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复数复数审稿:镇江市教研室黄厚忠庄志红复数复数审稿:1知识结构图复数概念表示运算代数表示几何表示代数运算几何意义知识结构图复数概念表示运算代数表示几何表示代数运算几何意义2高考要求1.了解复数的有关概念及复数的代数表示和几何意义;2.掌握复数代数形式的运算法则,能进行复数代数形式的加法、减法、乘法、除法运算;3.了解从自然数到复数扩充的基本思想.

高考要求1.了解复数的有关概念及复数的代数表示和几何意义;3讲座内容目录复数知识梳理

1联系类比掌握复数

2复数的高考考查形式

3复数问题的思想方法

4讲座内容讲座内容目录复数知识梳理1联系类比掌握复数2复数4知识梳理1.定义:形如a+bi(a、b∈R)的数叫做复数,其中i是虚数单位;注:①复数通常用字母z表示,即复数a+bi(a、b∈R)可记作z=a+bi(a、b∈R),并把这一形式叫做复数的代数形式

②全体复数所组成的集合叫复数集,记作C

③复数Z=a+bi(a、b∈R),我们把实数a,b分别叫做复数的实部和虚部.知识梳理1.定义:形如a+bi(a、b∈R)的数叫做复数,其52.复数的分类:复数a+bi(a∈R,b∈R)3.复数相等:如果两个复数的实部和虚部分别相等,那么我们就说这两个复数相等,即:则知识梳理2.复数的分类:复数a+bi3.复数相等:则知识梳理64.复数的运算:(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi2=(ac-bd)+(bc+ad)i类似于多项式的加法、减法、乘法运算(1)复数的加法

(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i(2)复数的减法

(a+bi)-(c+di)=(a-c)

+(b-d)i(3)复数的乘法知识梳理4.复数的运算:(a+bi)(c+di)=ac+bci+a74.复数的运算(4)复数的除法:即分母实数化知识梳理4.复数的运算即分母实数化知识梳理8①②③④复数运算的常用结论:⑤i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,i4n=1.①②③④复数运算的常用结论:⑤i4n+1=i,i4n+29复数z=a+bi(a∈R,b∈R)有序实数对(a,b)直角坐标系中的点Z(a,b)xyobaZ(a,b)建立了平面直角坐标系来表示复数的平面x轴------实轴y轴------虚轴------复平面一一对应z=a+bi知识梳理5.复数的几何意义复数z=a+bi(a∈R,b∈R)有序实数对(a,b)直角坐10xOz=a+biyZ

(a,b)与复数z=a+bi(a∈R,b∈R)对应的向量的模||,叫做复数z=a+bi的模,即为复数z=a+bi在复平面上对应的点Z(a,b)到坐标原点的距离|z

|=复数的模的几何意义:xOz=a+biyZ(a,b)与复数z=a+bi11xoyZ1(a,b)Z2(c,d)Z(a+c,b+d)OZ1+OZ2=OZ符合向量加法的平行四边形法则6.复数加法运算的几何意义z1+z2知识梳理xoyZ1(a,b)Z2(c,d)Z(a+c,b+d)12xoyZ1(a,b)Z2(c,d)复数z2-z1向量Z1Z2符合向量减法的三角形法则复数减法运算的几何意义|z1-z2|表示什么?表示复平面上两点Z1,Z2的距离xoyZ1(a,b)Z2(c,d)复数z2-z1向量Z1Z213联系类比,掌握复数

1.联系数集扩充到实数集,掌握数集扩充到复数集数从自然数发展到实数的三次扩充历程都是因生产、科学发展的需要和数学本身发展的需要而逐步扩充的过程;但实系数一元二次方程没有实数根,这促使我们将实数集进行扩充,使该问题能得到圆满解决;由此我们引入新数i,定义形如的数叫做复数;从而把数集扩充到复数集.联系类比,掌握复数1.联系数集扩充到实数集,掌握数集扩充到141.联系数集扩充到实数集,掌握数集扩充到复数集【例1】实数m分别取什么数时,复数z=(1+i)m2+(5-2i)m+6-15i是:①实数;②虚数;③纯虚数;④共轭复数的虚部为12.分析:本题是一道考查复数概念的题目,解题的关键是把复数化成z=的形式,然后根据复数的分类标准对其实部与虚部进行讨论,由它们满足的条件进行解题.

联系类比,掌握复数1.联系数集扩充到实数集,掌握数集扩充到复数集【例1】实数15【例1】实数m分别取什么数时,复数z=(1+i)m2+(5-2i)m+6-15i是:①实数;②虚数;③纯虚数;④共轭复数的虚部为12.解析:z=(1+i)m2+(5-2i)m+6-15i=(m2+5m+6)+(m2-2m-15)i,(m∈R),①要使z为实数,必须解得m=5或m=-3.

②要使z为虚数,必须m2-2m-15≠0,解得m≠5且m≠-3.

联系类比,掌握复数【例1】实数m分别取什么数时,复数z=(1+i)m2+(516【例1】实数m分别取什么数时,复数z=(1+i)m2+(5-2i)m+6-15i是:①实数;②虚数;③纯虚数;④共轭复数的虚部为12.解:z=(m2+5m+6)+(m2-2m-15)i,(m∈R),③要使z为纯虚数,必须即∴m=-2.

④要使z的共轭复数的虚部为12,必须-(m2-2m-15)=12,解得m=-1或m=3.联系类比,掌握复数【例1】实数m分别取什么数时,复数z=(1+i)m2+(517【例1】实数m分别取什么数时,复数z=(1+i)m2+(5-2i)m+6-15i是:①实数;②虚数;③纯虚数;④共轭复数的虚部为12.点评:解决复数概念问题的方法是按照题设条件把复数整理成z=的形式,明确复数的实部与虚部,由实部与虚部满足的条件,列出方程(组)或不等式(组),通过解方程(组)或不等式(组)达到解决问题的目的.

联系类比,掌握复数【例1】实数m分别取什么数时,复数z=(1+i)m2+(5182.类比多项式运算,掌握复数运算两个复数相加、相减、相乘,类似于两个多项式相加、相减、相乘,只是在所得的结果中要把i2换成-1,并且把实部与虚部分别合并.【例2】若复数其中是虚数单位,则复数的实部为

.

解:【点评】本题考查复数的减法、乘法运算,以及复数实部的概念;类比运算即可.-20

联系类比,掌握复数2.类比多项式运算,掌握复数运算【例2】若复数193.类比分母有理化,掌握复数除法运算在实数运算中,分母有无理数时,我们可以分子、分母同乘以分母的有理化因式进行分母有理化,即:都是有理数且为无理数时,有类似的,复数a+bi除以复数c+di的商联系类比,掌握复数3.类比分母有理化,掌握复数除法运算都是有理数且为无理数时,20类似的,复数a+bi除以复数c+di的商.的共轭复数进行“分母实数化”,即:可以分子、分母同乘以分母3.类比分母有理化,掌握复数除法运算联系类比,掌握复数类似的,复数a+bi除以复数c+di的商.的共轭复数进行“分21.3.类比分母有理化,掌握复数除法运算【例3】的值等于________.

点评:掌握复数代数形式的加、减、乘、除运算是本章的基础,也是重点,要牢记复数的四种运算法则.分析:本题考查复数的除法运算,根据复数的除法运算法则即可解决.解析:=2+3i.联系类比,掌握复数.3.类比分母有理化,掌握复数除法运算【例3】的值等于___224.类比实数的几何意义,掌握复数的几何意义实数与数轴上的点是一一对应的;类似的,复数与复平面内的点是一一对应的..

【例4】复数在复平面上对应的点不可能位于第

象限.为虚数单位)所以不可能同时有

故对应的点不可能位于第一象限

.解:联系类比,掌握复数4.类比实数的几何意义,掌握复数的几何意义.【例4】复数在234.类比实数的几何意义,掌握复数的几何意义.

【例4】复数在复平面上对应的点不可能位于第

象限.为虚数单位)点评:本题考查复数的几何意义及复数运算的知识,每一个复数在复平面内都有一个点与之对应.先将复数变形为的形式,再根据所在的位置求解.联系类比,掌握复数4.类比实数的几何意义,掌握复数的几何意义.【例4】复数在24高考考查形式从近两年我省的高考试题看,高考对于复数的考查要求较低,试题难度不大,均在“较易”或“中档”的层次,相当数量的题源于教材,几乎都为填空题.其中复数的代数运算是年年必考,其试题活而不难,主要考查学生灵活运用知识的能力.我们预测10年对复数的考查可能出现以下的一些形式:1.考查复数的基本概念与运算;2.考查复数的几何意义;下面我们举例说明高考考查形式从近两年我省的高考试题看,高考对于复数的考查要25高考考查形式1.考查复数的基本概念与运算

例1.若(其中是虚数单位,是实数),则

.点评:对复数的基本问题不能放松要求,诸如复数是虚数、纯虚数的条件,复数相等的条件,复数模的几何性质等都要熟练掌握;对复数问题实数化的基本方法要清楚.解析:∵,∴由已知得,∴.高考考查形式1.考查复数的基本概念与运算例1.若26高考考查形式2.考查复数的几何意义例2.满足条件|z-i|=|3+4i|的复数z在复平面上对应的点Z的轨迹是

.解析:因为|z-i|=|3+4i|=5,∴复数z对应的点Z与复数i对应的点(0,1)之间的距离为5,由圆的定义知,复数z在复平面上对应的点Z的轨迹是:以复数i对应的点(0,1)为圆心、5为半径的圆.点评:本题直接利用复数的几何意义求解,对于复数模的问题,一般可化为复平面内两点间的距离来解决.高考考查形式2.考查复数的几何意义例2.满足条件|z-i|=27复数问题的思想方法通过前面的介绍我们知道:高考对于复数的考查要求较低,试题难度不大,均在“易”或“较易”的层次,相当数量的题源于教材,多为填空题.但复数问题往往蕴含以下数学思想方法:①复数问题实数化思想,②坐标化思想,③向量化思想,④图形化思想;我们简称复数问题的“四化”——实数化、坐标化、向量化、图形化

.复数问题的思想方法通过前面的介绍我们知道:高考对于复数的考查281.实数化—根据复数相等的定义

解决复数问题,要注意复数问题实数化的方法,即利用复数相等的概念,把复数问题转化为实数问题,这是解决复数问题的最常用策略.【例1】设(其中表示z1的共轭复数),已知z2的实部是,则z2的虚部为

.分析:设出复数z1、z2,利用复数问题实数化的方法即可解决.1.实数化—根据复数相等的定义解决复数问题,要注意复数问29【例1】设(其中表示z1的共轭复数),已知z2的实部是,则z2的虚部为

.则有由已知结合复数相等的概念得

解析:设都是实数),∴,即z2的虚部为1.

1.实数化—根据复数相等的定义【例1】设(其中表示z30【例1】设(其中表示z1的共轭复数),已知z2的实部是,则z2的虚部为

.点评:复数问题实数化是解决复数问题的最基本也是最重要的思想方法,其依据是复数的有关概念、复数的几何意义、复数相等的充要条件等.1.实数化—根据复数相等的定义【例1】设(其中表示z312.坐标化—根据复数与点的对应

实数与数轴上的点是一一对应的;类似的,复数与复平面内的点是一一对应的.【例2】实数m分别取什么数时,复数z=(1+i)m2+(5-2i)m+6-15i对应的点:①在第三象限;②在直线x+y+4=0上.分析:本题考查复数的几何意义,解题的关键是把复数化成z=的形式,然后由其对应的点满足的条件进行解题.

2.坐标化—根据复数与点的对应实数与数轴上的点是一一对应32【例2】z=(1+i)m2+(5-2i)m+6-15i对应的点:①在第三象限;②在x+y+4=0上.解析:z=(1+i)m2+(5-2i)m+6-15i=(m2+5m+6)+(m2-2m-15)i,∵m∈R,∴z对应的点为:(m2+5m+6,m2-2m-15);①要使z对应的点在第三象限,必须∴-3<m<-2;

②要使z对应的点在直线x+y+4=0上,必须点的坐标(m2+5m+6,m2-2m-15)满足方程x+y+4=0,∴(m2+5m+6)+(m2-2m-15)+4=0,解得m=-或m=1.

2.坐标化—根据复数与点的对应【例2】z=(1+i)m2+(5-2i)m+6-15i对应33【例2】z=(1+i)m2+(5-2i)m+6-15i对应的点:①在第三象限;②在x+y+4=0上.解析:z=(1+i)m2+(5-2i)m+6-15i=(m2+5m+6)+(m2-2m-15)i,∵m∈R,∴z对应的点为:(m2+5m+6,m2-2m-15);点评:复数问题坐标化是解决复数对应点问题的最基本、最重要的思想方法,其依据是复数的概念、复数的几何意义等.2.坐标化—根据复数与点的对应【例2】z=(1+i)m2+(5-2i)m+6-15i对应343.向量化—根据复数与向量的对应

复数与复平面内的点是一一对应的,故与复平面内的向量也是一一对应的,由此可理解复数加减运算的几何意义:复数的加法即向量的加法,满足平行四边形法则;复数的减法即向量的减法,满足三角形法则.由复数减法运算的几何意义还可得出以下性质:z1-z2对应的向量,是以z2的对应点为起点,z1的对应点为终点的向量.3.向量化—根据复数与向量的对应复数35【例3】复平面内,已知复数z=x-i所对应的点都在单位圆内,则实数x的取值范围是________.

分析:本题可根据复数与向量的对应关系,构造不等式,求未知数的范围.即解得.

解析:∵复数z对应的点Z(x,-都在单位圆内,)3.向量化—根据复数与向量的对应【例3】复平面内,已知复数z=x-i所对应的点都36【例3】复平面内,已知复数z=x-i所对应的点都在单位圆内,则实数x的取值范围是________.

.

解析:∵复数z对应的点Z(x,-都在单位圆内,)

点评:本题是复数几何意义的应用,从数形互相转换的角度上,介绍了数形结合这一思想方法,同学们在今后的实践中可进一步去体会与运用.3.向量化—根据复数与向量的对应【例3】复平面内,已知复数z=x-i所对应的点都374.图形化—根据复数的几何意义

由复数减法运算的几何意义可得出以下性质:|z1-z2|表示复平面内与z1,z2对应的两点间的距离.利用此性质,可把复数模的问题转化为复平面内两点间的距离问题,从而进行数形结合,把复数问题转化为几何图形问题求解.【例4】已知,求的最值.

分析:考察已知等式与所求式子的几何意义,进行数形结合,转化为几何问题求解.

4.图形化—根据复数的几何意义由复数减法运算的几何意义可38【例4】已知,求的最值.

解析:表示单位圆上的点与点的距离,

由平面几何知识可得的最大值为即为最小值为,即以原点O为圆心、半径为1的圆,即单位圆;∴与复数z对应的点Z的轨迹是4.图形化—根据复数的几何意义【例4】已知,求的最值.解析:表示单位圆上的点与点的距离,39【例4】已知,求的最值.

点评:通过这个例题,我们可以体会到代数问题和几何问题互相转化的思想在分析问题与解决问题中的重要作用;对于复数模的问题,一般可转化为复平面内两点间的距离来解决.4.图形化—根据复数的几何意义【例4】已知,求的最值.点评:通过这个例题,我们可40小结高考对复数的考查,一般要求较低,难度不大,均在“易”或“较易”的层次,相当数量的题源于课本,几乎只考填空题.解决复数问题,要注意复数问题实数化的方法,即利用复数相等的概念,把复数问题转化为实数问题,这是解决复数问题的最常用策略;同时我们还要注意复数是虚数、复数是纯虚数的条件,注意共轭复数、复数模的几何意义的应用.小结高考对复数的考查,一般要求较低,难度不大,均在“易”41祝同学们成功!再见!祝同学们成功!再见!42

85.每一年,我都更加相信生命的浪费是在于:我们没有献出爱,我们没有使用力量,我们表现出自私的谨慎,不去冒险,避开痛苦,也失去了快乐。――[约翰·B·塔布]86.微笑,昂首阔步,作深呼吸,嘴里哼着歌儿。倘使你不会唱歌,吹吹口哨或用鼻子哼一哼也可。如此一来,你想让自己烦恼都不可能。――[戴尔·卡内基]87.当一切毫无希望时,我看着切石工人在他的石头上,敲击了上百次,而不见任何裂痕出现。但在第一百零一次时,石头被劈成两半。我体会到,并非那一击,而是前面的敲打使它裂开。――[贾柯·瑞斯]88.每个意念都是一场祈祷。――[詹姆士·雷德非]89.虚荣心很难说是一种恶行,然而一切恶行都围绕虚荣心而生,都不过是满足虚荣心的手段。――[柏格森]90.习惯正一天天地把我们的生命变成某种定型的化石,我们的心灵正在失去自由,成为平静而没有激情的时间之流的奴隶。――[托尔斯泰]91.要及时把握梦想,因为梦想一死,生命就如一只羽翼受创的小鸟,无法飞翔。――[兰斯顿·休斯]92.生活的艺术较像角力的艺术,而较不像跳舞的艺术;最重要的是:站稳脚步,为无法预见的攻击做准备。――[玛科斯·奥雷利阿斯]93.在安详静谧的大自然里,确实还有些使人烦恼.怀疑.感到压迫的事。请你看看蔚蓝的天空和闪烁的星星吧!你的心将会平静下来。[约翰·纳森·爱德瓦兹]94.对一个适度工作的人而言,快乐来自于工作,有如花朵结果前拥有彩色的花瓣。――[约翰·拉斯金]95.没有比时间更容易浪费的,同时没有比时间更珍贵的了,因为没有时间我们几乎无法做任何事。――[威廉·班]96.人生真正的欢欣,就是在于你自认正在为一个伟大目标运用自己;而不是源于独自发光.自私渺小的忧烦躯壳,只知抱怨世界无法带给你快乐。――[萧伯纳]97.有三个人是我的朋友爱我的人.恨我的人.以及对我冷漠的人。爱我的人教我温柔;恨我的人教我谨慎;对我冷漠的人教我自立。――[J·E·丁格]98.过去的事已经一去不复返。聪明的人是考虑现在和未来,根本无暇去想过去的事。――[英国哲学家培根]99.真正的发现之旅不只是为了寻找全新的景色,也为了拥有全新的眼光。――[马塞尔·普劳斯特]100.这个世界总是充满美好的事物,然而能看到这些美好事物的人,事实上是少之又少。――[罗丹]101.称赞不但对人的感情,而且对人的理智也发生巨大的作用,在这种令人愉快的影响之下,我觉得更加聪明了,各种想法,以异常的速度接连涌入我的脑际。――[托尔斯泰]102.人生过程的景观一直在变化,向前跨进,就看到与初始不同的景观,再上前去,又是另一番新的气候――。[叔本华]103.为何我们如此汲汲于名利,如果一个人和他的同伴保持不一样的速度,或许他耳中听到的是不同的旋律,让他随他所听到的旋律走,无论快慢或远近。――[梭罗]104.我们最容易不吝惜的是时间,而我们应该最担心的也是时间;因为没有时间的话,我们在世界上什么也不能做。――[威廉·彭]105.人类的悲剧,就是想延长自己的寿命。我们往往只憧憬地平线那端的神奇【违禁词,被屏蔽】,而忘了去欣赏今天窗外正在盛开的玫瑰花。――[戴尔·卡内基]106.休息并非无所事事,夏日炎炎时躺在树底下的草地,听着潺潺的水声,看着飘过的白云,亦非浪费时间。――[约翰·罗伯克]107.没有人会只因年龄而衰老,我们是因放弃我们的理想而衰老。年龄会使皮肤老化,而放弃热情却会使灵魂老化。――[撒母耳·厄尔曼]108.快乐和智能的区别在于:自认最快乐的人实际上就是最快乐的,但自认为最明智的人一般而言却是最愚蠢的。――[卡雷贝·C·科尔顿]109.每个人皆有连自己都不清楚的潜在能力。无论是谁,在千钧一发之际,往往能轻易解决从前认为极不可能解决的事。――[戴尔·卡内基]110.每天安静地坐十五分钟·倾听你的气息,感觉它,感觉你自己,并且试着什么都不想。――[艾瑞克·佛洛姆]111.你知道何谓沮丧---就是你用一辈子工夫,在公司或任何领域里往上攀爬,却在抵达最高处的同时,发现自己爬错了墙头。--[坎伯]112.「伟大」这个名词未必非出现在规模很大的事情不可;生活中微小之处,照样可以伟大。――[布鲁克斯]113.人生的目的有二:先是获得你想要的;然后是享受你所获得的。只有最明智的人类做到第二点。――[罗根·皮沙尔·史密斯]114.要经常听.时常想.时时学习,才是真正的生活方式。对任何事既不抱希望,也不肯学习的人,没有生存的资格。――[阿萨·赫尔帕斯爵士]115.旅行的精神在于其自由,完全能够随心所欲地去思考.去感觉.去行动的自由。――[威廉·海兹利特]116.昨天是张退票的支票,明天是张信用卡,只有今天才是现金;要善加利用。――[凯·里昂]117.所有的财富都是建立在健康之上。浪费金钱是愚蠢的事,浪费健康则是二级的谋杀罪。――[B·C·福比斯]118.明知不可而为之的干劲可能会加速走向油尽灯枯的境地,努力挑战自己的极限固然是令人激奋的经验,但适度的休息绝不可少,否则迟早会崩溃。――[迈可·汉默]119.进步不是一条笔直的过程,而是螺旋形的路径,时而前进,时而折回,停滞后又前进,有失有得,有付出也有收获。――[奥古斯汀]120.无论那个时代,能量之所以能够带来奇迹,主要源于一股活力,而活力的核心元素乃是意志。无论何处,活力皆是所谓“人格力量”的原动力,也是让一切伟大行动得以持续的力量。――[史迈尔斯]121.有两种人是没有什么价值可言的:一种人无法做被吩咐去做的事,另一种人只能做被吩咐去做的事。――[C·H·K·寇蒂斯]122.对于不会利用机会的人而言,机会就像波浪般奔向茫茫的大海,或是成为不会孵化的蛋。――[乔治桑]123.未来不是固定在那里等你趋近的,而是要靠你创造。未来的路不会静待被发现,而是需要开拓,开路的过程,便同时改变了你和未来。――[约翰·夏尔]124.一个人的年纪就像他的鞋子的大小那样不重要。如果他对生活的兴趣不受到伤害,如果他很慈悲,如果时间使他成熟而没有了偏见。――[道格拉斯·米尔多]125.大凡宇宙万物,都存在着正、反两面,所以要养成由后面.里面,甚至是由相反的一面,来观看事物的态度――。[老子]126.在寒冷中颤抖过的人倍觉太阳的温暖,经历过各种人生烦恼的人,才懂得生命的珍贵。――[怀特曼]127.一般的伟人总是让身边的人感到渺小;但真正的伟人却能让身边的人认为自己很伟大。――[G.K.Chesteron]128.医生知道的事如此的少,他们的收费却是如此的高。――[马克吐温]129.问题不在于:一个人能够轻蔑、藐视或批评什么,而是在于:他能够喜爱、看重以及欣赏什么。――[约翰·鲁斯金]复数优秀课件143复数复数审稿:镇江市教研室黄厚忠庄志红复数复数审稿:44知识结构图复数概念表示运算代数表示几何表示代数运算几何意义知识结构图复数概念表示运算代数表示几何表示代数运算几何意义45高考要求1.了解复数的有关概念及复数的代数表示和几何意义;2.掌握复数代数形式的运算法则,能进行复数代数形式的加法、减法、乘法、除法运算;3.了解从自然数到复数扩充的基本思想.

高考要求1.了解复数的有关概念及复数的代数表示和几何意义;46讲座内容目录复数知识梳理

1联系类比掌握复数

2复数的高考考查形式

3复数问题的思想方法

4讲座内容讲座内容目录复数知识梳理1联系类比掌握复数2复数47知识梳理1.定义:形如a+bi(a、b∈R)的数叫做复数,其中i是虚数单位;注:①复数通常用字母z表示,即复数a+bi(a、b∈R)可记作z=a+bi(a、b∈R),并把这一形式叫做复数的代数形式

②全体复数所组成的集合叫复数集,记作C

③复数Z=a+bi(a、b∈R),我们把实数a,b分别叫做复数的实部和虚部.知识梳理1.定义:形如a+bi(a、b∈R)的数叫做复数,其482.复数的分类:复数a+bi(a∈R,b∈R)3.复数相等:如果两个复数的实部和虚部分别相等,那么我们就说这两个复数相等,即:则知识梳理2.复数的分类:复数a+bi3.复数相等:则知识梳理494.复数的运算:(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi2=(ac-bd)+(bc+ad)i类似于多项式的加法、减法、乘法运算(1)复数的加法

(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i(2)复数的减法

(a+bi)-(c+di)=(a-c)

+(b-d)i(3)复数的乘法知识梳理4.复数的运算:(a+bi)(c+di)=ac+bci+a504.复数的运算(4)复数的除法:即分母实数化知识梳理4.复数的运算即分母实数化知识梳理51①②③④复数运算的常用结论:⑤i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,i4n=1.①②③④复数运算的常用结论:⑤i4n+1=i,i4n+252复数z=a+bi(a∈R,b∈R)有序实数对(a,b)直角坐标系中的点Z(a,b)xyobaZ(a,b)建立了平面直角坐标系来表示复数的平面x轴------实轴y轴------虚轴------复平面一一对应z=a+bi知识梳理5.复数的几何意义复数z=a+bi(a∈R,b∈R)有序实数对(a,b)直角坐53xOz=a+biyZ

(a,b)与复数z=a+bi(a∈R,b∈R)对应的向量的模||,叫做复数z=a+bi的模,即为复数z=a+bi在复平面上对应的点Z(a,b)到坐标原点的距离|z

|=复数的模的几何意义:xOz=a+biyZ(a,b)与复数z=a+bi54xoyZ1(a,b)Z2(c,d)Z(a+c,b+d)OZ1+OZ2=OZ符合向量加法的平行四边形法则6.复数加法运算的几何意义z1+z2知识梳理xoyZ1(a,b)Z2(c,d)Z(a+c,b+d)55xoyZ1(a,b)Z2(c,d)复数z2-z1向量Z1Z2符合向量减法的三角形法则复数减法运算的几何意义|z1-z2|表示什么?表示复平面上两点Z1,Z2的距离xoyZ1(a,b)Z2(c,d)复数z2-z1向量Z1Z256联系类比,掌握复数

1.联系数集扩充到实数集,掌握数集扩充到复数集数从自然数发展到实数的三次扩充历程都是因生产、科学发展的需要和数学本身发展的需要而逐步扩充的过程;但实系数一元二次方程没有实数根,这促使我们将实数集进行扩充,使该问题能得到圆满解决;由此我们引入新数i,定义形如的数叫做复数;从而把数集扩充到复数集.联系类比,掌握复数1.联系数集扩充到实数集,掌握数集扩充到571.联系数集扩充到实数集,掌握数集扩充到复数集【例1】实数m分别取什么数时,复数z=(1+i)m2+(5-2i)m+6-15i是:①实数;②虚数;③纯虚数;④共轭复数的虚部为12.分析:本题是一道考查复数概念的题目,解题的关键是把复数化成z=的形式,然后根据复数的分类标准对其实部与虚部进行讨论,由它们满足的条件进行解题.

联系类比,掌握复数1.联系数集扩充到实数集,掌握数集扩充到复数集【例1】实数58【例1】实数m分别取什么数时,复数z=(1+i)m2+(5-2i)m+6-15i是:①实数;②虚数;③纯虚数;④共轭复数的虚部为12.解析:z=(1+i)m2+(5-2i)m+6-15i=(m2+5m+6)+(m2-2m-15)i,(m∈R),①要使z为实数,必须解得m=5或m=-3.

②要使z为虚数,必须m2-2m-15≠0,解得m≠5且m≠-3.

联系类比,掌握复数【例1】实数m分别取什么数时,复数z=(1+i)m2+(559【例1】实数m分别取什么数时,复数z=(1+i)m2+(5-2i)m+6-15i是:①实数;②虚数;③纯虚数;④共轭复数的虚部为12.解:z=(m2+5m+6)+(m2-2m-15)i,(m∈R),③要使z为纯虚数,必须即∴m=-2.

④要使z的共轭复数的虚部为12,必须-(m2-2m-15)=12,解得m=-1或m=3.联系类比,掌握复数【例1】实数m分别取什么数时,复数z=(1+i)m2+(560【例1】实数m分别取什么数时,复数z=(1+i)m2+(5-2i)m+6-15i是:①实数;②虚数;③纯虚数;④共轭复数的虚部为12.点评:解决复数概念问题的方法是按照题设条件把复数整理成z=的形式,明确复数的实部与虚部,由实部与虚部满足的条件,列出方程(组)或不等式(组),通过解方程(组)或不等式(组)达到解决问题的目的.

联系类比,掌握复数【例1】实数m分别取什么数时,复数z=(1+i)m2+(5612.类比多项式运算,掌握复数运算两个复数相加、相减、相乘,类似于两个多项式相加、相减、相乘,只是在所得的结果中要把i2换成-1,并且把实部与虚部分别合并.【例2】若复数其中是虚数单位,则复数的实部为

.

解:【点评】本题考查复数的减法、乘法运算,以及复数实部的概念;类比运算即可.-20

联系类比,掌握复数2.类比多项式运算,掌握复数运算【例2】若复数623.类比分母有理化,掌握复数除法运算在实数运算中,分母有无理数时,我们可以分子、分母同乘以分母的有理化因式进行分母有理化,即:都是有理数且为无理数时,有类似的,复数a+bi除以复数c+di的商联系类比,掌握复数3.类比分母有理化,掌握复数除法运算都是有理数且为无理数时,63类似的,复数a+bi除以复数c+di的商.的共轭复数进行“分母实数化”,即:可以分子、分母同乘以分母3.类比分母有理化,掌握复数除法运算联系类比,掌握复数类似的,复数a+bi除以复数c+di的商.的共轭复数进行“分64.3.类比分母有理化,掌握复数除法运算【例3】的值等于________.

点评:掌握复数代数形式的加、减、乘、除运算是本章的基础,也是重点,要牢记复数的四种运算法则.分析:本题考查复数的除法运算,根据复数的除法运算法则即可解决.解析:=2+3i.联系类比,掌握复数.3.类比分母有理化,掌握复数除法运算【例3】的值等于___654.类比实数的几何意义,掌握复数的几何意义实数与数轴上的点是一一对应的;类似的,复数与复平面内的点是一一对应的..

【例4】复数在复平面上对应的点不可能位于第

象限.为虚数单位)所以不可能同时有

故对应的点不可能位于第一象限

.解:联系类比,掌握复数4.类比实数的几何意义,掌握复数的几何意义.【例4】复数在664.类比实数的几何意义,掌握复数的几何意义.

【例4】复数在复平面上对应的点不可能位于第

象限.为虚数单位)点评:本题考查复数的几何意义及复数运算的知识,每一个复数在复平面内都有一个点与之对应.先将复数变形为的形式,再根据所在的位置求解.联系类比,掌握复数4.类比实数的几何意义,掌握复数的几何意义.【例4】复数在67高考考查形式从近两年我省的高考试题看,高考对于复数的考查要求较低,试题难度不大,均在“较易”或“中档”的层次,相当数量的题源于教材,几乎都为填空题.其中复数的代数运算是年年必考,其试题活而不难,主要考查学生灵活运用知识的能力.我们预测10年对复数的考查可能出现以下的一些形式:1.考查复数的基本概念与运算;2.考查复数的几何意义;下面我们举例说明高考考查形式从近两年我省的高考试题看,高考对于复数的考查要68高考考查形式1.考查复数的基本概念与运算

例1.若(其中是虚数单位,是实数),则

.点评:对复数的基本问题不能放松要求,诸如复数是虚数、纯虚数的条件,复数相等的条件,复数模的几何性质等都要熟练掌握;对复数问题实数化的基本方法要清楚.解析:∵,∴由已知得,∴.高考考查形式1.考查复数的基本概念与运算例1.若69高考考查形式2.考查复数的几何意义例2.满足条件|z-i|=|3+4i|的复数z在复平面上对应的点Z的轨迹是

.解析:因为|z-i|=|3+4i|=5,∴复数z对应的点Z与复数i对应的点(0,1)之间的距离为5,由圆的定义知,复数z在复平面上对应的点Z的轨迹是:以复数i对应的点(0,1)为圆心、5为半径的圆.点评:本题直接利用复数的几何意义求解,对于复数模的问题,一般可化为复平面内两点间的距离来解决.高考考查形式2.考查复数的几何意义例2.满足条件|z-i|=70复数问题的思想方法通过前面的介绍我们知道:高考对于复数的考查要求较低,试题难度不大,均在“易”或“较易”的层次,相当数量的题源于教材,多为填空题.但复数问题往往蕴含以下数学思想方法:①复数问题实数化思想,②坐标化思想,③向量化思想,④图形化思想;我们简称复数问题的“四化”——实数化、坐标化、向量化、图形化

.复数问题的思想方法通过前面的介绍我们知道:高考对于复数的考查711.实数化—根据复数相等的定义

解决复数问题,要注意复数问题实数化的方法,即利用复数相等的概念,把复数问题转化为实数问题,这是解决复数问题的最常用策略.【例1】设(其中表示z1的共轭复数),已知z2的实部是,则z2的虚部为

.分析:设出复数z1、z2,利用复数问题实数化的方法即可解决.1.实数化—根据复数相等的定义解决复数问题,要注意复数问72【例1】设(其中表示z1的共轭复数),已知z2的实部是,则z2的虚部为

.则有由已知结合复数相等的概念得

解析:设都是实数),∴,即z2的虚部为1.

1.实数化—根据复数相等的定义【例1】设(其中表示z73【例1】设(其中表示z1的共轭复数),已知z2的实部是,则z2的虚部为

.点评:复数问题实数化是解决复数问题的最基本也是最重要的思想方法,其依据是复数的有关概念、复数的几何意义、复数相等的充要条件等.1.实数化—根据复数相等的定义【例1】设(其中表示z742.坐标化—根据复数与点的对应

实数与数轴上的点是一一对应的;类似的,复数与复平面内的点是一一对应的.【例2】实数m分别取什么数时,复数z=(1+i)m2+(5-2i)m+6-15i对应的点:①在第三象限;②在直线x+y+4=0上.分析:本题考查复数的几何意义,解题的关键是把复数化成z=的形式,然后由其对应的点满足的条件进行解题.

2.坐标化—根据复数与点的对应实数与数轴上的点是一一对应75【例2】z=(1+i)m2+(5-2i)m+6-15i对应的点:①在第三象限;②在x+y+4=0上.解析:z=(1+i)m2+(5-2i)m+6-15i=(m2+5m+6)+(m2-2m-15)i,∵m∈R,∴z对应的点为:(m2+5m+6,m2-2m-15);①要使z对应的点在第三象限,必须∴-3<m<-2;

②要使z对应的点在直线x+y+4=0上,必须点的坐标(m2+5m+6,m2-2m-15)满足方程x+y+4=0,∴(m2+5m+6)+(m2-2m-15)+4=0,解得m=-或m=1.

2.坐标化—根据复数与点的对应【例2】z=(1+i)m2+(5-2i)m+6-15i对应76【例2】z=(1+i)m2+(5-2i)m+6-15i对应的点:①在第三象限;②在x+y+4=0上.解析:z=(1+i)m2+(5-2i)m+6-15i=(m2+5m+6)+(m2-2m-15)i,∵m∈R,∴z对应的点为:(m2+5m+6,m2-2m-15);点评:复数问题坐标化是解决复数对应点问题的最基本、最重要的思想方法,其依据是复数的概念、复数的几何意义等.2.坐标化—根据复数与点的对应【例2】z=(1+i)m2+(5-2i)m+6-15i对应773.向量化—根据复数与向量的对应

复数与复平面内的点是一一对应的,故与复平面内的向量也是一一对应的,由此可理解复数加减运算的几何意义:复数的加法即向量的加法,满足平行四边形法则;复数的减法即向量的减法,满足三角形法则.由复数减法运算的几何意义还可得出以下性质:z1-z2对应的向量,是以z2的对应点为起点,z1的对应点为终点的向量.3.向量化—根据复数与向量的对应复数78【例3】复平面内,已知复数z=x-i所对应的点都在单位圆内,则实数x的取值范围是________.

分析:本题可根据复数与向量的对应关系,构造不等式,求未知数的范围.即解得.

解析:∵复数z对应的点Z(x,-都在单位圆内,)3.向量化—根据复数与向量的对应【例3】复平面内,已知复数z=x-i所对应的点都79【例3】复平面内,已知复数z=x-i所对应的点都在单位圆内,则实数x的取值范围是________.

.

解析:∵复数z对应的点Z(x,-都在单位圆内,)

点评:本题是复数几何意义的应用,从数形互相转换的角度上,介绍了数形结合这一思想方法,同学们在今后的实践中可进一步去体会与运用.3.向量化—根据复数与向量的对应【例3】复平面内,已知复数z=x-i所对应的点都804.图形化—根据复数的几何意义

由复数减法运算的几何意义可得出以下性质:|z1-z2|表示复平面内与z1,z2对应的两点间的距离.利用此性质,可把复数模的问题转化为复平面内两点间的距离问题,从而进行数形结合,把复数问题转化为几何图形问题求解.【例4】已知,求的最值.

分析:考察已知等式与所求式子的几何意义,进行数形结合,转化为几何问题求解.

4.图形化—根据复数的几何意义由复数减法运算的几何意义可81【例4】已知,求的最值.

解析:表示单位圆上的点与点的距离,

由平面几何知识可得的最大值为即为最小值为,即以原点O为圆心、半径为1的圆,即单位圆;∴与复数z对应的点Z的轨迹是4.图形化—根据复数的几何意义【例4】已知,求的最值.解析:表示单位圆上的点与点的距离,82【例4】已知,求的最值.

点评:通过这个例题,我们可以体会到代数问题和几何问题互相转化的思想在分析问题与解决问题中的重要作用;对于复数模的问题,一般可转化为复平面内两点间的距离来解决.4.图形化—根据复数的几何意义【例4】已知,求的最值.点评:通过这个例题,我们可83小结高考对复数的考查,一般要求较低,难度不大,均在“易”或“较易”的层次,相当数量的题源于课本,几乎只考填空题.解决复数问题,要注意复数问题实数化的方法,即利用复数相等的概念,把复数问题转化为实数问题,这是解决复数问题的最常用策略;同时我们还要注意复数是虚数、复数是纯虚数的条件,注意共轭复数、复数模的几何意义的应用.小结高考对复数的考查,一般要求较低,难度不大,均在“易”84祝同学们成功!再见!祝同学们成功!再见!85

85.每一年,我都更加相信生命的浪费是在于:我们没有献出爱,我们没有使用力量,我们表现出自私的谨慎,不去冒险,避开痛苦,也失去了快乐。――[约翰·B·塔布]86.微笑,昂首阔步,作深呼吸,嘴里哼着歌儿。倘使你不会唱歌,吹吹口哨或用鼻子哼一哼也可。如此一来,你想让自己烦恼都不可能。――[戴尔·卡内基]87.当一切毫无希望时,我看着切石工人在他的石头上,敲击了上百次,而不见任何裂痕出现。但在第一百零一次时,石头被劈成两半。我体会到,并非那一击,而是前面的敲打使它裂开。――[贾柯·瑞斯]88.每个意念都是一场祈祷。――[詹姆士·雷德非]89.虚荣心很难说是一种恶行,然而一切恶行都围绕虚荣心而生,都不过是满足虚荣心的手段。――[柏格森]90.习惯正一天天地把我们的生命变成某种定型的化石,我们的心灵正在失去自由,成为平静而没有激情的时间之流的奴隶。――[托尔斯泰]91.要及时把握梦想,因为梦想一死,生命就如一只羽翼受创的小鸟,无法飞翔。――[兰斯顿·休斯]92.生活的艺术较像角力的艺术,而较不像跳舞的艺术;最重要的是:站稳脚步,为无法预见的攻击做准备。――[玛科斯·奥雷利阿斯]93.在安详静谧的大自然里,确实还有些使人烦恼.怀疑.感到压迫的事。请你看看蔚蓝的天空和闪烁的星星吧!你的心将会平静下来。[约翰·纳森·爱德瓦兹]94.对一个适度工作的人而言,快乐来自于工作,有如花朵结果前拥有彩色的花瓣。――[约翰·拉斯金]95.没有比时间更容易浪费的,同时没有比时间更珍贵的了,因为没有时间我们几乎无法做任何事。――[威廉·班]96.人生真正的欢欣,就是在于你自认正在为一个伟大目标运用自己;而不是源于独自发光.自私渺小的忧烦躯壳,只知抱怨世界无法带给你快乐。――[萧伯纳]97.有三个人是我的朋友爱我的人.恨我的人.以及对我冷漠的人。爱我的人教我温柔;恨我的人教我谨慎;对我冷漠的人教我自立。――[J·E·丁格]98.过去的事已经一去不复返。聪明的人是考虑现在和未来,根本无暇去想过去的

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