2022年新高考数学数列经典题型专题提升：第21讲数列中的公共项问题（解析版）

第21讲数列中的公共项问题一、单选题TOC\o"1-5"\h\z（2021•全国•高二课时练习）已知两个等差数列5,8,11 302与3,7,11 399,则它们所有公共项的个数为（ ）A.23 B.24 C.25 D.26【答案】C【分析】求得新数列的首项以及公差，然后根据等差数列的通项公式进行求解.【详解】设两数列的所有相同的项构成的新数列为｛q｝,q=H,又数列5,8,11 302的公差为3,数列3,7,11 399的公差为4,所以数列上｝的公差为12,所以c.=12〃-14302,解得〃425；,所以两数列有25个公共项.故选：C二、多选题（2022•全国•高三专题练习）已知”,/neN,,将数列｛4〃+1｝与数列｛5”｝的公共项从小到大排列得到数列｛靖，则（ ）A.an=5n B.an=5nC.｛4｝的前〃项和空二D D.｛4｝的前"项和为5（25”二I）4 24【答案】BC【分析】先分析出数列｛5,为数列｛4〃+1｝的子数列，从而判断出=5",求出｛4｝的前〃项和.【详解】令4〃+1=5n（n,meN*）,所以〃===（4+l~L，+C：，4-"..+Cr.4eN（,〃=2,3「.），4 4 4 ' "当帆=1时，〃=1,所以数列，｝为数列｛4〃+1｝的子数列,所以=5"=所以=5"=1,2,3…),所以｛〃〃｝的前几项为1-55(5f)故选：BC.【点睛】等差（比）数列问题解决的基本方法：基本量代换和灵活运用性质.三、双空题（2021•江苏•苏州市苏州高新区第一中学高二开学考试）已知两个等差数列｛4｝：5,8,11,…与｛2｝：3,7,11,它们的公共项组成数列卜“｝,则数列｛c“｝的通项公式1=;若数列｛叫和圾｝的项数均为100,则仁｝的项数是.【答案】cn=l2n-l25【分析】根据等差数列｛q｝，｛2｝得到｛%｝是等差数列及其公差，写出｛%｝的通项公式，根据数列｛q｝和｛"｝的项数均为100,由上｝的项是应｝,｛〃｝的公共项，利用通项公式求解.【详解】因为等差数列的｝：5,8,11,…的首项为5,公差为3,所以通项公式为q=3〃+2,｛〃,｝：3,7,11,…的首项为3,公差为4,所以通项公式为仇=4〃-1,所以它们的公共项组成数列｛g｝是等差数列，1首项为II,公差为3*4=12,所以数列｛&｝的通项公式4=11+12（〃—1）=12〃-1；因为数列｛4｝和｛2｝的项数均为100,所以J12n-l<3xl00+2112n-l<4xl00-l所以J12n-l<3xl00+2112n-l<4xl00-l,解得l<n<25.25,所以｛c“｝的项数是25.故答案为：c„=l2n-l,25.（2021•北京昌平•高二期末）数歹ij｛%｝：q,%，l,a“，l；｛bn｝:bt,%,l,b“，l,定义数列a“&2：4，%，4，。4，4，4，%，L.①设a„①设a„='-1,"为奇数2,〃为偶数则数列。“&么的所有项的和等于②设4=5",4=4"-1,1<W<29,则数列与或&a.有个公共项.【答案】19 2【分析】D由题意可以得到数列%&。的通项公式,然n;根据｛““｝、的｝的通项公式可以知道29个项里面有9个I,10个-1，10个2,从而得到问题解答：心由题意可以得到数列4&R和"&4的通项公式,再令4&b“=心&q,即可得至心、加的关系式，最后根据5的倍数与4的倍数的特征可以得到解答.【详解】①由题意可得：/73kk£N'凡”・•・当掇女29时，数列凡&a的所有项的和为：b“,n=3k,keN9xl+(15-5)x(-l)+(14-4)x2=19；②由题意可得；„, 5n,n丰3k、kwN*,„ 3k,kwN*a&b=\ .,bm&.am=\ ,,[4n-l,n=3k,keN [5m,m=3k,kwN很显然，要使必须"、加同时为3的倍数或者同时不为3的倍数，若"、，"同时为3的倍数，则有5帆=4〃一1,则〃=24或〃=9,此时"?=19或m=7,不成立；若"、机同时不为3的倍数，则有5〃=4,〃-1,则加=4或14或19或29,此时对应的有〃=3或H或15或23,把与题意相矛盾的舍去，剩下m=14,〃=11或加=29,〃=23,即如&%=/&0H或/&%=%&。29，即数列4,&b„与b,&4有2个公共项；故答案为19；2.四、填空题(2021•江苏•高二单元测试)将数列｛2"｝与｛2〃｝的公共项从小到大排列得到数列｛〃“｝,则｛4｝的前10项和为【答案】40462"-2【分析】根据题意确定数列｛4｝的前10项，利用等比数列的前〃项和公式即可求出结果.【详解】因为数列｛《,｝是由｛2"｝和｛2〃｝的公共项从小到大排列得到，所以数列｛《,｝的前10项为2,2?2,，…,2'°,即｛4｝是以2为首项，以2为公比的等比数列.所以数列｛%｝的前10项和为2+22+23+--.+2,o=2（1二2"）=2"-2=4046.1-2故答案为：4046（2021•江西•南昌市八一中学高一月考）将数列｛4〃-3｝与｛3〃-1｝的公共项从小到大排列得到数列｛。“｝,则｛«„｝的前〃项和为.【答案】【分析】由已知数列观察得出公共项数列｛为｝的首项和公差，然后由等差数列前"项和公式计算.【详解】数列｛4〃-3｝是首项为1,公差为4的等差数列，数列｛3〃-1｝是首项为2公差为3的等差数列，它们的公共项是首项为5公差为12的等差数列，所以=5〃+也二“x12=”（6〃-1）.2故答案为：«（6n-l）.（2021•河南商丘•高三月考（理））将数列｛2"｝与｛3〃+1｝的公共项从小到大排列得到数列的｝，则其通项4=.【答案】4"【分析】经检验，数列｛21中的偶数项都是数列｛3〃+1｝中的项，观察归纳可得&=4".【详解】数列｛2"｝中的项为：2,4,8,16,32,64,128,256,...经检验，数列｛2"｝中的偶数项都是数列｛3〃+1｝中的项.即4，16,64,256,...可以写成3〃+1的形式，观察，归纳可得4=4".故答案为：4".五、解答题（2021•全国•高三专题练习）已知数列｛2%｝是公比为4的等比数列，且满足外,小,生成等比数列，5.为数列｛々｝的前“项和，且“是1和5”的等差中项，若数列｛4｝是由数列｛/｝中的项依次剔除与｛"｝的公共项剩下的部分组成，求数列｛%｝的前100项和.【答案】11302【分析】根据数列｛2%｝是公比为4的等比数列，满足外,小，成等比数列，得到。,,=2〃+4,根据题意得到纥,=I+S“，i\Ub„=2"',饺a"=b,“,得到〃=2”--2,数列㈤｝的前105项中有5项需要别除，计算得到答案.【详解】数列｛2"”｝是公比为4的等比数列，则帛=2-"=4,即%-。,,=2,即｛4｝是公差为2的等差数列.a2>a4>的成等比数列‘故廿1"'?，即+6）2=（q+2）.（q+12）,解得4=6.故a“=2〃+4.2是1和S”的等差中项，则"=1+5",当〃=1时，2〃=1+E=1+4，解得印=1；当〃N2时，也t=1+S,t，2Z,„=1+S„,两式相减得到期-说,=£,即々=2/*,故步“｝是首项为1公比为2的等比数列，bn=2"-',验证”=1时满足.故"=2"T.令a“=2〃+4=粼=2",BPn=2m-2-2.当〃7=4时，72=2；当机=5时，n=6；当帆=6时，77=14；当机=7时，n=30；当〃7=8时，77=62；当机=9时，〃=126.故数列｛%｝的前105项中有5项需耍剔除，分别为8,16,32,64,128.故数列｛&｝的前100项和为105x6+W®*x2-8-16-32-64-128=11302.（2020•江苏•高二期中）已知数列｛。,,｝为首项为8,公差为4的等差数列，数列｛2｝满足：对任意的“cN*,都有M+a也+…+姐=62"".（1）求数列｛〃"｝,｛"｝的通项公式；（2）将数列｛a,,｝,仍“｝中的公共项按照从小到大重新排列构成新数列｛%｝,求数列｛%｝的通项公式以及数列回口的前〃项和.【答案】（1）。“=4”+4,2=2"；（2）Mx2n+5【分析】（1）依题意可得%=4〃+4,再利用作差法得到女；（2）由（1）川得｛<"的首项为8,公比为2,即可得到G、4G，再利用错位相减法求和即可；【详解】解：（1）依题意=8+4（〃-1）=4"+4因为afy+a也+...+a也="-2"”，即物+1也+...+（4"+4）d=".2"”①；所以地+1次+...+4也_,=（”-1）.2”“②；①一②得，（4〃+4）勿=〃-2/3-（〃一1卜2"+2=（〃+1）.2-2,所以4=2",故a.=4〃+4,2=2"（2）由⑴可知9｝的首项为8,公比为2,故c.=8x2"T=2"2,所以a,£=（4〃+4）x2-2设｛4G｝的前〃项和为5“，则S“=qq+a2c?+…+a”c”=8x23+12x24+---+（4n+4）x2"+2@；2Sn=8x24+12x25+---4-（4n+4）x2n+3（D；①-②得-S“=8x23+4x（24+25+..-+2n+2）-（4/I+4）x2n+3=8x23+4x2（[：）-（4〃+4）x2n+3=26x2"i-（4〃+4）x2"+3所以，=（4〃+4）*2"3_26、2"|=”、2"+5（2021•广东•横岗高中高三月考）已知数列｛4｝的前〃项和S“满足2S“一〃a“=〃，nwN*,且=3.（1）求证：数列22）是常数列；（2）求数列｛《,｝的通项公式.若数列｛"｝通项公式〃=3"-2,将数列｛%｝与｛或｝的公共项按从小到大的顺序排列得到数列｛G｝,求｛%｝的前〃项和.【答案】（1）证明见解析；（2）31-2".【分析】（1）根据S“与4,的关系式得到为“=旦?（〃22）,然后证明%1二1-=0即可；n—\ wn—\（2）根据（1）求出数列｛4｝的通项公式，然后根据数列与｛4｝的通项公式得到新数列｛J｝是以1为首项，以6为公差的等差数列，从而根据等差数列的前〃项和公式求｛c“｝的前〃项和.【详解】（1）证明：由2s“-叫=",得2s“+]-（〃+l）a"+|=〃+1,将上述两式相减，得2a“+1-（"+l）a“+i+〃a“=l,即叫一（“一1）。““=1TOC\o"1-5"\h\znu-i [ 1贝Ija“+|T《,T_n-\ ■一=0(n>2), n-\ n-\n n—i n 〃-I,数列｛黄3伽22)是常数列；(2)由(1)可知，当〃22时，上1=与二'=2,/1-1 2-1:,an=2n-\(n>2)t检验当〃=1时，勺=2〃-1也适用，:.a”=2〃-1(〃eN,),.,•数列｛%｝是以1为首项，以2为公差的等差数列，又数列｛"｝是以1为首项，以3为公差的等差数列，•••这两个数列的公共项所构成的新数列｛cj是以I为首项，以6为公差的等差数列，(cj的前«项和为+ 。><6=3〃2-2n.(2021•全国•高三专题练习)已知等差数列｛4｝及关于x的方程a“x2-2a“+1X+a”+2=。(*eN*)，且数列｛4”｝的公差daO,(1)求证：这些方程有一个公共根；(2)若方程的另一根为X”，求证：数列为等差数列：(3)若数列｛a,,｝的任意两不同项％,、4(叭%wN")之和都是数列的项，求4与d满足的充要条件.【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析：(3)a,=0,d^O^a,=Sd(S>-1,SeZ).【分析】•元二次方程系有公共根，结合｛4“｝成等差数列，必有2a“M=4+a,“2,与方程比技显然可以发现x=l是方程系的公共根；(2)使用韦达定理，求出X”，进•步发小出一二，通过等差数列的定义i正明是等x”T l^-lj差数列：(3)假设存在feN•使4+4=4成立，寻找4与d满足的关系式(其中任意wi、eN").【详解】(1)证明：因为｛4｝为等差数列，所以2"向=q+4+2,因此x=l是方程-2a”“x+a“q=0的一个公共根.(2)若方程的另根为乙，则由韦达定理得lxx,,=4也，即七=&业，Q1二1二%故七-1二亨"j即天-1 %!_] 2d,an 4出叶_! 1向4_4用一”“一"-1此MTxn-l2d2d2d2d2'故数列|」一J是等差数列，得证.(3)设存在/(twN*),有4+4=4，即q+(m一l)d+q+(4一l)d=q+(r-l)rf,所以q+(〃7+Z—r—l)d=0,存在fwN*，对任意/〃，JlwN•恒成立，若4=0,则6+Z—r—1=0,即，=机+2—122,故4=0,dwO.若4户0,则?+(/„+J_])=o,由M,k,reTV，故幺为整数，设幺=S(5eZ),即弓=5",d a因此(m+Z-，-l+s)d=0,HPm+k-t-\+S=G,即帆+左一1+S=，N1,又fwN■对任意〃?，k,fwN,恒成立，即机+女之2-S对用，kwN"恒成立，所以3之2—S,BPS>-1,SgZ.综上所述，《与d满足的充要条件是：4=。，4工0或4=Sd(S>-1,SgZ).(2021・全国•高三专题练习)设数列｛勺｝与他｝的通项公式分别是4=2〃，2=3〃+2,将它们的公共项从小到大排列成新数列｛qj,求｛q｝的前〃项和.【答案】s=8(2J).， 3【分析】先将所给数列｛%"」｛2｝的前若「项一一列出，找出它们的公共项中的前几项，由这几项进行分析，猜想卜“｝的项可能是｛《J中除去前两项的所有奇数项，构成以8为首项，以4为公比的等比数列.再证明猜想，可得出答案.【详解】解：由题意可知｛”“｝的前几项是:2,4,8,16,32,64,128,256,...,｛4｝的前几项是：5,8,11,14,17,20,23,26,29,32,...(即被3除余2的数).由此可知，数列｛c,J的前三项是8,32,128.回到数列｛4｝中，不难发现匕｝的项可能是｛4｝中除去前两项的所有奇数项，构成以8为首项，以4为公比的等比数列.对此猜想证明如下：设数列｛，｝中的第〃项在｛%｝中是第"?项，在他J中是第k项，由数列在“｝的定义可知，。=8,故有c“=2m=3A+2,则应｝中的第机+1项为 =2・2"'=2(3%+2)=3(2&+1)+1.显然，心“不是数列｛勿｝中的项，从而不是上“｝中的项.而同中的第机+2项为：嗫=2*2=42"=4(3k+2)=3(4Z+2)+2,显然它是数列｛〃,｝中的项，从而是上“｝中的第〃+1项，且皿=要=4,故｛%｝是以8为首项，4为公比的等比数列，且其前〃项和为s“/PT.(2021•上海市复兴高级中学高一期末)已知各项均为正数的等差数列｛a,,｝与等比数列他,｝满足弓=用=4,又4、%、%+3。成等比数列且々=她..(1)求数列｛4｝、也｝的通项公式；(2)将数列｛%｝、他,｝的所有公共项从小到大排序构成数列｛4｝,试求数列但,｝前2021项之和；(3)若g=ah-na“-kb”(kwR),数列k｝是严格递增数列，求出的取值范围.【答案】(1)a„=3n-2,bn=2n-(2)*4如-1)；(3),8彳).【分析】(1)设出公差和公比，用基本量表达出条件即可解出；(2)根据两个数列的通项公式列举出｛纥｝的前几项，得出数列的类型再求和即可；(3)根据数列的增减性，分类变量即可解出.【详解】4+d=b、q=4(1)设｛q｝公差为d,但｝公比为q,由已知可得：<(。1+24)2=4(。|+6(/+30),如4=4.如:XV9>0,rf>0,解得：q=l,d=3,々=2,q=2.(2)q=4出=16出=32,84=64「.，二｛耳1｝是以4为苜项，4为公比的等比数列，则其前2021项和为4(]_4力,(42⑼1-4 3、 '(3)c„=(3n-2)2n-n(3n-2)-k-2",Cfl+1=(3n+l)2"+,-(n+l)(3n+l)-jt-2"+1,q)+i—c“=(3〃+4)2"—(6〃+l)—2”,•.•卜“｝是严格递增数列，二。.-4>0恒成立，即A<(3"+4)-与/恒成立，设/(〃)=(3〃+4)-琮1，则/(〃+1)-/(〃)=3+?m>0,即/(〃)严格单调递增，二f(〃)24l)=g,丘18W).(2015♦江苏•高三月考)已知等比数列｛”“｝的首项4=2012,公比口=-；，数列｛a,,｝前n项和记为S“，前n项积记为T,.(1)证明：S2<S„<5,;(2)求n为何值时，7；取得最大值；(3)证明：若数列｛〃“｝中的任意相邻三项按从小到大排列，则总可以使其成等差数列；若所有这些等差数列的公差按从大到小的顺序依次记为4,…则数列｛4｝为等比数列.【答案】(1)见解析；(2)12；(3)见解析.【解析】试题分析：(1)只要证明a?+%+…<°，4+4+…>0即可，由等比数列前〃项和公式易得；(2)由于数列的项正负相间，因此｛7；｝中从第2项开始两项负两项正出现，因此可先求园的最大值，为此求得"±11J4%…4〃，+/=|=型4,可见圜中的最大值是叩，只ITn| |ata2•••an\ 2"是7]]<0,因此比较与它最接近的正值7；和心，知为最大；(3)山「数列｛。”｝是正负相间的，因此其相邻三项4，4”,%+2重新排序(按从小到大顺序)时要按“的奇偶性分类，注意到｛时|｝是递减的，不论女为奇数还是偶数，总有a*+a*.=2%+2，且当人为奇数时，4 -(-g力=舒’当A为偶数时'4=at+2-ak=aI[(-^+'-(-^-']=粉，固有数列｛4｝成等比数列•试题解析：(试题解析：(1)证明:'14与，当”=1时，等号成立,

1a3[l-(--)"~] 1 1S”=S2+ _=S2-0,[1-(-)^]<S2-20111-(--) 6 22011(2)解：1&|1=1的丁-1="i=|7JIq-ql向..2011,2011..2011,2011.•.当〃410时，|&->|7J，当〃Nil时，|&J<|7J，又加*:。，Tlt<0.4>0，兀>0,，7；的最大值是7；和心中的较大者,,,牛=aiOatlal2=[2011(—^)"1]3>1>-7；2>7；.因此当〃=12时，7；最大.(3)证明：•••a“=2011(_3'i，二141随n增大而减小，4奇数项均正，偶数项均负,①当k是奇数时，设｛4｝中的任意相邻三项按从小到大排列为”*“,4*2，%，则ak+i+ak=4(-景+4(-(广'=/，2%2=2q(-g)*“=/，+%=2%,2，因此4+“a—，4成等差数列，公差4=4……卜景1=券②当k是偶数时，设｛%｝中的任意相邻三项按从小到大排列为4,4.2,4T，则4+1+4="(_；)"+4(-g)i=-故'2喉=24(一9+'=_*，：•4+1+4=2%+2-因此4+“4.2,4成等差数列，公差4=4+2-%=a,[(-3)"'_(- 1=券，综上可知，｛4｝中的任意相邻三项按从小到大排列，总可以使其成等差数列，且4=翁，•.•勺=；,•••数列｛4,｝为等比数列.考点：等比数列的前〃项和，数列的最大(小)项，等差数列与等比数列的判断.【名师点睛】1.等差数列与等比数列相结合的综合问题是高考考查的面点，特别是等差、等比数列的通项公式、前"项和公式以及等差中项、等比中项问题是历年命题的热点.2.有关数列的最大项、最小项，数列有界性问题均可借助数列的单调性来解决，判断单调性常用①作差法，②作商法，③图象法.求最大项时也可用可满足*"向；若求最小项，则用满足［”"’4田.本题中数列｛r｝中的正负依次出现，因此首先研究｛仁|｝的单调性及A-%最大项，再考虑｛7；｝的最大值.15.(2020•江苏苏州•高三期末)已知数列｛《,｝满足25“=”+4,人=4,其中5“是数列｛4｝的前〃项和.(1)求生和内的值及数列｛为｝的通项公式；①若《=4(,求《的值；②求证：数列(｛(｝中的任意一项总可以表示成该数列其他两项之积.【答案】(1)4=0,%=2,an=2n-2.(2)①1,②见解析【分析】(1)利用递推关系式求出数列的前几项，同时求出数列｛4｝的通项公式；(2)结合第一问的结论求出(=二，①直接代入<=」即可求解;②对于给定的"eN"、若存住k,t#n,k,reN*,使得】=(•7；,只要找到相应的整数，即可证明.【详解】(1)〃=2时，2S2=20,+4?!=2(<?1+a,),所以q=。，〃=3时，2s3=3a3+q=12,所以q+/+4=6,所以叼=2.由2S“ ="，①所以2s同=(〃+1)%,②由②-①得4+i=(〃+1)《川一，即w“=(〃-l)a“+i，③当“22时，(〃T)%=("-2)a”,④由③-④得(〃-l)a“+l+(〃-l)a“T=2(〃-l)a,即a.+i+a“T=2%,所以数列｛““｝是首项为0,公差为2的等差数列，故数列｛4｝的通项公式是4=2〃-2.(2)-Z——= ~= :-Sn+2nn(n+1)nn+\'1 1 1 1 .111 1 1t1n++...++―—+...+.S1+2S2+4S3+6Sn+2m223nw+1 〃+1〃+1'上—=y.k+1342②对于给定的〃£“，若存在3k,igN,使得］=£・7；：。=号，只需号=占'-〃+1 〃+1k+1r+1两边取倒数，R|J(14--=(14--y-)(l+-),即一 F—;nktn ktkt即k=成+〃，/=〃(+D；取攵=〃+1,则，=〃(〃+2)；k-n・.・对数列｛4｝中的任意一项，总可以表示成该数列其他两项之积.【点睛】本题考查了递推关系、等比数列的通项公式及其前"项和公式，考查了推理能力与计算能力,属于难题.16.(2016・上海市晋元高级中学高三期中)已知递增的等差数列伍“｝的首项《=1,且4、%、4成等比数列.(1)求数列数“｝的通项公式4;(2)设数列｛c“｝对任意〃eN*,都有m+才 卜才=an+i成立，求j+c2H ("Czos的值.(3)若或=3(〃eN"),求证：数列｛"｝中的任意一项总可以表示成其他两项之积.01,【答案】(1)4,="(〃€2*)；(2)2叫(3)见解析.【分析】(1)根据解出公差，即可得到通项公式;(2)当〃22时，由3+后^1"虐="+1①，及T+昔"1端^"=〃②，两式作差求出22 2 22 24=2",即可求解；(3)通过数列通项公式关系对数列｛或｝中的任意一项〃=54,都存在以产詈和* 等1使得2=%耳曲,即可得证・〜n+2n【详解】•.•｛4｝是递增的等差数列，设公差为d3>0）q、和、fl4成等比数列，=%•4由（l+d）2=lx（l+3d）及4>0得 d=\/.an=n（neN*）V^n+i=w+1,]+晟+…+/=〃+1对〃eN*都成立当〃=1时，]=2得。=4当〃22时，由%■+…+卷=〃+1①,及尹景+…+黜=〃②①一②得枭=1，得c“=2".J4(〃=1)-％一[2“(〃22)C[+c2+...+c2o[2=4+22+23+.■.+221"2=4+2?°~^1'')=22013(3)对于给定的〃eN*,若有■在kJ丰n,k，twN*,使得。,="也BPl+-=（l+-）-（l+-）,Bpl=l+-+—nktnktkt〃（k+1）即卜=”+欣+〃，t= 取Z=〃+l,则，=〃（"+2）k-n：.对数列｛4｝中的任意一项4=—,都存在"3=再和b421t="产；+1使得b“=b”+「bj’2“【点睛】此题考查求数列通项公式以及数列求和，考查对数列通项公式的理解认识，证明相关结论.17.（2021・上海交大附中高二期中）已知数列｛《,｝的前〃项和为S,,,我们把满足条件<S.（〃为任意正整数）的所有数列｛q｝构成的集合记为M.（1）若数列｛q｝的通项为为=，1（0<”1）,判断｛q｝是否属于M,并说明理由；（2）若数列｛4｝是等差数列，且｛a“+〃｝wM,求小⑼的取值范围；（3）若数列｛《,｝的各项均为正数，且｛4｝wM,数列｛/1中是否存在无穷多项依次成等差数列?若存在，给出一个数列｛4｝的通项；若不存在，说明理由.【答案】｛a,,｝属于M,理由见解析.[—2021,4-oo)(3)数列中不可能存在无穷多项依次成等差数列，理由见解析.【分析】⑴利用等比数列前n项和公式计算，再比较a.与S“大小关系即可判断作答.(2)设等差数列｛《,｝的公差d,求出数列｛《,+〃｝的前”项和，列出不等式，借助恒成立探求出d与0的取值即可计算作答.(3)根据给定条件探求出数列±4具有的性质，再借助反证法思想并结合等差数列通项即可lAJ判断作答.因数列｛《,｝的通项为4=/一(0<9<1)，则数列｛《,｝是首项为1，公比为q的等比数列，其前〃项和S“有：S„=^-,"q因。则有―詈宁工/川丁飞-小)>0,"q "q \-q即V〃eNL4+i<5“恒成立，所以｛《,｝属于M.没等差微列｛4｝的公差则数列｛《.+〃｝是等差数列，首项为0+1,公差为d+1,令r,为｛〃“+〃｝的前n项和，因｛a“+〃｝eM,则V〃eN*,a„+l+n+l<T„,当〃=1时，％+2«工=4+1,于是得dV-l,t .、〃(〃一1)z..、d+12z3,1、z、.Vn£N"，4+1+〃(d+1)WM(n)+1)h ——,(d+1)<c=c>———•n~+(%——d——)w(q+1)N0,当等<0时，二次函数卜=等72+(卬—|〃一3口一(4+1)开口向下，则必存在某个正数A,当时，y<0,于是有-jd+1)NO对 N'成立，必有"JNO,即dN—1,因此，d=—1,则有(％+1)(〃-1)N0对 wN*成立，解得42T,于是%m=4+2020J=-2020+qN-2021,所以外⑼的取值范围是[-2021,+00).因数列｛4｝的各项均为正数，且则｛4｝的前〃项和S“有：可+145“对\/〃€叶成立，于是得S.「S"4S"O•42,则5.「要.在.联L.....自母442%,显然。”+24S〃+]W2"q，当〃N3时，atl<2n~2ax,而々4E=Z?""，因此，y/2ejq*,n>2,恒有《42iq,4” 4〃 4 4〃4对XMwN",时，————j-=—2",当〃=1时，—=——9册2-qq an%假设数列土中存在无穷多项依次成等差数列，不妨设该等差数列的第〃项为c〃+)(c,h为常数)，4W4 4则存在mwN*,6N*使得c〃+b=-N—・2'”N—・2〃，即cq〃+。/N2"c,44 %当〃eN"〃N3时，令/(〃)=券，则f(〃+l)_f(〃)=^^■一券=2-；1；1)<0,即/(〃+1)</(〃)4"3)=v<1,于是当〃eN',〃23时，2"2>〃2,从而有当neN*，〃N3时，catn+a｝b>n2,BPn2-cain-axb<Q,依题意，不等式〃2-。4〃-46<0在〃23上有无穷多个解，乂：次函数丫=/-"4》-"也图象开口向上，则必存在某个大丁-3的正数4,当x>4时，y^O,从而得不等式/-C