高等教育学费标准探讨国家一等奖数学建模论文

高等教育学费标准探讨摘要本文主要探讨我国高等教育学费标准问题。在广泛收集各种数据并对其统计分析的基础上，利用回归分析、曲线拟合、四维微分方程组等相关知识,综合考虑影响学费制定的主要因素，从是否考虑各种因素之间关联的角度，得到学费与各种因素之间关系的两类模型，并对几类专业的学费进行定量的分析与评价。首先，本文分析出影响高校学费的主要因素有个人相对收益率、年生均培养费用、专业冷热的区别、居民（分城镇与乡村）对高等教育学费的支付能力、国家生均拨款等，从而有针对性的收集数据，避免了收集数据的盲目性；其次，本文收集了从1997年高等教育收费制度改革之后十年的相关数据，并对数据进行统计分析。在数据统计分析时，根据各种因素与学费之间的散点图，用回归分析的方法，通过比较剩余标准偏差与拟合优度两种指标，最后确定学费与各种因素之间较为理想的一元回归方程。在上述数据处理与分析的基础上，考虑到各种因素之间是否存在关联性，本文建立了两类数学模型，其一忽略各种因素之间的关联，建立学费标准的多元回归模型；其二考虑到各种因素之间可能存在某种联系，建立学费标准的四维微分方程动力学模型。在建立学费标准的多元回归模型时，由于我国的实际国情，学费标准因地域与专业等因素的不同而存在差异。为此，本文首先从全局角度建立了全国所有专业平均学费的多元回归模型，然后考虑专业与地域的影响，赋予两者一定的权重系数，从局部角度建立针对不同地区不同专业的学费的多元回归模型，并获得了相应的置信区间。在建立四维微分方程动力学模型时，合理的假设出学费和其他各种因素之间存在的内部微分关系，建立四维微分方程组，得到微分方程稳定解存在条件和平衡点。利用差分方法计算出微分方程组的未知参数，获得学费的最优解，再通过极值法，得到高校扩大学费收取区间。为对几类专业的学费标准进行定量的分析，本文随机选取2007年5个不同地区和不同专业的相关数据，代入上述两类模型得到学费标准与其确定区间，两类模型得到的结果基本一样，说明本文建立的模型是合理的，并把结果与实际学费标准进行比较得出：我国现在实行的高等教育的学费基本上是合理的，但是，却存在着很大的上升浮动区间与趋势。最后，本文对所建的模型进行合理化评价，并根据所建模型与结果分析，给有关部门提交建议报告。关键词回归分析拟合四维微分方程动力学模型量化分析学费标准一、问题重述高等教育事关高素质人才培养、国家创新能力增强、和谐社会建设的大局，因此受到党和政府及社会各方面的高度重视和广泛关注。培养质量是高等教育的一个核心指标，不同的学科、专业在设定不同的培养目标后，其质量需要有相应的经费保障。高等教育属于非义务教育，其经费在世界各国都由政府财政拨款、学校自筹、社会捐赠和学费收入等几部分组成。对适合接受高等教育的经济困难的学生，一般可通过贷款和学费减、免、补等方式获得资助，品学兼优者还能享受政府、学校、企业等给予的奖学金。学费问题涉及到每一个大学生及其家庭，是一个敏感而又复杂的问题：过高的学费会使很多学生无力支付，过低的学费又使学校财力不足而无法保证质量。学费问题近来在各种媒体上引起了热烈的讨论。请你们根据中国国情，收集诸如国家生均拨款、培养费用、家庭收入等相关数据，并据此通过数学建模的方法，就几类学校或专业的学费标准进行定量分析，得出明确、有说服力的结论。数据的收集和分析是你们建模分析的基础和重要组成部分。你们的论文必须观点鲜明、分析有据、结论明确。最后，根据你们建模分析的结果，给有关部门写一份报告，提出具体建议。二、问题分析2.1影响高等教育学费的因素对影响高等教育学费的因素进行了研究，综合各种文献资料的信息，可以确定影响高等教育学费的因素主要有：（1）高等教育的成本水平，高等教育的收费应该按照其生均成本的一定比例来确定（2）国家高等教育财政拨款（3）高等教育的市场需求，根据居民对高等教育的需求以及劳动力市场的需求来确定市场化的高等教育价格（4）高等教育的社会以及个人的成本收益情况，原因在于成本收益情况直接影响学生及其家庭的支付愿望（5）居民的支付能力，即居民分担高等教育成本的承受能力（6）政治基础与历史状况，特别是历年的学费水平。（7）专业性质，专业不同毕业后回报率不一样，对热门专业可收高费，对那些国家和社会发展必需且工作条件较差，毕业回报率的专业应低收费（8）人均国民生产总值等等。显然，这些因素对高对高等教育学费标准的影响程度与重要性是不相同的，本文主要是研究我国的普通高等教育学费标准，为此，根据实际国情与参考一些文献可以确定高等教育成本是必须考虑的，同时高等教育事业是全民事业，因此居民的支付能力与国家的支持都必须考虑，并且考虑到能够进行量化，本文得到影响普通高等教育学费的主要因素有：个人相对收益率、年生均培养费用、专业冷热的区别、居民（城镇与乡村）对高等教育学费的支付能力、国家生均拨款等因素。2.2学费因素的数据分析处理本文题目并没有告诉具体的数据，为此，本文针对影响普通高等教育学费的相关因素进行收集数据，为了能够得到较为准确的结果，反映出学费与各种因素之间的关系，本文收集了从高等教育收费制度改革以来SKIPIF1<0十年的数据，然后对学费与各种因素之间的关系进行一元线性和非线性回归分析，通过计算它们的剩余标准偏差与拟合优度，对比确定出较为准确的回归方程。2.3忽略因素之间的关联通过确定学费与各因素之间的关系后，本文忽略各因素之间的联系，建立多元的回归模型对学费计算公式中未知参数进行求解，从而确定的较为准确的学费计算公式。最终，本文根据地区和专业差别，引入地区发展不平衡系数和专业不平衡系数分别对其能够影响到的因素进行加成，从而由此评定本文随机选取的2007年不同地区不同专业学费情况。2.4考虑因素之间的关联由于影响学费各因素之间存在一定的联系，本文在已知数据的基础上建立了学费标准、高校的招生人数、居民人均纯收入与政府生均经费投入之间的四维耦合微分方程动力学模型，通过对模型平衡点的稳定性和极值分析，得到了学费标准变化方程，确定学费的最小稳定点，和极值条件下各学校确定的学费范围。最后，本文考虑到地区和专业的不同，分别加入地区发展不平衡系数和专业不平衡系数对微分方程进行改进已确定最终的学费计算微分模型。2.5现行高等教育收费制度所受的制约经济学家约翰斯通过国际比较中归纳出几个主导因素：（1）高等教育的成本水平，即按照其生均成本的一定比例来确定；（2）高等教育的市场需求，跟据居民对高等教育的需求以及劳动力市场的需求来确立市场化的高等教育价格；（3）高等教育的社会以及个人的成本收益情况，原因在于成本收益情况直接影响学生及其家庭的支付意愿；（4）居民的支付能力，即居民分担高等教育成本的承受能力；（5）政治基础和历史状况，特别是历年的学费水平。根据我国的基本国情，本文认为影响高等教育学费的主要因素应为个人相对收益率、年生均培养费用、专业冷热的区别、居民对大学生学费的支付能力、国家生均拨款。2.6选择研究变量的原则本文在数据处理上加大了投入力度，较为严格的遵循以下原则：（1）可定量性原则，即所选变量有确定的定量数值，否则该变量对计算公式没有任何价值；（2）权威性原则，即变量数据的来源应该具有较高的权威性，这是结果更具有说服力；（3）有效性原则，指应该选择对学费起实质性作用的自变量，并深入研究该变量对学费影响程度、其衡量指标及其在计算公式中的表现形式，并在公式确定后依据历史数据得到较为准确的比例系数；（4）简便性原则，其所选数据最好是一次性数据，可以直接从历年统计年鉴中获得，只有少量二次数据在有明确计算公式的条件下换算而来；（5）公开性原则，所选数据具有公开性，利于社会的监督和学费公式的推广。2.7高等教育收费制度的由来与发展 随着我国市场经济体制由计划经济向社会主义市场经济的转变，国际财政不再对各类事业单位实行收支统包的预算管理方式，而是根据不同事业单位的业务特点和财务收支的具体情况分别实行全额预算、差额预算和自收自支三种不同的预算管理方式，高等学校由原来的全额拨款改为差额拨款，由于教育经费不同，便产生了教育收费。 随着高教管理体制改革的深化，高校收费经历了三个阶段的发展： （1）免费时期：从事一届三中全会到1989年，我国在高等教育中实行的是免收学费制度。为了满足社会急需专业人才的需要，在国家财政的支持下，高等教育实行的是免费制度。 （2）启动时期：从《中共中央关于教育体制改革的决定》到党的十四大，我国高等教育体制改革全面展开，由于政府对大学的投入以满足不了高等教育发展的需求，高等教育收费制度开始实施，但收费很低。 （3）快速增长期：从1991年《中国教育和改革发展纲要》颁布到世纪末，以“共建共管、合并学校、合作办学、协作办学、转由地方政府管理”五种为主要形式的深化改革全面展开，使高等教育管理体制更符合社会主义市场经济发展的需要。三、模型假设与约定（1）根据我国的实际情况，学生的自己承担学费的情况比较少，因此，本文将学生与家长作为一个统一的整体，承担学费。（2）假设各种专业均能培养成本与收益率都能够较为科学的计算出。（3）本文所有的数据以及结论都是针对中国大陆的普通高等院校，暂不考虑港澳台地区。（4）由于国家对贫困生学费的减免等占在校学生的比例很小，为此，本文暂时不考虑国家这一方面。（5）假设本文收集得到的数据都是准确的，能够进行计算。四、符号说明及名词解释符号说明：SKIPIF1<0学费收取标准SKIPIF1<0剩余标准偏差SKIPIF1<0拟合优度SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0分别表示六种因素的值SKIPIF1<0全国所有专业平均学费SKIPIF1<0某地区某专业的平均学费SKIPIF1<0专业不平衡系数SKIPIF1<0地区发展不平衡系数名词解释：SKIPIF1<0置信区间：在使用多元回归模型时，SKIPIF1<0的置信水平为SKIPIF1<0的双侧置信区间为SKIPIF1<0置信区间。高校扩大学费收取区间：在使用四维微分方程动力学模型时，给出的学费标准是国家给定的学费基础标准，高校一般选择在这个基础上增加学费收取标准，这个学费标准是有限度的，这个限度区间就是高校扩大学费收取区间。确定区间：指的是由模型结果所确立的区间，即回归模型的SKIPIF1<0置信区间与四维微分方程动力学模型的高校扩大学费收取区间。五、模型建立与求解5.1数据收集及其分析为了有针对性的收集一些数据，本文首先研究分析了影响我国高等教育收费标准的因素，根据我国的基本国情，本文认为影响高等教育学费标准的因素主要有：个人相对收益率、年生均培养费用、专业冷热的区别、居民对高等教育学费的支付能力、国家生均拨款。为了能够较合理并准确的确定高等教育学费的标准，本文收集了SKIPIF1<0十年的数据进行探究。学费与高等教育成本（生均培养费）高等教育成本是影响普通高校学费标准的重要因素之一，在我国，现在执行的学费原则是学费占生均教育培养成本的比例不得超过SKIPIF1<0。根据我国国情，生均教育成本不仅仅依赖于每个学生每年所消耗的“教育成本”，而且还包括人员经费与公用经费等，为研究分析教育成本，本文收集到下面的数据如表1：表1项目年份生均固定资产折旧费（元）生均事业费（人员经费与公用经费）（元）生均培养费（元）学费（元）1997724.91146522.917247.81816.251998877.49616775.197652.72137.221999890.97201.248092.12914.222000786.86837309.588096.43456.172001704.98536816.237521.23962.222002638.12046177.966816.14316.942003581.85515772.586354.44554.392004586.10635572.506158.64849.592005546.01355375.9459225063.172006472.57695868.536341.15176.65资料来源：中国年鉴（1997~2006）、中国教育经费统计资料、中国教育经费统计年鉴（1997~2006）等数据分析：定性分析由于高校资金独立化以及政府补贴相对减少，学生数量又大量增加，导致生均固定资产折旧费与生均事业费呈下降趋势。民办高校的大量设立也是导致上述现象产生的重要原因。定量分析通过观察生均培养费与学费之间的散点图（详见附录一），发现可以用统计学的回归分析进行研究学费与生均培养费之间的关系，为了确定二者较为准确的关系，本文对二者进行了线性回归分析与三次曲线回归分析。线性回归模型：SKIPIF1<0根据表1的数据，通过SKIPIF1<0拟合得到回归方程为：SKIPIF1<0三次曲线回归模型：SKIPIF1<0根据表1的数据，通过SKIPIF1<0拟合得到回归方程：SKIPIF1<0两者的拟合图像详见图一SKIPIF1<0：ab（图一）为了比较这两种回归的优劣，取SKIPIF1<0四种曲线类型，以便观测SKIPIF1<0取值不同时，多项式拟合程度的好坏，从而选取一条拟合误差较小的曲线。对于每一种进行试算的曲线类型计算它的剩余标准偏差：SKIPIF1<0其中SKIPIF1<0为拟合值，SKIPIF1<0为拟合离差，SKIPIF1<0取值越小，曲线的拟合度越好，相应的曲线即为所要选定的形式。除剩余标准偏差SKIPIF1<0外，拟合优度SKIPIF1<0也是衡量所配曲线拟合原始数据效果好坏的指标，拟合优度：SKIPIF1<0其中，拟合优度SKIPIF1<0越接近1时所配曲线拟合效果越好，综合考虑剩余标准偏差SKIPIF1<0与拟合优度SKIPIF1<0来选取较为理想的曲线类型。通过计算，对于线性回归方程，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0。对于三次曲线回归方程，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0。综合比较SKIPIF1<0与SKIPIF1<0，可以确定三次曲线回归较为理想，因此，本文考虑三次曲线回归模型进行研究。学费与居民家庭可支配收入 居民可支配收入是反映居民生活水平和居民对学费的分担能力的重要指标，由于我国幅员辽阔，各地区经济发展很不平衡，虽然近年来城镇和农村居民的人均收入都有大幅度的提高，但城乡差距现象仍是十分明显，甚至加剧，因此在确立学费标准时，必须考虑城乡的差异。本文收集到以下数据：表2项目年份学费（元）农村居民人均纯收入（元）城镇居民人均可支配收入（元）19971816.252090.105160.3019982137.222162.005425.1019992914.222210.305854.0020003456.172253.426279.9820013962.222366.406859.5820024316.942475.637702.8020034554.392622.248472.2020044849.592936.409421.6120055063.173254.9310493.0320065176.653587.0411759.45资料来源：中国统计年鉴（1997~2006）数据分析：定性分析随着国民人均收入的提升，农村居民人均纯收入和城镇居民人均可支配收入也相对提高，这必然导致居民对教育投入加大，普通高校学费也相应的提高。虽然农村居民人均纯收入与城镇居民人均可支配收入都有明显的增加，但是，从数据上可以很明显的看到它们之间的差距逐渐拉大，出现明显的贫富差距，为了贯彻高等教育的公平性与机会均等性原则，普通高等教育的学费标准应该考虑到这一方面。定量分析根据表2给出的数据，同样对学费与城镇居民家庭人均可支配收入、学费与农村居民家庭人均纯收入进行回归分析，以确定它们与学费的关系。学费与城镇居民家庭人均可支配收入的关系根据以上的回归分析理论，可以得到学费与城镇居民家庭人均可支配收入的线性回归方程为：SKIPIF1<0同时，可以计算出拟合优度SKIPIF1<0，剩余标准偏差SKIPIF1<0。三次回归方程为：SKIPIF1<0其中，拟合优度SKIPIF1<0，剩余标准偏差SKIPIF1<0。两者的拟合图像详见图二：ab（图二）综合SKIPIF1<0与SKIPIF1<0可以确定三次回归方程能够较好的反映学费与城镇居民家庭人均可支配收入的关系学费与农村居民家庭人均纯收入的关系根据以上的回归分析理论，可以得到学费与农村居民家庭人均纯收入的线性回归方程为：SKIPIF1<0其中，剩余标准偏差SKIPIF1<0，拟合优度SKIPIF1<0。三次回归方程为：SKIPIF1<0同时，可以计算出拟合优度SKIPIF1<0，剩余标准偏差SKIPIF1<0。两者的拟合图像详见图三：ab（图三）综合SKIPIF1<0与SKIPIF1<0可以确定三次回归方程能够较好的反映学费与农村居民家庭人均纯收入的关系。学费与生均教育拨款国家教育拨款是国家教育部对高等教育的宏观调控能力的体现，随着国家经济的发展，教育拨款也随之增加，从侧面影响着学费的减少；而在校学生人数影响到教育拨款的划分，近几年由于在校人数的激增，这些都影响着学校学费的收取。本文收集了以下数据见表3：表3项目年份教育拨款（万元）在校生人数（万人）生均拨款(元)学费（元）19973057455317.49632.8134851816.2519983567538340.910465.05722137.2219994431601.2413.410719.886792914.2220005311854556.099552.1480343456.1720016416658.4719.078923.551813962.2220027521462.8903.368326.0967944316.94200384057791108.67582.3371824554.39200496979091333.57272.5226854849.59200510908368.71561.77676984.5892185063.17200612118828.41738.86969.6505645176.65资料来源：中国统计年鉴（1997~2006）；中国教育网（）等。数据分析：定性分析国家教育拨款虽然上升，但普通高校在校人数的上升速度更快，导致生均拨款金额呈现一种下降的趋势，从而间接的影响了普通高校学生的学费标准额。普通高等学校在校学生人数呈现一种明显上升的趋势，这与我国近几年的国情是相符合的，如经济迅速发展，科技变为第一生产力等因素刺激了居民对高等教育的需求，同时各个高等学校近几年都在迅速的扩招等因素。定量分析根据表3给出的数据，同样对学费与生均教育拨款进行回归分析，以确定它们与学费的关系。根据以上的回归分析理论，可以得到学费与农村居民家庭人均纯收入的线性回归方程为：SKIPIF1<0其中，可以计算出剩余标准偏差SKIPIF1<0，拟合优度SKIPIF1<0。三次回归方程为：SKIPIF1<0其中，可以计算出拟合优度SKIPIF1<0，剩余标准偏差SKIPIF1<0。两者的拟合图像详见图四：ab（图四）综合SKIPIF1<0与SKIPIF1<0可以确定三次回归方程能够较好的反映出学费与生均教育拨款的关系。学费与人均国内生产总值人均国内生产总值一般被用来衡量一个国家或者地区的经济发展水平，而且，高等教育学费水平的制定不可能忽视当地经济的发展水平，因为学费与人均国内生产总值的比值在一定程度上反映了这个国家或者地区对高等教育的支持能力。为此，本文收集了这方面的数据表4：表4项目年份学费（元）人均国内生产总值（元）学费占人均国内生产总值的比例（%）19971816.25642028.2919982137.22679631.44819992914.22715940.70720003456.17785843.98320013962.22862245.95520024316.94939845.93520034554.391054243.20220044849.591233639.31320055063.171410335.90120065176.651608432.185资料来源：中国统计年鉴（1997~2006）。数据分析：为了分析学费与人均国内生产总值的关系，针对表4的数据，进行回归分析。根据散点图（详见附录）可以初步得到学费与人均国内生产总值存在着三次项曲线关系，首先建立一元线性回归模型：SKIPIF1<0根据SKIPIF1<0可以得到SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，从而得到线性方程为：SKIPIF1<0拟合图像为图五（a）ab（图五）再次，建立三次回归模型，得到的三次回归曲线方程为：SKIPIF1<0其拟合图像为图五（b）。然后，分别计算它们的剩余标准偏差与拟合优度，得到线性回归方程的拟合优度SKIPIF1<0，剩余标准差SKIPIF1<0，三次回归方程的拟合优度SKIPIF1<0，剩余标准差SKIPIF1<0，显然，综合拟合优度SKIPIF1<0与剩余标准差SKIPIF1<0，可以确定，用三次回归方程研究比较合适。个人相对收益率为研究个人相对收益率，本文需要获得大学生毕业之后的平均工资收入、在校期间学费与学杂费、同期高中毕业生的平均工资收入等信息，为此本文通过查找资料得到有关数据如表5。表5项目年份高中毕业生平均收入（元）大学生在校期间学费与学杂费（元）大学生毕业平均收入（元）大学生平均个人5年内投资回报率（%）1997861823.746062700448.4219982532144.716926972361.3119994212921.7114181242248.5920005883463.6641551514197.3120017633969.7160221786155.9120029234324.4395372056136.87200310914561.8861632328119.75200412584857.083615255088.201200514255070.6668252984123.95200615495184.145905307683.273资料来源：中国统计年鉴（1997~2006）；新华网有关不同学历毕业生就业报道等。数据分析：大学生平均个人5年内投资回报率SKIPIF1<0应满足下述摸型：SKIPIF1<0注：大学生毕业后工资收入为SKIPIF1<0，同期高中毕业生工资收入为SKIPIF1<0，大学求学期间学费和学杂费为SKIPIF1<0，大学生毕业后预期收益时间为SKIPIF1<0（年），大学求学时间SKIPIF1<0（年）。为了简化计算，在计算在校学生学费和收益时，假设学生入校学费和年均收益在期限中保持不变，使用初始年的均值计算。随着大学生学费和大专以下文凭持有者工资的提升，大学毕业生的相对收入下降，平均个人投资回报率也呈下降趋势。地区发展不平衡系数的确立在计算具体地方院校学费时，由于不同地区经济政策存在差别，因此本文加入地区发展不平衡系数来对问题进行分析，该系数能反映出地区差异，通过各省人均GDP的相对比例来替代计算：人均取GDP排在最中间的数据为基准，将所要求的省份的人均GDP与之相除得到商数。本文采用2007年各省市地区的人均GDP来对地区发展不平衡系数进行计算，公式如下：SKIPIF1<0SKIPIF1<0其中，SKIPIF1<0为第SKIPIF1<0省的2007年地区发展不平衡系数，SKIPIF1<0第SKIPIF1<0省的2007年人均GDP，SKIPIF1<0为2007年人均GDP排在最中间（河南）的数据。为此，本文通过查找数据得到下表6：表6排名地区人均GDP(元)地区发展不平衡系数1上海654734.3486317752北京574313.8144925613天津479723.1862380454浙江357302.3731402765江苏329852.1908209356广东321422.1348299687山东271481.8031349638内蒙古255581.6975292249辽宁246451.63688894810福建236631.57166578111河北193631.28606535612黑龙江184631.22628852313吉林172111疆161641.07359192315山西161431.07219713116河南15056117湖北147330.97854675918重庆140110.93059245519海南133610.88742029820湖南131230.87161264621陕西128430.85301540922青海128090.85075717323宁夏126950.84318544124江西122040.81057385825四川117080.77763018126西藏115670.76826514327安徽111800.74256110528广西114170.75830233829甘肃95270.63277098830云南94590.62825451631贵州67420.447794899资料来源：中国统计年鉴（2007）。数据分析：东西部的人均GDP差距较大，学费收取上也应有较大的差距，通过地区发展不平衡系数可以较为真实的反映学费标准的地区差别。地区发展不平衡系数是通过影响农村居民家庭纯收入、城市人均可支配收入、人均国内生产总值间接的影响学费标准。专业不平衡系数的确立在计算具体专业时，由于不同专业的培养成本和教育拨款不同，学费标准也相应的不同。因此，本文采取了专业不平衡系数来反映专业的差别，通过对各专业收益排行榜来制定各专业的专业不平衡系数，排行榜如图六：个人收益大个人收益大社会收益大地质气象哲学农学数学机电化工信息外语法律经管医学艺术（图六）本文将位于中间的化工学的专业不平衡系数设为1，向右的专业不平衡系数顺次为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，向左的专业不平衡系数顺次为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0。这样本文可以得到不同专业的专业不平衡系数，从而得到相对准确的学费影响因素。5.2忽略因素联系的多元回归模型的建立考虑到教育的公平性，对于不同的专业，应该有不同的标准，为此，本文先在全局方面考虑，建立全国所有专业的标准学费的多元回归数学模型；再在局部方面，考虑不同专业的培养成本以及收益率不同，建立某个专业的标准学费计算模型。全国所有专业标准学费确定模型通过对影响学费因素进行的回归分析，可以初步得到高等教育成本（生均教育成本）、城镇居民家庭人均可支配收入、农村居民家庭人均纯收入、生均拨款、人均国内生产总值等因素分别与学费之间的一元回归方程，同时，还可以发现这几个因素与学费呈现出三次相关关系，这些因素是制定高等教育学费标准时不得不考虑的。为此，本文通过多元回归分析来研究各种因素对学费水平的共同影响，并在此基础上建立学费标准的多元回归方程，从而可以探讨高等教育学费的标准的可行区间。考虑到各种因素对与学费影响的程度不同，对影响力高的，本文只选择其三次方作为自变量，而对那些影响力低的则同时选择其一次方与三次方作为自变量，通过采用回归分析中的强迫进入法进行筛选自变量（各种因素），建立多元回归模型：SKIPIF1<0其中，SKIPIF1<0是待定的回归系数，SKIPIF1<0是生均教育成本，SKIPIF1<0城镇居民家庭人均可支配收入，SKIPIF1<0农村居民家庭人均纯收入，SKIPIF1<0生均拨款，SKIPIF1<0人均国内生产总值。多元线性回归模型的求解与统计分析本文采用最小二乘估计回归模型的回归系数。假设得到SKIPIF1<0个独立观测的数据SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，代回到多元回归模型SKIPIF1<0可以得到：SKIPIF1<0记SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0则SKIPIF1<0式的向量—矩阵形式为：SKIPIF1<0为了根据最小二乘法准则估计模型SKIPIF1<0中的参数SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0式这组数据的误差平方和为：SKIPIF1<0利用极值的必要条件SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0使得SKIPIF1<0最小，得到方程组SKIPIF1<0则该方程组的解就是回归系数SKIPIF1<0的最小二乘估计。误差分析以及回归系数SKIPIF1<0的区间估计误差方差SKIPIF1<0的估计将SKIPIF1<0代回模型SKIPIF1<0得到SKIPIF1<0的估计值为：SKIPIF1<0残差SKIPIF1<0及残差平方和SKIPIF1<0的定义与一元回归相同，而剩余方差（SKIPIF1<0的无偏估计）为：SKIPIF1<0因为模型中参数的个数为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的自由度为SKIPIF1<0。回归系数SKIPIF1<0的区间估计根据多元回归的基本假设，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的定义具有性质：SKIPIF1<0与SKIPIF1<0其中SKIPIF1<0与SKIPIF1<0相互独立，SKIPIF1<0是矩阵SKIPIF1<0的第SKIPIF1<0对角元素。根据定义可以得到SKIPIF1<0统计量SKIPIF1<0给定显著性水平SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的SKIPIF1<0分位数为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的置信区间SKIPIF1<0是：SKIPIF1<0同样的可以确定SKIPIF1<0的置信区间为：SKIPIF1<0其中SKIPIF1<0。同理可以得到SKIPIF1<0的SKIPIF1<0置信区间为SKIPIF1<0根据本文所收集的数据，可以建立一个简单的数据库，其详细情况见表7：表7因素年份学费高等教育成本（生均教育成本）农村居民家庭人均纯收入城镇居民家庭人均可支配收入生均拨款人均国内生产总值（元）19971816.257247.82090.105160.309632.813485642019982137.227652.72162.005425.1010465.0572679619992914.228092.12210.305854.0010719.88679715920003456.178096.42253.426279.989552.148034785820013962.227521.22366.406859.588923.55181862220024316.946816.12475.637702.808326.096794939820034554.396354.42622.248472.207582.3371821054220044849.596158.62936.409421.617272.5226851233620055063.1759223254.9310493.036984.5892181410320065176.656341.13587.0411759.456969.65056416084资料来源：中国年鉴（1997~2006）、中国教育经费统计资料、中国教育经费统计年鉴（1997~2006）等通过表7的数据以及多元回归模型，本文得到学费与这五个因素之间曲线模型为：SKIPIF1<0注：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；方程的拟合优度SKIPIF1<0，剩余标准偏差SKIPIF1<0。专业学费标准模型高等教育事业是一个关乎国家的重要的公共事业，细分到某一个专业，就需要因时因地的不同而不同，要想研究某一个地区的不同专业的学费标准，就需要引入地区发展不平衡系数和专业不平衡系数来对其影响的各因素综合考虑。本文在全国所有专业学费研究的基础上继续分析某个省份某个专业的学费标准。在影响全国学费标准的因素中，生均培养费用与生均拨款会随专业的不同而不同，农村居民家庭纯收入、城市人均可支配收入、人均国内生产总值则受到地区的不同而不同。为此，在全国所有专业标准学费确定模型的基础上，本文建立针对某个地区某个专业的标准学费的数学模型：SKIPIF1<0注：SKIPIF1<0为某地区某专业的学费标准，SKIPIF1<0是生均教育成本，SKIPIF1<0城镇家庭人均可支配收入，SKIPIF1<0农村居民家庭人均纯收入，SKIPIF1<0生均拨款，SKIPIF1<0人均国内生产总值，SKIPIF1<0为上述模型所得到的参数，SKIPIF1<0为专业不平衡系数，SKIPIF1<0为地区发展不平衡系数。5.3考虑因素之间关联的四维微分方程动力学模型通过上述模型的分析，本文在考虑各因素之间关联后，使用微分方程形式对学费的确定问题进行分析。模型准备在考虑因素之间的关联后，本文假设学费标准SKIPIF1<0是时间SKIPIF1<0的函数；SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别为家庭人均纯收入、政府的生均经费投资标准、高校的招生人数、高校的生均培养费用；SKIPIF1<0为大学生投资成本系数，它与大学生投资回报系数成反比。（注：为了表示模型的不同，本文采用不同的符号表示上述模型中的相同数据。）若设高校的生均培养费用SKIPIF1<0、大学生的投资成本系数SKIPIF1<0固定为常数，而居民人均纯收入SKIPIF1<0、政府的生均经费投资标准SKIPIF1<0与高校的招生人数SKIPIF1<0都是时间SKIPIF1<0的函数。本文在实际状况的条件下做出以下假设：（1）SKIPIF1<0的时间相对变化率与高校的招生人数、居民人均纯收入、政府生均经费投入成正相关，而与生均培养费用成反相关，与大学生的投资成本系数成负的线性相关（不妨设有关的比例系数为1）。（2）如果学费标准较高（或较小），就需要政府充分考虑学校的承受能力，通过加大（或减少）相对生均教育经费投入来进行合理的调控（3）如果政府生均经费投入较多（或较少），那么家庭在教育上的支出减少（或增加），从而使得家庭人均纯收入相对增加（或降低）。（4）如果家庭人均纯收入较高（或较低），能够支付高校费用的人数也增加（或减少），那么高校的招生人数也发生增加（或减少）。模型建立在政府给定高校一个学费基数SKIPIF1<0，家庭人均纯收入有一个标准SKIPIF1<0，政府的生均经费投资有一个标准SKIPIF1<0，且高校的招生人数在一个标准SKIPIF1<0时，根据前面的假设，我们得到如下关于学费标准、高校的招生人数、居民人均纯收入与政府生均经费投入之间的四维微分方程动力学模型：SKIPIF1<0其中：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为比例系数。根据SKIPIF1<0判别准则和稳定性判别法，以及极值分析，我们得到四维耦合微分方程运动模型有平衡点：SKIPIF1<0将SKIPIF1<0式在SKIPIF1<0式处可以得到线性化系统矩阵如下：SKIPIF1<0它的特征方程为：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0上述方程的所有根具有负实部的必要条件是方程SKIPIF1<0的所有系数均为正，即：SKIPIF1<0由此可得条件SKIPIF1<0式。再根据平衡点的稳定性判别法，我们得到平衡点SKIPIF1<0式稳定的必要条件是SKIPIF1<0式成立。SKIPIF1<0在对模型（1）利用函数极值分析，本文得到高校扩大学费收取SKIPIF1<0的估计应为：SKIPIF1<0经过上述分析，本文认为该模型可以给出稳定的学费资费标准。同时由于各种影响因素之间比例不为1，因此，本文在不影响SKIPIF1<0式模型稳定性的条件下，加入正相关系数SKIPIF1<0，以改进模型如下：SKIPIF1<0为了确定其相关系数，本文使用差分模型对未知参数进行求解，通过分析10年数据（表8）得到未知参数。模型如下：SKIPIF1<0SKIPIF1<0表8年份学费（元）生均拨款(元)在校生人数（万人）全国居民家庭人均纯收入（元）生均培养成本（元）大学生5年内投资成本率19971816.259632.813485317.41944.417247.80.22300521819982137.22086410465.0572340.92113.267652.70.2767706419992914.21535610719.88679413.42344.848092.10.40226879620003456.1680939552.148034556.092582.938096.40.50681668420013962.219968947.935806719.072897.337521.20.64139567720024316.9434758326.096794903.363332.556816.10.73062029720034554.3901017582.3371821108.63761.246354.40.83507306920044849.5875537272.5226851333.54276.916158.61.13377399320055063.1707636984.5892181561.77674866.9759220.80677692620065176.6498436442.5828161738.85538.686341.11.200869429资料来源：中国年鉴（1997~2006）、中国教育经费统计资料、中国教育经费统计年鉴（1997~2006）等表格分析：在近几年生均培养成本与大学生投资成本率分别维持在6000与1上下波动。政府生均拨款逐年下降，学费逐年上升，符合四维微分方程动力学模型中的假设。人均纯收入逐年上涨，带动在校学生人数逐年加快上升。生均拨款减少了，居民家庭人均纯收入相对变化率减少了。据上述分析，数据变化与四维微分方程动力学模型的假设相符，可以使用该模型进行问题分析。将数据带入SKIPIF1<0式，本文得到各个比例系数为：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0。由此可以得到新的四维微分方程模型为：SKIPIF1<0通过模型稳定解的分析，本文发现国家的学费标准长期来看应稳定到3000元，而各个学校则根据专业不平衡系数和地区发展不平衡系数制定学费标准。据此，本文改进上述模型得到考虑地域和专业的新式模型为：SKIPIF1<0注：SKIPIF1<0为各地区各专业学费，SKIPIF1<0为家庭人均纯收入，SKIPIF1<0为政府的生均经费投资，SKIPIF1<0高校的招生人数，SKIPIF1<0为高校的生均培养费用，SKIPIF1<0为大学生投资成本系数，SKIPIF1<0为专业不平衡系数，SKIPIF1<0为地区发展不平衡系数，SKIPIF1<0SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0为相应参数。5.4模型应用为了说明本文建立的模型的合理性与分析我国现在某几类专业的学费标准，本文以2007年为例进行研究，通过查阅资料可以得到2007年的有关数据，其详细情况为：城镇居民人均可支配收入为12797.00元，农村居民人均纯收入3945.10元，生均培养成本为5696.1元，生均教育拨款6019.6元，人均国内生产总值17034元。同时依据代表广泛性原则，随机选取全国31省市13类专业中5个（表9）作为代表来研究所得模型准确性和当前学费合理性。表9选取地区及其专业北京市艺术类山东省医学类广东省信息类甘肃省数学类吉林省外语类现实中所收学费（元）1000048004180~45602300~50004600~9800根据上述两个模型，将以上数据分别带入两个模型进行求解得到这5个代表专业的2007年学费如下表：表10序号地区与专业多元回归模型所得学费（元）学费的SKIPIF1<0置信区间（元）现实中所收学费（元）1北京市艺术类10572SKIPIF1<0100002山东省医学类4111SKIPIF1<048003广东省信息类4337SKIPIF1<04180~45604甘肃省数学类3061SKIPIF1<02300~50005吉林省外语类5288SKIPIF1<04600~9800注：多元回归模型，SKIPIF1<0表11序号地区与专业四维微分方程动力学模型所的学费（元）高校扩大学费收取区间（元）现实中所收学费（元）1北京市艺术类8122SKIPIF1<0100002山东省医学类4205SKIPIF1<048003广东省信息类4852SKIPIF1<04180~45604甘肃省数学类3049SKIPIF1<02300~50005吉林省外语类4115SKIPIF1<04600~9800注：四维微分方程动力学模型结果分析：在进行回归分析中，本文还找出上述地区和专业学费的SKIPIF1<0置信区间，发现除了山东省医药类外，其他所抽查的学费均在置信区间之内，模型较为准确的反映学费标准。在用四维微分方程动力学模型时，本文找出高校扩大学费收取区间，发现除了广东省信息类外，其他所抽查的学费均在高校扩大学费收取区间之内，模型较为符合实际情形。对所选地区与专业的学费进行分析，本文发现现有的高等教育学费基本上是合理的，但是普遍偏下，存在着很大的上升浮动区间与趋势。六、模型的评价本文以学费标准的多元回归模型为主，同时使用学费标准的四维微分方程动力学模型进行进一步分析，对我国现行学费标准进行评价。6.1模型的优点（1）由于回归模型能够加为准确的发现事物之间的内在联系，因此可以使用回归模型得到学费与其影响因素之间的某种内在关系。模型优越性表现在抓住了影响学费的主要因子（个人相对收益率、年生均培养费用、专业冷热的区别、居民（城镇与乡村）对高等教育学费的支付能力、国家生均拨款），反映了学费的变化规律性，采用的基础数据均源于中国统计年鉴，具有较高的准确性。（2）由各种因素内部关系所建立的四维微分方程动力学模型是一种动态的预测模型，其动态形式是通过年生均培养费用、居民人均纯收入、国家生均拨款等因素逐年推移而实现的，较为准确的抓住了各因素之间的联系，为最终确定学费标准提供了微分函数。（3）在数据的求解中，使用范围解对学费进行大概的描述，这样更为准确合理的分析了学费的确定标准。（4）通过回归模型与四维微分方程动力学模型的比较，能够得出不同学费确定区间，综合分析可以得到较为准确的学费标准区间。（5）本文中的模型简单实用，可运用于小型的学费标准确立软件的开发。6.2模型的不足（1）回归模型没有考虑到各因素之间的关联度，同时为了简化运算，忽略了部分学费影响因素，这使得最终数据不能全面的反映整个社会变化下学费标准。（2）四维微分方程动力学模型只考虑四个参数相关联下的微分方程组，同时在假设中分析的数据之间的联系存在一定误差，这导致数据最终的结果范围比回归分析略大。（3）由于我国国情影响，本文没有考虑由于政府的强制性措施导致的学费标准的变化。6.3模型的改进（1）利用多年的年鉴数据，可以对于回归模型中加入更多的因素进行分析，这能更准确地得到学费的计算公式。（2）可以建立更高维的微分方程组，加入不同因素之间的关联程度，从而更全面得到学费标准的稳定解。（3）全面比较两种模型的确定区间，已确定学费的重合区间，这样更加准确的得到学费标准的范围。七、有关学费标准确立的报告有关部门：高等教育学费标准确立事关高素质人才培养、国家创新能力增强、和谐社会建设的大局，因此受到党和政府及社会各方面的高度重视和广泛关注。根据所建模型的结果分析，本文将有关建议报告如下：（1）学费标准应遵从公开公平的原则。经费来源主要是政府财政拨款、社会捐赠和学费，就我国近年来的实际情况来看，国家教育财政拨款严重短缺，预算内政府拨款占GDP的比例一直没有达到规定标准，甚至政府作为高校教育经费最主要的投入者还存在失责、缺位的现象。因此，政府应将一些与高校教学无关的费用剔除出去，加强对高校成本核算的监督，定期公开学校的政府财政拨款、社会捐赠和学费的定额，对收费的最高额度加以有限制，并以平均教育成本作为收取学费的根本依据，而不是以各学校自己上报、自己计算的成本为基准，以加强公正性和透明度。（2）学费标准应符合全面细致原则。一元回归分析结果表明，人均国内生产总值、高等教育成本、城镇居民家庭可支配收入、农村居民家庭可支收入、生均拨款、人均国内生产总值与学费存在显著的相关关系，所以在制定收费标准时，应该将这些因素全面并细致的考虑在内，以便使收费制度更加合理与健全。（3）学费标准应进行合理的划分。基于我国的基本国情，城乡居民的家庭收入仍存在显著差距，对同一年的城乡升学生来讲，进入同等高校和选择专业时就存在不公平的现象，这就造成了大量优秀学生因顾及学费而与自己愿望的大学和专业失之交臂，还有近年出现农村大量学生因无力支付高额学费而失学的现象。因此，政府与学校在制定学费标准时要综合考虑不同收入水平的群体，特别要兼顾城乡间的差别，以便使更多的适龄青年能有同等的机会接受高等教育。首先，有关部门在制定学费标准时要综合考虑城乡差别，把城镇居民收入和农村居民收入作为两个独立的因素来加以权衡，其次，在保证学费水平与高等教育成本的合理比例的同时，通过学费水平的上限来约束某些高校学费高涨的情况，使大多数居民能够承受当前的学费。（4）国家应加大私立学校成立的数量。由于我国高等教育市场大部份为国家所有，这不利于学校之间的竞争。因此，本文建议鼓励发展私立高等教育，形成公私立高等教育竞争发展的局面，完善高等教育市场。发展私立高等教育，不仅可以加快高等教育大众化的进程、减轻高等教育需求压力，而且也能够在一定程度上缓解高等教育的财政危机，更重要的是它可以丰富高等教育发展模式，展开与公立高等教育的竞争，促进高等教育的发展。（5）学费的来源应多元化。由于我国学生大部分的学费来源于家庭纯收入，因此给家庭带来很重的经济负担。为减少家庭的教育支出，本文建议加强信贷观念、健全资助制度，使学费来源多元化。为保证特困大学生能够接受并顺利完成高等教育，国家设立了奖学金、助学金、勤、减、免学费制度，但这不能成为解决问题的最理想方式，银行贷款能较好的减缓特困生及其家庭支付高校学费的压力，但实际是通过这种方式支付教育费用的人数比例和金额比例较少。因此，应加快建立、完善学生贷款管理制度，增加学生贷款的数额，扩大贷款的覆盖面。以上意见如无不妥，可建议有关部门采用实施。特此报告数学建模组二零零八年九月二十二日参考文献：[1]乔资萍，高等教育学费的合理区间及其相关因素分析[M]，万方数据资源系统，2002。[2]刘荣，试析我国高等教育收费标准的影响因素[J]，现代商贸工业，2007，19(2)：116~117。[3]毛建青，我国普通高等院校学费制定标准探讨[J]，湖南师范大学教育科学学报，2006，5(2):75~78。[4]任兴祥，关于高等教育收费标准的探讨[J]，纺织教育,1998,4:19~21。[5]吕孟源，高等教育成本分担及收费标准设计的准则[M],吉林教育科学高教研究，2001，(5)：20~22。[6]化存才，高校招生规模、政府投入和学费标准的三维动力学模型及政府调控[J]，成都理工大学学报（自然科学版），2007,34(6):1~4。[7]萧树铁，姜启源，张立平，大学数学（第二版）数学实验，北京：高等教育出版社，2006。[8]王蕾，我国高等教育学费与居民家庭支付能力的现状分析[M]，北京理工大学学报（社会科学版），2005，7(4)：90~92.[9]中国国家统计局，中国国家统计年鉴-1997~2007，，2008-9-20。[10]中国教育新闻网，2007年高校收费标准与奖励资助，，2008-9-21。附录附录一：部分散点图附录二：回归分析程序xf=[1816.252137.2208642914.2153563456.1680933962.219964316.9434754554.3901014849.5875535063.1707635176.649843];%人均学费（元）js=[64206796715978588622939810542123361410316084];%人均国内生产总值（元）pc=[7247.827652.698092.148096.457521.226816.086354.446158.615921.956341.11];%生均培养成本（元）cs=[5160.305425.105854.006279.986859.587702.808472.209421.6110493.0311759.45];%城镇居民家庭人均可支配收入（元）xs=[2090.102162.002210.302253.422366.402475.632622.242936.403254.933587.04];%农村居民家庭人均纯收入（元）br=[82.98384.895103.6133.7187.7239.1306.8377.5];%毕业生人数（万人）rr=[100108.4159.7220.6268.3320.5382.2447.3504.5546.1];%录取人数（万人）jb=[9632.81348510465.057210719.886799552.1480348947.9358068326.0967947582.3371827272.5226856984.5892186442.582816];%生均教育拨款（元）X=jb;y=xf';n=10;x=[ones(n,1),X',X'.^2,X'.^3];[b2,bint2,r2,rint2,s2]=regress(y,x);b2,bint2,s2polytool(X',y,3)x=[ones(n,1),X'][b1,bint1,r1,rint1,s1]=regress(y,x);b1,bint1,s1polytool(X',y,1)pc1=-344456.97+157.19*pc-0.0233*pc.^2+1.14*10^(-6)*pc.