2022-2023学年北京市高一上期末考试数学模拟试卷及答案解析

2022-2023学年北京市高一上期末考试数学模拟试卷一.选择题（共10小题，满分50分，每小题5分）1.(2021•新高考I)设集合/={x|-2<x<4},B={2,3,4,5),则/门8=( )1.A.{2}A.{2}{2,3}{3,4}{2,3,4}2.（2020秋•东城区期末）下列函数中，既是奇函数，又在区间（0,1）上单调递增的是（ ）2.y=2-y=2-xy=Inxy=-Xy=sinx3.（2021秋•江门校级期中）已知点/（-2,-1）,83.（2021秋•江门校级期中）已知点/（-2,-1）,8（凡3）且|48|=5,则a等于（ ）A.1-51或一5D.其他值4.（2021•静安区二模）函数4.（2021•静安区二模）函数y=x2（x・0）的反函数为（ ）A.y=>/7(xH))B.y=-y[x(xT^))C.y=y/x(x,0)D.y=->/x(x*0)5.已知。是直线外5.已知。是直线外一点，C,。是线段48的三等分点,且4C=CD=DB,如果OA=3et,OB=3e2,则历=( )6.7.A.q+2e22-1―C6.7.A.q+2e22-1―C.-el+-e2n1-2一D.-el+je2（2020秋•辽源期末）甲、乙、丙三人随机排成一排，乙站在中间的概率是（ ）A.-2B.-34（2021春•赤峰期末）若2、=6,log4§=y,则x+2y的值是（ ）A.3B.-3C.log23D.-38.（2021•千阳县校级模拟）江西省重点中学协作体于2020年进行了一次校际数学竞赛，共8.有100名同学参赛，经过评判，这100名参赛者的得分都在［40,90］之间，其得分的频率分布直方图如图，则下列结论错误的是（ ）分布直方图如图，则下列结论错误的是（ ）A.得分在[40,60）之间的共有40人B.从这100名参赛者中随机选取1人，其得分在[60,80）的概率为0.5C.这100名参赛者得分的中位数为65D.可求得a=0.005（2019秋•湖北月考）a=2是向量而=（a,3a-2）,万=（l,a）共线的（ ）条件.A.充分必要 B.充分不必要C.必要不充分 D.既不充分也不必要（2019秋•南康区校级期中）函数/（x）=G）'-（g）i+2（xw[-2,l]）的值域是（ ）A.（：,10] B.[1,10] C.[1, D.弓，10]二.填空题（共6小题，满分30分，每小题5分）（2021•宣城模拟）命题“现>0,丫：+%-2021>0”的否定是.若函数/（x）在x=0处的导数等于-2,则lim“0+2闻-/（（））=_.4aX（2021•湖南学业考试）若x>0,贝ij/（x）=4+2x的最小值为x（2021•新余二模）已知向量1=（1,2）,A=（0,-2）,c=（-U）,若（2”杨〃？，则实数2=.（2020秋•沈阳期末）某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出8名学生参加数学竞赛,他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图所示，其中甲班学生成绩的平均分是86,乙班学生成绩的中位数是83,则x+y的值为一.?89?8965x264z64iiy11616.(2021春•深圳期末）已知函数八力=x'-3x,x・a16.(2021春•深圳期末）已知函数八力=-2x,x>a三.解答题（共5小题，满分70分，每小题14分）（2020秋•焦作期中）已知集合4={x||x-l|<2},B={x\l-m<x<2m+2].(1)当m=l时，求a(/|j8)；(II)若8a求机的取值范围.(2021秋•城关区校级月考)已知函数/(2x)=2x-4，+4,函数/(x)只有两个零点，设这两个零点为X],x2(xt<x2).(1)证明：X,e(-4,-3)»x2e(2,3).(2)证明：-7<2"-2*Y-5.(2015•绥化校级二模)某校甲、乙两个班级各有5名编号分别为1,2,3,4,5的学生进行投篮训练，每人投10次，投中的次数统计如下表：学生1号2号3号4号5号甲班65798乙班48977(1)从统计数据看，甲、乙两个班哪个班的同学投篮水平更稳定(用数据说明)？(2)在本次训练中，从两班中分别任选一个同学，比较两人的投中次数，求甲班同学投中次数多于乙班同学投中次数的概率.(2020秋•泸州期末)已知函数f(x)=(x-Q(x-4),其中AeR.(I)求关于x的不等式〃x)>0的解集；(H)对任意xe[l,3],若关于x的不等式/(x)>4A-5恒成立，求上的取值范围.(2020秋•海淀区校级月考)对非空数集4,B,定义A-B={x-y|x€A,y&B},记有限集7的元素个数为|T|.(1)若彳={1,3,5},8={1,2,4},求川，|8-8|,\A-B\^(2)若|川=4,AyN*，8={1,2,3,4},当最大时，求力中最大元素的最小值；(3)若|川=|8|=5,|/-川=|8-8|=21,求M-例的最小值.2022-2023学年北京市高一上期末考试数学模拟试卷参考答案与试题解析选择题(共10小题，满分50分，每小题5分)(2021•新高考I)设集合/={x|-2<x<4},B={2,3,4,5},则4n8=( )A.{2} B.{2,3} C.{3,4} D.{2,3,4}【答案】B【考点】交集及其运算【专题】集合思想；定义法：集合；数学运算【分析】直接利用交集运算得答案.【解答】解：•••4={x|-2<x<4},B={2,3,4,5),jQfi={x|-2<x<4>n{2,3,4,5}={2,3}.故选：B.【点评】本题考查交集及其运算，是基础题.(2020秋•东城区期末)下列函数中，既是奇函数，又在区间(0,1)上单调递增的是( )A.y=2~x B.y=Inx C・y=— D.y=sinxx【答案】D【考点】奇偶性与单调性的综合【专题】探究型；函数思想：综合法；函数的性质及应用：逻辑推理【分析】由基本初等函数的单调性和奇偶性逐一判断即可.【解答】解：对于4,y=为非奇非偶函数，不符合题意；对于8,y=为非奇非偶函数，不符合题意；对于C,y=1为奇函数，但在区间(0,1)上单调递减，不符合题意；X对于O,y=sinx为奇函数，由正弦函数的图象可知，y=sinx在区间(0,1)上单调递增，符合题意.故选：D.【点评】本题主要考查函数奇偶性与单调性的判断，熟练掌握基本初等函数的性质是解题的关键，属于基础题.(2021秋•江门校级期中)已知点4(-2,-1),8(〃,3)且|48|=5,则a等于( )A.1 B.-5 C.1或-5 D.其他值【答案】C【考点】两点间的距离公式【专题】计算题；转化思想：综合法；直线与圆【分析】由已知条件直接利用两点间距离公式直接求解.【解答】解：•.•点4-2»T),8(a,3)且|48|=5,J(a+2>+(3+1)2=5,即(a+2)2=9,解得a=l或a=-5.故选：C.【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意两点间距离公式的合理运用.(2021•静安区二模)函数y=x"x・0)的反函数为( )A.y=4(x汽)) B.y=—7x(xfD) C.y=4x(x>0)D.y=-yfx(x,0)【答案】B【考点】反函数【专题】函数的性质及应用【分析】利用反函数的求法即可得出.【解答】解：由y=x2(x・0),解得x=-"^(y开))，将x与y互换可得：y=-4(x开)).故选：B.【点评】本题考查了反函数的求法，属于基础题.5.已知。是直线48外一点，C,O是线段48的三等分点，H.AC=CD=DB,如果OA=3et,OB=3^,,则丽=( )—• —• —•—• 2—•]— 1—2*—A•q+2e2 B.2q+/ C•—q—6D•—4—，2【答案】A【考点】平面向量的基本定理【专题】对应思想；定义法；平面向量及应用；数学抽象【分析】根据向量运算法则进行化简即可.【解答]解：•.•丽=而后=3届-1）， 2 .一—AD=-AB=2（e2-ej,OD=OA+AD= +2（e2-et）=et+2e2,故选：A.【点评】本题主要考查平面向量的基本运算，利用向量的运算法则是解决本题的关键，是基础题.TOC\o"1-5"\h\z（2020秋•辽源期末）甲、乙、丙三人随机排成一排，乙站在中间的概率是（ ）A.- B.- C.- D.-2 3 4 6【考点】C8：古典概型及其概率计算公式【专题】11：计算题；34：方程思想；40：定义法；5/：概率与统计；65：数学运算【分析】三个人排成一排，利用列举法求出所有情况有6种，其中乙在中间有2种，由此能求出乙在中间的概率.【解答】解：三个人排成一排的所有情况有：甲乙丙，甲丙乙，乙甲丙，乙丙甲，丙乙甲，丙甲乙，共6种，其中乙在中间有2种，7 1乙在中间的概率为尸=4=上.63故选：B.【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.（2021春•赤峰期末）若2、=6,log“：=y,贝i]x+2y的值是（ ）A.3 B.- C.log23 D.-3【答案】A【考点】对数的运算性质；指数式与对数式的互化【专题】方程思想：定义法：函数的性质及应用；数学运算【分析】x+2y=log26+2log4—=logA（36x—）=log443»由此能求出结果.3 9人 4【解答】解：:2、=6,log4§=y,4x+2y=Iog26+2log4-=/og436+/og4y=/og4(36xy)=logq]=3.故选：A.【点评】本题考查对数式、指数式化简求值，考查对数、指数的定义、运算法则等基础知识,意在考查学生运算求解能力，属于基础题.（2021•千阳县校级模拟）江西省重点中学协作体于2020年进行了一次校际数学竞赛，共有100名同学参赛，经过评判，这100名参赛者的得分都在［40,90］之间，其得分的频率分布直方图如图，则下列结论错误的是（）A.得分在［40,60）之间的共有40人B.从这100名参赛者中随机选取1人，其得分在［60,80）的概率为0.5C.这100名参赛者得分的中位数为65D.可求得a=0.005【答案】C【考点】频率分布直方图【专题】数形结合；数形结合法：概率与统计；数学运算；数据分析【分析】利用频率分布直方图的性质直接求解.【解答】解：由频率分布直方图得:对于4,得分在[40,60)之间有：100x[1-(0.030+0.020+0.010)x10]=40A»故4正确;对于8,从这100名参赛者中随机选取1人，其得分在[60,80)的概率为：(0.030+0.020)x10=0.5,故8正确：对于。，(a+0.035+0.030+0.020+0.010)x10=1,解得a=0.005,故力正确；对于C,[40,60)的频率为(0.005+0.035)x10=0.4,[60,70)的频率为0.030x10=0.3,.•.这100名参赛者得分的中位数为：60+° 5 5A.(-,10] B.[1,10] C.[1 5 5A.(-,10] B.[1,10] C.[1,-] D.[-,10]【考点】34：函数的值域：3”：函数的最值及其几何意义；3/：二次函数的性质与图象【专题】35：转化思想；4R：转化法；51：函数的性质及应用【分析】令，= 则feg,4],/(x)=g(/)="一〃+2"eg,4]),结合二次函数的图象和性质，求出函数的最值，进而可得函数的值域.【解答】解：令t=0.3故选：C.【点评】本题考查频数、概率、中位数、频率的求法，考查频率分布直方图等基础知识，考查运算求解能力、数据分析能力、数学应用意识等核心素养，是基础题.(2019秋•湖北月考)a=2是向量所=(a,3a-2),万=(l,a)共线的( )条件.A.充分必要 B.充分不必要C.必要不充分 D,既不充分也不必要【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件；96：平行向量(共线)【专题】34：方程思想；5/：平面向量及应用；65：数学运算：5L：简易逻辑【分析】利用向量共线定理可得a,即可判断出关系.【解答】解：两向量所，万共线u>a2=3a-2oa=l或2,.，.a=2是两向量而，石共线的充分不必要条件.故选：B.【点评】本题考查了向量共线定理、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.(2019秋•南康区校级期中)函数〃x)=d)*-d)i+2(xe[-2,l])的值域是( )4 2则feg,4],〃x)=g(f)="-2l+2(fe[；，4]),由g(f)=『—2f+2的图象是开口朝上，且以直线f=1为对称轴的抛物线，故当”1时，函数取最小值1,当r=4时，函数取最大值10,故函数的值域为[1,10],故选：B.【点评】本题考查的知识点是函数的最值，函数的值域，二次函数的图象和性质，难度中档.二.填空题(共6小题，满分30分，每小题5分).(2021•宣城模拟)命题“Hx0>0,x；+Xo-2O21>O”的否定是一二Vx>0-x2+X-2021*0^_.【答案】"Vx>0,x2+X-2021*0w.【考点】命题的否定【专题】转化思想；定义法；简易逻辑；逻辑推理【分析】根据存在量词命题的否定是全称量词命题，写出即可.【解答】解：根据存在量词命题的否定是全称量词命题知，命题“太o>O,x；+Xo-2O21>O”的否定是“Vx>0,/+X-2021・0故答案为：“Vx>0,f+x-2021•()”.【点评】本题考查了存在量词命题的否定是全称量词命题应用问题，是基础题..若函数"X)在x=0处的导数等于-2,则lim/(0+2ax)-/(0)…。4ax【答案】-1.【考点】变化的快慢与变化率【专题】函数思想；定义法；导数的概念及应用；数学运算【分析】利用导数的定义进行分析求解即可.【解答】解：lim八°+2m)一」八°+2川)一〃°)=1/，(0)=,x(-2)=—1.…。4Ax "一。22Ax 2 2故答案为：-1.【点评】本题考查了导数定义的理解和应用，解题的关键在于将所求的式子进行变形，属于基础题..(2021•湖南学业考试)若x>0,则/Yx)=2+2x的最小值为4X【考点】7F：基本不等式及其应用【专题】11：计算题；33：函数思想；49：综合法；57：不等式；65：数学运算【分析】由x>0,根据基本不等式即可求出〃x)的最小值.【解答】ft?：vx>0.f(x)=-+2xK>J--2x=4,当且仅当Z=2x,即x=l时取等号，xVx x・•./(X)的最小值为4.故答案为：4.【点评】本题考查了函数最值的求法，根据基本不等式求最值的方法，考查了计算能力，属于基础题..(2021•新余二模)已知向量6=(1,2),6=(0,-2),c=(-l,2).若(2G-B)〃d,则实数A= -3 .【答案】-3.【考点】平面向量共线(平行)的坐标表示【专题】方程思想；定义法；平面向量及应用；数据分析【分析】推导出2值一、=(2,6),由(2)-杨〃1,列方程能求出％.【解答】解：工,向量1=(1,2),b=(0,-2),c=(-1,2)»25-6=(2,6),v(2a-b)//c,2 6••—»-1z解得4=-3.实数/l=-3.故答案为：-3.【点评】本题考查实数值的求法，考查向量坐标运算法则、向量平行的性质等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题.(2020秋•沈阳期末)某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出8名学生参加数学竞赛,他们取得的成绩(满分100分)的茎叶图如图所示，其中甲班学生成绩的平均分是86,乙班学生成绩的中位数是83,则x+v的值为13.89765X2816491【考点】茎叶图【专题】数形结合；综合法；概率与统计；数学运算【分析】根据平均数和中位数的定义和公式，分别进行计算即可得到结论.【解答】解：•.•甲班学生成绩的平均分是86,.-.-8-7-4-6+x-l+0+8+10=0,即x=8.乙班学生成绩的中位数是83,故y=5.x+y=13.故答案为：13.【点评】本题主要根据茎叶图计算中位数与平均数，属基础题.(2021春•深圳期末)已知函数〃x)=F-3x,x・a有最大值，则实数0的取值范围是［-2x,x>a［-l^+oo)_.【答案】［T，+oo).【考点】分段函数的应用【专题】计算题；函数思想；转化思想；定义法；函数的性质及应用；导数的概念及应用；数学抽象；数学运算【分析】令g(x)=d-3x,则题意转化为g(x)在(-8,a］上的最大值g(x)max开-2。，进而再利用导数研究函数g(x)的最值建立不等式即可求解.【解答】解：令g(x)=/_3x,则/(幻=3/-3=3,一l)=3(x-l)(x+l),令g'(x)>0,解得或x>l；令g'(x)<0,解得一1cx<1.所以g(x)在(-8,-1)上单调递增，在(-1,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增，因为函数/(》)有最大值，所以g(X)在(-8,4］上的最大值g(X)2开-2〃，①当时，此时g(x)在(-co,a］上的最大值g(x)g=g(a)=/-3a开-2〃,第11页共17页解得一或〃开，又a•-1,所以。=-1；②当-时,此时g(x)在(-co,0上的最大值g(x)g=g(-1)=2开-2a,解得。开-1,又一所以一③当a>l时，此时g(x)在(-8, 上的最大值g(x)M=〃?ar{/(-l),f(a)}TT-2a,即V(-l)开-2a,又即，解得_i・a・o或“开],Xa>1,所以八1.[/(a)H-2a [a3-3aTf-2a综上所述，a的取值范围为[-1,+oo).故答案为：[-1,+00).【点评】本题考查分段函数的最值，考查利用导数研究函数单调性、最值，考查数学抽象和数学运算的核心素养，属于难题.三.解答题(共5小题，满分70分，每小题14分)(2020秋•焦作期中)已知集合《={刘|》-1|<2},B={x\\-m<x<2m+2].(I)当m=1时，求a(Z|j8)；(II)若Bq(40|8)，求"的取值范围.【答案】(1){刘》・-1或行机}.(-00,1].【考点】交、并、补集的混合运算【专题】计算题；转化思想：定义法；集合；数学运算【分析】(I)根据集合的基本运算即可求d(Z|j8；(H)根据Bq4,建立条件关系即可求实数机的取值范围.【解答】解：(I)当m=l时，B={x\\-m<x<2m+2]={x\0<x<4],集合J={x||x-l|<2}={x|-l<x<3}则4|j8={x|-l<x<4}・•・乌(4J8)="Ix•T或x用}.(ID由6[(川]8)，可得当5=0时，1一加开2m+2,可得加•一1；3\-m<2m+2当时，要使成立，贝叶一1・1一机 ，2〃?+2*3解得—,<m•-93 2综上，可得实数机的取值范围(Y0,1].【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础.(2021秋•城关区校级月考)已知函数/(2x)=2x-4'+4,函数〃x)只有两个零点，设这两个零点为X],X2(%!<x2).(1)证明：X|€(-4,-3),x2e(2,3).(2)证明：-7<2”-2-<-5.【考点】53：函数的零点与方程根的关系【专题】33：函数思想；4R：转化法；51：函数的性质及应用；65：数学运算【分析】(1)求出/(x)的解析式，求出函数的零点范围即可；(2)根据/(占)-/(》2)=0以及零点的范围证明结论成立.【解答】证明：(1)由/(2x)=2x-4*+4,则/(x)=x-2'+4,/(-4)=-2"*<0,/(-3)>0,f(2)>0,f(3)<0,又函数/(x)只有两个零点，这两个零点为再，x2(xt<x2).故&e(-4,-3),x2e(2,3)；vx,, 是函数/(X)的零点，：.f(xi)=x]-2x,+4=0,f(x2)=x2-2X2+4=0,故/(占)_/(%)=再_工2_2.+2-=0,即2m=x,-x2,,/x,g(-4,-3).x2e(2,3),：.-7<x,-x2<-5,即一7<2'-2-<-5.【点评】本题考查了函数的零点问题，考查不等式问题，是一道常规题.(2015•绥化校级二模)某校甲、乙两个班级各有5名编号分别为1,2,3,4,5的学生进行投篮训练，每人投10次，投中的次数统计如下表:学生1号2号3号4号5号甲班65798乙班48977(1)从统计数据看，甲、乙两个班哪个班的同学投篮水平更稳定(用数据说明)？(2)在本次训练中，从两班中分别任选一个同学，比较两人的投中次数，求甲班同学投中次数多于乙班同学投中次数的概率.【考点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差：列举法计算基本事件数及事件发生的概率【专题】概率与统计【分析】(1)根据两组数据求出两组数据的方差，比较可得哪组学生成绩更稳定；(2)分别计算在甲、乙两班中各抽出一名同学及甲班同学投中次数多于乙班同学投中次数的取法种数，代入古典概型概率公式，可得答案.【解答】解：(1)两个班数据的平均值都为7 (2分)甲班的方差症=#(6-7)2+(5-7)2+(7-7)2+(9-7)2+(8-7)2]=2,……(3分)乙班的方差5；=([(4-7)2+(8-7)2+(9-7)2+(7-7)2+(7-7)2]=g (4分)因为期<S：,甲班的方差较小，所以甲班的投篮水平比较稳定…(6分)(H)甲班1到5号记作a,b,c9d,e,乙班1到5号记作1,2,3,4,5,从两班中分别任选一个同学，得到的基本样本空间为Q={al*a2»a3,a4,a5»b\>b2>b3,b4,b5>cl,c2,c3,c4,c5»d\*d2,d3,d4,d5,el>e2,e3,e4,e5},共25个基本事件组成，这25个是等可能的；,.…(8分)将“甲班同学投中次数高于乙班同学投中次数”记作力，则/={al,b\,cl,d\,dl,d4,el,e4,e5},4由10个基本事件组成， (10分)in2所以甲班同学投中次数高于乙班同学投中次数的概率为” …(12分)255【点评】本题考查了方差的计算，古典概型概率计算公式，掌握古典概型概率公式：概率=所求情况数与总情况数之比是解题的关键.(2020秋•泸州期末)已知函数〃x)=(x-Q(x-4),其中左wH.(I)求关于x的不等式〃x)>0的解集；(H)对任意xe[l,3],若关于x的不等式/(x)>4k-5恒成立，求人的取值范围.【答案】(I)当左<4时，不等式的解集为伏,4)；当k=4时，不等式的解集为(y,4)U(4,+00)；当%>4时，不等式的解集为(4,%).(II)(-00,25/5-4)【考点】函数恒成立问题【专题】计算题；分类讨论；转化思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算【分析】(I)对《分类讨论，即可求得一元二次不等式的解集；(II)将不等式恒成立转化为对任意xe[l,3],左<x+』-4恒成立，利用对勾函数的性X质求得y=x+』-4的最小值即可得解.X【解答】解：(I)不等式/(x)>0,即为不等式a-1)(x-4)>0,当《<4时，不等式的解集为(%,4)；当〃=4时，不等式的解集为(-a),4)kJ(4,+00)；当〃>4时，不等式的解集为(4,%).(H)对任意xw[l,3],不等式/(%)>软-5恒成立，所以对任意xc[l,3],不等式(工-外(工一4)>4左一5恒成立，即对任意xe[l,3],kvx+——4恒成立，x由对勾函数y=x+』-4在[1,6)单调递减，在(石，3]单调递增，X所以y=x+2-4在x=4处取得最小值为2布-4,x所以％<2-J5—41即人的取值范围是(-00,275-4).【点评】本题主要考查一元二次不等式的解法，不等式恒成立问题，考查分类讨论与转化的数学思想，属于中档题.(2020秋•海淀区校级月考)对非空数集4,B,定义4-8={x-y|xwA,yeB},记有限集7的元素个数为|T|.(1)若4={1,3,5},8={1,2,4},求|力一川，\B-B\,(