2021研究生考试数学三真题及答案解析

2021年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试题解析一、选择题:1~H）小题,每小题5分，共50分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的.请将所选项前的字母填在管厚纸指定位置上.（1）当x-0时，，（/一1）是丁的（）.（A）低阶无穷小.（B）等价无穷小.（C）高阶无穷小.（D）同阶但非等价无穷小.【答案】C.【解析】因为当X-0时，「（/一1劝=2》（1一1）~2『，所以「（/一1）是/的Jo Jo高阶无穷小，正确答案是C.ex-l八 xw0（2）函数f（x）=1x' ,在x=0处（）l,x=0（A）连续且取极大值. （B）连续且取极小值.（C）可导且导数为（C）可导且导数为0.（D）可导且导数不为0.【答案】D【解析】因为lim/(x)=lim「l-1=/(0),故/(x)在x=0处连续.x->0 x-+0x因为1"⑴一八°）=隔上-x-0x-x-0=lime 故r(因为1"⑴一八°）=隔上-x-0x-x-0TOC\o"1-5"\h\za。x22 2(3)设函数/(》)=0<-6111*(。>0)有两个零点，则一的取值范围().a(A)(e,+oo). (B)(0,e). (C)(0,1). (D)e e【答案】A.【解析】令/(x)=or—力lnx=0,f[x)=a上,令/'(x)=0有驻点x=2,x a®b入1blibih伯力 4a=〃•—b•In—<0.从而In—>1,可得一>e,选A.aa a a（4）设函数f（x,y）可微，且"业）'&J+ 2,/（x,x2）=2x21nx,则4Ul）=（(A)dx+dy.【答案】C(B)(A)dx+dy.【答案】C(B)dx-dy.(C)"y(D)-dy.【解析】£(x+w)+e'f；(x+1,e")=(x+1)2+2x(x+1)①(x,x2)4-2xf^(x,x2)=4xInx+2x②x=0 \x-\分别将4八，\ ，代入①②式有y=°[y=i<(1,1)+^(1,1)=1,工'(1,1)+24(1,1)=2联立可得工'(1,1)=0,力'(1,1)=1, 心+人'(1,1)办=<fy,故选C.(5)二次型/(与,％2,七)=(石+N)2+(电+七？一(七一司了的正惯性指数与负惯性指数依次为( )(A)2,0. (B)1,1. (C)2,1. (D)1,2.【答案】B【解析】/(3,电，不)=&+受)2+(x,+x3)2—(j^—X1)2=2x22+2XjX2+ +2xlx3,01所以A,01所以A=12J11、12故多项式|/IE—A|=—1-1-1-1-2-1=(2+l)(2-3)2.—1A令上式等于零，故特征值为-1,3,0,故该二次型正惯性指数为1,负惯性指数为1,故选B.(6)设A=(a「%,%，4)为4阶正交矩阵，若矩阵B=a；,4=1,女表示任意常数，则线性方程组Br=A的通解x=( )a2a2+%+Q4+姐•at+“3+a44-Aa2.a1+a1+%+%+ka3.at+%+”3+她.xx18(4+4+%)=1【解析】由A是正交阵知A的列向量线性无关，所以「(8)=3,且8%=0=&=弼通解为她，又=/?=>&的通解为%+4+%+%%,应选。

’1o-r(7)已知矩阵4=2-1 1，若下三角可逆矩阵尸和上三角可逆矩阵。，使PAQ为、一12一5,对角矩阵，则产，。可分别取(‘100对角矩阵，则产，。可分别取(‘100、0100L'101、013、00L'1 02-11-320、0b「100、'1 00、’1or'100、'12-3、(C)2-10f013(D)010♦0-12、一321;、00IU31；、0。 1,(A,E)=2-10-1-1(A,E)=2-10-1-112—5-1100、'103-21001-6101000)(100->0-11 027k-1-301 02-1-320、017【解析】‘1 0 0、=(F,P),则「=2-10下列命题中不成立的是[32"下列命题中不成立的是10-八Goo'01-3010000001'A=10010I010013001><00L'10PQ=013,选C.、001；8为随机变量，且0<P(B)<l,(A)若P(4|8)=P(A),则P(A®=P(A).(B)若P(A|8)〉尸(A),则P(用函>尸(不.(C)尸(川8)>p(a|b),则P(A\B)>P(A).(D)若「(A|AUB)>P(同AU8),则P(A)>P(B).【答案】D【解析】P(A\Ai)B)【解析】P(A\Ai)B)=P(A(AU8))

产(AU8)P(A)P(A)+P(8)-P(A8)「西aU8)=P()AUB))=尸(初)= 尸「)—尸(AB)1 P(AUB) 尸(4UB)P(A)+P(B)-尸(AB)因为P(A|AU8)>P(司AUB),固有尸(A)>P(B)-尸(AB),故选D.(9)设(X|，K),(X2,Y2) (X“，Z)为来自总体N(自，%;5，/;p)的简单随机样本,令。=内一内,x=-Yx,,丫=一2匕，e=x—y,则2 2(A))是。的无偏估计，。⑹=0+%.n2 2(B)l不是。的无偏估计，D(济=4+4-.n(C))是0的无偏估计，。向=可+4--2西/n(D))不是。的无偏估计，。而=叫%n【答案】C【解析】因为x,y是二维正态分布，所以刀与少也服从二维正态分布，则灭一歹也服从二维正态分布，即E(0)=E(X-Y)=E(X)-E(Y)=从一外=布,D向=D(X-Y)=D(X)+D(P)-cov(X,r)=斤+%~―2西/，故选c.nTOC\o"1-5"\h\z\-0 i+e(10)设总体X的概率分布为P{X=1}=-P{X=2}=P{X=3}=-利用李爱2 4珍总体的样本值1,3,2,2,1,3,1,2,可得0的最大似然估计值为3 1 5(A)-. (B)-. (C)-. (D)-.【答案】A【解析】似然函数"6)=(詈)(4)取对数lnL(6)=31n(一)+51n(9)也叽。=。△如6 4

二、填空题：11~16小题,每小题5分洪30分.请将答案写在答题纸指定位置上.(11)若丫=£：05"",则sin一【答案］—幺2e【解析】包二—sin""

dxx=l=sin【解析】包二—sin""

dxx=l=sineIe【答案】6【解析】=6.(13)设平面区域。由曲线y=«・sin;rx(0Wx《l)与x轴围成，则。绕x轴旋转所成旋转体体积为.【答案】-4【解析】V= (V%-sin=^rj'xsin2nxdx=—£sin2tdt=—.(14)差分方程Ay,=，的通解为.【答案】y=y+y=-t2--t+【答案】y=y+y=-t2--t+C,C为任意常数.2 2—11【解析】y=C，y*=—(at+b),(t+l)(a(t+l)+b)-t(at+\)=t,2at+a+b=t,a=—,b=--,y=y+y=-t2--t+C,C为任意常数.2 2 2xx(15)多项式f(x)=；:2-I【答案】-5XX11r2【解析】/(X)=\ ；21x2-11中F项的系数为x1220

x-1

-12.\-11X1220X—1-10一3-3:一4,由特征值与特征矩阵的关系知：F项的系数为.5。(16)甲乙两个盒子中各装有2个红球和2个白球，先从甲盒中任取一球，观察颜色后放入乙盒中，再从乙盒中任取一球.令x,y分别表示从甲盒和乙盒中取到的红球个数，则x与y的相关系数.【答案】-5'(0,0)(0,1)(1,0)<0r【解析】联合分布律(x,y)~3223，X的边缘分布X~i_，丫的边、loToio10)<22>ron1 1 1缘分布y~i।，易知c<MX,y)=—,—— 20DX=*.oy=W，即加\22J三、解答题：17〜22小题，共70分.请将解答写在争犀纲指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(17)(本小题满分10分)1TOC\o"1-5"\h\z已知limaarctan—+(1+\x\)x存在，求a值.x->0 x【答案】ex=—(—e).7te【解析】要想极限存在，则左右极限相等.又由于limaarctan—+(1+又由于limaarctan—+(1+Ixl)ri。. x=—a+e.hmaarctan-4-(1+x)x= a+—・2 … x 11 2 e从而—a+e二—oth—,即1二—(—€).

2 2e e(18)(本小题满分12分)求函数/(x,y)=21n|M+(*T)；+y的极值【答案】(一1,0)处取极小值2；(Lo)处取极小值，—21n2.2 2【解析】f:=,2—=f:=,2—=0,即<得驻点."(4x+l)x—3(2x2+x—1—y2)fxx=fyy=7驻点(一1,0)处A=3,B=0,C=l,AC-B2=3>0,A>0,故/(x,y)在(一1,0)处取极小值2；1,_1驻点(2,0)处A=24,B=0,C=4,AC-B2=3>0,A>0,故/(x,y)在(J。)处取极小值±-21n2；2(19)(本小题满分12分)设有界区域。是r+y2=l和直线y=x以及x轴在第一象限围成的部分，计算二重积分JJ(x2-y2)dxdy.jje(x+>r(x2-y2jje(x+>r(x2-y2)da=D八cos20dOf1J-〃r2dr2Jo Jo。 J。 2j>2如可/…%d”:(cose+sin6)2廿8…尸"(cos。+sin6产所以上式(cos。+sin。)41(cos^+sin^)"tedt(cos。+sin。)e(cos0+sin所以上式(cos。+sin。)41(cos^+sin^)"tedt(cos。+sin。)e(cos0+sin。)?(cos6+sin，)4八(cos"+sin0)2 iIeT」J_|*4COSe-sin8e(cosg+sin6)2de2」。cos。+sin。cos。一sin。_「/cose+sin4 .n,3/ 1产其中,2Jiu2Ji1 2 2u2f-『ge"，)(-2/3 =：e?一；e+所以原式—J_0+8 4(20)(本小题满分12分)设〃为正整数，y=y.(x)是微分方程.'—(〃+l)y=0满足条件”⑴=—!—的解.〃(72+1)⑴求y.(x)；(2)求级数£y„(x)的收敛域及和函数.n=l(l-x)ln(l-x)(l-x)ln(l-x)+x,XG(-1,1)1,x=\(1)yn(x)=--—xn+'.(2)收敛域［-1,1］,S(x)=<(I)y-(/7+1)v=o,得了二^三“二口田，将y“(l)=―?—代入，C=―—x n(n+l) 〃(〃+1)yn(x)= x,,+l〃5+l)(2)y―1—xn+i的收敛域为［-1』］.,T〃(〃+1)8 1 00y〃+1 8丫〃+1设5(幻=Z——-xn+,=X-—一X—-=(1-X)ln(l-X)4-X,XG(-1,1)〃=I〃(〃+1) 〃=|n +1又因为S(x)在［一1,1］上连续，所以S(l)=limS(x)=l.x-»r所以S(x)=«所以S(x)=«1,x=］(21)(本题满分12分)~210-设矩阵A=120仅有两个不同的特征值。若A相似于对角矩阵，求的值，并求1ab可逆矩阵P,使为对角矩阵。【解析】由心£-4|=(/—廿(九_3)(4—1)=0,当人=3时，由A可相似对角化知，二重跟对应的特征值有两个线性无关的特征向量。所以

r(3E-A)=1=>«=-1,此时3对应的特征向量为1,0,1对应的特征向量为1TOC\o"1-5"\h\z<ojb) 11i对应的特征向量为11°、0,i对应的特征向量为11°、0,3对应的特征当b=l时，同理可得;"(£：-4)=1=4=1? 「I向量为1，则P-”P= 1U 1 3,O(22)(本题满分12分)在区间(0,2)上取一点，将该区间分成两段，较短的一段长度记为X,较长的一段长度记为Y,令2=土Y(1)求X的概率密度.(2)求Z的概率密度.(3)求(3)求E【答案】(