圆的有关性质课件讲义

圆的有关概念和性质圆的有关概念和性质1生活剪影一石激起千层浪奥运五环乐在其中生活剪影一石激起千层浪奥运五环乐在其中2感知圆的世界感知圆的世界3圆圆4

如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．·rOA固定的端点O叫做圆心线段OA叫做半径以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．圆的概念如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个·rOA5同心圆

等圆圆心相同，半径不同半径相同，圆心不同确定一个圆的要素:圆心确定其位置，一是圆心，二是半径．半径确定其大小．同心圆等圆圆心相同，半径不同半径相同，圆心不同确定一个圆的6同步练习1、填空：（1）根据圆的定义，“圆”指的是“

”，而不是“圆面”。（2）圆心和半径是确定一个圆的两个必需条件，圆心决定圆的

，半径决定圆的

，二者缺一不可。

圆周位置大小同步练习1、填空：圆周位置大小7

经过圆心的弦（如图中的AB）叫做直径．·COAB连接圆上任意两点的线段（如图AC）叫做弦，与圆有关的概念弦经过圆心的弦（如图中的AB）叫做直径．·COAB连接圆上8圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”。圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。在同圆或等圆中，能够互相重合的弧，叫做等弧。·COAB弧AB圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以A、B为端点的弧记作9大于半圆的弧（用三个字母表示，如图中的）叫做优弧。小于半圆的弧（如图中的）叫做劣弧；·COAB劣弧与优弧ACABC大于半圆的弧（用三个字母表示，如图中的）叫10

求证：矩形的四个顶点在以对角线交点为圆心的圆上。

例题已知：矩形ABCD的对角线AC、BD相交于O。求证：A、B、C、D在以O为圆心的同一圆上。

ABCDO证明：∵ABCD是矩形

∴OA=OB=OC=OD∴A、B、C、D在以O为圆心以OA为半径的圆上。∴AO=OC=AC；OB=OD=BD；

AC=BD矩形－－四点共圆求证：矩形的四个顶点在以对角线交点为圆心的圆上。例题已知111.如何在操场上画一个半径是5m的圆？说出你的理由首先确定圆心,然后用5米长的绳子一端固定为圆心端,另一端系在一端尖木棒,木棒以5米长尖端划动一周,所形成的图形就是所画的圆.根据圆的形成定义练一练1.如何在操场上画一个半径是5m的圆？说出你的理由首先确定圆122你见过树木的年轮吗?从树木的年轮,可以很清楚的看出树木生长的年龄,如果一棵20年树龄的红杉树的树干直径是23cm,这棵红杉树的半径每年增加多少?.解:23÷2÷20=0.575cm

答:这棵红衫树的半径每年增加0.575cm

练一练2你见过树木的年轮吗?从树木的年轮,可以很清楚的看出树13能力提升1.如图：CD为⊙O直径，AE交⊙O于B，且AB=OC，∠A=20o,求∠DOE的度数.能力提升1.如图：CD为⊙O直径，AE交⊙O于B，且AB=O14问题：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥,是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？赵州桥主桥拱的半径是多少？问题情境问题：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石拱15实践探究把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？可以发现：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．活动一实践探究把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，16如图，AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使CD⊥AB，垂足为E．因为圆是轴对称图形，以直径CD为对称轴把⊙O折叠，你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？?思考·OABCDE活动二相等线段：

AE=BE⌒⌒⌒⌒弧：AC=BC,AD=BD把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，点A与点B重合，线段AE与BE重合，弧AC与弧BC重合，弧AD与弧BD重合。如图，AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使CD⊥AB，垂足为E17·OABCDE垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．⌒⌒⌒结论：AE=BE,AD=BD,AC=BC⌒即直径CD平分弦AB，并且平分AB和ACB.⌒⌒·OABCDE垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对18如图１，当直径ＣＤ平分弦ＡＢ时，ＣＤ与ＡＢ垂直吗？AC=BC,AD=BD吗？⌒⌒⌒⌒ABDE

OC图１推论:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.如图１，当直径ＣＤ平分弦ＡＢ时，ＣＤ与ＡＢ垂直吗？AC19根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说。如果具备（1）过圆心（2）垂直于弦（3）平分弦（4）平分弦所对的优弧（5）平分弦所对的劣弧上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论。注意根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说。如果具备（120解得：R≈27．9（m）BODACR解决求赵州桥拱半径的问题在Rt△OAD中，由勾股定理，得即R2=18.72+（R－7.2）2∴赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.OA2=AD2+OD2AB=37.4，CD=7.2，OD=OC－CD=R－7.2在图中⌒⌒⌒

解如图用AB表示主桥拱，设AB所在圆的圆心为O，半径为R．经过圆心O作弦AB的垂线OC，D为垂足，OC与AB相交于点D，根据前面的结论，D是AB的中点，C是AB的中点，CD就是拱高．AB=37.4mCD=7.2m解得：R≈27．9（m）BODACR解决求赵州桥拱半径的问题211．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径．·OABE练习解：答：⊙O的半径为5cm.活动三△在RtAOE中1．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为222．如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边形ADOE是正方形．D·OABCE证明：∴四边形ADOE为矩形，又∵AC=AB∴AE=AD∴四边形ADOE为正方形.（有一个角是直角，并且有一组领边相等的平行四边形是正方形）2．如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD23小结:通过本节课的学习，你掌握了哪些知识？本节课学习的数学知识是圆的轴对称性和垂径定理及其推论。小结:通过本节课的学习，你掌握了哪些知识？本节课学习的数学知24

圆的有关概念和性质圆的有关概念和性质25生活剪影一石激起千层浪奥运五环乐在其中生活剪影一石激起千层浪奥运五环乐在其中26感知圆的世界感知圆的世界27圆圆28

如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．·rOA固定的端点O叫做圆心线段OA叫做半径以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．圆的概念如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个·rOA29同心圆

等圆圆心相同，半径不同半径相同，圆心不同确定一个圆的要素:圆心确定其位置，一是圆心，二是半径．半径确定其大小．同心圆等圆圆心相同，半径不同半径相同，圆心不同确定一个圆的30同步练习1、填空：（1）根据圆的定义，“圆”指的是“

”，而不是“圆面”。（2）圆心和半径是确定一个圆的两个必需条件，圆心决定圆的

，半径决定圆的

，二者缺一不可。

圆周位置大小同步练习1、填空：圆周位置大小31

经过圆心的弦（如图中的AB）叫做直径．·COAB连接圆上任意两点的线段（如图AC）叫做弦，与圆有关的概念弦经过圆心的弦（如图中的AB）叫做直径．·COAB连接圆上32圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”。圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。在同圆或等圆中，能够互相重合的弧，叫做等弧。·COAB弧AB圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以A、B为端点的弧记作33大于半圆的弧（用三个字母表示，如图中的）叫做优弧。小于半圆的弧（如图中的）叫做劣弧；·COAB劣弧与优弧ACABC大于半圆的弧（用三个字母表示，如图中的）叫34

求证：矩形的四个顶点在以对角线交点为圆心的圆上。

例题已知：矩形ABCD的对角线AC、BD相交于O。求证：A、B、C、D在以O为圆心的同一圆上。

ABCDO证明：∵ABCD是矩形

∴OA=OB=OC=OD∴A、B、C、D在以O为圆心以OA为半径的圆上。∴AO=OC=AC；OB=OD=BD；

AC=BD矩形－－四点共圆求证：矩形的四个顶点在以对角线交点为圆心的圆上。例题已知351.如何在操场上画一个半径是5m的圆？说出你的理由首先确定圆心,然后用5米长的绳子一端固定为圆心端,另一端系在一端尖木棒,木棒以5米长尖端划动一周,所形成的图形就是所画的圆.根据圆的形成定义练一练1.如何在操场上画一个半径是5m的圆？说出你的理由首先确定圆362你见过树木的年轮吗?从树木的年轮,可以很清楚的看出树木生长的年龄,如果一棵20年树龄的红杉树的树干直径是23cm,这棵红杉树的半径每年增加多少?.解:23÷2÷20=0.575cm

答:这棵红衫树的半径每年增加0.575cm

练一练2你见过树木的年轮吗?从树木的年轮,可以很清楚的看出树37能力提升1.如图：CD为⊙O直径，AE交⊙O于B，且AB=OC，∠A=20o,求∠DOE的度数.能力提升1.如图：CD为⊙O直径，AE交⊙O于B，且AB=O38问题：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥,是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？赵州桥主桥拱的半径是多少？问题情境问题：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石拱39实践探究把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？可以发现：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．活动一实践探究把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，40如图，AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使CD⊥AB，垂足为E．因为圆是轴对称图形，以直径CD为对称轴把⊙O折叠，你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？?思考·OABCDE活动二相等线段：

AE=BE⌒⌒⌒⌒弧：AC=BC,AD=BD把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，点A与点B重合，线段AE与BE重合，弧AC与弧BC重合，弧AD与弧BD重合。如图，AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使CD⊥AB，垂足为E41·OABCDE垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．⌒⌒⌒结论：AE=BE,AD=BD,AC=BC⌒即直径CD平分弦AB，并且平分AB和ACB.⌒⌒·OABCDE垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对42如图１，当直径ＣＤ平分弦ＡＢ时，ＣＤ与ＡＢ垂直吗？AC=BC,AD=BD吗？⌒⌒⌒⌒ABDE

OC图１推论:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.如图１，当直径ＣＤ平分弦ＡＢ时，ＣＤ与ＡＢ垂直吗？AC43根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说。如果具备（1）过圆心（2）垂直于弦（3）平分弦（4）平分弦所对的优弧（5）平分弦所对的劣弧上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论。注意根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说。如果具备（144解得：R≈27．9（m）BODACR解决求赵州桥拱半径的问题在Rt△OAD中，由勾股定理，得即R2=18.72+（R－7.2）2∴赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.