2022年全国高考甲卷数学（文）试题（解析版）

2022年普通高等学校招生全国统一考试（全国甲卷文科）注意事项：.答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码..回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上、写在本试卷上无效..考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的..设集合A={-2,-l,0,1,2},3= 则Ap|8=（）A.{0,1,2} B.{-2,-1,0} C.{0,1} D.{1,2}【答案】A【解析】【分析】根据集合的交集运算即可解出.【详解】因为A={-2,—1,0,1,2},B=po<x<||,所以408={0,1,2}.故选：A.2.某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识.为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图：100%95% ♦ ■*90% ♦ ♦ * *讲座前•讲座后%85% ♦ ♦…一♦ **讲座前•讲座后江80% 9 *一…目75% * 70% 洋 65% * * 60%l- * * n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1_123456789 10居民编号A.讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%B.讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%C.讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差D.讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差【答案】B【解析】【分析】由图表信息，结合中位数、平均数、标准差、极差的概念，逐项判断即可得解.【详解】讲座前中位数为7°%+75%>70%,所以a错;2讲座后问卷答题的正确率只有一个是80%,4个85%,剩下全部大于等于90%,所以讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%,所以B对；讲座前问卷答题的正确率更加分散，所以讲座前问卷答题的正确率的标准差大于讲座后正确率的标准差，所以C错：讲座后问卷答题的正确率的极差为100%-80%=20%,讲座前问卷答题正确率的极差为95%-60%=35%>20%，所以D错.故选:B3.若z=l+i.则|iz+3，|=()A.45/5 B.472 C.26 D.2亚【答案】D【解析】【分析】根据复数代数形式的运算法则，共轨复数的概念以及复数模的计算公式即可求出.【详解】因为z=l+i,所以iz+3N=i(l+i)+3(l—i)=2—2i,所以但+3司=屈4=2&.故选：D.4.如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为1,则该多面体的体积为

D.20D.20【答案】B【解析】【分析】由三视图还原几何体，再由棱柱的体积公式即可得解.【详解】由三视图还原几何体，如图，2+4

则该直四棱柱的体积V=上二x2x2f2.2故选：B..将函数/(x)=sin|(yx+(卜2+4

则该直四棱柱的体积V=上二x2x2f2.2故选：B..将函数/(x)=sin|(yx+(卜0>0)的图像向左平移T个单位长度后得到曲线C,若C关于y轴对称,71则。的最小值是(1A.-61B.-4【答案】c【解析】(i)TTTT 7T【分析】先由平移求出曲线。的解析式，再结合对称性得丝+巴=々+左乃次eZ,即可求出3的最小2 3 2值.(JI\ 71 (071【详解】由题意知：曲线。为丫=$皿。x+ +]=sin(«yx+—71+|),又c关于y轴对称，则CD7V 71 71 ,j— 1 = FkTT,k.C、2 3 2解得口=一+2%,“eZ,又。>0,故当左=0时，&的最小值为一.故选：C..从分别写有1,2,3,4,5,6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为()1A.-51B.-3【答案】C【解析】【分析】先列举出所有情况，再从中挑出数字之积是4的倍数的情况，由古典概型求概率即可.【详解】从6张卡片中无放回抽取2张，共有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6)15种情况，其中数字之积为4的倍数的有(1,4),(2,4),(2,6),(3,4),(4,5),(4,6)6种情况，故概率为2=1.故选：C..函数y=(3*-3f)cosx在区间一的图象大致为()【解析】【分析】由函数的奇偶性结合指数函数、三角函数的性质逐项排除即可得解.【详解】令/(x)=(3"-3r)cosx,x€ ，贝！|/(-x)=-3r)cos(-x)=-(3'-3~J)cosx=-/(x),所以f(x)为奇函数，排除BD；又当时，3A-3x>0,cosx>0,所以/(x)>0,排除C.故选：A.TOC\o"1-5"\h\zb ..当x=l时，函数/（幻=。11!》+—取得最大值一2,则/（2）=（）x1A.-1 B.—— C.4 D.12【答案】B【解析】【分析】根据题意可知/（1）=-2,r（i）=。即可解得。力，再根据了‘（X）即可解出.【详解】因为函数/（X）定义域为（0,+8）,所以依题可知，/（1）=-2,/"（1）=0,而1 0Gf'（x）=-7,所以方=_2,。一方=0,即。=-2,力=-2,所以r（x）=__+—,因此函数在XX XX（0,1）上递增，在（1,收）上递减，x=l时取最大值，满足题意，即有/'（2）=-1+3=-].故选：B.9.在长方体ABCO-A4CQ中，已知BQ与平面ABC。和平面例耳8所成的角均为30。，则（）A.AB^2AD B.ZB与平面ABC。所成的角为30。C.AC=CBt D.BQ与平面BBC。所成的角为45。【答案】D【解析】【分析】根据线面角的定义以及长方体的结构特征即可求出.【详解】如图所示：不妨设A8=a,A0="AA=c,依题以及长方体的结构特征可知，耳。与平面ABCD所成角为cbNBQB,与平面A48乃所成角为/。与A,所以sin3（y=即6=。，BQ=2c=Jo?+2+c?♦解得a—\[2.c.对于A,AB=a,AD=b,AB=6AD，A错误;对于B,过8作于E，易知8E1平面AgG。，所以AB与平面人耳弓。所成角为百场，因为tanN8AE=$=、一，所以N3AEw30'，B错误；a2对于C，AC=yja2+h2=V3c»CB1="。+c2=J^c，4CwCg,C错误；对于D,耳。与平面8片。。所成角为/。4。，sinN£）4C=需=,而0<ZDB,C<90,所以/。4C=45°.D正确.故选：D.10.甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2兀，侧面积分别为S甲和S乙，体积分别为%和丫乙.若萨=2,则广=（）3乙 V乙A.6 B.20 C.如 D.4【答案】C【解析】【分析】设母线长为/,甲圆锥底面半径为、乙圆锥底面圆半径为弓，根据圆锥的侧面积公式可得4=22，再结合圆心角之和可将小弓分别用/表示，再利用勾股定理分别求出两圆锥的高，再根据圆锥的体积公式即可得解.【详解】解：设母线长为/,甲圆锥底面半径为弓，乙圆锥底面圆半径为2，贝隐=整=二=2,S乙兀rjr2所以/;=2为，又竿+竿=2%,所以甲圆锥的高％所以甲圆锥的高％=乙圆锥的高质=2&~T~乙圆锥的高质=2&~T~所以V,I2,

乙§乃乃比vL孙飞-/2X-/%所以V,I2,

乙§乃乃比故选：c.,2 ।本•=1（。>0>0）的离心率为§，A，4分别为c的左、右顶点，8为c的上顶点.若瓯•砒=一1,则C的方程为（2 2axy2 2axy1—+—=118162 2—+^-=19 82 2土+匕=13 2D.【答案】B【解析】【分析】根据离心率及瓯•瓯=-1,解得关于后,从的等量关系式，即可得解.【详解】解：因为离心率e=£a,b2 1 5出b【详解】解：因为离心率e=£a1 7=一，解得一7=;;，b=—aa2 3 «' 9 9分别为C左右顶点，则&（-a,O），C（。,。），8为上顶点，所以8（0,。）.所以M=（-a,-城砒■=（”,-〃），因为瓦《•瓦1=-1Q所以—/+从=—1，将层=/代入，解得/=9,〃=8,故椭圆的方程为5+?=1.故选：B.12.已知9'”=10,。=10'〃-111=8'〃一9,则（A.a>0>bB.a>b>0C.h>a>0A.a>0>bB.a>b>0C.h>a>0D.b>0>a【答案】A【解析】【分析】根据指对互化以及对数函数的单调性即可知m=10g910>l，再利用基本不等式，换底公式可得/n>lgll,log89>/n,然后由指数函数的单调性即可解出.【详解】由9"'=10可得加=l°g91°=粤〉1，而1g91g91gli<(*助]=(号J<l=(lgl0)2,所以揩>墨，即机>lgU，所以a=10,n-ll>10lgl,-ll=0.乂lg81glO〈产普j=(等]<(怆9六所以贵〉翳，即1。以9〉加，所以人=8'"-9<810gH9-9=0.综上，a>0>b.故选：A.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量G=(/n,3),b=(l,，〃+l).若£_1石，则加=.【答案】一之##-0.754【解析】【分析】直接由向量垂直的坐标表示求解即可.一 3【详解】由题意知：a-b=m+3(m+l)=0,解得加=一^.3故答案为：—.4.设点M在直线2x+y-1=0上，点(3,0)和(0,1)均在0M上，则OM的方程为.【答案】(x-lf+(y+l)2=5【解析】【分析】设出点M的坐标，利用(3,0)和(0,1)均在0M上，求得圆心及半径，即可得圆的方程.【详解】解：•••点M在直线2x+y—l=。上，设点”为(a,1-2a),又因为点(3,0)和(0,1)均在OM上，二点M到两点的距离相等且为半径七:.7(a-3)2+(l-2a)2=y]a2+(-2a)2=R，a2-6«+9+4a2-4<z+l=5a2.解得a=l,AA/(l,-l),r=5QM的方程为(x-I)2+(y+ =5.故答案为：(x-l)2+(y+l)2=5.记双曲线C:[-1=l(a>0,%>0)的离心率为e,写出满足条件“直线尸2x与C无公共点”的e的一a~b'个值 .

【答案】2（满足l<eW6皆可）【解析】TOC\o"1-5"\h\zb b【分析】根据题干信息，只需双曲线渐近线y=±-x中。<一42即可求得满足要求的。值.a a2 2 U【详解】解：C:5-4=1（。>0）>0）,所以C的渐近线方程为y=±-X,a，b~ ab h2结合渐近线的特点，只需。vtK2,即a a可满足条件“直线y=2x与c无公共点”所以e=£=Jl+与<Jl+4=5/5，a\a又因为e>l,所以lve«石，故答案为：2（满足l<e«石皆可）sr16.已知△ABC中，点。在边8c上，ZADB=120°,AD=2,CD=2BD.当士取得最小值时,ABBD= 【答案】AT2AT2设CD=2叨=2心。，利用余弦定理表示出行后，结合基本不等式即可得解.【分析】设CQ=23O=2/%>（）,【详解】则在△A8O中，AB1=BDr+AEr-2BDADcosZADB=^+4+2m<在△ACO中，AC2=CD1+Ab1-2CD-ADcosZADC=设CQ=23O=2/%>（）,AC2_4m2+4一痴_4（♦+4+2m）_i2（l+m）_4_ 12所以AB2m2+4+2m m2+4+2m /,n，i/n+lH v7m+l>4——.12 =4-2>/32,3当且仅当帆+1= 即m=6-1时，等号成立,6+1AT所以当H取最小值时，机=6-1.故答案为：乖）-1.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17〜21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.(-)必考题：共60分..甲、乙两城之间的长途客车均由4和8两家公司运营，为了解这两家公司长途客车的运行情况，随机调查了甲、乙两城之间的500个班次，得到下面列联表：准点班次数未准点班次数A24020B21030(1)根据上表，分别估计这两家公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率：(2)能否有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关？2n(ad-bc)2TOC\o"1-5"\h\zIT：A= ，(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)P(kLA) 0.100 0.050 o.oiok 2.706 3.841 6.63512 7【答案】(1)48两家公司长途客车准点的概率分别为匕，-138(2)有【解析】【分析】(1)根据表格中数据以及古典概型的概率公式可求得结果；(2)根据表格中数据及公式计算K?，再利用临界值表比较即可得结论.【小问1详解】根据表中数据，/共有班次260次，准点班次有240次，设A家公司长途客车准点事件为M,24012则尸(M)= =—260138共有班次240次，准点班次有210次,设B家公司长途客车准点事件为N,……、2107则尸(N)=——=-2408A家公司长途客车准点的概率为一;137B家公司长途客车准点的概率为京.【小问2详解】列联表准点班次数未准点班次数合计A24020260B21030240合计45050500n(ad-be)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)«3.205>2«3.205>2.706,根据临界值表可知，有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关..记S“为数列｛a“｝的前"项和.已知一'^-+n=2an+1.n(1)证明：｛〃“｝是等差数列；(2)若%，%，生成等比数列，求S”的最小值.【答案】(1)证明见解析；(2)-78.【解析】【分析】⑴依题意可得2邑+〃2=2〃q+〃，根据4(=(1 , …作差即可得到4一4t=1,从而得证：(2)由(1)及等比中项的性质求出力,即可得到｛4｝的通项公式与前〃项和，再根据二次函数的性质计

算可得.【小问1详解】25 ,解：因为一-+n=2an+1,即2s“+”2=2w“+〃①，n当〃22时，2S“_]+(〃—1)=2(〃—1)a“_]+(〃-1)②，①一②得，2s“+—2S“_]—(〃—1)=2〃。“+〃_2(〃_ —1),即2an+2n-\=2nan-2(n-l)art_1+1,即2(〃一l)a“一2(〃-=2(〃-1),所以。“一4_|=1, 2且〃wN*,所以｛为｝是以1为公差的等差数列.【小问2详解】解：由(1)可得知=4+3,%=4+6，%=4+8,又。4，%，生成等比数列，所以的2=%,。9，所以S“=-12〃+-^——=一〃2" 2所以S“=-12〃+-^——=一〃2" 2 2所以4=〃-13,所以，当〃=12或〃=13时=-78.19.小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示：底面A8CO是边长为8(单位：cm)的正方形，△EABoFBCoGCDoHDA均为正三角形,且它们所在的平面都与平面A8CD垂直.A8CD垂直.(1)证明：£：///平面ABC。：(2)求该包装盒的容积(不计包装盒材料的厚度).【答案】（1）证明见解析；,640/T（2）——V3.3【解析】【分析】（1）分别取的中点M,N,连接MN,由平面知识可知J_A8,F7VJ_8C,EM=FN,依题从而可证£M_L平面ABC。，FN1平面ABC。，根据线面垂直的性质定理可知EM//FN,即可知四边形EMNQ为平行四边形，干是EF//MN,最后根据线面平行的判定定理即可证出；（2）再分别取AD,OC中点K,L,由（1）知，该几何体的体积等于长方体KMNL-EFGH的体积加上四棱锥8-MNFE体积的4倍，即可解出.【小问1详解】如图所示:如图所示:分别取AB,3c的中点M,N,连接MN,因为为全等的正三角形，所以EM1AB,FN1BC,EM=FN,又平面£48J■平面ABC。，平面EABc平面 =AB,EMu平面E45,所以EM，平面ABC。，同理可得W_L平面ABC。，根据线面垂直的性质定理可知EM//F7V,而EM=FN,所以四边形为平行四边形，所以EF//MN,又EVz平面ABCD,MNu平面ABCD,所以£73/平面 .【小问2详解】如图所示:如图所示:分别取A£>,£)C中点K,L,由(1)知，EFIIMN目EF=MN,同理有，HE//KM,HE=KM,HG//KL,HG=KL,GF//LN,GF=LN,由平面知识可知，BD人MN,MN上MK,KM=MN=NL=LK,所以该几何体的体积等于长方体KMNL-EFGH的体积加上四棱锥8—MNFE体积的4倍.因为MN=NL=LK=KM=4五，EM=8sin60°= ，点B到平面MVFE的距离即为点8到直线MN的距离d,d=2&，所以该几何体的体积丫=卜何x46+4x」x4北、4昌20=128用曳石=73.已知函数/(%)=x3-x,g(x)=x2+a,曲线y=/(x)在点处的切线也是曲线y=g(x)的切线.(1)若为=-1,求a；(2)求a的取值范围.【答案】⑴3 (2)【解析】【分析】(1)先由"X)上的切点求出切线方程，设出g(X)上的切点坐标，由斜率求出切点坐标，再由函数值求出a即可；(2)设出g(x)上的切点坐标，分别由〃*)和g(x)及切点表示出切线方程，由切线重合表示出。，构造函数，求导求出函数值域，即可求得。的取值范围.【小问1详解】由题意知，/(-1)=-1-(-1)=0,f'(x)=3x2-l,7'(-1)=3-1=2,则y=/(x)在点(一1,0)处的切线方程为y=2(x+l),即y=2x+2,设该切线与g(x)切于点(w，g(w)),g'(x)=2x,则g'(x2)=2x2=2,解得々=1,则g(l)=l+〃=2+2,解得。=3；【小问2详解】r(x)=3x2-l,则尸/⑴在点(A/⑺)处的切线方程为y—(d—xj=(3x：—1卜X—%),整理得y=(3x；-1卜_2M,设该切线与g(x)切于点(/送*2))，g'*)=2x,则/(%)=2电，则切线方程为y-(x2+^)=2x2(x-x2),整理得y=2%2%一考+〃，9 3 1令/z(x)=一•/-2j?—X2+—,则〃'(》)=9%3-6*2一3%=3刀(3*+1)(》一1),令〃(x)>0,解得4 2 4」<x<0或x>l,3令l(x)<0,解得x<-；或0<x<l,则x变化时，〃'(x),/z(x)的变化情况如下表:X~3H'°)0(0,1)1“(X)—04-0—0+h(x)527/4-1/则〃(x)的值域为［-1,+0。)，故。的取值范围为［-1,+8)..设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为R点。(p,0),过尸的直线交C于M,N两点.当直线垂直于x轴时，|M/|=3.(1)求C的方程；(2)设直线MRNZ)与C的另一个交点分别为4B,记直线MN,A3的倾斜角分别为a,4.当。一万取得最大值时，求直线的方程.【答案】(1)/=4x；(2)AB:x=V2y+4.【解析】【分析】(1)由抛物线的定义可得|河耳=〃+々，即可得解;

（2）设点的坐标及直线"N:x=my+1,由韦达定理及斜率公式可得2怎8,再由差角的正切公式及基本不等式可得左等，设直线AB:x=&y+n,结合韦达定理可解.【小问1详解】抛物线的准线为x=-3，当M。与x轴垂直时，点M的横坐标为p,此时|MF|=p+5=3,所以p=2,所以抛物线C的方程为y2=4x；【小问2详解】设,N传,％,4得,%直线MN:x=my+l,[x=my+1由<2可得y-4冲一4=0,A>O,y,y2=-4,[y=4xk=——%= 4 ,.一.= 4由斜率公式可得“,一式_或一,+%，ALq-g-y#%，y△>°，弘必=-8,所以％=2%y△>°，弘必=-8,所以％=2%，同理可得％=2%，4 4 k所以&ab=二—=-=%+”2他+%）2又因为直线MN、AB的倾斜角分别为a尸，b一， c^mntana所以心《=1加/=2，若要使a-月最大，则£€（0,、），/ 、—tana-tanp设“mn=2kA&=2k>0,则 1+tanatanP当且仅当5=2%即攵=也时，等号成立，k 2所以当a一6最大时，设直线A8:x=&y+."“小4n，直线M£>:x=±二•y+2,代入抛物线方程可得/-4（%二之）•丁-8=0,代入抛物线方程可得y?-4&y-4n=0,A>0,y3y4=-4n=4y,y2=-16,所以〃=4,所以直线4B:x=&y+4.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用抛物线方程对斜率进行化简，利用韦达定理得出坐标间的关系.(-)选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.|选修4-4：坐标系与参数方程]2+/x= 22.在直角坐标系xQy中，曲线