2023届高三数学小题狂练-平面向量的线性运算3（含解析）

一、单选题.在△ABC中，BC=2,BA=丘,B=~＞讶=3丽，且点E是BO的中点，则荏.前=4（）TOC\o"1-5"\h\zA.-- B.- C.-- D.-9 9 3 3.在四边形ABCC中，AB=＞/3AD,AB=DC，且k4+而卜卜启一正|,则A8与画的夹角为（）A.二 B.工 C.生 D.四6 3 3 6.已知下图中正六边形A8CCE/的边长为4,圆O的圆心为正六边形的中心，直径为2,若点P在正六边形的边上运动，MN为圆。的直径，则丽.前的取值范围是（）DA.[11,16] B.[11,15]C.[12,15] D.[11,14].已知A、B、P是直线/上三个相异的点，平面内的点O任/,若正实数x、y满足—» TT 2x+V4OP=2xOA+yOB＜则°的最小值为（）TOC\o"1-5"\h\zA.1 B.2 C.3 D.4P是aABC所在平面内一点，O为BC的中点，满足|丽-PC|-2k4=。，则通与府的夹角为（）n 一兀 一兀 一2兀A.- B.- C.- D.—6 3 2 3—►1—.2—•6.在AABC中，8=60。，AC=3,AD=-AC+-AB,则aACD面积的最大值为（）A—3/ r96 c3x/3 d362 4 4 27.如图，△A8C是边长为3的等边三角形，。在线段BC上，且防=2比，E为线段4。上一点，若八48£与八钮：。的面积相等，则而.衣的值为（）A,TOC\o"1-5"\h\zB DCA.- B.-- C.- D.--4 4 4 4.在aABC中，M为BC边上任意一点，N为线段AM上任意一点，^AN=AAB+pAC（Af〃wR）,则4+〃的取值范围是（）A.0,1| B.I，! C.[0,1] D.[1,2].已知平面向量入员万x5）满足|Q|=3,且5与5-a的夹角为剑，贝|J|5|的最大值为（）TOC\o"1-5"\h\zA.2 B.4 C.6 D.8.若圆V+f=6上的两个动点A8满足|a@=2五点M在圆x?+V=16上运动，贝!]|加+行司的最小值是（）A.2 B.3 C.4 D.5.如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆。，尸为圆。上任一点，若丽=x^+y/,则2x+2y的最大值为（）3 3.已知点O,A,B是同一平面内不同的三个点，且|砺卜|画=4,若7e[0,l）,k丽-西+（1-/1）旃丽的最小值为26，则的=（）

.在直角三角形ABC中，CA=CB=3,M,N是斜边AB上的两个动点，且仰=应，则助己而取值范围为（）TOC\o"1-5"\h\z■5-1 「7"A.2,— B.[4,6] C.[2,4] D.4,—.已知圆柱。。2的轴截面是边长为2的正方形,AB为圆O1的直径，P为圆。2上的点,贝3+网.如■=()A.4 B.4上 C.8 D.8&.已知a=(x,y),fe=(x-l,9)(x>0,y>0),若£〃凡则'+>的最小值为()A.6 B.9 C.16 D.18.艺术家们常用正多边形来设计漂亮的图案，我国国旗上五颗耀眼的正五角星就是源于正五边形，正五角星是将正五边形的任意两个不相邻的顶点用线段连接，并去掉正五边形的边后得到的图形，它的中心就是这个正五边形的中心.如图，设。是正五边形ABCOE的中心，则下列关系错误的是（）A.AD+DB=OB-OA B.AOBE=0C.AC+AD=3AO D.AOAD=BOBD|UUU|△ABC中，8c边上的点。满足丽?而正?而，w。|=3,点G在三角形内,w>£ga+gb+gc=o.则和x而的值为（）9A.- B.32C.6 D.12.在aABC中，点。在线段AC上，且满足|Aq=g|AC|,点Q为线段8£）上任意一点,UUUULUULMU若实数x,y满足AQ=xA8+yAC,则；+；的最小值为（）A.4B.A.4B.4百C.8D.4+26二、填空题.已知£=(x,y),5=(x-L9)(x>0,y>0),若£〃5，则x+y的最小值为..已知诉，元为正交基底，且赤=2次，历=必反,几>必>1,P,Q分别为AC,8D的中点，若网国=1,则|汝的最小值为..aABC中，角A,B,C对边分别为a,b,c,点尸是aABC所在平面内的动点，满足0P=。足0P=。8+2BCBA悯网(2>0).射线BP与边AC交于点D.若8==，BD=2,则占ABC面积的最小值为..在aABC中，|C4|=|CB|=2,。为AC的中点，则反•丽的取值范围是..在平行四边形ABC。中，=2,ZABC=60,AC,3D相交于点。，E为线段AC—.―. 7上的动点，若45・8。=-5,则血.诙的最小值为.已知向量3，［满足卜卜1,丐二(-1,6),b=2a(2eR),则卜-闸=.2.点?在椭圆?+丁=1上，尸不在坐标轴上，4(2,0),C(2,l),4(0,1),B/OT),直线8/与x=2交于点T,直线B2P与x轴交于点S,设^=几&，后=/,北，则义十〃的值为..在dBC中，|丽|=4,|网=3,反=4而，目.忸力卜号“则丽・瑟=.参考答案:1.A2—.1—. 5―1—.TOC\o"1-5"\h\z【分析】根据平面向量加法、数乘的几何意义可得理=彳48+二8(7、EC=-BC+-AB,3 6 6 3再应用数量的运算律求恁.觉即可.【详解】由题设，AE=AB+BE=AB+-BD=AB+-(BC+CD)=AB+-BC+-CA=2 2 2 3―►1—1—一2—►1—AB+-BC+-(CB+BA)=-AB+-BC,2 3 3 6EC=EB+BC=-DB+BC=-(DC+CB)+BC=-AC+-CB+BC=-(AB+BC)+-BC2 2 3 2 3 2—1--=-BC+-AB,3---1--2—5—•1—5—»211 2^—2AAE-EC=(-BC+-AB)(-BC+-AB)=—BC+—BCAB+-AB,又丽丽=—2,6 3 6 3 36 18 9：.AE-EC^--—999 9故选：AD【分析】根据向量的线性关系及向量和差的模相等易得48co为矩形，进而求㈤C的大小,再应用数形结合判断血与巨的夹角大小.【详解】因为砺=反，所以四边形48C。为平行四边形.因为3疗+而卜卜月一正所以四边形ABCO的对角线相等,综上，四边形ABC。为矩形.因为48=石4£>,所以tanNB4c=@,得NBAC=匹，3 6故Ag与⑦的夹角为乃-NBAC=竺.6故选：DB【分析】根正六边形的性质，求得内切圆和外接圆的半径，再化简得到两.丽=所2_丽儿结合/'W而卜R,即可求解.【详解】由正六边形ABCDEF的边长为4,圆。的圆心为正六边形的中心，半径为1,所以正六边形ABCZ）防的内切圆的半径为r=Q4sin60=4sin60=2后，外接圆的半径为R=4,又由两•两=（用+丽）•（而+丽）=（而+而'）•（所-两'）.,..2 2 .2=PO-OM=PO-1•因为/■W丽卜R,Bp|PO|e[2^,4],可得而?_11/5]，所以丽■•丽的取值范围是[11,15].故选：B.B【分析】由题知再结合向量三点共线得;+与=1,再结合基本不等式求解即可得答案.【详解】；4O》=2xoh+yO%，，办=]&+：办，由于A、8、P是直线/上三个相异的点，所以;+斗=1,又x>o,y>0,242x+y 12 （1 2yx yy x y t_由基本不等式得 =_H■—=—h_+~r=-+—+12,xy xy （x ）'八2 4） y 4x当且仅当y=2x时取等号.故选：B.

【点睛】结论点睛：设后,办是平面内不共线的斜率，若存在实数4,4使得加，则当4+4=1时，AB,c三点共线，反之，当a,b,c三点共线时,4+4=L易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：“一正二定三相等'"'一正''就是各项必须为正数；“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；“三相等''是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.5.C【详解】结合题干条件，|丽-园-2|亚卜。可转化为|福-而卜|前+福两边平方化简可得而•前=0，分析即得解【分析】由廊-园-2|码=0,。为BC的中点lUUTi|UUUiIliunUUQI可得CB=2Aq=AB+AC,即府_罔=即+词，将|a有一|亚+祠两边平方，得通2+432_2丽.43=岫2+/2+2通.正化简得丽•衣=0，而与衣的夹角为5，故选：C.6.D 1 2 2 【分析】对标=3/§而化简可得。=§C3,则点。在C8上，然后利用正弦定理可得sinZACO=AB得sinZACO=AB访,再由余弦定理结合基本不等式可得的最大值为9,再由三角形的面积公式可求得结果—1—2—【详解】因为AD=；AC+；AB,3 3 2 2 所以C£j=A5一aC=—a*--AC3 3

27=-(CB-CA)——AC3 3=-CB,3所以点。在C6上，如图建立平面直角坐标系，则B(0,0,0),A(|,|G),0(2,0),C(3,0),E《，M)，因为AC因为AC

sinBAB AB所以sinC=—-j=,AB AB所以sinC=—-j=,即sinZ.ACD=—广,2v3 25/3所以S*acd=』AC•COsinZAC。」x3C£>.华

2 2V3/o n=—ABCD=—ABCB.4 6因为cosB="+C———=cos60°=-,lac 2所以a?+c?—ac=9，所以ac=/+c2_9N2ac-9,即ac49,当且仅当时取等号,所以ABCB的最大值为9,所以面积的最大值为立、9=也,6 2故选：DD【分析】由题可得E为的中点，建立坐标系利用坐标法即得.【详解】•.,。在线段BC上，且诟=2反，•'-54CD=^S4,,bd,又E为线段AO上一点，若与△AC。的面积相等,•••S4AsE=；S_BD，E为A。的中点，•,•屉=(孑泗，而呜-沙｝..•福而=*3-殛x至=-二42 4 2 4故选：D.C【分析】设由=/人而，(0<r<l),当，=0时，可得力=〃=0,从而有义+〃=。；当0<rwi时，有丽=4而+巴/，根据"、8、c三点共线，可得4+'=1,进而可得tt tt2+//=re(O,l],从而即可求解.【详解】解：由题意，设而=/丽7，(04/41),，B VC当f=o时，丽=0，所以4而+〃衣=6,所以4=〃=0,从而有2+〃=0；当0<fWl时，因为丽=2而+〃/(2,〃eR),所以tAM—AAB+〃AC,即AM=—ABH—AC,因为M、8、C三点共线，所以L+9=l,即义+〃=f«O』.综上，4+〃的取值范围是OU.故选：C.C【分析】以1编，|5|为邻边作平行四边形ABC。，设通=d，而=6则丽=5-。，由题意ZAZ)8=30。，设ZA8D=6,在△ABO中，根据正弦定理结合三角函数的性质即可得解.【详解】解：以诲1,防|为邻边作平行四边形ABCD,设丽=a,AD=b,贝|J丽=8-1，由题意405=30°,设48。=。,(0。<。<150。)，

在△ABO在△ABO中，由正弦定理可得,ABADsin30°sin6A£>=6sin^<6,即|B|的最大值为6.故选：C.故选：C.【分析】根据弦长为定值，设4B的中点为N,则：ON=d=2,所以N点在以原点为圆心,再由送+湍=2湍，进而求21MMmm的最小值即可.【详解】解析由V+y2=6可知圆心为坐标原点，半径为『=指，因为|人叫=2近，所以圆心到直线AB的距离d心到直线AB的距离d二,2设AB的中点为N,则：ON=d=2,所以N点在以原点为圆心,以4=2为半径的圆上，所以N点的轨迹方程为x?+y2=4因为N为48的中点,ULUULILIUIUUU所以M4+M8=2MNM讶|+|阿L=2|MNLn=4,因为点“在圆V+y2=i6上运动，圆/+/=16的半径4=4,所以||必所以||必|+|而L„=2|MN[minImin=4故选：C.【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是解得AB的中点为N的轨迹为圆，从而可以借助于圆处理最值.A【分析】等和线的问题可以用共线定理，或直接用建系的方法解决.【详解】E作3c的平行线与圆相交于点P,与直线A3相交于点£与直线AC相交于点F设Q=2南+〃宿则％+〃=1,AEAF 4VBC//EF,・,・设年=竺=女，则攵£[0,2]ABAC 3：.AE=kAB.AF=kACfAP=AAE+^AF=AkAB+pkAC••x—2k,y—,kQ...2x+2y=2(丸+〃)k=2k<-故选：A.D【分析】^OM=AOB,BM=(1-A)BaBP=^BA,进而\wB-0^+(\-AYB0-^B^=\am\+\pm\,设NOAB=26,点A关于OB对称的点为A，，A4'与。B交于点”，A7>与OB交于点M0,故当点M位于M°位置时，|奇|+|而]取得最小值AP=2石，再结合余弦定理求解即可.【详解】解：OM=AOB,BM=(1-A)BO,BP=BA,所以卜0豆-砺卜(i-a)bo-^ba=|om-oa|+|bm-bp|=|/4m|+|pm|,设/OAB=26,点A关于OB对称的点为4,AA，与OB交于点H,4P与OB交于点m0,则当点M位于M,位置时，|丽卜|啊取得最小值A'p=26，在ZM'DA中，AA'=2AH=8cos6,AP=2,AP=2>/5,所以由余弦定理得：4+(8cOSg)2-2°=cosg,解得：cos20=-,2x2x8cos61 2所以 =16sin2(9=16x1=8,2所以画=2|8〃|=4&故选：D【分析】令MA=«0W2应），利用向量的线性运算及数量积运算将砒.正表示成，的函数，再求函数值域作答.【详解】如图，RlZXABC中，C4=CB=3,则AB=3及，ZCAB=45，令AM=«OV夜），于是得沅•林=（赤+/）•（丽+宿=砺•丽+（砺+丽）•衣=r，+&）+（2f+&）-3cosl35'+9=/-2"+6=«-&『+4当，=&时，（砒•近）门„=4,当1=0或r=2近时，（祝•配）a=6，所以祝•配取值范围为[4,6].故选：BC【分析】利用圆柱的轴截面性质，求得圆柱的高与底面圆半径，根据平面向量的线性性质,把所求数量积转化为直角三角形中的两个向量数量积，利用数量积的定义求解即可.【详解】解：设圆柱的高为〃，底面半径为『若圆柱。02的轴截面是边长为2的正方形,则：/?=2r=2,因为A8为圆01的直径，P为圆。2上的点，所以在△Q48中，。1为AB中点.•.例+而）•西=2西=西西又在aP。。?中，。。2=h=2,pO2=r=1,且OR，2°2，则Pq=>/5如图：为圆柱的一个轴截面O1_ 2亚・,・例+而)^*=2西、^].8$<咻^>=2*国2、长=8故选：C.C91・【分析】由题可得一+—=1,然后利用“乘1法’唧得.yx【详解】Va=(x,y),fe=(x-l,9)(x>0,y>0),a//b.:.9x-y(x-l)=0,91A9x+y=xy,即一+—=1,Jx• / 91)[八9x l9xy〃..x+y=(x+y)一■F—=10d +->10+2 -=16,(yxjy%Yyx9xv当且仅当一=2，即x=4,y=12时取等号，yx所以x+y的最小值为为16.故选：C.C【分析】由平面向量的运算对选项逐一判断【详解】对于A,AD+DB=AB,OB-OA=AB,故A正确，对于B：因为= OB=OE,所以而丽，故B正确，对于C：由题意。是zMCO的外心，不是△ACZ）的重心设8中点为M,RUIAAf|=|A0|+1OM|=|A0|+|AO|cos360MAO|-2cos2180,AC+AD=4cos218°AO.故C错误，对于D：AOAD=-\AD\t=-\Bb\1=BdBD,故D正确.2 2故选：CC【分析】根据而?而正?而可得而“而，进而根据数量积的几何意义可得AD^AB=AD>由酢+说+觉=。知：G是“BC的重心，进而根据三角形中的几何关系以及向量加法运算可得而=：（而+/），进而可求.【详解】而?mAC®（AB-AC）?ADCB7AD0,故而人而,所以而、而=而。由晶+而+觉=6?G是aABC的重心，所以而=：（人与+衣）,因此AG1AD，（荏+㈣?而~（AB?ADAC?A£>）^AB?AD!|a5|?|ad|6故选：C.D【分析】由向量共线定理及推论得到x+3y=l,再使用基本不等式求出最小值.【详解】由题知点。满足而=；/，由而=xX5+y/=x^+3y正，由点。在线段8。上，结合向量的三点共线定理可得x+3y=l,x>0,y>0,则1+1=0+4&+3加4+羽+*4+25当且仅当越J,即》=叵。=三正等xy xy 2 6号成立，即D选项正确.故选：D16Q1 fQ]\Qrv【分析】由£〃以列方程化简变形可得一+—=1,从而x+y=(x+y)m=io+3+),yx X)yx然后利用基本不等式可得答案【详解】因为3〃凡a=(x,y),t=(x-l,9),所以9x+y=孙，91因为x>o,y>o,所以一+—=1,y尤所以x+y=(x+y)(2+q=10+32N10+2j”2=16,lyx)yxYyx9xy当且仅当一=-,即y=3x取等号，yx所以x+y的最小值为16,故答案为：16立##[&2 2【分析】由反为正交基底，且丽=力丽,而=〃反结合向量的线性运算和数量积运算可得福.丽=0,再由尸，。分别为AC,BD的中点，可得\pq\=^(OB+ob)-^(oA+oci=1|ab+cd|,再利用基本不等式可求得其最小值.【详解】因为双，反为正交基底，所以3.反=0,因为砺=4弧丽=〃觉,2>〃>1,所以苑=(2-1)西，丽=(〃-1)祝，所以福.丽=(义_1)(〃_1)次.祝=0,因为P，Q分别为ACM的中点，|用卜|而-西,[/ «2 ■ ■ ,2=-、AB+2ABCD+CD2

=，研+阿灵坪祠当,当且仅当I环卜I苫何时取等号，所以I用I的最小值为正，2故答案为：红221.生后##3百3 37T【分析】根据向量数乘与加法法则得80是NA8C的平分线，从而得NABO=NCBO=7,由正弦定理表示出AP，CD,利用54叱=5/加+5式也得出“BC的面积，并化为A的函数,由三角函数恒等变换并利用换元法a=A+C得出。的函数，结合正弦函数性质、不等式的6性质可得最小值.【详解】8而=奇是与而同向的单位向量，丽=齿是与/同向的单位向量，设BCBA~国网由波=砺+2BCBA悯+司|^OP-OB=BP=A，BCBA~国网由波=砺+2BCBA悯+司|^OP-OB=BP=A，所以8户与丽共线，即8。是△ABC中ZA8C的平分线,B=-,则ZABO=NCBO/，0<A<—,3 6 3由正弦定理得ADBDsinZABD由正弦定理得ADBDsinZABDsinA段」11，即.兀sinA.所以4。=-y,同理C£>=「；,sin— sinA sinC6记ZA£>B=6>,则6=」-A,6s、ABC=Sabd+S、C8D=；AO.BOsin6+gCO.30sin(7t-0)=-x2sin6(—5—+=-x2sin6(—5—+-—)=sin(--A)

2sinAsinC61(1sinA4吟—A)石sin2a

sin(a-；)sin(a+：)>/3sin2asina--4(sma--) 3 3I，即时等5冗 sinA+sin(@-A)=sin(-^-A) 6sinAsin(--A)sin(^+A)(sinA4-sin-cosA-cos-sinA)ITsinAsin(A+—)sin(^+A)(；sinA+-^cosA)jrsinAsin(A+-)y/3sin(6+A)(-^-sin4+cosA)sinAsin(A+；)V3sin2(A-F-)=6sinAsin(A+—)、n_an rn.i兀57r 1 .t八.13i乂A+—=a、贝J—<a<—,—vsinaWl,0<sinct—W-6 6 6 2 44_ V3sin2a\sina.^-Cosa.l)(sina.^+eosa.l号成立.故答案为：生8.322.(-1,3)【分析】将觉,而作为基底，由于方=反+而代入化简，再结合数量积的定义和余弦函数的性质可求得答案【详解】依题意~DCDB=DC[pC+CB^=DC'+DCCB=DC-CDCB=\-\x2cosZBCD.又8s/Ba>e(-l,l),所以1-1x2cos/BCD=1-IcosZBCDg(-1,3).故答案为：(-L3)|UUU| 【分析】先利用已知条件求得丽.而=3,四=3,再设AE=fAC,(OVE),根据线性关系利用向量瓶比表示向量应，诙，利用数量积展开化简得到丽.诙=7r-7r-3，0<r<l,结合二次函数最值的求法即得结果.【详解】依题意，由=知丽.丽=g,即丽T(而+而)=g,所以玄+丽配=7,得丽•阮=3,则网.网际60。=3,即四=3.设荏=/抚,(04/41),贝iJ8