展开成傅立叶级数

9.6.3函数f(x)展开成傅立叶级数函数f(x)展开成傅立叶级数收敛定理(狄里克莱(Dirichlet)充分条件)设函数f(x)在区间［-兀,兀］满足如下条件：连续或只有有限个第一类间断点，或具有有限个极值点，则f(x)的傅立叶级数在［一兀,兀］上收敛。且当x是f(x)的连续点时，级数收敛于f(x)；当x是f(x)的间断点时，级数收敛于f(x-0)+f(x+0).；2当x=土兀时，级数f(x)收敛于f(-丸+0)+f(丸-0)。2收敛定理并没有要求f(x)是周期函数，只要求函数f(x)在区间［-兀,兀］上满足收敛定理的条件，则这个函数就能在这个区间上展为收敛的傅立叶级数。当f(x)的傅立叶级数在［-兀,兀］上收敛时，由于它的各项都以2兀为周期，所以对任何实数该级数也收敛、因该级数的和函数是以2兀为周期的周期函数.一般说来，在区间［-兀，兀］以外，该级数与函数f(x)就没有关系了，因此不能把级数的和函数的图形与函数f(x)的图形混为一谈.如果f(x)是(-8,8)上，以2兀为周期的函数，且满足收敛定理条件，则它的傅立叶级数就在数轴上收敛；在f(x)的连续点处，级数收敛于f(x)；如果f(x)在(-8,8)上，是以2兀为周期的连续函数，则它的傅立叶级数的和函数就是f(x)。根据上述讨论，可以按下列步骤把函数f(x)展开为傅立叶级数.验证f(x)满足收敛定理的条件。求出f(x)的傅立叶系数。写出f(x)的傅立叶级数，并根据收敛定理讨论这个级数在[-兀,兀]的收敛情况。画出傅立叶级数的和函数在(-8,8)上的图形。例1展开函数f(x)=；-1-K-x<0为傅立叶级数。[00<x<K解这个函数满足收敛定理的条件,x=0是第一类间断点，先求它的傅里叶系数。a=上卜f(x)dx-—[J0(-1)dx+卜1-dx]=1{[—x]0+[x]—J0—-—0f(x)cosnxdx=—[j0(-1)cosnxdx+j"1-cosnxdx]11「1•10「1•1—=—5——sinnx+—sinnx》兀_n__n_、-—0=0n=1,2,3…b=1j兀f(x)sinnxdx=1[j0(-1)sinnxdx+b=1j兀f(x)sinnxdx='「110「11—〈一cosnx+一一cosnx"Ln一ln一-—0J1——[1-(-1)n]n=1,2,3n—n=1,3,5,n—0n=2,4,6,...所以函数f(x)的傅里叶级数展开式为f(x)=-^^—^-sin(2n—1)x2n—14二1.°1.八.=一[sinx+sin3x++sin(2n—1)x+—]32n+1函数f(x)满足收敛定理提出的条件，它在k=k—(k=0,±1,±2,±3,…)，处有第一类间断点，在其他点处连续.因此f(x)的傅里叶级数收敛，当x=k—k=0,±1,±2,±3,…级数收敛到4—W=0或2i=0在其它点处级数收敛到f(k=k—2级数和函数的图形如图所示111,'ll?；X1必f口如果把例1中的函数f(x)理解为描写矩形波的函数(周期T=2兀，幅值E=1,时间用变量x表示)，则上面所得到的展开式表明：矩形波是由一系列不同频率的正弦波叠加而成，这些正弦波的频率依次为基波频率的奇数倍.例2设f⑴是周期为2兀的周期函数，它在区间［一兀,兀］上的表达式为Ix-K<x<0

f(x)=|00<x京试将函数f⑴展开成它的傅里叶级数。a=L卜f(x)dx=—[J0xdx+卜0-dx]=—[—]00兀-兀兀-兀o兀2一兀a=1J兀f(x)cosnxdx=】[J0(x)cosnxdx+卜0-cosnxdx]:x•_-—sinnx_n_0+」cosn；_n2_0J—冗一兀J—[1-(-1)局兀n21兀

冗兀-兀x一一cosnxnb=上卜f(x)sinnxdx=—[J°xsinnxdx冗兀-兀x一一cosnxn1——sinnxn2一兀(-1)〃

n所以函数f(x)的傅里叶级数展开式为…兀/.、1.日/2°1.c、f(x)=-—+(一cosx+sinx)-—sin2x+(cos3x+—sin3x)4兀232兀31../2广1.L、——sin4x+(cos5x+—sin5x)452兀5函数f(x)满足收敛定理提出的条件，它在x=(2k+1)兀(k=0,±1,±x=(2k+1)兀在其他点处连续。因此f(x)的傅里叶级数收敛，当x=(2k+1)—(k=0