物理奥赛例题及答案-对称法

练习题五:对称法A1、一半径为R入党半圆均匀薄片质心的位置？求一厚度和密度都均匀的扇形薄片，其半径为R,顶角为2A,求质心？建立如图所示的坐标系，根据半圆的对称性得知xc=0:y^hnfypds :y^hnfypds -y2dyvc-" m m二-^2vJr2-v2dv恃33尿47?"位置为：(0,——)

-2{Ad&\\rdr建立如图所示的坐标系,根据扇形的对称性得知xc=0-2{Ad&\\rdrvc=■Z[ydmfvc=■Zm=—FdO[rcos^dr$」dJq=—[cos6dd[^r2dr2 1-=——•smA^-R"AR1 32R.」=——smA3And因此，扇形的质心比为(O^sin.4)A2、如图7—6所示，长为1的两块相同的均匀长方形砖块A和B叠放在一起，A砖相对于B砖伸出-，B砖放在水平桌面上，砖的端面与桌面平行。为保持两砖不翻倒，B砖伸出桌面的5最大长度是多少？解析：此题可用力矩平衡求解，但用对称法求解，会直观简洁。把A砖右端伸出B端的丄截5去，补在B砖的右端，则变成图7—6—甲所示的对称形状。伸出最多时对称轴应恰好通过桌边。圏7—6图丁圏7—6图丁一石甲所以：l—x=x+5解得B砖右端伸出桌面的最大长度为：x=215

A3、如图7—11所示，三根等长的细绝缘棒连接成等边三角形，A点为三角形的内心，B点与三角形共面且与A相对ac棒对称，三棒带有均匀分布的电荷，此时测得A、B两点的电势各为UA、UB，现将aeA B棒取走，而ab、be棒的电荷分布不变，求这时A、B两点的电势U，、U。A B解析：ab、be、ae三根棒中的电荷对称分布，各自对A点电势的贡献相同，ae棒对B点电势的贡献和对A点电势的贡献相同，而ab、be棒对B点电势的贡献也相同。ab、be棒在B点的电势为设ab、be、ae棒各自在A点的电势为U1,U2。由对称性知，aeab、be棒在B点的电势为由电势叠加原理得：U—3A=3U-U=BA23U1=U—3A=3U-U=BA2TOC\o"1-5"\h\z由①、②两式得：U［=匕，U2= _ =」1 3 2 2将ae棒取走后，A、B两点的电势分别为：2U；=ua—U,=2UaaA1 3AA4、电荷q均匀分布在半球面ACB上，球面的半径为R，CD为通过半球顶点C与球心O的轴线，如图所示，P、Q为CD轴线上在O点两侧，离O点距离相等的两点，已知P点的电势为UP，试求Q点的电势Uq。解析：可以设想一个均匀带电、带电量也是q的右半球，与题中所给的左半球组成一个完整的均匀带电球面，根据对称性来解。由对称性可知，右半球在P点的电势U，等于左半球在Q点的电势UQ。即：U，=UQp Q p Q所以有：UP+UQ=Up+u;而Up+U；正是两个半球在P点的电势，因为球面均匀带电，所以Up+U；=K丝pp ppR由此解得Q点的电势：UQ=2Kq—Up。QRA5一无限长均匀带电细线弯成如图7—8所示的平面图形，其中AB是半径为R的半圆弧，AA'平行于BB',试求圆心O处的电场强度。解析：如图7一8甲所示，左上1/4圆弧内的线元AL］与右下直线上的线元AL3具有角元A0对称关系。AL］电荷与AL3电荷在O点的场强AE］与AE3方向相反，若它们的大小也相等，则左上与右下线元电场强度成对抵消，可得圆心处场强为零。图7—& 图？一刘卩设电荷线密度为常量入，因A0设电荷线密度为常量入，因A0很小,AL］电荷与AL3电荷可看做点电荷，其带电量:当AO很小时,有：=3J2cos0-cos0又因为AEi=kR2，AE2=电=K豁.詈=K詈，与平的大小相同，且AEi与AE2方向相反。所以圆心O处的电场强度为零。A6、如图7—15所示，两块竖直放置的平行金属板A、B之间距离为d，两板间电压为U,在两板间放一半径为R的金属球壳，球心到两板的距离相等，C点为球壳上的一点，位置在垂直于两板的球直径的靠A板的一端，试求A板与点C间的电压大小为多少？解析：将金属球壳放在电场中达到静电平衡后，球壳为等势体，两极板之间的电场由原来的匀强电场变为如图7—15甲所示的电场，这时C与A板间电势差就不能用公式UAC=EdAC来计算。我们利用电场的对称性求解。由于电场线和金属球关于球心O对称，所以A板与金属板的电势差UAO和金属球与B板的电势差uob相等，即：U=UAOOB又A、B两板电势差保持不变为U，即：U+U=UAOOB由以上两式解得：UAO=u=UAOOB2所以得A、C两点间电势差:UAC=UAO=UACAO2B1、沿水平方向向一堵竖直光滑的墙壁抛出一个弹性小球A，抛出点离水平地面的高度为h，距离墙壁的水平距离为s，小球与墙壁发生弹性碰撞后，落在水平地面上，落地点距墙壁的水平距离为2s，如图7—1所示。求小球抛出时的初速度。

解析：因小球与墙壁发生弹性碰撞，故与墙壁碰撞前后入射速度与反射速度具有对称性，碰撞后小球的运动轨迹与无墙壁阻挡时小球继续前进的轨迹相对称，如图7—1—甲所示，所以小球的运动可以转换为平抛运动处理，效果上相当于小球从A'点水平抛出所做的运动。x=vt根据平抛运动的规律：＜01y=尹22s—— 2s——I I图7—1甲图7—1因为抛出点到落地点的距离为2s—— 2s——I I图7—1甲图7—1mD1 2 3B2、如图所示，完全相同的三块木块并排固定在水平面上，一颗子弹以速度v水平射入，若子弹在木块中做匀减速运动，且穿过第三块木块后速度恰好为零，则子弹依次射入每块木块时的速度之比和穿过每块木块的时间之比。mD1 2 3解：子弹匀减速穿过三木块，末速度为零，我们假设子弹从右向左作初速度为零的匀加速直线运动.贝U：子弹依次穿过321三木块所用时间之比：t3：t2：t1=1：V(2-1)：V(3-2)得：子弹依次穿过123三木块所用时间之比：t1：t2：t3=V(3-2)：V(2-1)：1设子弹穿过第三木块所用时间为1秒，则穿过3,2两木块时间为:t3+t2=V2秒，穿过3,2,1三木块时间为：t3+t2+t1=V3秒贝U：子弹依次穿过3,2,1三木块时速度之比为：1：V2:丁3所以，子弹依次穿过1,2,3三木块时速度之比为：3: 2:1故答案为：丁3:V2:1；V(3—2)：V(2-1)：1B3(1)竖直上抛运动与自由落体运动的等价性;弹簧振子伸长与压缩运动过程的等价性;光线传播过程的可逆性。

B4、如图7—13所示，在水平方向的匀强电场中，用长为1的绝缘细线，拴住质量为m、带电量为q的小球，线的上端O固定，开始时将线和球拉成水平，松开后，小球由静止开始向下摆动，当摆过60°角时，速度又变为零。求:图？一13屮A、B两点的电势差图？一13屮电场强度多大？解析：(1)小球在A、B间摆动，根据能量守恒定律有：£pa=£pb取A点为零势能的参考点，即£pB=0所以UBA=^U=—Nmg1AB 2q贝I」：EpB=—所以UBA=^U=—Nmg1AB 2q(2)小球在平衡位置的受力如图7—13甲。根据共点力的平衡条件：有：qE=mgtan60°解得电场强度：E=”3mgq图7—13三只猎犬的位置构成三角B5、A、B、C三只猎犬站立的位置构成一个边长为a的正三角形，每只猎犬追捕猎物的速度均为v,A犬想追捕B犬，B犬想追捕C犬，C犬想追捕A犬，为追捕到猎物，猎犬不断调整方向，速度方向始终“盯”住对方，它们同时起动，经多长时间可捕捉到猎物？解析图7—13三只猎犬的位置构成三角由题意作图7—3，设顶点到中心的距离为s，则由已知条件得：s=$a3由运动合成与分解的知识可知，在旋转的参考系中顶点向中心运动的速度为：V=vcos30°=——v2由此可知三角形收缩到中心的时间为：t=-=2av'3v(此题也可以用递推法求解，读者可自己试解。)C1(1)如图7—25所示的四面体框架由电阻同为R的6根电阻丝联结而成，求任意两个厂 R顶点A、B间的等效电阻Rab =~AB AB2(2)6个相同的电阻R构成一个如图所示的电阻网络，求AB间和AD间的等效电阻。

图丁一器图丁一器C2、电路如图10所示，已知各电阻阻值均为R,求RAc、Rab、Rao各为多少欧?R二16RAB30C3(1)电路如图7—21所示，每两个节点间电阻的阻值为R,求A、B间总电阻RAB.答案：RAB答案：RAB=2R(2)(2)在如图8所示的网格形网络中,每一小段电阻均为R,试求AB之间的等效电阻RABoR12R/2A图10OCD分析:由于网络具有相对于过R12R/2A图10OCD分析:由于网络具有相对于过A、B对角线的对称性，据等电势点之间可以拆开也可以合并的思想简化电路即可。图11可以折叠成如图9所示的等效网络。而后根解法(a)：简化为如图9所示的网络以后，将3、O两个等势点短接，在去掉斜角部位不起作用的两段电阻，使之等效变换为如图10所示的简单网络。最后不难算得Rao=Rob=5R/14Rab=Rao+Rob=5R/7解法(b)：简化为如图所示的网络以后，将图中的O点上下断开，如图11所示，最后不难算得Rab=5R/7C4、有7个电阻同为R的网络如图17所示，试求A、B间的等效电阻RaboABBBB图17解：将Y网络O-ABC变换成A网络如图18所示其中R=(RR+RR+RR)/R=5RABabbccacR尸(RR+RR+RR)/R=5R/2BC'abbcca，aR=(RR+RR+RR)/R=5RCA'abbcca，b这样就是一个简单电路了，很容易算得R=7R/5AB求A、G之间的电阻是多少?C5、如图求A、G之间的电阻是多少?分析：假设在A、G两点之间加上电压时，显然由于对称性D、B、E的电势是相等的，C、F、H的电势也是相等的，把这些点各自连起来，原电路就变成了如图7所示的简单电路。CGDTF CGDTF —I I—解:由简化电路，根据串、并联规律解得Rag=5R/6Ag(同学们想一想，若求A、F或A、E之间的电阻又应当如何简化？)C6、限平面导体网络，它有大小相同的正六边型网眼组成，如图28所示。所有正六边型每边的电阻均为R0,求间位结点a、b间的电阻。分析：假设有电流I自a电流入，向四面八方流到无穷远处，那么必有I/3电流由a流向c,有I/6电流由c流向b.再假设有电流I由四面八方汇集b点流出，那么必有I/6电流由f流向c,有I/3电流由c流向b.解：将以上两种情况结合，由电流叠加原理可知I=I/3+I/6=I/2(由a流向c)acIcb=I/3+I/6=I/2(由c流向b)因此ab之间的等效电阻为Rb=Ub/I=(IR0+IbR0)/I=R0ababac0cb0 0C7(1)图27所示是一个无穷方格电阻丝网络的一部分，其中每一小段电阻丝的阻值都是R求相邻的两个结点A、B之间的等效电阻。分析：假设电流I从A点流入，向四面八方流到无穷远处，根据对称性，有I/4电流由A点流到B点。假设电流I经过无限长时间稳定后再由四面八方汇集到B点后流出，根据对称性，同样有I/4电流经A点流到B点。解：从以上分析看出，AB段的电流便由两个I/4叠加而成，为I/2因此UAB=(I/2)*rA、B之间的等效电阻RAB=UAB/I=r/2(2).如图7—18所示是一个由电阻丝构成的平面正方形无穷网络，当各小段电阻丝的电阻均为R时，A、B两点之间的等效电阻为R/2,今将A，B之间的一小段电阻丝换成电阻为R'的另Rab二端电阻丝，试问调换后ARab二练习题一：整体法的补充：一根质量为