闭区间上连续函数性质的证明课件

第二节闭区间上连续函数性质的证明福州大学数学与计算机学院1一、有界性定理二、最值定理三、零点存在定理四、反函数连续性定理五、一致连续性定理第二节闭区间上连续函数性质的证明福州大学数学与计算机学院1福州大学数学与计算机学院2定理1

设f(x)在[a,b]上连续,则f(x)在[a,b]上有界.证明一:(应用致密性定理证明)一有界性定理

福州大学数学与计算机学院2定理1设f(x)在[a,b]上福州大学数学与计算机学院3福州大学数学与计算机学院3福州大学数学与计算机学院4福州大学数学与计算机学院4福州大学数学与计算机学院5证法二:(应用有限覆盖定理证明)福州大学数学与计算机学院5证法二:(应用有限覆盖定福州大学数学与计算机学院6福州大学数学与计算机学院6福州大学数学与计算机学院7证明三:(应用区间套定理证明)福州大学数学与计算机学院7证明三:(应用区间套定理证明)福州大学数学与计算机学院8福州大学数学与计算机学院8福州大学数学与计算机学院9福州大学数学与计算机学院9福州大学数学与计算机学院10定理2

设f(x)在闭区间[a,b]上连续,则f(x)在[a,b]上一定有最大值和最小值.证法一(应用致密性定理证明)二最大最小值定理

福州大学数学与计算机学院10定理2设f(x)在闭区间[a,福州大学数学与计算机学院11福州大学数学与计算机学院11福州大学数学与计算机学院12证明二:(应用确界原理证明)福州大学数学与计算机学院12证明二:(应用确界原理福州大学数学与计算机学院13福州大学数学与计算机学院13福州大学数学与计算机学院14福州大学数学与计算机学院14福州大学数学与计算机学院15定理3(零点存在定理)

设

f(x)在闭区间[a,b]上连续

,且

f(a)与

f(b)异号(即f(a)

f(b)<0),则至少存在一点

(a,b)使

f()=0.三零点存在定理证明:

(应用区间套定理证明)福州大学数学与计算机学院15定理3(零点存在定理)设f福州大学数学与计算机学院16福州大学数学与计算机学院16福州大学数学与计算机学院17福州大学数学与计算机学院17福州大学数学与计算机学院18福州大学数学与计算机学院18福州大学数学与计算机学院19介值定理

闭区间[a,b]上的连续函数f(x)可以取其最大值和最小值之间的一切值.即设f(x)在[a,b]上的最大值为M，最小值为m，那么对任意的c，m<c<M,则至少存在一点

(a,b)使

f()=c.福州大学数学与计算机学院19介值定理闭区间[a,b]上的连福州大学数学与计算机学院20

四、反函数连续性定理福州大学数学与计算机学院20四、反函数连续性定理福州大学数学与计算机学院21福州大学数学与计算机学院21福州大学数学与计算机学院22福州大学数学与计算机学院22福州大学数学与计算机学院23福州大学数学与计算机学院23福州大学数学与计算机学院24五、一致连续性定理

福州大学数学与计算机学院24五、一致连续性定理福州大学数学与计算机学院25证法一(应用致密性定理证明)福州大学数学与计算机学院25证法一(应用致密性定理证明)福州大学数学与计算机学院26福州大学数学与计算机学院26福州大学数学与计算机学院27证明二:(应用有限覆盖定理证明)福州大学数学与计算机学院27证明二:(应用有限覆盖福州大学数学与计算机学院28福州大学数学与计算机学院28福州大学数学与计算机学院29六.小结有界性定理（致密性定理；有限覆盖定理）最值定理（致密性定理；确界原理）零点存在定理（区间套定理）反函数连续性定理（介值定理）康托定理（致密性定理；有限覆盖定理）福州大学数学与计算机学院29六.小结有界性定理（致密性定理第二节闭区间上连续函数性质的证明福州大学数学与计算机学院30一、有界性定理二、最值定理三、零点存在定理四、反函数连续性定理五、一致连续性定理第二节闭区间上连续函数性质的证明福州大学数学与计算机学院1福州大学数学与计算机学院31定理1

设f(x)在[a,b]上连续,则f(x)在[a,b]上有界.证明一:(应用致密性定理证明)一有界性定理

福州大学数学与计算机学院2定理1设f(x)在[a,b]上福州大学数学与计算机学院32福州大学数学与计算机学院3福州大学数学与计算机学院33福州大学数学与计算机学院4福州大学数学与计算机学院34证法二:(应用有限覆盖定理证明)福州大学数学与计算机学院5证法二:(应用有限覆盖定福州大学数学与计算机学院35福州大学数学与计算机学院6福州大学数学与计算机学院36证明三:(应用区间套定理证明)福州大学数学与计算机学院7证明三:(应用区间套定理证明)福州大学数学与计算机学院37福州大学数学与计算机学院8福州大学数学与计算机学院38福州大学数学与计算机学院9福州大学数学与计算机学院39定理2

设f(x)在闭区间[a,b]上连续,则f(x)在[a,b]上一定有最大值和最小值.证法一(应用致密性定理证明)二最大最小值定理

福州大学数学与计算机学院10定理2设f(x)在闭区间[a,福州大学数学与计算机学院40福州大学数学与计算机学院11福州大学数学与计算机学院41证明二:(应用确界原理证明)福州大学数学与计算机学院12证明二:(应用确界原理福州大学数学与计算机学院42福州大学数学与计算机学院13福州大学数学与计算机学院43福州大学数学与计算机学院14福州大学数学与计算机学院44定理3(零点存在定理)

设

f(x)在闭区间[a,b]上连续

,且

f(a)与

f(b)异号(即f(a)

f(b)<0),则至少存在一点

(a,b)使

f()=0.三零点存在定理证明:

(应用区间套定理证明)福州大学数学与计算机学院15定理3(零点存在定理)设f福州大学数学与计算机学院45福州大学数学与计算机学院16福州大学数学与计算机学院46福州大学数学与计算机学院17福州大学数学与计算机学院47福州大学数学与计算机学院18福州大学数学与计算机学院48介值定理

闭区间[a,b]上的连续函数f(x)可以取其最大值和最小值之间的一切值.即设f(x)在[a,b]上的最大值为M，最小值为m，那么对任意的c，m<c<M,则至少存在一点

(a,b)使

f()=c.福州大学数学与计算机学院19介值定理闭区间[a,b]上的连福州大学数学与计算机学院49

四、反函数连续性定理福州大学数学与计算机学院20四、反函数连续性定理福州大学数学与计算机学院50福州大学数学与计算机学院21福州大学数学与计算机学院51福州大学数学与计算机学院22福州大学数学与计算机学院52福州大学数学与计算机学院23福州大学数学与计算机学院53五、一致连续性定理

福州大学数学与计算机学院24五、一致连续性定理福州大学数学与计算机学院54证法一(应用致密性定理证明)福州大学数学与计算机学院25证法一(应用致密性定理证明)福州大学数学与计算机学院55福州大学数学与计算机学院26福州大学数学与计算机学院56证明二:(应用有限覆盖定理证明)福州大学数学与计算机学院27