2022届重庆市高三下学期5月月考数学试题（解析版）

2022届重庆市第一中学校高三下学期5月月考数学试题一、单选题.设复数Z满足|z-i|=l,Z在复平面内对应的点为(x,y),则()A.(x+1)2+y2=\ B.(x-l)2+y2=lC.x2+(y-l)2=lD.x2+(y+l)2=l【答案】C【分析】本题考点为复数的运算，为基础题目，难度偏易.此题可采用几何法，根据点(x,y)和点(0,1)之间的距离为1,可选正确答案C.【详解】z=x+yi,z-i=x+(y-l)i, = +(y-l)2=1,则x?+(>一1/=1.故选C.【点睛】本题考查复数的几何意义和模的运算，渗透了直观想象和数学运算素养.采取公式法或几何法，利用方程思想解题..已知集合4=卜|*2。},B={x|2<2x<8},那么AnB=( )A.[1,3] B.(2,3] C.[2,3] D.(0,3)【答案】B【分析】解分式和指数不等式可求得集合A8,由交集定义可得结果.【详解】由言》。得：【详解】由言》。得：:解得：go或x>2即A=(yo,0]U(2*)；由242”8得：14x43,即8=[1,3]；/.AnB=(2,3].故选：B..点P为椭圆4x2+V=16上一点，F、,行为该椭圆的两个焦点，若归周=3,则仍闻=()A.13 B.1 C.7 D.5【答案】D【分析】写出椭圆的标准方程，由椭圆的定义得到归国+|P6|=2o=8,从而求出答案.【详解】椭圆方程为：—+^-=1,由椭圆定义可知：归£|+|珍|=为=8,416故|尸玛|=5故选：D.已知偶函数“X),当x>0时，"x)=x2—r⑴x+2,则“X)的图象在点(一2,/(-2))处的切线的斜率为()A.-3 B.3 C.-5 D.5【答案】A【分析】求导后，代入X=1可得由此可得x>0时，f(x)=d-x+2；根据奇偶性可求得x<0时，/(力的解析式，求导后代入x=-2即可得到切线斜率.【详解】•.•当中>。时,r(x)=2x-r。)，.，i)=2-r⑴,解得：r⑴=晨.•・当x>0时，/(x)=x2-x+2；当x<0时，-x>0,.,./(-x)=x2+x+2,又/(x)为偶函数，.•J(x)=/(-x)=x2+x+2,即x<0时，f(x)=x2+x+2,则r(x)=2x+l,••/(-2)=Y+l=-3.故选：A.5.已知一个圆台的上、下底面半径之比为1：2,母线长为4,其母线与底面所成的角为45。，则这个圆台的体积为().56收 „112正 尸8072 n40>/23 3 3 3【答案】B【分析】作出辅助线，求出上、下底面半径和高，从而求出圆台的体积【详解】如图，由题意得：8。=4,AB^2CD,ZABD-450,过点D作OE_LA8于点E,则DE=BE=4x近=2近,2因为圆台的上、下底面半径之比为1：2,所以CD=AE=BE=2>/2，则圆台上底面面积为仅兀=8兀，下底面面积为卜兀=32兀，故圆台的体积为;(8兀+32兀+辰济司x2&=口1也兀故选：B6.几何学中把变换前后两点间距离保持不变的变换称为刚体变换.在平面中作图形变换,易知平移变换是一种刚体变换.以下两个函数/(X)与g(x),其中g(x)不能由“X)通过平移刚体变换得到的是()A./(x)=sinx,g(x)=cosx B.f(x)=x2,g(x)=d+2xC./(x)=2\g(x)=2*+l D./(x)=log2x,g(x)=log4x【答案】D【分析】ABC均可以通过左右平移或上下平移得到；D选项只能通过伸缩变换，而不能由平移变换得到.【详解】〃x)=sinx向左平移;个单位即可得到g(x)=cosx；因为8(%)=丁+2工=(》+1)2-1,所以〃x)=x2先向左平移1个单位，再向下平移1个单位即可得到g(x)=f+2X；f(x)=2,向上平移1个单位，即可得到g(x)=2"+l；因为g(x)=lOg4X=glOg2X,故"X)=log?X不能通过上下左右平移得到g(X)=log*X.故选：D7.平面向量3,B满足卜|=4,£与力的夹角为120,记而=G+(It)W，eR),当时取最小值时，am=()A.2G B.12 C.4X/3 D.4【答案】B【分析】设厉=£,OB=b^作出图象，根据平面向量基本定理可知加£石起点相同，终点在直线4B上，可知版|.=2石且＜£,而＞=30,由向量数量积定义可求得结果.I1mm【详解】设厉=£,丽=B,则:J=加，如图所示，Q：与IB的夹角为120、.•.NOAB=120',ZOAC=60;R)且，+(l-7)=1,.•.加£1起点相同时，终点共线，即在直线45上，二当前_L而时，M最小，又14=4，'WL=2G，此时＜£,而＞=30。，a-zn=4x273cos30=12.故选：B.8.已知等差数列｛4｝(公差不为零)和等差数列｛〃｝的前〃项和分别为S“，Tn,如果关于x的实系数方程202民2-52。2咨+%1=0有实数解，那么以下2021个方程%2-平+4=0(i=l,2,3,…,2021)中，无实数解的方程最多有()A.1008个 B.1009个 C.1010个 D.1011个【答案】C【分析】设出两个等差数列的公差，由等差数列的性质得到屣”-4金“2(),要想无实根，要满足《2-42＜0,结合根的判别式与基本不等式得到4＜。和至多一个成立，同理可证：&＜0和&侬＜0至多一个成立 △皿。＜0和Am2＜。至多一个成立，且从而得到结论..【详解】由题意得：S嬴-4＞＜2021加120,其中S加=理竽端=20214。“，—=2。21—+&)=2021%,代入上式得：43-4%“2(),要想/一4二+々=0(i=L2,3,…,2021)方程无实数解，则＜0,显然第1011个方程有解，设方程x2-4x+4=0与方程/-々02仔+421=。的判别式分别为4和A的，则+“2021=(°1—劭I)+(02021—劭2021)241+0202114仇+4⑼)N色等工-贴+*)=粤亚-的。『2瓯「4%”。，等号成立的条件是ai=a202i.所以4＜。和至多一个成立，同理可证：&＜。和A20a＞＜。至多一个成立, △ioio<。和Aioi2<。至多~■个成3£,且A]ou2。，综上，在所给的2021个方程中，无实数根的方程最多1010个故选：C【点睛】对于数列综合题目，要综合所学，将不熟悉的问题转化为我们熟练的知识点进行解决，比如本题中要结合根的判别式，以及等差数列的性质，以及基本不等式进行求解，属于难题.二、多选题9.下列说法正确的是（）A.若二项式的展开式中所有项的系数和为-上，则展开式共有7项（2 ） 128B.对具有线性相关关系的变量其线性回归方程为？=3x-4,若一个样本点为（叫2）,则实数m的值是2C.已知随机变量X服从正态分布若P（X>-2）+P（XN6）=l,则〃=2D.已知2X—y=6,若X~B（5,0.6）,则。（丫）=4.8【答案】CD【分析】令x=l可构造方程求得〃=7,知展开式有8项，知A错误；根据样本点未必在回归直线上可知B错误：由P（X4-2）=P（XN6）,结合正态分布曲线对称性可知C正确；根据二项分布方差公式可求得o（x）,由方差性质可得。（丫），知D正确.【详解】对于A,令x=l,则展开式所有项系数和为,解得：〃=7,则（2） 128展开式共有8项，A错误；对于B,样本点（m2）不一定在回归直线上，.・.〃?不一定是2,B错误；对于C•.-P（X>-2）+P（X>6）=l,P（X<-2）+P（X>-2）=l,.•.P（X4-2）=P（XN6）,;.〃=等=2,C正确;对于D,•.•X~8（5,0.6）,.•.0（X）=5x0.6x0.4=1.2,•.♦2X—y=6,.•.0（y）=£>（2X—6）=4O（X）=4xl.2=4.8,D正确.故选：CD..在数学史上，为了三角计算的简便并且更加追求计算的精确性，曾经出现过下列两

种三角函数：定义l-cos。为角。的正矢，记作诳rsine,定义1-sin。为角。的余矢，记作coversing,则下列命题正确的是（）A.种三角函数：定义l-cos。为角。的正矢，记作诳rsine,定义1-sin。为角。的余矢，记作coversing,则下列命题正确的是（）A..16兀versin =3B.v^rsin(7c-^)-c<?versin^L^--^j=0coversinx—\ coversinx-versinx 1C.若 =2,JHiJt-7 ——~~—r=-Tversinx-1 2-(coversinx+versinx) 3D.g^/(x)=versinf2022x-yVcoversinf2022.r+^l^g^«^2+V2【答案】BC［分析］AB选项，按照题干信息进行计算即可;C选项，按照题干信息计算得到tanx=2,再分子分母同除以cosx把弦化切，进行求解；D选项，利用诱导公式及题干信息化简得至l]f(x)=2-2sin12022x+1,进而求出最大值.【详解】.I671( 16兀i(.n]tnversin =1-cos =1-cos5元+—=1+cos——-6>|=l-cos20=cos0-cos6=0,B正确;coversinx—\1-sinx—1 . ； = =tanx=2,versinx—1 1-cosx—1cov^rsinx-v^rsinxl-sinx-l+cosxcov^rsinx-v^rsinxl-sinx-l+cosx2-(coversinx+versinx)2-(l-sinx+l-cosx)sinx-v^rsinx-sinx+cosxsinx+cosx'—tanx+1—2+1分子分母同除以cosx得：2_侬叱in-x）=^7T=K13,C正确;v^rsin2022x--+cpv^rsin2022x4--7CIt=7CIt=1-cosI2022x--1+1-sinI2022x+—I=2-sin|2022x--+—i-sini2022%+—=2-2sinl2022x+^,当sin（2O22x+^］=-l时，〃x）取得最大值为4,D错误.故选：BC.已知抛物线V=4x的焦点为凡过点尸的直线交该抛物线于A（%,y）,8优,外）两点，点7（-1,0）,则下列结论正确的是（）A.yM=T1,1.B。+南-C.若三角形以8的面积为S,则S的最小值为4应D.若线段AT中点为。,且闷=2|做I，则IM-1用=4【答案】ABD【分析】A选项，设出直线48：x=/ny+l,与y?=4x联立后得到两根之积；B选项，利用抛物线的定义得到|A尸|=玉+1,忸月=毛+1,转化为两根之和与两根之积的关系式,代入求解；C选项，表达出S=jTF||M-y2|='16=2+1624,求出最小面积；D选项,根据|A「=2忸9得到N7B尸=90。，BTBF=Q,得到毛=石-2,进而计算出%=石+2,求出同-网=4.【详解】将直线AB：x=my+1与丁=4x联立得：y2-4/ny-4=0, 、/ 、 f乂+必=4/n 一一设人（占,乂）,8（々,%），X ＞。，则（ ，故A正确；=-4由抛物线的定义可知：|AF|=%+1,|阴=4+1,m„1 , 1 1 , 1 1 . 1 皿%+丫2）+4\AF\\BF\X）4-1x2+1my}+2tny24-262yly2+2〃7（y+必）+44nr+4 1nh隔= 5 z =1,B正确；-4m~+8/n~+4S=||TF||y,-y2|=^（yt+y2y-4yty2=V16/n2+16＞4,当且仅当机=0时等号成立，故S的最小值为4,C错误；由lAT^ZlBQl可得：N7B尸=90。，即前.丽=0，所以（一1一心一%＞（1一毛,一%）二*-1+£=*-1+4刍=0,解得：w=石一2或%=-石一2（舍去），22又因为占乙=管=1,所以％=6+2,因此|AF|—怛同=%+1-（々+1）=4,D正确.故选：ABD【点睛】抛物线的焦点弦的性质是比较多的，要重点记忆一些，比如,112WP，府［+西=产12.已知函数〃x）=m：2-e'（。为常数），其中正确的结论是（）A.当a=l时，f（x）无最大值B.若48为锐角aABC的两个锐角，则对于任意的aVO,都有“sinA)<f(8sB)C.当。4时，x=l是〃x)的极值点D. 有3个零点的充要条件是【答案】ABD【分析】根据/"(X)的正负可确定r(x)4/'(ln2)<0,由此可得/(x)单调递减，知A正确；根据。40时/(X)在(0,+8)上单调递减且sinA>cos8>0,可知B正确；根据广(x)的正负可确定/'(月4/(1)=0,由此可得f(x)单调递减，知C错误；将D中问题转化为' 与g(x)=持有3个不同的交点，利用导数可求得g(x)单调性，采用数形结合的方式可求得。的范围，知D正确.【详解】对于A,当a=l时，/(%)=<-6\则r(x)=2x—e\fr(x)=2-ex,令f"(x)=O,解得：x=ln2,.,.当x«-oo,ln2)时，f"(x)>0；当xe(ln2,+oo)时，/*(%)<0；在(-℃,In2)上单调递增，在(ln2,+oo)上单调递减，<f'(ln2)=21n2-2=2(ln2-1)<0,：.f(x)在R上单调递减，(x)无最大值，A正确；对于B,当“40时，/(x)在(0,+8)上单调递减，7T 7T TT 7T••A8为锐角”IBC的两个锐角，・・・J<A〈W，吟,4 2 4 2/.sinA>cosB>0,/./(sinA)</(cosB),B正确；对于C,当a=5时，〃x)=/2-e)则r(x)=ex—e、，/"(x)=e—e).,.当xw(-00,l)时，/"(x)>0；当X€(l,+oo)时，f"(x)<0；・J'(x)在(-00,1)上单调递增,在(1,e)上单调递减，.•J'(x)4r⑴=0,.,J(x)在R上单调递减，.・J(x)无极值，C错误；对于D,显然x=0不是f(x)的零点，・•/(X)有3个零点等价于广。与g(x)=与有3个不同的交点；..•g，(x)=(x-?e，,.•.当xe(3,0)U(2,M)时，g'(x)>0：当x«0,2)时，g'(x)<0；・•.g(x)在(-8,0),(2,+oo)上单调递增，在(0,2)上单调递减,则可得g(x)图象如下图所示，即“X)有3个零点的充要条件是ae[w，+«)J,D正确.故选：ABD.【点睛】思路点睛：本题考查导数在函数问题中的应用，判断是否存在最值和极值的基本思路是通过确定函数的单调性，结合极值和最值定义得到结论；解决函数零点个数问题的基本思路是将问题转化为图象交点个数问题，通过数形结合的方式来求得结果.三、填空题13.已知数列｛“〃｝满足：4=2,^n+|=■— ,则。2022=.【答案】-3【分析】由递推关系式可知数列｛4｝是周期为4的周期数列，根据〃2022=4可得结果.1-11+1【详解】由题意得：/=1^=-3, '4=-r=1-%=―：=2,1+3 2j+£J1-12 3•••数列｛4｝是周期为4的周期数列，二%。22=4x505+2==-3.故答案为：-3..若从甲、乙等6名志愿者中随机安排1人任正组长，1人任副组长，以及2名普通组员到北京冬奥会花样滑冰场馆服务，若甲做正组长时乙不能做副组长的安排方案有 种，【答案】24【分析】首先甲做正组长的安排方案和甲做正组长时，乙做副组长的安排方案种数，采用间接法求得结果.【详解】甲做正组长，则共有C；C：=5x6=30种安排方案；其中乙做副组长的安排方案有C；=6种；，甲做正组长时乙不能做副组长的安排方案有30-6=24种.故答案为：24..已知〃切=加+从6+4(a,b为实数),〃lglog,10)=2022,则〃lgIg3)=.【答案】-2014【分析】先化简得到/(他1呜10)=/(-怆怆3)=2022,再利用函数奇偶性进行求解.【详解】/(lglog,10)=/(-lglg3)=2022,因为8(力=/(*)-4=加+8正为奇函数，所以g(Tglg3)=-g(lglg3),其中g(Tglg3)=〃-lglg3)-4=2018,所以一g(lglg3)=4-〃lglg3)=2018,解得：/(lglg3)=-2014故答案为：-2014.传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等.这个“圆柱容球''是阿基米德生前最引以为豪的发现.如图，在底面半径为2的圆柱QU内有球。与圆柱的上、下底面及母线均相切，设AB分别为圆柱002的上、下底面圆周上一点，且0A与QB所成的角为90。，直线AB与球O的球面交于两点M,N,则线段MN的长度为.【答案】2&【分析】取A8中点G,由等腰三角形三线合一可得OGLA8；由线面垂直的判定与性质可证得利用勾股定理可推导求得MG,又OM=ON,可知G为MN中点，由此可得MN=2MG.【详解】•••△OAO3aOBO?,.•.Q4=QB,取A8中点G,连接。6,。4,0时,0乂。氏0/,B■.OA=OB,G为A3中点，.'.OG1.AB；-.O.BIO^A,O2BA.OtO2,Q|AnqQ=O|，。①,。］。2u平面AQQ,.•.0/_L平面4902，又O?Au平面A，。2，二。/，024；OA2=GO'+0,A2=8,AB2=O2A2+O2B2=22+42+22=24,.-.OG=yJOA1-AG2=4^6=42' MgAoM?-OG2=14-2=@,;OM=ON,:.G也是MN中点，；.MN=2MG=2e.故答案为：2日【点睛】关键点点睛：本题考查旋转体中的线段长度的求解问题，解题关键是能够熟练应用圆柱和球的结构中的长度相等的线段之间的关系，结合垂直关系，利用勾股定理来进行求解.四、解答题17.已知数列｛4｝的前〃项和为5“，点(4，S“)在直线2x-y-〃=0上(〃eN,).(1)求数列｛《,｝的通项公式；⑵记"=先、，数列｛a｝的前〃项和为北，求使得北〈黑成立的〃的最大值.an,an+\ 2U22【答案】(l)a„=2"-l(2)9

【分析】(1)将(q,s.)代入直线方程，可得S“=2a“-〃，利用《，与S.关系可证得数列｛《,+1｝为等比数列，由等比数列通项公式推导可得(2)由(1)可得"，采用裂项相消法可求得，，解不等式可求得〃V9,由此可得最大值.【详解】(1)・•・点(a”,S”)在直线2x-y-〃=0上，a5„=2a„-n,当〃=1时，Sl=2al-1,解得：4=1；当“22时，5n.|=2an_1—(n—1),'.an=Sn—Sn_i=2a„—2all_l—l,即a„=2a,,.,+1,.-.«„+1=2(a„_,+l),，数列｛《,+1｝是以4+1=2为首项，2为公比的等比数列，+1=22-=2",⑵由(1)得:瓦=⑵由(1)得:瓦=则2"+,<2023,20213则2"+,<2023, 得：1：—< >—：—>2022 2"+|-12022 2"+1-12022.-.n+l<10,则〃49,2021•••使得,〈黑成立的〃的最大值为9.202218.在①岑=-J_，②.：访4③2s=-代丽•及三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答.在aABC中，角AB,C的对边分别为a,6,c,27r且 ，作AD〃BC,连接CD围成梯形A8CD中A8=4,BC=2,^ACD=—~.(1)求角8的大小；⑵求四边形ABC。的面积

【答案】（1）8=彳（2）16—【分析】（1）选①：利用正弦定理边化角，结合两角和差正弦公式可求得cosB,由此可得8；选②：由正弦定理角化边，可配凑出余弦定理的形式，求得cosB,由此可得8；选③：由向量数量积和三角形面积公式可求得tan8,由此可得8；（2）在aABC中，由余弦定理可求得AC和cosNACB,进而得到sin/ACB,由平行关系可确定sin/C4£）,cosZCAD；利用两角和差正弦公式求得sinNA£>C后，利用正弦定理可得C£）；根据三角形面积公式和Sp|边彩ABCO=S4ABC+ 可求得结果.【详解】（1）【详解】（1）若选条件①，由正弦定理得:cos8cosCsinB2sinA+sinC即2sinAcosB+cosBsinC=-sinBcosC,/.2sinAcosB=-sinBcosC-cosBsinC=-sin(B+C)=-sin(4一A)=-sinA,乃),sinAwO,cos=—)又3£(0,万),/.B=—若选条件②，由正弦定理得：7^-=—,^a2+c2-b2=-ac,b-ca+c若选条件③，•••2S=-G丽•肥，.•.acsinB=-6accosB,.•.tanB="M=-6,又Bw(O,乃)，=—.cos8 324(2)在△ABC中，由余弦定理得：b"=cr+c2-2accosB=20—16cos—=28,/.b=25/7,cosZACBcosZACB="二十"二c：

lab4+28-16_2^7一〒:.sinZ.ACB=a/1-cos2Z.ACB= ,又ADIIBC,/.Z.CAD=ZACB,7sinZ.CAD= ,cosZCAD=2,7 7sinZADC=sin(ZCAD+ZACD)=sinZCADcosZACD+cosZCADsinZACD9/zV21*人»〜十廿…-ACsinZCAD 7" &匚在zMC。中，由正弦定理得：CD=———=——7=-Z-=4V7,sinZ.ADCyJ2l~\A

S四边形abco=S.ABC+\aco=1x4x2siny-+^x2>/7x4>/7sin^=16>/3.19.在2022年卡塔尔世界杯亚洲区预选赛十二强赛中，中国男足以1胜3平6负进9球失19球的成绩惨败出局.甲、乙足球爱好者决定加强训练提高球技，两人轮流进行定位球训练（每人各踢一次为一轮），在相同的条件下，每轮甲、乙两人在同一位置，一人踢球另一人扑球，甲先踢，每人踢一次球，两人有1人进球另一人不进球，进球者得1分，不进球者得-1分；两人都进球或都不进球，两人均得0分，设甲每次踢球命中的概率为:，乙每次踢球命中的概率为：，甲扑到乙踢出球的概率为义，乙扑到甲踢出球的概率g,且各次踢球互不影响.（1）经过1轮踢球，记甲的得分为X,求X的数学期望；（2）若经过〃轮踢球，用P,表示经过第i轮踢球累计得分后甲得分高于乙得分的概率，求Pl，P2，P3.【答案】⑴2〜 4 16 272P,=—,p、=—,小= 1524536757 1【分析】（1）记一轮踢球，甲进球为事件A,乙进球为事件B,求出P（A）=1,P（B）=-,求出X的可能取值及相应的概率，求出分布列及数学期望：（2）口=］可直接在第一问的基础上直接得到，P2分三种情况，进行求解，分析得到经过三轮踢球，甲累计得分高于乙有四种情况，进行求解丹.【详解】（1）记一轮踢球，甲进球为事件4乙进球为事件B,A,8相互独立,由题意得：尸（A）=；x（1-£|=］，尸（8）=gx（l-j=；，11X—=—3511X—=—358p（x=-｝）=p[ab）=p[a]p（b）8p（X=0）=P（AB）+P（AB）=P（A）P（B）+P（A）P（fi）4?5_ _ 24?5p（x=1）=P（4^）=P（A）P（月）=gX所以X的分布列为:X-101p]_5815415

£（X）£（X）=-1xl+OxA+lx±=5 15 151L54⑵由（1）得：Pj=—,P2=P（X=O"（X=1）+P（X=1）口（X=O）+P（X=1）］$$+自信+高吟经过三轮踢球，甲累计得分高于乙有四种情况：甲3轮各得1分；甲3轮中有2轮各得1分，1轮得0分；甲3轮中有1轮得1分，2轮各得0分；甲3轮中有2轮各得1分,1轮得-11轮得-1分.27267520.如图，四棱锥产一ABC。的底面A8CC是等腰梯形，AB//CD,BC=CD=2,AB=4,△PBC是等边三角形，平面PBC_L平面ABCQ,点M在棱PC上.(1)当M为棱PC中点时，求证：APA.BM；(2)若点M满足：CM=^CP,求锐二面角。-MB-C的余弦值.【答案】(1)证明过程见解析；c、3屈37【分析】(D作出辅助线，由余弦定理求出AC=26,进而由勾股定理逆定理得到ACYBC,由面面垂直得到线面垂直，进而得到线线垂直，从而证明出线面垂直，证明出APJL8W；(2)先证明PO,BC,ON两两垂直，进而建立空间直角坐标系，利用空间向量求解二面角.【详解】(1)连接AC,过点C,。分别作CELAB于点E, 于点F,底面ABCD为等腰梯形且BC=CD=2,AB=4,则AF=BE=1,所以乙48C=¥,由余弦定理得：AC=^AB2+BC2-2AB-BCcos=>/16+4-8=25/3,所以AC'BC'AB?,所以ACLBC,又平面BBCJ■平面ABC。，且交线为BC,所以ACJ_平面尸8C,因为BWu平面PBC,所以AC_LBM,因为仞是棱PC的中点，且aBBC是等边三角形所以BMLPC,因为ACnPC=C,所以8MJ_平面4PC,因为APu平面APC,所以(2)取BC中点O,连接尸O,因为三角形P8C为等边三角形,所以尸OLBC,又平面PBC_L平面4BC。，且交线为8C,所以PO1*平面ABCD,取48的中点N,连接ON,则ON〃AC,由(1)知OML平面尸BC,所以PO,BC,ON两两垂直，以。为坐标原点，以。C,ON,OP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系,则0(0,0,0),8(-1,0,0),C(l,0,0),£>9,6,0),尸(0,0,6),〃：,0,日,易知平面MBC的一个法向量1=(0,1,0),设平面MBD的一个法向量为&=(x,y,z), 5 x/3,%8M=_%+——z=0 __(二〜则<~ 3 3 ,可取丐=(>/3,-3,—5),n2-BD=3x+百y=0

设锐二面角。设锐二面角。-Affi-C的大小为。,21.已知函数“力满足〃x)=2〃t)+3xT.⑴若关于X的方程|〃刈=42-X-l|恰有四个不同实数根，求实数上的取值范围;⑵若ln(/nr+〃)vf(x)对定义域中的X恒成立(其中切/0),求，""的最大值.【答案】⑴(。制11。收)【分析】(1)采用构造方程组的方式可求得了(x)解析式，从而将方程变为将问题转化为y=(x+l)+—1-3与y=：的图象恰有四个不同x+1 将问题转化为y=交点，作出函数图象，采用数形结合的方式可求得结果;--+2(2)将不等式转化为ln(/nr+〃)-x-140；当m<0时，取、=匕二2,可知不等式m不成立；当机>0时，令g(x)=ln(/nr+〃)-x-l,利用导数可求得g(x)单调性，由此可得g(x)a=lnm+2-2,则原问题等价于znnW6(m)=2n?-病］n/n,利用导数可求得单调性，进而得到〃(m)2=2，由此可得结果.【详解】⑴••・/(x)=2/(—x)+3x-l,.•J(-x)=2/(x)—3x7,贝iJ/(x)=4/(x)—3x—3,解得：/(x)=x+l；若关于x的方程= 恰有四个不同实数根，则kwO,

x+l)+ 37x+1则关于X的方程恰有四个不同实数根等价于y=(x+l)+击一3与y=?的图象恰有四个不同交点，k当X<-1时，x+l<o,由对勾函数单调性知：y=(x+l)+击在上单调递增,在(―2-1)上单调递减，.・.(x+l)+W4-2,TOC\o"1-5"\h\z则当x<-l时，(x+l)+—j—3 =5；X+1min当X>-1时，x+l>0,由对勾函数单调性知：y=(x+1)+—，在(-1,0)上单调递减，在(0,+oo)上单调递增，.〔(x+1)h 2,则当x>l时，(x+l)+—--3>-1,又当x= 时，(X+1)+—--3=0；x+1 2 x+1由此可作出y=(x+i)+-3与丫=，的图象如下图所示，x+1 k由图象可知：0<7<1或7>5,解得：2>1或0<2<彳,kk 5即实数人的取值范围为(2)In(/nr4-/?)</(x),「・ln(/nr+〃)Wx+1,即ln(/7ir+n)-x-l<0；_^_+2 n,2①当m<0时，对任意常数"，取=_e 一〃，代入上式可得：1_二>(),不合题意;m-n②当m>0时，令g(x)=ln(/nr+〃)-x-l,则 minx+n时，g'(x)>0；时，g'(x)>0；当xwm-n时，g'(x)<0；.♦.g(x)在-一,——上单倜递增，在 ，内上单倜递减，\mmJ ym)/、 (m-n\tn.•••g(xk=g[.尸陋+r2