舍去）.故答案为：2石.【点睛】本题属于圆综合题，考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题.变式训练1如图3-43-2,ZXABC中，NACB=60°,分别以AABC的两边向三角形外作等边三角形BCE和等边三角形ACF,过点A作AM〃FC交BC于点M,连接EM.求证：（1）四边形AMCF是菱形；(2)AACB^AMCE.图3-43-2证明：(1)•••△ACF是等边三角形，ZFAC=ZACF=60°,AC=CF=AF.VZACB=60°,AZACB=ZFAC..,.KFIIBC.---AMIIFC,...四边形AMCF是平行四边畛•••AF=CF,，四边形AMCF是菱形.(2):△BCE是等边三角形，•••BC=EC.又；AC=CF=MC,.AC=MC,...在△ABC和△MEC中，，Z4CW=ZMCE=60°,BC=EC,/.△ABC^AMEC(SAS).变式训练2如图3-43-4,在平行四边形ABCD中，0是AB的中点，连接D0并延长交CB的延长线于点E,连接AE,DB.(1)求证:AA0D=AB0E;⑵若DC=DE,判断四边形AEBD的形状，并说明理由.图3-43-4(1)证明：•.•四边形ABCD是平行四边形,；.AD〃CE....NADO=NBEO.；0是AB中点，/.AO=BO.XVZAOD=ZBOE,/.AAOD^ABOE(AAS).(2)解：四边形AEBD是矩形.理由如下：VAAOD^ABOE,.\DO=EO.又•••AO=BO,.,.四边形AEBD是平行四边形.VDC=DE=AB,二四边形AEBD是矩形.变式训练3准备一张矩形纸片，按如图3-43-6操作：将4ABE沿BE翻折，使点A落在对角线BD上的M点处，将ACDF沿DF翻折，使点C落在对角线BD上的N点处.(1)求证：四边形BFDE是平行四边形；(2)若四边形BFDE是菱形，AB=2,求菱形BFDE的面积.(1)证明：•••四边形ABCD是矩形，/.ZA=ZC=90°,AB=CD,AB〃CD./.ZABD=ZCDB..\ZEBD=ZFDB.；.EB〃DF.又：ED〃BF,.,.四边形BFDE为平行四边形.(2)解：；四边形BFDE为菱形，.*.BE=ED,ZEBD=ZFBD=ZABE.•.•四边形ABCD是矩形，.\AD=BC,ZABC=90".AZABE=30°.VZA=90°,AB=2,••"£=新嘎BF=BE=2AE哭.二菱形BFDE的面积为逑x2=盟工3 3类型二：函数与几何综合题一1,1.(2020•辽宁锦州市•中考真题)在平面直角坐标系中，抛物线丁=-§/+云+。父x轴于A(—3,0),B(4,0)两点，交y轴于点C.(1)求抛物线的表达式；3 9 -⑵如图，直线'=/+“与抛物线交于A,D两点、，与直线BC于点E若蛆丸。)是线段A8②在平面内是否在点P,②在平面内是否在点P,使四边形EEHP为正方形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】(1)>=-</+9+4；(2)①g或在，请说明理由.【答案】(1)>=-</+9+4；(2)①g或-2；②存在;

3 3 4或1,【分析】(1)根据待定系数法列出方程组即可求*抛物线的表达式;5(2)利用凡E9=gS/)Ec，用m和抛物线及一次函数的解析式表示出FG的长度，解出m即可求出答案;(3)先根据直线AD与直线BC相交于点E求出E点坐标，再根据题意当四边形EFHP是正方形，利用正方形四个角都是直角且四条边都相等求UIF点的坐标及EF的长度，再根据坐标求解即可.【详解】解：(1)♦.•抛物线y=—g/+法+。经过a(_3,0),5(4,0)两点,—3—3〃+c=016„八，解得 +4t>=c=03b=-3,c=4：.抛物线的表达式为y=*+$+4.(2)①方法1：如图1,过点。作ORLAO尸点R,过点F作/f点Q,设直线AD与y轴交点为N.QM(肛0),宜线FGLx轴,・•.G，〃』〃,+?,F九」加+」机+4,

I4口I3 3,,FG=.L^+Lm+4Jlm+2.,,FG=.L^+Lm+4Jlm+2.}=.L3 3U4) 33 9由一次函数y=：x+:可以求出点N坐标为4 49在RfAAON中,OA=3,ON=-,4AN=y/o^+ON2=—,

4•:S.nN=-OAON=-ANOR,a 2 2OR=OAON9--9-4X3AN-15-5

J■：SFFC=-EG-FQ,SnFC=-EGOR,:;EG•FQ=京；EG♦OR,5：.FQ=-OR=\.9图14FGQ=ZAGM,MH平行于y轴，ZAGM=AANO,："FGQ=乙4IO、：.sinNFGQ=—=sin匕ANO=-=-FG AN55TOC\o"1-5"\h\z125 75/.——m /??+—=一,3 12 443解得町=—,?=一2.联立抛物线和一次函数，得：-卜2+卜+4=%+]3 3 4 47解得±=7，々=-3,则可知此时求出的点F都在直线AD上方的抛物线上，3，力的值为一或-2.4方法2：如图L过点0作OR,A0于点R,过点F作尸。_LA£＞于点Q,设“线AO'Jy轴交点为N.则N(0,J0N=',QM(见0),直线尸GJ_x轴，•/3 9)J121八TOC\o"1-5"\h\z..G|m,-tri4—,rtn,—mH—m+4] .14 41133yl1 21 ”(3 9、 1 25 7..FG=—m+_zn+4—|_m-\—=—/?? mT—,3 3 (4 3 12 4S.efg=5EG.FQ、S-oeg=]EG-OR,：.-EGFQ=-x-EGOR,2 92,fQ=5,'orF•.OR1AD,FQLAD,：.匕FQG=NORN=90°,由题意可得，/轴，则NFGQ=NONR,：aFGQfONR,.FG_FQ_5"ON~~dR~9'FG=-ON=-x-=-,9 944...—93 12 44联立抛物线和一次函数，得:7解得W=-3,则可知此时求出的点F都在直线AD上方的抛物线上,3m的值为一或-2.4②存在.点P的坐标为1,②存在.点P的坐标为1,或1,（写对一个得2分）如图2,VB(4,0),C(0（写对一个得2分）如图2,VB(4,0),C(0,4),.••直线BC的解析式为：y=-x+4,3 9联立直线仙川卿C的方程得：/L+4,解得x=l,若四边形EFHP是正方形,.■「#+3+4=3,解得行印EK=1EK=1—1-V131+V13；.ER=；.ER=EK=1+8=3+1+V13=3+1+V1327+V1321+V13,V13-1

1= 同理可得：EF2=同理可得：EF2=【点睛】本题考查了二次函数、一次函数、正方形等综合知识点，难度较大，本题第（2）问中的第1小问通过面积比列出FG关于m的方程是解题的关键，第2小问通过正方形的性质进行讨论即可解题，对于二次函数的综合题型要学会结合数形结合的方法解题.变式训练11.(2019)如图3-46-2,在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c经过A(T,0),B(4,0),C(0,4)三点.(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标；(2)将(1)中的抛物线向下平移?个单位长度，再向左平移h(h>0)个单位长度，得到新抛物线.若新抛物线的顶点D'在△ABC内，求h的取值范围：(3)点P为线段BC上一动点(点P不与点B,C重合)，过点P作x轴的垂线交(1)中的抛物线于点Q,当4PQC与AABC相似时，求△PQC的面积.图3-46-2解：(1)设函数解析式为y=a(x+1)(x-4)=a(x2-3x-4),将(0,4)代入，得-4a=4.解得a=T.故抛物线的解析式为：y=-x2+3x+4,顶点D信."(2)抛物线向下平移空个单位长度，再向左平移h(h4>0)个单位长度，得到新抛物线的顶点0信-/(,y),将点A,C的坐标代入一次函数表达式并解得直线AC的表达式为y=4xM.将点D，坐标代入直线AC的表达式得尹4信叫+4.解得故O</1Vm.(3)如答图346-3,过点P作y轴的平行线交抛物线和x轴于点Q,H.VOB=OC=4,.*.ZPBA=Z0CB=45°=NQPC,直线BC的表达式为y=-x+4,斗久ck答图3-46-3则48=5,BC=4j2,4C=/T7,又加=呆5x4=10,设点Q（m,-m2+3m+4）,点P（m,-m+4）,则CP=&m,PQ=-m2+3m+4+m-4=-n）2+4ni.①当△CPQs/XCBA,缶=*.即强=二+4m.解得叫=0（舍去），比从〃472 5叫=:.相似比为信=t；②当△CPQs/XABC,同理可得相似比为笈=必2.AB25 2利用面积比等于相似比的平方可得s^nox^J嗯或S~l°x（萼/嗡类型三：变换综合1.（2019•山东济宁市•中考真题）如图1,在矩形ABC。中，AB=8,AD=10,E是CD边上一点，连接AE,将矩形A8C。沿AE折叠，顶点。恰好落在BC边上点尸处，延长AE交BC的延长线于点G.图1 图2（1）求线段CE的长；（2）如图2,M,N分别是线段AG,0G上的动点（与端点不重合），且NOMN=ZDAM,设AM=x,DN=y.①写出y关于x的函数解析式，并求出y的最小值；②是否存在这样的点M,使aOMN是等腰三角形？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）CE=3：（2）①当X=46时，y有最小值，最小值=2：②存在.满足条件的X的值为8石-10或L史.2【分析】（1）由翻折可知：AD=AF^\O.DE=EF,设EC=x，则OE=EF=8-x.在RSECF中,利用勾股定理构建方程即可解决问题.（2）①证明aAZWsaGMN,可得黑=要，由此即可解决问题.②有两种情形：如图3-1中，当=M。时•如图3-2中，当脑V=ON时，作M//J.OG于”.分别求解即可解决问题.【详解】解：（1）如图1中，图1•.•四边形ABC0是矩形，AAD=BC=IO,AB=CD=S,：.NB=NBCD=90。,由翻折可知：AD=AF=10.DE=EF，设EC=x,则OE=E/=8-x.在R/aABF中，BF=ylAF2-AB2=6'二CF=BC-BF=lO-6=4,在&aEFC中，则有：(8-x)2=x2+42,x=3,EC=3.(2)①如图2中，图2・；AD//CG,,ADDE"CG-CE•10--5•. —>CG3CG=6,：.BG=BC+CG=\6,

在RhABG中，AG=V82+162=875>八1RtaDCG中，DG=1Jf)2+8'=10,AD=DG=\0,NDAM,：.NDAG=ZAGD,2DMG=/DMN+NNMG=ADAM+ZADM,NDAM,：.ZADM=NNMG,...&ADMS&MN,ADAM：.——=——,MGGN10x* "S>j5-x~\0-y'•_12475.in,•y——x x+10•10 5、3x=4>后时，y有最小值，最小值=2.②存在.有两种情形：如图3-1中，W|MN=M。时，图3-1图3-1乙MDN=NGMD,NDMN=NDGM,：..DMNsaDGM,.DMMN"~DG~'GM'：MN=DM,：.DG=GM=\O,二x=4M=86-10.如图3-2中，当MN=DN时,作M”_LOG于”.图3-2MN=DN、・・ZMDN=/DMN,・•NDMN=/DGM,・・/MDG=NMGD,:・MD=MG,・•BH±DG,・.DH=GH=5,由aGHMsaGBA,可得丝=也，GBAG.5_MG；.MG=迫,2. …、匕5节1175••x=AM=8\/5 = •2 2综上所述，满足条件的X的值为8石-10或L店.2【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，翻折变换，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题.变式训练

如图3-46-4①,在菱形ABCD中，AB=6^anZABC=2,点E从点D出发，以每秒1个单位长度的速度沿着射线DA的方向匀速运动，设运动时间为t(单位：s),将线段CE绕点C顺时针旋转一个角a(a=/BCD),得到对应线段CF.(1)求证：DF=BE；(2)如图3-46-4②,连接BD,EF,BD分别交EC,EF于点P,Q，当t为何值时，4EPQ是直角三角形；(3)如图3-46-4③，将线段CD绕点C顺时针旋转一个角a(a=ZBCD),得到对应线段CG.在点E的运动过程中，当它的对应点F位于直线AD上方时，直接写出点F到直线AD的距离y关于时间t的函图3—46—4(1)证明：：NECF=NBCD,即ZDCF+ZDCE=ZBCE+ZDCE,.*.Z