2022年中考数学真题分类汇编：图形的相似

2022年中考数学真题分类汇编：22图形的相似一、单选题(共15题；共45分)1.(3分)(2022•海南)如图，点4(0,3),B(l,0).将线段AB平移得到线段DC,若乙4BC=90°,BC=2AB,则点D的坐标是( )A.(7,2) B.(7,5) C.(5,6) D.(6,5)【答案】D【解析】【解答】如图过点C作x轴垂线，垂足为点E,'：Z.ABC=90°：.Z.ABO+Z.CBE=90°'：/.CBE+BCE=90°：.z.ABO=乙BCE在和4BCE中，(Z-ABO=乙BCE^AOB=Z-BEC=90°；：.AABO〜ABCE,.AB_AO_OB_1,阮=丽=瓦=2'则BE=2AO=6,EC=2OB=2••点C是由点B向右平移6个单位，向上平移2个单位得到，.•.点D同样是由点A向右平移6个单位，向上平移2个单位得到,

••点A坐标为（0,3）,点D坐标为（6,5）,选项D符合题意,故答案为：D【分析】过点C作x轴垂线，垂足为点E,利用余角的性质可证得NABO=NBCE,利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得△ABOs/\BCE,利用相似三角形的性质可求出BE,EC的长利用点的坐标平移规律可知点D同样是由点A向右平移6个单位，向上平移2个单位得到即可得到点D的坐标.2.（3分）（2022•湘潭）在△ABC中（如图），点D、E分别为AB、AC的中点，则Saade：Saabc=（）【答案】D【解析】【解答】解：•••点D、E分别为AB、AC的中点,.•.DE是△ABC的中位线，ADE/7BC,DE=|BC,ADE^AABC,•S「71PE-DE2_1'S&ABCBC24，故答案为：D.【分析】根据中位线定理得出DE【分析】根据中位线定理得出DE〃BC,DE=|bC,则可证出小ADE^AABC,然后根据相似三角形2的性质得出自血=咯，即可解答.

2的性质得出自血=咯，即可解答.

bhABCBC3.（3分）（2022•株洲）如图所示，在菱形中,对角线AC与BD相交于点。,过点。作CE||BD交4B的延长线于点E,下列结论不一定正确的是（B.△ACEB.△ACE是直角三角形A.D.BE=CE【答案】D【解析】【解答】解：•••在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,：.AC1DB,AO=OC,：.Z.AOB=90°,'：CE||BD,：./.ACE=/.AOB=90°,.•.△ACE是直角三角形，故B选项正确;Vz/ICE=Z.AOB=90°,Z.CAE=Z.OAB,Rt△ACE〜Rt△AOB»・OBABOA・OBABOA1^CE=AE=AC=2f1 1：.OB=^CE,AB=^AE,故A选项正确;ABC为RtAACE斜边上的中线,•,•BC=/AE,故C选项正确;现有条件不足以证明BE=CE,故D选项错误.故答案为：D.【分析】根据菱形的性质可得AC_LBD,AO=OC,由平行线的性质可得NACE=NAOB=90。，据此判断B；易证AACEs^AOB,根据相似三角形的性质可判断A：根据直角三角形斜边上中线的性质可判断C.（3分）（2022•衡阳）如图，在四边形ABCD中，=90。，AC=6,AB||CD,AC平分Z.DAB,设48=x,4。=y,则y关于x的函数关系用图象大致可以表示为（ ）

DCDC【答案】D【解析】【解答】'：AB||CD,J.aACD=ABAC，"：AC平分/.DAB,：.z.BAC=Z.CAD,：.z.ACD=Z.CAD,贝ljCD=AD=y,即hACD为等腰三角形,过D点做DE1AC于点E.则DE垂直平分AC,AE=CE=^AC=3,/-AED=90°,'JZ.BAC=/.CAD,ZF=^AED=90°,.AC__AB.6_x^AD=AE9••歹一3，. 18.・y=—,)X•在△ABC中，AB<AC,

故y关于x的函数图象是D.故答案为：D.【分析】利用平行线的性质和角平分线的定义可证得NACD=NCAD,利用等角对等边可证得CD=AD=y,过点D作DELAC于点E,由等腰三角形的性质，可推出DE垂直平分AC,可求出AE的长；再证明是△ABCsaAED,利用相似三角形的对应边成比例，可得到关于x,y的方程，然后将方程转化为函数解析式，可知此函数是反比例函数且x<6,观察各选项中的图象，可得到符合题意的选项.（3分）（2022•衡阳）在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感.如图，按此比例设计一座高度为2m的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度约是（ ）（结果精确到0.01m.参考数据：V2«1,414,V3x1.732,V5«2.236）A.0.73m B.1.24m C.1.37m D.1.42m【答案】B【解析】【解答】解：设该雕像的下部设计高度约是xm,则上部的高度为（2-x）m,•••使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比,.2—x_x--7-=2解之：Xi=V5—1«1.24,x2=—V5—1（舍去）经检验，XI是方程的根,故答案为：B.【解答】设该雕像的下部设计高度约是xm,则上部的高度为（2-x）m,根据雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，建立关于x的方程，解方程求出符合题意的x的值.（3分）（2022•云南）如图，在△ABC中，D、E分别为线段BC、BA的中点，设△ABC的面积为Si,为Si,△EBD的面积为S2.则A.1 B.1 C.I D.Z2 4 4 8【答案】B【解析】【解答】解：：D、E分别为线段BC、BA的中点，.•.口£是4ABC的中位线，.,.de=1ac,de〃ac,/.△BED^ABAC,.s2DE2小21•&=京=（2）=不故答案为：B.【分析】根据中位线定理得出DE=*AC,DE〃AC,则可证明△BEDs^BAC,然后根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可解答.（3分）（2022•武威）若4ABC~4DEF,BC=6,EF=4,贝U煞=（ ）DFA-IB-Ic-ID-I【答案】D【解析】【解答】解：.BC_AC•,丽=丽‘vBC=6,EF=4,AC63

,一 ―—“。尸一4一2故答案为：D.【分析】直接根据相似三角形对应边成比例进行计算即可.（3分）（2022•绍兴）将一张以AB为边的矩形纸片，先沿一条直线剪掉一个直角三角形，在剩下的纸片中，再沿一条直线剪掉一个直角三角形（剪掉的两个直角三角形相似），剩下的是如图所示的四边形纸片ABCD,其中Z.A=90°,AB=9,BC=7,CD=6,AD=2,则剪掉的两个直角三角形的斜边长不可能是（）C.10D.苧【答案】A【解析】【解答】解:如图h•••剪掉的是两个直角三角形，.•.ZF=ZBCE=90°,NFED+NBEC=90°,NBEC+NCBE=90°,.*.ZFED=ZCBE,/.△FED^ACBE,.DF_FE_DE'''CE='BC='BE•.•矩形ABEF,；.AB=EF=9,设DF=x,则AF=BE=x+2,CE=y,则DE=6+y.x_9_6+y''y=7=x+2解之：经检验27421427解之：经检验27421427-421一4

--==XyXy是有原方程组的解=6+罢=竽，故B不符合题意;4 4BE=^+2=苧，故D不符合题意；如图2同理可知^CFDs/XEFB,.DF_DC_CF'''BF~EF~~BE设FC=m,贝ijBF=7+m,DF=n,则AF=BE=n+2,7+m-9-n+2解之:m解之:m=8n=10经检验是原方程组的解，DF=10,故C不符合题意；BF=7+8=15,故A符合题意；故答案为：A.【分析】分情况讨论：如图1，易证AFEDs/XCBE,利用相似三角形的对应边成比例，可得比例式，设DF=x,则AF=BE=x+2,CE=y,则DE=6+y,可得到关于x,y的方程组，解方程组求出x,y的值；再求出DE,BE的长，可对B,D作出判断；如图2,同理可知△CFDs^EFB,利用相似三角形的对应边成比例可得比例式，设FC=m,则BF=7+m,DF=n,贝I]AF=BE=n+2,可得到关于m,n的方程组，解方程组求出m,n的值：再求出DF,BF的长，可对A,C作出判断.A.9B.12（3分）（2022•达州）如图，点E在矩形ABCD的AB边上，将△ADE沿DE翻折，点A恰好落在BC边上的点F处，若CD=3Bf,BE=4,贝A.9B.12C.1C.15【答案】C【解析】【解答】解：析矩形ABCD,.*.ZB=ZC=ZA=90°,BC=AD,AB=CD,ADE沿DE翻折，点A恰好落在BC边上的点F处，；.AE=EF,NA=NDFE=90。，/.ZBEF=ZDFC,FCD^AEBF,，CD：BF=FC：EB,又,；CD=3BF,AFC：EB=3：1,VBE=4,/.FC=12,设AE=EF=a,则AB=CD=a+4,.•.BF=等，在RtAEBF中，BP+BE^EF2,（£+1）2+42=a2,整理，解得：a=-4（舍去）或a=5,，BF=3,AD=BC=BF+FC=3+12=15.故答案为：C.【分析】由矩形性质得/B=NC=NA=90。，BC=AD,AB=CD,由折叠得AE=EF,ZA=ZDFE=90°,可得NBEF=/DFC,继而证出△FCDs/\EBF,由相似三角形对应比比例关系结合CD=3BF求得FC=12,设AE=EF=a,则AB=CD=a+4,从而得BF=竽，由勾股定理得到a的方程（竽）2+42=a2,解得a=5,求得BF的长，进而求出AD的长.（3分）（2022•连云港）如图，将矩形ABCD沿着GE、EC、GF翻折，使得点4、B、D恰好都落在点。处，且点G、。、C在同一条直线上，同时点E、。、F在另一条直线上.小炜同学得出以下结论：@GF||EC；@AB=^-AD；③GE=布。尸;®OC=2>j2OF;©△COFCEG.其中正确的是（A.①②③ B.①③④ C.①④⑤ D.②③④【答案】B【解析】【解答】解：•.•矩形ABCD沿着GE、EC、GF折叠，使得点A、B、D恰好落在点0处,，DG=OG=AG,AE=OE=BE,OC=BC,ZDGF=ZFGO,ZAGE=ZOGE,ZAEG=ZOEG,ZOEC=ZBEC,ZFGE=ZFGO+ZOGE=90°,NGEC=ZOEG+ZOEC=90°,/.ZFGE+ZGEC=180°,；.GF〃CE,•••①符合题意；设AD=2a,AB=2b,则DG=OG=AG=a,AE=OE=BE=b,CG=OG+OC=3a,在RtZkAGE中，由勾股定理得GE2=AG2+AE2,即GE2=a?+b2,在RQEBC中，由勾股定理得CE2=EB2+BC2,即CE2=b?+(2a)2,在RtACGE中，由勾股定理得CG2=GE2+CE2,(3a)2=a2+b2+b2+(2a)2,整理，解得：b=V2a,/.AB=V2AD,.•.②不符合题意；设OF=DF=x,则CF=2b-x=2V2a-x,在RtACOF中，由勾股定理得OF2+OC2=CF2,x2+(2a)2=(2a-x)2,解得：x=孕，.\OF=DF=^2a,V6DF=V^x争=V3a,XVGE2=a2+b2,.".GE=V3a,.,.GE=V6DF,③符合题意；2V2OF=2痘x孕=2a,.".OC=2V2OF,二④符合题意；无法证明ZFCO=ZGCE,.•.无法判断△COF^ACEG,...⑤不符合题意；...正确的有①③④.故答案为：B.【分析】由矩形性质和折叠的性质可得DG=OG=AG,AE=OE=BE,OC=BC,ZDGF=ZFGO,NAGE=NOGE,NAEG=NOEG,ZOEC=ZBEC,从而可得NFGE=NFGO+NOGE=90°,ZGEC=ZOEG+ZOEC=90°,得NFGE+NGEC=180。，可判定GF〃CE；设AD=2a,AB=2b,则DG=OG=AG=a,AE=OE=BE=b,得CG=OG+OC=3a,由勾股定理得GE2=a2+b?,CE2=b2+(2a)2,CG2=GE2+CE2,即得(3a)2=a2+b2+b2+(2a)2,解得b=&a,从而得AB=应AD；设OF=DF=x,则CF=2b-x=2V2a-x,由勾股定理得OF2+OC2=CF2,gpx2+(2a)2=(2a-x)2,解得x=争，从而得OF=DF=¥a,进而求得GE=V5DF；又2&OF=2&x争=2a,从而可得.•.OCuZ畲OF；因条件不足，无法证明NFCO=NGCE,因而无法判断△COFs/\CEG.据此逐项分析即可得出正确答案.(3分)(2022•连云港)△ABC的三边长分别为2,3,4,另有一个与它相似的三角形DEF,其最长边为12,则ADEF的周长是( )A.54 B.36 C.27 D.21【答案】C【解析】【解答】VAABC-ADEF,相似比q=g,.MBC的周长=1•'△DEF的周长一百'.,.△DEF的周长=3(2+3+4)=27.故答案为：C.【分析】先求出△ABC-ADEF的相似比马，从而得出怨里舞息=看即可得出4DEF的周长=33 ADEF的周长3（2+3+4）=27.（3分）（2022•遂宁）如图，D,E,F分别是△ABC三边上的点，其中BC=8,BC边上的高为6,且DE〃BC,则△DEF面积的最大值为（ ）ABFA.6 B.8 C.10 D.12【答案】A【解析】【解答】解：如图，过点A作AM_LBC于M,交DE于点N,MAN1DE,AVDE//BC,/.ZADE=ZB,ZAED=ZC,/.△ADE^AABC,.DE_AN••阮=丽・DE_a,,石ADE=ga,/.△DEF面积S=JxDExMN=~Xia*（6-a）=-ga2+4a=-j（a-3）2+6,,当a=3时，S有最大值，最大值为6.故答案为：A.【分析】过点A作AMLBC于M,交DE于点N,设AN=a,根据平行线的性质可得ZADE=ZB,ZAED=ZC,证明△ADEs^ABC,根据相似三角形的性质可得DE=#,然后根据三角形的面积公式以及偶次基的非负性进行解答.（3分）（2022•遂宁）如图，正方形ABCD与正方形BEFG有公共顶点B,连接EC、GA,交于点O,GA与BC交于点P,连接OD、OB,则下列结论一定正确的是（ ）①EC_LAG；②△OBPs/\CAP；③OB平分NCBG；④NAOD=45。：A.①③ B,①②③ C.②③ D.①②④【答案】D【解析】【解答】解：•••四边形ABCD、四边形BEFG是正方形，；.AB=BC,BG=BE,ZABC=90°=ZGBE,/.ZABC+ZCBG=ZGBE+ZCBG,即ZABG=ZEBC,/.△ABG^ACBE(SAS),/.ZBAG=ZBCE,VZBAG+ZAPB=90o,.\ZBCE+ZAPB=90°,.,.ZBCE+ZOPC=90°,/.ZPOC=90°,.-.EC±AG,故①正确;取AC的中点K,如图:C在RQAOC中，K为斜边AC上的中点，；.AK=CK=OK,在RtZkABC中，K为斜边AC上的中点，；.AK=CK=BK,.*.AK=CK=OK=BK,：4、B、0、C四点共圆，/.ZB0A=ZBCA,VZBPO=ZCPA,/.△OBP^ACAP,故②正确，ZAOC=ZADC=90°,.\ZAOC+ZADC=180°,:.A、0、C、D四点共圆，VAD=CD,.,.ZAOD=ZDOC=45°,故④正确，由已知不能证明0B平分NCBG,故③错误，故正确的有：①②④.故答案为：D.【分析】根据正方形的性质可得AB=BC,BG=BE,ZABC=90°=ZGBE,由角的和差关系可得ZABG=ZEBC,证明4ABG会ACBE,得到/BAG=/BCE,结合NBAG+NAPB=90。可得NPOC=90。，据此判断①；取AC的中点K,根据直角三角形斜边上中线的性质可得AK=CK=OK,AK=CK=BK,推出A、B、O、C四点共圆，根据圆周角定理可得NBOA=NBCA,然后利用相似三角形的判定定理可判断②：易得A、O、C、D四点共圆，根据等弦所对的圆周角相等可得ZAOD=ZDOC=45°,据此判断④.（3分）（2022・四川）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC±,若DE〃BC,第1,DE=6cm,则BC的长为（ ）【答案】C【解析】【解答】解：=g,.AD_2,,而=宁VDE/7BC,.DE_AD_2''BC=AB=5,.,.BC=DEx|=15cm.故答案为：C.【分析】根据比例的性质得出崇=春，然后根据平行线分线段成比例的性质求出器=崇=番则可解答.（3分）（2022•丽水）如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A,B,C都在横线上：若线段AB=3,则线段BC的长是（ ）A.1 B.1 C.1 D.2【答案】C【解析】【解答】解：过A作五条平行横线的垂线，交第三、四条直线于D、E,VAD=2DE,VBD/7CE,.ABAD.-AC=AE=tVAB=3,••・bc=1ab=|故答案为：c.【分析】过A作五条平行横线的垂线，交第三、四条直线于D、E,根据平行线分线段成比例的性质列比例式，结合AB=3,即可求出BC长.二、填空题（共5题；共15分）（3分）（2022•北部湾）古希腊数学家泰勒斯曾利用立杆测影的方法，在金字塔影子的顶部直立一根木杆，借助太阳光测金字塔的高度.如图，木杆EF长2米，它的影长FD是4米，同一时刻测得OA是268米，则金字塔的高度BO是米.【答案】134【解析】【解答】解：「BF||ED,：.z.BAO=乙EDF,,：/.AOB=乙DEF=90°,△ABOADEF,：.BO:EF=A。：FD,：.B0：2=268：4,：.B0=134.故答案为：134.【分析】根据平行线的性质可得NBAO=/EDF,易证△ABOs^DEF,然后根据相似三角形的对应边成比例就可求出BO的值.（3分）（2022•龙东）在矩形ABCD中，AB=9,AD=12,点E在边CD上，且CE=4,点P是直线BC上的一个动点.若△APE是直角三角形，则BP的长为.【答案】称或竽或6【解析】【解答】解：在矩形ABCD中，AB=CD=9,AD=BC=12,ZBAD=ZB=ZBCD=ZADC=90°,如图，当NAPE=90。时，/.ZAPB+ZCPE=90°,VZBAP+ZAPB=90°,.\ZBAP=ZCPE,VZB=ZC=90°,/.△ABPs/XPCE,・ABBP日口9BP^PC=CE9U|12^BP=^r,解得：BP=6；如图，当NAEP=90。时，ZAED+ZPEC=90°,VZDAE+ZAED=90°,.\ZDAE=ZPEC,VZC=ZD=90°,ADE^AECP,.ADDEnn129-4''CE=PC'即H=解得：PC=I，:.BP=BC-PC=^-t如图，当NPAE=90。时，过点P作PFLDA交DA延长线于点F,根据题意得/BAF=/ABP=NF=90。，二四边形ABPF为矩形，.*.PF=AB=9,AF=PB,ZPAF+ZDAE=90°,ZPAF+ZAPF=90°,...NDAE=NAPF,VZF=ZD=90°,APF^AEAD,.AF_PF即■_9''DE-AD'N9=4-12,解得：AF=孕，即PB=苧：4 4综上所述，BP的长为等或学或6.故答案为：挈或竽或6【分析】分三种情况：①当NAPE=90。时，②当NAEP=90。时，③当NPAE=90。时，过点P作PFXDA交DA延长线于点F,分别画出图象并利用相似三角形的判定和性质求解即可。（3分）（2022•宜宾）如图，△4BC中，点、E、F分别在边48、4c上，41=42.若BC=4,AF=2,CF=3,则EF=.【解析】【解答】解：•・•匕1=42,乙4=乙4,・・△AEF^hABC,EF_AF'~BC=AC'・・BC=4,AF=2,CF=3,EF_2‘T=弟’♦.EF=故答案为：f.【分析】易证AAEFsAABC,然后根据相似三角形的性质进行计算.19.(3分)(2022•黄冈)如图1,在△ABC中，48=36。，动点P从点A出发,沿折线AtB->C匀速运动至点C停止.若点P的运动速度为lcm/s,设点P的运动时间为t(s),AP的长度为y(cm),y与t的函数图象如图2所示.当AP恰好平分ZBAC时t的值为.y/cm图1 图2【答案】2V5+2【解析】【解答】解：如图，连接AP,rai由图2可得AB=BC=4cm,vZ-B=36°,AB=BC,・・Z.BAC=zC=72°,・,4P平分4・・乙BAP=乙PAC=ZB=36°,・・AP=BP,Z,APC=72°=ZC,•・AP=AC=BP,vZ-PAC—Z-B>zC=zC,•・△APCs>BAC,tAP_PCAB=AC'AP2=ABPC=4（4-AP）,/IP=2V5-2=BP,（负值舍去），.4+275—2o/='„:.t= j =2V5+2-故答案为：2乃+2.【分析】连接AP,由图2可得AB=BC=4cm,根据等腰三角形的性质可得NBAC=NC=72。，根据角平分线的概念可得NBAP=NPAC=36。，推出AP=AC=BP,证明△APCs/\BAC,根据相似三角形的性质可得AP,据此求解.（3分）（2022•娄底）九年级融融陪同父母选购家装木地板，她感觉某品牌木地板拼接图（如实物图）比较美观，通过手绘（如图）、测量、计算发现点E是AC的黄金分割点，即DE,0.618/W.延长HF与AC相交于点G,则EG*0E.（精确到0.001）【答案】（）.618【解析】【解答】解：如图，设每个矩形的长为x,宽为y,BB则DE=AD-AE=x-y,由题意易得NGEM=ZEMF=ZMFG=90°,・・・四边形EFGM是矩形，,EG=MF=y,〈DEx0.6184。，Ax—y-0.618x,解得产0.382x,X0.618,・空_y〜0.382xX0.618,* -x—y〜x-0.382%EG-0.618DE.故答案为：0.618.【分析】设每个矩形的长为X,宽为y,则DE=x-y,易得四边形EFGM是矩形，EG=MF=y,根据DE=0.618AD可得产0.382X,然后根据器=卷进行解答.三、综合题供5题；共40分）（7分）（2022•海南）如图1,抛物线y=（1/+2%+<7经过点4（一1,0）,C（0,3）.并交x轴于另一点B,点PQ,y）在第一象限的抛物线上，4P交直线BC于点D.

求该抛物线的函数表达式;(1)(2分)(2分)当点P的坐标为求该抛物线的函数表达式;(1)(2分)(2分)当点P的坐标为(1,4)时，求四边形80CP的面积;(3分)点Q在抛物线上，当舞的值最大且是直角三角形时，求点Q的横坐标;【答案】(1)解：：抛物线y=。*2+2%+＜：经过点4(一1,0),C(0,3),...{"二厂0解得{%；,该抛物线的函数表达式为y=-x2+2x+3(2)解：如图，连接0P,••X\——1,%2=3・A5(3,0)*.'C(0,3),P(l,4),•'•OC=3»OB=3,xP=1,yP=4.则4PFD^AABD..PD_PF"'AD=AB'•.SB=4是定值，.•.当PF最大时，%=篇最大.设'bc=kx+b,VC(0,3),8(3,0),,•yBc~—x+3.设P(m,—m24-2m+3),则F(m2—2m,-m24-2m+3).•**PF=m-(m2-2m)=~m2+3m=~(m-1)24-*.,.当m=飘，PF取得最大值［此时P(|,%设点Q(t,-t2+2t+3),若△APQ是直角三角形，则点Q不能与点P、A重合,t^-1,下面分三类情况讨论：①若乙4PQ=90。，如图，

过点P作PP21x轴于点P2，作QP11p2P交P2P的延长线于点Pl，则4PP1Q八AP2P..QPi_PP2,,PP1-AP215T-於+2「+3-学—升1_7=6,②若4PAQ=90。，如图，过点P作直线PA1_Lx轴于点A1，过点Q作Q&轴于点A2，△APAi一△qaa2.

••轲=vt*-1,.3_1,-2=t=3"•.11③若4IQP=9O。，如图，过点Q作QQi_Lx轴于点Q1，作PQ2，QiQ交Q1Q的延长线于点(?2，则4PQQiQAQi.PQQiQAQi..PQ1_QQ1•谢一西..T_-t2+2t+3"^-(-t2+2t+3)- t+1"2t^~"2t^~5-25-211,3

7^0【解析】【分析】(1)将A(-1,0)、C(0,3)代入y=ax?+2x+c中可求出a、c的值，进而可得抛物线的解析式：(2)连接OP,令y=0,求出x的值，可得点B的坐标，然后根据S刖彩boc产Sapoc+Sabop结合三角形的面积公式进行解答；(3)作PF〃x轴，交直线BC于点F,贝必PFDs/\ABD,可得：当PF最大时，舞=空最大，利AUAd用待定系数法求出直线BC的解析式，设P(m,・m2+2m+3),则F(mZ2m,・m2+2m+3),表示出PF,根据二次函数的性质可得PF的最大值以及对应的点P的坐标，设Q(t,#+2t+3),①若ZAPQ=90°,过点P作PP?J_x轴于点P2,作QPiJ_P2P交P2P的延长线于点P,则PPiQs^APzP,根据相似三角形的性质可得t；②若/PAQ=90。，如图，过点P作直线PAiJ_x轴于点A”过点Q作QA2_Lx轴于点A2,则△APA|s/^qaA2,根据相似三角形的性质可得t；③若NAQP=90。，过点Q作QQi_Lx轴于点Qi,作PQ?，QiQ交qiq的延长线于点q2,则PQQ2sZxqaQi,根据相似三角形的性质可得t.22.(9分)(2022•鄂州)某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究y=ax2(a>0)型抛物线图象.发现：如图1所示，该类型图象上任意一点M到定点F(0,的距离MF,始终等于它到定直线1：y=-2上的距离MN(该结论不需要证明)，他们称：定点F为图象的焦点，定直线1为图象的准线，y=-2叫做抛物线的准线方程•其中原点。为FH的中点，FH=2OF=白,例如，抛物线y=兴,其焦点坐标为F(0,1),准线方程为1：y=-4.其中MF=MN,FH=2OH=1.图I 图2 图3 图4(1)(1分)【基础训练】请分别直接写出抛物线y=2x2的焦点坐标和准线1的方程：,.(2分)【技能训练】如图2所示，已知抛物线y=32上一点p到准线1的距离为6,求点P的坐标；(2分)【能力提升】如图3所示，已知过抛物线y=ax2(a>0)的焦点F的直线依次交抛物线及准线1于点A、B、C.若BC=2BF,AF=4,求a的值；(3分)【拓展升华】古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点C将一条线段AB分为两段AC和CB,使得其中较长一段AC是全线段AB与另一段CB的比例中项，即满足：型=%=告上后人把四二这个数称为“黄金分割''把点C称为线段AB的黄金分割点•AdAC2 L如图4所示，抛物线y=Jx2的焦点F(0,1),准线1与y轴交于点H(0,-1),E为线段HF的4黄金分割点，点M为y轴左侧的抛物线上一点.当然=应时，请直接写出△HME的面积值.Mr【答案】⑴（0,I）；y=_]（2）解：由题意得抛物线y=（x2的准线方程为y=—*=一2，••点P到准线1的距离为6,:.点、P的纵坐标为4,.,.当y=4时，=4,解得％=±472»，点P的坐标为（4夜，4）或（一4鱼，4）（3）解：如图所示，过点B作BD，y轴于D,过点A作AEJ_y轴于E,图，由题意得点F的坐标为F(0,±)直线1的解析式为：y=-1：.BD||AE||CH,FH•・△FDB^AFHC,.BD_FD_FB*77C=F77=FC*VBC=2BF,ACF=3BF,.BD_FD_FB_1^HC=FH=FC=3fAFD=工6a••OD=OF-DF=4,12a...点B的纵坐标为直，1_ 2,•12S=ax'解得％=点(负值舍去)，6a*BD=6a：AE||BD,AAAEF^ABDF,AEBDb,•丽=丽=’3，：.AE=V3EF.'：AE2+EF2=AF2,：.4EF2=AF2=16,；.EF=2,：.AE=2V3.二点A的坐标为(-2V3.2+4),4Q1・・2+--=12a,4q.\48a2-8a-1=0,A(12a4-l)(4a-l)=0,解得Q=J(负值舍去)q(4)解：S^HME=2V5-2^SlHME=3-V5【解析】【解答】解：(1)由题意得抛物线y=2x2的焦点坐标和准线I的方程分别为(0,I),y=1一浮故答案为：(0，g)>y=(4)如图，当E为靠近点F的黄金分割点的时候，过点M作MNL1于N,则MN=MF,:在RSMNH中，S&MHN盗啮=专，/.ZMHN=45°,・・・△MNH是等腰直角三角形，ANH=MN,设点M的坐标为（m,i?n2），：.MN=1?n2+1=-m=HN，Am=-2,AHN=2,•.•点E是靠近点F的黄金分割点，"'-HE=底21HF=y/5—1»1 L•'•Sahme=|WE-/VW=V5-1;同理当E时靠近H的黄金分割点点，ef=HF=V5-1»:.HE=2-V5+l=3-V5，:・Sahme=^HE-NH=3-V5.综上所述，S^hme—2V5—2或Sa〃me=3—a/5【分析】（1）根据y=2x2可得a=2,则焦点坐标为（0,2），准线1的方程为y=-心,据此解答；（2）由题意得抛物线y=32的准线方程为y=_*=2,结合点P到准线1的距离为6可得点P的纵坐标为4,令y=4,求出x的值，据此可得点P的坐标；（3）过点B作BD_Ly轴于D,过点A作AE_Ly轴于E,由题意得F（0,*），直线1的解析式为：丫=心易证根据相似三角形的性质可得CF=3BF,FD=*，OD=-La,令y哈a,求出x,据此可得BD,证明△AEFsaBDF,根据相似三角形的性质可得AE=gEF,结合勾股定理求出EF,进而可得AE,然后表示出点A的坐标，据此求出a的值；（4）当E为靠近点F的黄金分割点的时候，过点M作MNL1于N,则MN=MF,求出sin/MHN的值，可得/MHN=45。，推出△MNH是等腰直角三角形，设M（m,1m2）,根据MN=HN可得m4的值，根据黄金分割点的特征求出HE,利用三角形的面积公式求出Sahme,同理可求出当E时靠近H的黄金分割点时4HME的面积.23.（8分）（2022•岳阳）如图，△48C和AOBE的顶点B重合，Z.ABC=Z.DBE=90°,Z.BAC=Z.BDE=30°,BC=3,BE=2.（1分）特例发现：如图1,当点D,E分别在AB, 上时，可以得出结论：=,直线4。与直线CE的位置关系是；（3分）探究证明：如图2,将图1中的ADBE绕点B顺时针旋转，使点D恰好落在线段AC上，连接EC,（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（3分）拓展运用：如图3,将图1中的△OBE绕点B顺时针旋转a（19。<a<60。），连接AD.EC,它们的延长线交于点F,当DF=BE时，求tan（60。-a）的值.【答案】（1）V3;垂直（2）解：结论成立.理由：'JZ.ABC=Z.DBE=90°,AZ.ABD=乙CBE,'.'AB=V3BC,BD=V3FF..AC_DB''BC='EB'△ABD CBE,，留=镖=百，乙ADB=lBEC,\9z.ADB+Z.CDB=180°,，乙CDB+乙BEC=180°,.,.ZD5£+ZDCE=18O°,=90°,:,乙DCE=90°,：.AD1EC(3)解：如图3中，过点8作61AC于点/,设B0交4K于点K,过点K作KT14c于点K.E图3=90°,Z-BAC=30°,：.Z-ABJ=60°,：.Z-KBJ=60°-a.AB=3>/3,•泡=鼻8=挈A]=yf3BJ=1当DF=BE时，四边形BE")是矩形，：./.ADB=90°,AD=>JAB2-BD2=J(3a/5)2—(2百尸=Vil，设KT=m,贝!=V3m>AK=2m,♦:4KTB=/-ADB=90°,.KTAD••tana=/=而'.m_V15•面=原'•DT2/5•・BT=-5—二次m+竽m=3技• 45-6715••m=-_ 90-12715*AK=2m= jTj »KIAl 990-1271524715-81•KJ=AJ-AK=n n-=-22,zrno 、KJ875-973・tan(60-a)=奇=

【解析】【解答］解：（1）在RtAABC中，ZF=90°,BC=3,Z.A=30°,：-AB=V3BC=3V3.在RtABDE中，Z.BDE=30°,BE=2,:'BD=V3BF=2遮，AEC=1,AD=V3,...震=V3,此时AC1EC.故答案为：V3.垂直；【分析】（1）根据三角函数的概念可得AB=^BC=3H，BD=V3BE=2V3,易得EC=BC-BE=1,AD=AB-BD=V5,据此求解；（2）根据同角的余角相等可得NABD=NCBE,证明△ABDs/\CBE,由相似三角形的性质可得震=翳75,ZADB=ZBEC,由邻补角的性质可得NADB+NCDB=180。，结合NDBE=90。可得NDCE=90。，据此解答；（3）过B作BJLAC于点J,设BD交AK于点K,过K作KTLAC于点K,易得NABJ=60。，ZKBJ=60°-a,根据三角函数的概念可得BJ、AJ,当DF=BE时，四边形BEFD是矩形，利用勾股定理可得AD,设KT=m,贝ijAT=^m,AK=2m,根据三角函数的概念可得BT,由AB=AT+BT可得m,然后求出AK、KJ,再根据三角函数的概念计算即可.24.（9分）（2022•威海）回顾：用数学的思维思考A A A（3分）如图1,在4ABC中，AB=AC.①BD,CE是△ABC的角平分线.求证：BD=CE.②点D,E分别是边AC,AB的中点，连接BD,CE.求证：BD=CE.（从①②两题中选择一题加以证明）（3分）猜想：用数学的眼光观察经过做题反思，小明同学认为：在△ABC中，AB=AC,D为边AC上一动点（不与点A,C重

合）.对于点D在边AC上的任意位置，在另一边AB上总能找到一个与其对应的点E,使得BD=CE.进而提出问题：若点D,E分别运动到边AC,AB的延长线上，BD与CE还相等吗？请解决下面的问题：如图2,在△ABC中，AB=AC,点D,E分别在边AC,AB的延长线上，请添加一个条件（不再添加新的字母），使得BD=CE,并证明.（3分）探究：用数学的语言表达如图3,在△ABC中，AB=AC=2,ZA=36°,E为边AB上任意一点（不与点A,B重合），F为边AC延长线上一点.判断BF与CE能否相等.若能，求CF的取值范围；若不能，说明理由.【答案】（1）解：①如图1,VAB=AC,/.ZABC=ZACB,图1VBD,CE是△ABC的角平分线，.•.ZABD=|ZABC,ZACE=|ZACB,.\ZABD=ZACE,VAB=AC,NA=NA,/.△ABD^AACE,/.BD=CE.②如图1,,••AB=AC,点D,E分别是边AC,AB的中点,:.AE=AD,VAB=AC,ZA=ZA,ABD^AACE,ABD=CE.（2）解：添加条件CD=BE,证明如下:VAB=AC,CD=BE,JAC+CD=AB+BE,.\AD=AE,VAB=AC,NA=NA,・•・△ABD^AACE,ABD=CE.(3)能.在AC上取一点D,使得BD=CE,根据BF二CE,得至ljBD二BF,A当BD=BF=BA时，E与A重合，VZA=36°,AB=AC,AZABC=ZACB=72°,ZA=ZBFA=36°,/.ZABF=ZBCF=108°,ZBFC=ZAFB,/.△CBF^ABAF,•BF_CF,•丽fVAB=AC=2=BF,设CF=x,・2_%••定=2'整理，得%2+2x—4=0,解得x=V5-l,X=-V5-1（舍去），故CF=x=V^-1，/.0<CF<V5-1.【解析】【分析】（1）①通过证明△ABDgAACE,即可得至IJBD=CE；②方法同①，通过证明△ABDgZ\ACE,即可得到BD=CE；（2）添加条件CD=BE,再通过证明△ABD^^ACE,即可得到BD=CE；（3）在AC上取一点D,使得BD=CE,根据BF=CE,得到BD=BF,先证明△CBFs/\BAF,可得器=嘉，再设CF=x,可得亳书，整理得到/+2%-4=0,求出x的值，即可得到答案。（7分）（2022•河北）如图，某水渠的横断面是以A8为直径的半圆O,其中水面截线MN||AB.嘉琪在4处测得垂直站立于8处的爸爸头顶C的仰角为14。，点M的俯角为7。.已知爸爸的身高为1.7/n.（3分）求NC的大小及AB的长；（4分）请在图中画出线段。H,用其长度表