2022年中考数学真题分类汇编：圆类几何证明题(含答案)

2022年中考数学真题汇编圆类几何证明题(2022•湖南省郴州市)如图，在ZMBC中，AB=4C.以AB为直径的。。与线段BC交于点。，过点。作CE14C,垂足为E,EC的延长线与4B的延长线交于点P.(1)求证：直线PE是。0的切线；(2)若。。的半径为6,LP=30°,求CE的长.(2022•广西壮族自治区贵港市)如图，在△ABC中，44cB=90。，点。是4B边的中点，点。在AC边上，。。经过点C且与边相切于点E,/.FAC=^/.BDC.(1)求证：4尸是。。的切线；(2)若BC=6,sinB=求。。的半径及OD的长.(2022•山东省烟台市)如图，。。是△ABC的外接圆，/.ABC=45°.(1)请用尺规作出。0的切线4。(保留作图痕迹，不写作法)；(2)在(1)的条件下，若AB与切线AD所夹的锐角为75。，。。的半径为2,求BC的长.A(2022•山东省聊城市)如图，点。是A4BC的边AC上一点，以点。为圆心，04为半径作。。，与BC相切于点E,交AB于点D,连接OE,连接0D并延长交CB的延长线于点尸，Z.A0D=Z.E0D.(1)连接4F,求证：AF是。。的切线；(2)若FC=10,AC=6,求FC的长.(2022•辽宁省营口市)如图，在aABC中，AB=AC,以AB为直径作。。与4c交于点E,过点4作。。的切线交BC的延长线于点D.(1)求证：乙D=4EBC；(2)若CD=2BC,AE=3,求。。的半径.(2022・湖南省张家界市)如图，四边形4BCC内接于圆0,AB是直径，点C是的的中点，延长4。交BC的延长线于点E.(1)求证：CE=CD；(2)若48=3,BC=6,求AD的长.

7.8.(2022•辽宁省盘锦市)如图，A48C内接于00,AABC=45°,连接40并延长交。。7.8.于点D,连接BD,过点C作CE〃4D与B4的延长线交于点E.(1)求证：CE与。。相切;(2)若4。=4,ZD=60°,求线段AB,BC的长.(2022•贵州省铜仁市)如图，。是以48为直径的。。上一点，过点。的切线DE交4B的延长线于点E,过点B作BC_LCE交4。的延长线于点C,垂足为点尸.(1)求证：AB=CB；(2)若48=18,sinA= 求EF的长.9.(2022•辽宁省铁岭市)如图，AABC内接于。0,4C是。。的直径，过04上的点P作9.PDLAC,交CB的延长线于点D,交AB于点E,点产为DE的中点，连接BF.(1)求证：BF与。。相切;(2)若4P=OP,cosA=pAP=4,求BF的长.BC

BC(2022•四川省广安市)如图，4B为。。的直径，£)、E是00上的两点，延长AB至点C,连接CD,Z.BDC=/.BAD.(1)求证：CD是。。的切线.(2)若tanMEC=j,AC=9,求。。的半径.(2022•内蒙古自治区呼和浩特市)如图，在△ABC中，AB=AC,以AB为直径的。。交BC于点、D,交线段C4的延长线于点E,连接BE.(1)求证：BD=CD；(2)若tanC= BD=4,求AE.(2022•北京市)如图，AB是。。的直径，CD是。。的一条弦,AB1CD,连接AC,00.(1)求证：4BOD=2/4；D(2)连接DB,过点。作CE1DB,交CB的延长线于点E,延长DO,交AC于点F.若F为AC的中点，求证：直线CE为。。的切线.

D13.(2022•广西壮族自治区百色市)如图，4B为0。的直径，C是。。上一点，过点C的直线交AB的延长线于点M,作ADJ.MC,垂足为D,已知4c平分NMAD.13.(1)求证：MC是。。的切线;(2)若4B=BM=4,求tan/MAC的值.14.(2022•山东省临沂市)如图，4B是。。的切线，B为切点，直线40交。。于C,。两点，连接BC,BD.过圆心。作BC的平行线，分别交AB的延长线、。。及BD于点E,14.F,G.(1)求证：Z.D=ZF；(2)若F是0E的中点，。。的半径为3,求阴影部分的面积.(2022•辽宁省)如图，在Rt△ABC中，乙4cB=90°,Q0DEF的顶点0,D在斜边AB上，顶点E,F分别在边BC,AC上，以点。为圆心，。4长为半径的。。恰好经过点。和点E.(1)求证：BC与。。相切；AOB(2)若sin/BAC=|,CE=6,求OF的长.AOB(2022・湖北省恩施土家族苗族自治州)如图，P为。0外一点，P4、PB为。。的切线,切点分别为4、B,直线P。交。0于点。、E,交AB于点C.(1)求证：Z.ADE=/.PAE.(2)若乙4DE=30°,求证：AE=PE.(3)若PE=4,CD=6,求CE的长.(2022•内蒙古自治区赤峰市)如图，已知4B为。0的直径，点C为。。外一点，AC=BC,连接OC,。尸是AC的垂直平分线，交OC于点尸，垂足为点E,连接AD、CD,且乙DCA=LOCA.(1)求证：AD是。。的切线；(2)若CC=6,OF=4,求cosnDAC的值.(2022•湖北省潜江市)如图，正方形4BCC内接于。0,点E为4B的中点，连接CE交BD于点F,延长CE交。。于点G,连接BG.(1)求证:FB2=FEFG；(2)若AB=6,求FB和EG的长.(2022.贵州省毕节市汝口图，在△ABC中，乙4cB=90。，。是4B边上一点，以BD为直径的。。与AC相切于点E,连接。E并延长交BC的延长线于点F.(1)求证：BF=BD；(2)若CF=1,tanzEDB=2,求。。的直径.(2022•贵州省黔东南苗族侗族自治州)(1)请在图1中作出△ABC的外接圆00(尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)；(2)如图2,。。是△4BC的外接圆，4E是。。的直径，点B是e的中点，过点B的切线与4c的延长线交于点D.①求证：BD1AD；②若4c=6,tan/ABC=：,求。。的半径.图I 图2(2022•山东省威海市)如图，四边形ABCD是。。的内接四边形，连接AC,BD,延长CD至点、E.(1)若4B=4C,求证：Z.ADB=Z.ADEi(2)若BC=3,。。的半径为2,求sinzBAC.（2022•江苏省无锡市）如图，边长为6的等边三角形4BC内接于。。，点。为4C上的动点（点4、。除外），BD的延长线交。。于点E,连接CE.⑴求证：△CE0saB/W；（2）当DC=24。时，求CE的长.（2022•陕西省）如图，4B是。。的直径，4M是。。的切线，AC.CD是。。的弦，且CDLAB,垂足为E,连接8。并延长，交AM于点P.(1)求证：/.CAB=〃PB；（2）若。。的半径r=5,AC=8,求线段PC的长.（2022・新建生产建设兵团）如图，。。是△ABC的外接圆，4B是0。的直径，点。在00上，AC=CD,连接4D,延长CB交过点C的切线于点E.(1)求证：/.ABC=Z.CAD；(2)求证：BE1CE-,(3)若AC=4,BC=3,求的长.(2022•江苏省扬州市)如图，AB为00的弦,OC_L。4交AB于点P,交过点B的直线于点C,且CB=CP.(1)试判断直线BC与。。的位置关系，并说明理由:(2)若sinA=f，OA=8,求CB的长.参考答案.(1)连接。C,根据4B=AC,OB=0D,得乙4cB=4ODB,从而OD〃AC,由DE1AC,即可得PEI。。，故PE是。。的切线；(2)连接4。，连接。。，由CE1AC,ZP=30°,得"4E=60。，又4B=4C,可得△4BC是等边三角形，即可得BC=AB=12,ZC=60°,而4B是。。的直径，得〃=90°,可得8。=CO= =6,在RtACDE中，即得CE的长是3.本题考查圆的综合应用，涉及圆的切线，等腰三角形性质及应用，含特殊角的直角三角形三边关系等，解题的关键是判定△ABC是等边三角形..(1)作。"1F4垂足为，，连接OE,利用直角三角形斜边上中线的性质得4。=CC,再通过导角得出4C是NFAB的平分线，再利用角平分线的性质可得0”=OE,从而证明结论：(2)根据BC=6,sinB=g,可得4c=8,AB=10,设。。的半径为r,则OC-OE=r,利用RtAAOEsRta4BC,可得r的值，再利用勾股定理求出。。的长.本题主要考查了圆的切线的性质和判定，直角三角形的性质，三角函数，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握切线的判定与性质是解题的关键..(1)过点A作4。14。即可；(2)连接08,0C.证明乙4cB=75。,利用三角形内角和定理求出4CAB,推出NBOC=120°,求出CH可得结论.本题考查作图-复杂作图，三角形的外接圆，切线的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型..(1)根据S4S证△AOF^AEOF,得出=NOEF=90。，即可得出结论；(2)根据勾股定理求出4F,证△OECs^fac,设圆。的半径为r,根据线段比例关系列方程求出r,利用勾股定理求出OF,最后根据FD=OF-。。求出即可.本题主要考查切线的判定和性质，熟练掌握切线的判定和性质是解题的关键..(1)根据切线的性质可得=90°,从而可得4。+乙ABD=90°,根据直径所对的圆周角是直角可得NBEC=90。，从而可得N4CB+NEBC=90。，然后利用等腰三角形的性质可得44cB=^ABC,从而利用等角的余角相等即可解答；(2)根据已知可得BC=3BC,然后利用(1)的结论可得△CABsaBEC,从而利用相似三角形的性质可得4B=3EC,然后根据AB=4C,进行计算即可解答.本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，切线的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握切线的性质，以及相似三角形的判定与性质是解题的关键..(1)连接AC,通过证明aACE2△ACB,利用全等三角形的性质分析推理；(2)通过证明^EDCsaEBA,利用相似三角形的性质分析计算.本题考查相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，圆周角定理，理解相关性质定理，正确添加辅助线是解题关键..(1)连接。C,根据圆周角定理得乙40C=90。，再根据4D〃EC,可得4OCE=90。，从而证明结论；(2)过点4作AF1EC交EC于F,由4。是圆。的直径,得乙4BD=90°,又AD=4,4。=60°,即得AB=V3BD=2V3-根据乙4BC=45°,知44BF是等腰直角三角形，AF=BF=^AB=V6,又A40C是等腰直角三角形，O4=OC=2,得AC=2近，故CF=V/1C2-AF2=V2，从而BC=BF+CF=V6+V2.本题主要考查了圆周角定理，切线的判定与性质，含30。角的直角三角形的性质等知识，作辅助线构造特殊的直角三角形是解题的关键..(1)连接。D,则。。_LDE,利用BC1CE,可得OD〃BC,通过证明得出乙4=4C,结论得证；(2)连接BC,在RMA8D中，利用sirM=g求得线段BD的长；在Rt4BDF中,利用sin乙4=sinz.FDB,解宜角三角形可得结论.本题主要考查了圆的切线的性质，垂径定理，圆周角定理，三角形相似的判定与性质，解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的判定，平行线的判定与性质.连接过切点的半径和直径所对的圆周角是解决此类问题常添加的辅助线..(1)连接。8,根据直径所对的圆周角是直角可得NABC=90°,从而可得41BC=90°,进而利用直角三角形三角形斜边上的中线可得BF=EF=\AD,然后利用等腰三角形的性质可得//EB=Z.FBE,从而可得NFBE=4AEP,最后根据垂直定义可得nEPA=90°,从而可得乙4+乙4EP=90°,再利用等腰三角形的性质可得乙4=Z.OBA,从而可得Z.OBA+Z.FBE=90°,进而可得4OBF=90°,即可解答；(2)在RtAAEP中，利用锐角三角函数的定义求出AE的长，从而利用勾股定理求出PE的长，然后利用同角的余角相等可得41EP=4C,从而可证△APEs^CPC,进而利用相似三角形的性质可求出。P的长，最后求出CE的长，即可解答.本题考查了解直角三角形，切线的判定与性质，圆周角定理，三角形的外接圆与外心，直线与圆的位置关系，熟练掌握解直角三角形，以及切线的判定与性质是解题的关键..(1)连接。£),由圆周角定理得出N4DB=90。，证出。D1CC,由切线的判定可得出结论；(2)证明aBDCsaZMC,由相似三角形的性质得出累=祭=穿=j由比例线段求出zluLJL/Zi3CD和BC的长，可求出4B的长，则可得出答案.本题考查了切线的判定，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义，圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键..(1)连接4。，利用直径所对的圆周角是直角可得UCB=90。，然后利用等腰三角形的三线合一性质即可解答；(2)利用(1)的结论可得BC=CC=4,BC=8,然后在股△ACC中，利用锐角三角函数的定义求出4。的长，从而利用勾股定理求出4c的长，最后证明aCCAsacEB,利用相似三角形的性质求出CE的长，进行计算即可解答.本题考查了圆周角定理,相似三角形的判定与性质，解直角三角形，等腰三角形的性质，熟练掌握圆周角定理，以及解直角三角形是解题的关键..(1)连接AD,首先利用垂径定理得比=就，知= 再利用同弧所对的圆心角等于圆周角的一半可得结论；(2)连接0C,首先由点尸为AC的中点，可得4。=CD,则=再利用圆的性质，可说明NCDF=nOCF,Z.CAB=Z.CDE,从而得出4。。。+nCCE=90。，从而证明结论.本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，圆的切线的判定等知识，熟练掌握圆周角定理是解题的关键..(1)根据垂直定义可得ND=90°,然后利用等腰三角形和角平分线的性质可证OC//DA,从而利用平行线的性质可得N0CM=90。，即可解答：(2)先在RtAOCM中，利用勾股定理求出MC的长，然后证明4字模型相似三角形AMCOs^MDA,从而利用相似三角形的性质可求出AD,CD的长，进而在RtAACD中，利用锐角三角函数的定义求出tan/CAC的值，即可解答.本题考查了切线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形,熟练掌握切线的判定与性质，以及相似三角形的判定与性质是解题的关键..(1)连接OB,由切线的性质得出乙E+ABOE=90°,由圆周角定理得出4。+乙DCB=90°,证出nBOE=nOCB,则可得出结论；(2)求出4BOG=60°,由三角形面积公式及扇形的面积公式可得出答案.本题考查了切线的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，圆周角定理，扇形的面积公式，熟练掌握切线的性质是解题的关键..(1)连接OE,利用平行四边形的性质和圆的性质可得四边形AOEF是平行四边形，则OE//AC,从而得出4OE8=90。，从而证明结论；(2)过点尸作FH1。4于点H,根据sin“FE=sinz.CAB=可得EF的长，由。4=OE,得。40EF是菱形，则AF=4。=EF=10,从而得出FH和的长，进而求出。尸的长.本题主要考查了圆的切线的判定，平行四边形的判定与性质，三角函数的定义，勾股定理等知识，熟练运用相等角的三角函数值相等是解题的关键..(1)连接04,利用切线的性质定理，圆周角定理，同圆的半径相等，等腰三角形的性质和等角的余角相等解答即可；(2)利用(1)的结论，直径所对的圆周角为直角，三角形的外角的性质和等腰三角形的判定定理解答即可；(3)CE=X,则DE=CD+CE=6+x,04=OE=等，OC=OE-CE=OP=OE+PE=等，利用相似三角形的判定与性质得出比例式即可求得结论.本题主要考查了圆的切线的性质，切线长定理，等腰三角形的判定与性质，圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定与性质，连接04是解决此类问题常添加的辅助线..(1)利用等腰三角形的三线合一，平行线的判定与性质和圆的切线的判定定理解答即可；(2)利用全等三角形的判定与性质得到CF=CC=6,利用相似三角形的判定与性质求得线段AC,再利用直角三角形的边角关系定理在RtAAOC中，求得COS40C4,则结论可得.本题主要考查了圆的切线的判定，等腰三角形的性质，平行线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的边角关系定理，灵活应用等量代换是解题的关键..(1)利用相似三角形的判定与性质解答即可；(2)连接0E,利用平行线分线段成比例定理求得F8；利用相交弦定理求EG即可.本题主要考查了正方形的性质，圆周角定理，垂径定理及其推论，相似三角形的判定与性质，平行线的性质，勾股定理，相交弦定理，灵活运用上述定理及性质是解题的关键..(1)连接。E,利用圆的切线的性质定理，平行线的判定与性质，同圆的半径相等和等腰三角形的判定定理解答即可；(2)连接BE,利用直径所对的圆周角为直角，直角三角形的边角关系定理和相似三角形的判定与性质解答即可.本题主要考查了圆的切线的性质定理，平行线的判定与性质，等腰三角形的判定与性质.相似三角形的判定与性质，直角三角形的边角关系定理，连接经过切点的半径和直径所对的圆周角是解决此类问题常添加的辅助线..(1)利用尺规作图分别作出AB、4C的垂直平分线交于点0,以。为圆心、04为半径作圆即可；(2)①连接0B,根据切线的性质得到OB1CC,证明OB//AC,根据平行线的性质证明结论：②连接EC,根据圆周角定理得到N4EC=N4BC,根据正切的定义求出EC,根据勾股定理求出4E,得到答案.本题考查的是切线的性质、圆周角定理、解直角三角形，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关犍..(1)根据圆内接四边形的性质以及等腰三角形的性质即可求证：(2)连接C。并延长交。。于点尸，连接BF,根据圆周角定理得出4FBC=90°,ZF=^BAC,解直角三角形即可得解.此题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟练掌握圆内接四边形的性质、圆周角定理是解题的关键..⑴由对顶角的性质，圆周角定理得出“DE=4BDA,乙4=4E,即可证明ACEDs△BAD；(2)过点。作DF1EC于点F,由等边三角形的性质得出乙4=60°,AC=AB=6,由DC=2AD,得出4。=2,DC=4,由相似三角形的性质得裂=啜=:=3,DEAD2得出EC=3DE,由含30。角的直角三角形的性质得出DE=2EF,设EF=%,则DE=2x,DF=V3x.EC=6x,进而得出FC=5x,利用勾股定理得出一元二次方程(8x)2+(5x)2=42,解方程求出X的值，即可求出EC的长度.本题考查了圆周角定理，等边三角形的性质，相似三