2022-2023学年北师大版九年级数学上学期专项讲练-特殊平行四边形“将军饮马”专题（基础篇）

专题1.21特殊平行四边形“将军饮马”专题（基础篇）（专项练习）一、单选题【知识点一】菱形将军饮马问题.如图，在菱形ABCD中，AB=4,卬出=60°,点E是对角线AC上一个动点（不TOC\o"1-5"\h\z与A,C重合），点尸是边AB上一个动点，连接EREB,则£»+b的最小值为（ ）AFBA.2 B.2y/3 C.4 D.45/3.如图，菱形ABCD的两条对角线长分别为AC=6,BD=8,点P是BC边上的一动点，则AP的最小值为（ ）A DA.4 B.4.8 C.5 D.5.5.如图，将两张长为10,宽为2的矩形纸条交叉，使重叠部分是一个菱形，容易知道当两张纸条垂直时，菱形的周长有最小值8,那么，菱形周长的最大值为（ ）.如图，在菱形A8CZ）中，对角线AC=6,80=8,点E,尸分别是AB, 的中点,点尸在AC上运动，在运动过程中，存在尸E+K的最小值，则这个最小值是（

TOC\o"1-5"\h\zA.3 B.4 C.5 D.6【知识点二】矩形将军饮马问题.如图，在R/AABC中，NBAC=90",AB=5,AC=12,点。是BC上的一个动点，过点O分别作于点M,DNJ.AC于点N,连接MN,则线段MN的最小值为（ ）.如图，“BC中，BC=4,£>、E分别是线段A8和线段BC上的动点，且8£>=。£,F是线段AC上一点，且EF=FC,则OF的最小值为（ ）.如图，“8C中，NC=90。，AC=10,BC=8,线段。E的两个端点。、E分别在边AC,8c上滑动，且DE=6,若点M、N分别是DE.AB的中点，则MN的最小值为（

A.10-aB.741-3 C.2a-6D.3.如图，在MaABC中，NC4B=90。，A8=16,AC=6,两顶点A,B分别在平面直角坐标系的y轴，x轴的正半轴上滑动，点C在第一象限内，连接OC,则OC的长的最大值为（ ）8+4及8+68+4及8+6近【知识点三】正方形将军饮马问题9.如图，正方形ABC3【知识点三】正方形将军饮马问题9.如图，正方形ABC3的面积为12,△ABE为正三角形,点E在正方形A8C。内，在对角线AC上取一点P,使PZJ+PE最小，则这个最小值为（ ）A.73 B.2>/3 C.2瓜.如图，正方形ABCO的边长为2,E是8c的中点，点尸是AC边上的一个动点,连结BP,EP,则8P+EP的最小值为（

C.C.& D.V2+I.如图，已知正方形ABC。中，点E,F分别在边。＞,8c上，连接AE,OF.若48=厉,DE=BF,则AE+OF的最小值为（ ）A.4A.4# B.56C.4后 D.4百.如图，正方形A8CO的边长为4,点E、F分别为BC、CZ）的中点，点?是对角线8。上的动点，则四边形PEb周长的最小值为（）A DBECFA DBECFA.4 B.4+2夜 C.8 D.4+40二、填空题【知识点一】菱形将军饮马问题.如图，在边长为1的菱形A8C0中，NABC=60。，将aAB。沿射线8。的方向平移得到△AB,。，分别连接A'C,A'D,B'C,则4C+8C的最小值为.

D'D'.如图，四边形A5CQ是菱形，对角线AC,3。相交于点O,AC=4行，80=4,点P是AC上一动点，点E是48的中点，则PD+PE的最小值为..如图，在菱形A8CD中，ZB=45°,BC=2日E,尸分别是边CD,8c上的动点，连接AE,EF,G,H分别为AE,所的中点，连接G",则GH的最小值为..如图，直角三角形A3C中，AC=l,BC=2,P为斜边A8上一动点.PE1BC,PF1CA,则线段EF长的最小值为.【知识点二】矩形将军饮马问题.如图，在矩形ABC。中，AB=3a,BC=4a,若点E是边AO上一点，点尸是矩形内一点，ZBCF-30%则EF+gcF的最小值是.

.如图，点E是矩形纸片A8C£）的边BC上的一动点，沿直线AE折叠纸片，点B落在点8'位置，连接CB'.若48=3,BC=6,则线段C9长度的最小值为.如图,已知直线y= 4与X轴交于点A'与y轴交于点8'尸为线段AB上的个动点，过点P分别作尸产_Lx轴于点尸，尸轴于点E,连接耳\则EF长的最小值为.如图，在矩形A8CO中，AB=3,BC=4,E为BC中点,F为CD上一动点,则AF+EF的最小值为.【知识点三】正方形将军饮马问题.如图，正方形ABC。的边长为6,点E,尸分别为边BC,C。上两点，CF=BE,AE平分NBAC,连接8凡分别交AE,AC于点G,M,点P是线段AG上的一个动点，过

作「NL4C,垂足为N,连接PM,则PM+/W的最小值为.定义：在平面内，一个点到图形的距离是这个点到这个图上所有点的最长距离，在平面内有一个正方形，边长为4,中心为。，在正方形外有一点P,OP=4,当正方形绕着点。旋转时，则点尸到正方形的最长距离的最小值为..如图，在正方形ABCC中，AB=2,产是8D边上的一个动点，连接AF,过点5作BE_LA尸于E,在点产变化的过程中，线段。E的最小值是.如图，正方形ABCD边长为4,对角线AC上有一动点P,过P作PELPC于E,PF±AB于F,连接EF,则EF的最小值为三、解答题.如图，在边长为2的菱形ABC。中，乙4=60。，M是A。边的中点，N是AB

边上的一动点，将aAAW沿MN所在直线翻折得到△A'MN,求点A到BC距离的最小值..如图，将矩形纸片A8C。沿对角线AC折叠，使点8落在点E处交C。于点尸,且已知4B=8,BC=4(1)判断AACF的形状，并说明理由；(2)求△AC尸的面积；(3)点尸为AC上一动点，则PE+尸尸最小值为..如图，点P(3吐1,-2,〃+4)在第一象限的角平分线OC上，APLBP,点A在x轴正半轴上，点B在y轴正半轴上.(1)求点P的坐标.(2)当N4PB绕点尸旋转时，①。4+OB的值是否发生变化？若变化，求出其变化范围；若不变，求出这个定值.②请求出042+0"的最小值.参考答案B【分析】在菱形ABC。中，点8关于A8对称点为点。，过点力作A8的垂线交于点F,交AC丁点R这时团+M最小为DR根据三角函数得，OF=ADsin60。即可算出答案.A FB如图所示，连接。E,DF,・A3CQ是菱形，.CD=CB,ZDG4=ZBC£,・；CE=CE,:.卫DE二/BE(SAS),BE=DE，：.EB+EF=DE+EF<DF,当£>FJ_A8时，DF最小,这时NA3'=30°,:.AF:DF:AD=\:>/3:2,•••DF=2AD=4x2=2瓜2 2:.EB+EF<2-j3，即£B+E5的最小值为2石.故选:B.【点拨】本题考杳菱形的性质和轴对称最短路线问题，解题关键是得到£»+所的最小值为菱形ABCD中A8边上的高.B【分析】由垂线段最短，可得APLBC时，AP有最小值，由菱形的性质和勾股定理可求BC的长，由菱形的面积公式可求解.解：如图，设AC与BD的交点为O,D•,点P是BC边上的一动点，.•.APLBC时，AP有最小值，.•四边形ABCD是菱形，AACIBD,AO=CO=gAC=3,BO=DO=yBD=4,BC=yjBCf+CO2=J9+16=5-SZf.ABCD=yxACxBD=BCxAP,.,.AP=—=4.8,5故选：B.【点拨】本题考查了菱形的性质，勾股定理，确定当APLBC时，AP有最小值是本题关键.C【分析】画出图形，设菱形的边长为x,根据勾股定理求出周长即可.解：当两张纸条如图所示放置时，菱形周长最大，设这时菱形的边长为在RSABC中，由勾股定理：x2=(10-x)2+22,解得：X=y,.._104•.4x—~~~,104即菱形的最大周长为与cm.故选：C.【点拨】此题考查矩形的性质，本题的解答关键是怎样放置纸条使得到的菱形的周长最大，然后根据图形列方程.C【分析】先根据菱形的性质求出其边长，再作E关于AC的对称点E，，连接E，F,则E，F即为PE+PF的最小值，再根据菱形的性质求出ET的长度即可.解：•••四边形ABCD是菱形，对角线AC=6,BD=8,.♦.AB="+42=5,作E关于AC的对称点E',连接EF则ET即为PE+PF的最小值，：AC是/DAB的平分线，E是AB的中点，在AD上，且E是AD的中点，VAD=AB,/.AE=AEr,；F是BC的中点，.,.ET=AB=5.故选C.【点拨】本题考查的是轴对称-最短路线问题及菱形的性质，熟知菱形的性质是解答此题的关键.C【分析】先证四边形AMON是矩形，连接40,则MN=4O,当AO最短时，MN取最小值.解：如图，连接A3,在RfAABC中，NBAC=90",AB=5,AC=12,BC=\lAB2+AC2=13«ABF点M,£>N_LAC丁点N,/.ZDMN=ZDNA=90°,•••四边形MOVA是矩形，;.MN=AD,当A£>_L8C时，4。最短，TOC\o"1-5"\h\z•/S\ABC=-AB»AB=-BC-AD,2 211cAB.AC5x1260AD= = =—,BC13 13...线段MN的最小值为普，故选：C.【点拨】本题考查了勾股定理，矩形的判定和性质，垂线段最短，做辅助线A£＞是解本题的关键.B【分析】过点。作OGLBC于点G,过点F作尸于点//,当£）尸，尸〃时，。尸取得最小值，据此求解即可.解：过点。作。G,8c于点G,过点尸作;77L8C于点"如图：A•；BD=DE,EF=FC,：.BG=GE,EH=HC,当QF，"/时，QF取得最小值，此时，四边形DG”尸为矩形，/.DF=GH=-BE+-EC=-BC=2.2 2 2故选：B.【点拨】本题考查了等腰三角形的性质，矩形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题.B【分析】根据三角形斜边中线的性质求得CN=：A8=a,CM=：DE=3,由当C、M、N在同一直线上时，MN取最小值，即可求得MN的最小值.解：AABC中，ZC=90°,AC=IO,BC=8,.,AB=\lAC2+BC2=2向，•;DE=6,点、M、N分别是£>E、AB的中点，;.CN=lAB=a,CM=~DE=3,2 2当C、M.N在同一直线上时，MN取最小值，r.MN的最小值为：741-3.故选：B.【点拨】本题考杳/直角三角形斜边中线的性质，勾股定理的应用等，明确C、M、N在同•直线上时，MN取最小值是解题的关键.B【分析】取的中点尸，连接OP、CP,利用直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得OP=AP=^AB=8,再由勾股定理，可得CP=10,再由三角形的三边关系，即可求解.解：如图，取AB的中点P,连接。尸、CP,"：AB=16,：.OP=AP==AB=8,2在RaACP中，AC=6,由勾股定理得:CP=\lAC~+AP2=10>'：OC<OP+CP= ,...当O、P、C三点共线时，OC最大，最大值为18.故选：B.【点拨】本题主要考查了直角三角形的性质，勾股定理，三角形的三边关系，熟练掌握相关知识是解题的关健.B【分析】由于点8与。关于AC对称，所以连接BE,8E与AC的交点即为点P的特殊位置，此时尸£)+尸E=8E最小，而是等边△A8E的边，BE=AB,由正方形A8c。的面积为12,可求出A8的长，从而得出结果.解：连接BZ),与AC交于点F.

.•点B与。关于AC对称，：.PD=PB,：.PD+PE=PB+PE=BE最〃、.••正方形ABC£>的面积为12,*.AB—=\/\2= .又•.'△ABE是等边三角形，BE=AB=2G.二PD+PE的最小值'为.故选：B.【点拨】此题主要考查了轴对称——最短路线问题，难点是确定点尸的位置.注意充分运用正方形的性质：正方形的对角线互相垂直平分.再根据对称性确定点P的位置即可，灵活运用对称性解决此类问题的关键.A【分析】根据正方形是轴对称图形，AC所在的直线是正方形的一条对称轴，进而根据对称性可知，BP+EP=PD+PE, 在同一直线上时，8P+EP的值最小为DE的长，进而根据勾股定理求得DE的值.解：连接8。，•.•正方形是轴对称图形，AC所在的直线是正方形的一条对称轴，无论P在什么位置，都有尸£>=尸8；故均有BP+EP=PD+PE成立;连接。E与AC,所得的交点，即为8P+EP的最小值时的位置，如图所示：

BEC此时BP+EP=DE,•.•正方形A8CD的边长为2,：.DC=BC=2,是8c的中点，：.EC=\,在RtADEC中,DE={DC-EC2=J4+1=石>故选：A.【点拨】本题考查了轴对称的性质，勾股定理，理解对角线所在的直线是正方形的对称轴是解题的关键.B【分析】连接AF作A关于BC的对称点4,连接AF,则= 证明"ITWaABE,可得AF=AE,根据AE+£>F=AF+£>F=AN+£>FZA'。，勾股定理即可求得AT),^AE+DF的最小值.解：如图，连接AF作A关于8C的对称点4,则4尸=人'产，DE C；四边形A8CD是正方形，/.ZADE=ZABF=ZBAD=90°,AB=AD,DE-BF,

^ADE^ABE：.AF=AE，AF=A'尸，.-.AE=A'F,AE+DF=AF+DF=A!F+DF>A!D,AE+OF的最小值为A'£>的长，AB=而，AD-AB=y/\5>中AA!=2s[\5<AD=yjAlf+AA'2=5拒•A£+Z）厂的最小值为5G故选B【点拨】本题号杳J'正：/j形的性质，线段和最值问题，添加辅助线将AE转化为A'尸是解题的关键.C【分析】作E关于BO的对称点£,连接E'尸交BD于点O,根据轴对称性质及两点之间，线段最短，得到四边形PEB的周长最小，即OE+OF最小，再利用三角形三边关系解题即可.解：如图，作E关于BO的对称点£,连接£尸交8。于点。，A D故点尸与点。重合时，四边形尸改尸的周长最小，即OE+OF最小，•.•E和£关于8。对■称，则OE=OE',EO+OF=E'O+OF=4连接E'P,同样£P=PE,EP+PF=EP+PF>EF而EF=E'O+OF=4,UPEP+PF>E,F所以当P与。五合时，四边形PECF周长最小，即为4+2+2=8,故选：C.【点拨】本题考查正方形的性质、轴对称与最值问题等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键.6【分析】根据菱形的性质得到AB=1,ZABD^30°,根据平移的性质得到A'B'=AB=1,A'B'//AB,推出四边形是平行四边形，得到40=8（,于是得到AC+8。的最小值=4C+4O的最小值，根据平移的性质得到点4在过点A且平行于80的定直线上，作点。关于定直线的对称点E,连接CE交定宜线于4,则CE的长度即为AC+8C的最小值，求得CE=CD,得到NE=NOCE=30。，于是得到结论.解：；在边长为1的菱形48co中，N4BC=60。，：.AB=CD=\,ZABD=30°,•.•将△A8£）沿射线8。的方向平移得到4ABD',：.A'B'=AB=\,A'B'//AB,•.•四边形ABC。是菱形，：.AB=CD,AB//CD,：.ZBAD=]20°,：.A'B'=CD,A'B'//CD,/.四边形A'B'CD是平行四边形，：.A'D=B'C,...4C+8C的最小值=4。+4£）的最小值,V点4在过点4且平行于BD的定直线上，作点。关于定直线的对称点E,连接CE交定宜线于4,则CE的长度即为AC+BCVZA,AD=ZADB=30°,AD=\,：.^ADE=6Q°,DH=EH=^AD=；,：.DE=\,：.DE=CD,'：NCDE=NEDB'+NCDB=900+30°=120°,.\ZE=ZDCE=30°,如图，过点。作EC于”，:.EH=CH,DH=-CD=~,2 2：.CH=>JCD2-DH2=—.2:.CE=2CH=6故答案为：B【点拨】本题考查了轴对称-最短路线问题，菱形的性质，平行四边形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，平移的性质，正确地理解题意是解题的关键.2G【分析】连接DE,依据菱形的性质即可计算得到OE的长，再根据线段的性质，即可得到PD+PE的最小值为CE的长.解：如图，连接。E,wAEB,••四边形ABC。是菱形，时角线AC,8。相交于点0,AC=4万，BD=4,.,.AO=^AC=2.y/3,B0=gBD=2,ACA.BD,,AB=JAO2+BO2=J（2—+22=4，：.AB=AD=BD,即A48£>是等边三角形，•.•点E是AB的中点，.-.DEYAB.,•DE='JAD2—AE2=,4。-2?=2G）'：DP+PE>DE,：.PD+PE的最小值为£>E的长，即尸。+PE的最小值为2百，故答案为：2G.【点拨】此题考查了轴对称，最短路线问题，勾股定理，等边三角形的性质，关键是掌握菱形的性质以及线段的性质：两点之间，线段最短.显2【分析】连结AF,利用中位线的性质GH=^AF,要使GH最小，只要AF最小，由点F在BC,"1AF1BCI1J-,AF最小，利用菱形性质求HlAB=26，由4=45。确定AABF为等腰直角三角形，得出AF=BF,由勾股定理得：AB?=5产+A尸=2A尸求出AF即可.解：连结AF,VG,H分别为AE,EF的中点，；.GH〃AF,且GH=^AF,要使GH最小，只要AF最小,由点F在BC,当AF_LBC时，AF最小,在菱形ABC£＞中，BC=2。•*.AB=2日在RtAABF中，ZB=45°,.•.△ABF为等腰直角三角形，：.AF=BF,由勾股定理得：AB?=5/2+Af2=2Af2,/•(2南=2AF2,AF=y/6，GHm，j、=；AF=也2 2故答案为：见.【点拨】本题考查动点图形中的中位线，菱形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理应用问题，掌握中位线的性质，菱形性质，等腰直角三角形的性质，点F在BC上，AF最短，点A到BC直线的距离最短时由点A向直线BC作垂线，垂线段AF为最短是解题关键.16.三出【分析】先连接PC,判定四边形ECFP是矩形，得到EF=PC,再根据当PC最小时,EF也最小，根据垂线段最短，可得当CPJ_AB时,PC最小，最后根据面积法，求得CP的长即可得到线段EF长的最小值.B解：连接B解：连接PC.vPE±BC,PF±CA,-.ZPEC=ZPFC=ZC=90°,••・四边形ECFP是矩形，EF=PC,.••当PC最小时,EF也最小,・•・垂线段最短，.,.当CP_LAB时,PC最小，AC=1,BC=2,AB=G又•.•当CP1.AB时-xACxfiC=-xABxCP,2 2“ACxBC1x22石rC= =-产— .AB小5线段EF长的最小值为也.5故答案为也.5【点拨】本题主要考查矩形的判定与性质及垂线段最短.3。【分析】作辅助线，先根据直角三角形30度角的性质可知gcF=F"，得G"的长是EF+gcf的最小值，从而得结论.解：过F作G”〃CO,交于G,BC于H,如图：AEGDBHC•••四边形ABCO是矩形，.*.ZD=ZBCD=90°,AD//BC,：.GH±AD,ZCHF=90°,VNBCF=30°,：.FH=-CF,2,点E是边40上一点，：.EF+-CF=EF+FH,2即EF+；C厂的最小值是GH,'：ZGHC=ZBCD=Z£>=90。，...四边形0GHe是矩形，：.GH=CD=AB=3a,即EF+；CF的最小值是3a；故答案为：3a.【点拨】本题考查了矩形的判定和性质，平行线的性质，直角三角形30度角的性质等知识，解题关键是确定EF+gc尸的最小值是GH.3石-3【分析】连接AC,当A、B，、C共线时，CB'的值最小，进而解答即可.解：如图，连接AC.••折叠，：.AB=AB'=3,.•四边形A5CD是矩形，.\ZB=90°,"C=yjAB2+BC2=V32+62=36)"：CB'>AC-AB',

...当A、B'、C共线时，C9的值最小为：36-3,故答案为：36-3.【点拨】本题考查翻折变换、矩形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，作出正确的辅助线，属于中考常考题型.19.35【分析】由矩形的性质可知EF=OP,可知当OP最小时，则EF有最小值，由垂线段最短可知当时，满足条件，求得A、B两点的坐标，即可求得E尸的最小值.解：在一次函数y=：x+4中，令无=0,则y=4,令y=0,则工=一号，*./4(0>4)>B( ,0).3・・PELy轴于点E，PE1X轴于点立，NPEO=NPFO=90°,VZEOF=90°,•・四边形PEOF是矩形，：.EF=OPf••当0P_LA8时，OP取得最小值，此时石尸最小，A(0,4),点8坐标为(-々，0),/.OA—4,OB——,3由勾股定理得：ab=>Ioa2+ob2=y,^AB-OP^^OA-OB,故答案为：-y【点拨】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，矩形的性质，熟知矩形的性质和一次函数与坐标轴交点特征，熟练进行计算是解答此题的关键.3石【分析】

作点E关于点C的对称点M,连接AM交CD干点F,连接EF,则此时AF+E尸的值最小，根据矩形的性质和勾股定理得出AM的值即可解：作点E关于点C的对称点M,连接4M交CC于点人连接£尸，则此时AF+EF的值最，J、，EF=MF；EC=MC,：.EF+AF=AM"：BC=4,E为BC中点，:.BE=CE=2,：.BM=6；在矩形ABC。中，AB=3,，NB=90°,AM=>JAB2+BM2=>/32+62=34；故答案为：3亚【点拨】本题考查了矩形的性质、勾股定理、两点之间线段最短等知识；正确的作出辅助线是解题的关键.372【分析】根据题意？知+/>'=/>"+丹/2加〃2时。，进而证明aABG丝aAMG,可得AM=48=6,勾股定理求解即可.解：如图，作PHJ.A8，MQLAB,连接・・PN1.AC,AE平分NBA。，:.PN=PH,；.PM+PN=PM+PHNMHNMQ,・.MQ即为所求，・・四边形ABCD是正方形正方形，•.AB=BC,ZABE=/BCF,又CF=BE、:"BAE=NCBF,・・N84£：+NB£4=90。，•・NCBF+NBEA=90。.AE工BF,•.ZAGB=Z4GA/=90°,/AE平分N3AC,•.ZBAG=ZMAGfaABG与^AMG中，ZABG=ZAMGAG=AG,ZBAG=ZMAG.aABG也△AA/G,:.AM=AB=6,・・AC是正方形的对角线，.・.NM4Q=NC48=45。，MQ=—AM=3y/2,即PM+/W的最小值为3拒，故答案为：3亚.【点拨】本题考查了角平分线的性质，正方形的性质，垂线段最短，根据题意求得尸M+PN的最小值是何。的长是解题的关键.4-&##-a+4【分析】由题意以及正方形的性质得OP过正方形48CD的顶点时，点P到正方形的最长距离取得最小值，最小值为办.解：如图，0P过顶点A时，点。与这个图上所有点的连线中，0A最大，此时点P到正方形的最长距离取得最小值，最小值为以，,正方形ABCO边长为2,。为正方形中心，二ZOAB=ZOBA=45°,OA±CB,：.OA=OB=y[2，\'OP=4,二最小值为%=4-0;故答案为：4-72.【点拨】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，理解点到图形的距离是解题的关键.^/5-1##-1+5/5【分析】取AB的中点G,以G为圆心，A8为直径作圆G,当。、E、G共线时，此时OE取得最小值.解："：BE1AF^E,即/AE8=90。，取A8的中点G,二点E的运动轨迹为以A8为直径，G为圆心的圆弧.当£＞、E、G三点共线时，CE取得最小值，如图，'：AB=AD=2,：.AG=EG=\,DG-y]22+12=石,：.DE=y/5-l.即线段DE的最小值是逐-1.故答案为：Vs-1.【点拨】本题主要考查了正方形的性质，圆的性质，勾股定理，本题关键是确定DE取最小值的位置.20【分析】由垂线段最短可得当点P是正方形对角线4c和8。的交点时，此时8P最小，可证四边形8EP尸是矩形，可得即的最小值为8P的最小值为20.解：当点P是正方形对角线AC和BC的交点时，此时BP最小，•.•四边形ABC。是正方形，.*.8DJ_AC于点尸，,正方形A8CO边长为4,；・BP=WbD=；X4&=2y/2，VPE1BC,PFLABfA-・♦・四边形BEPF是矩形，:・FE=BP,・・・EF的最小值为BP的最小值为20,故答案为：2夜.【点拨】本题考查了正方形的性质，垂线段最短，矩形的判定与性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键.石-1【分析】解：由折叠知AM=AM,又是AO的中点，AMA=MA=MD,故点A在以点M为圆心M4长为半径的匕如解图，过点M作于点E,在菱形ABCD中，4?=2,ZA=60°,△A8O是等边三角形：Af是AO的中点，二点E与点8重合，,,EM=12?-F=>/3,故点AA，到BC距离的最小值为EM- =石-1.(1)△ACF是等腰三角形，理由见分析：(2)10；(3)向【分析】(1)根据折叠的性质可得：Z1=Z2,再由矩形的性质，可得N2=N3,从而得到N1=N3,即可求解：(2)设F0=x,则AF=CF=8-x,再由勾股定理，可得£>尸=3,从而得到CF=5,即可求解；(3)连接PB,根据折叠的性质可得AECP丝△BCP,从而得到尸E=PB,进而得到当点F、P、8三点共线时，PE+FF最小，最小值为8尸的长，