2021-2022学年上海中学东校高二（下）期末数学试卷（附答案详解）

2021-2022学年上海中学东校高二（下）期末数学试卷一、单选题（本大题共4小题，共20.0分）.在空间中，“直线平面a”是“直线m与平面a内无穷多条直线都垂直”的（）A.充分非必要条件 B.必要非充分条件C.充要条件 D.非充分非必要条件.下列说法错误的是（）A.已知x6R,条件p：x2<X,条件q：->1.则p是q的充要条件B.已知随机变量X〜NR,/）,且P（XW4）=0.84,则P（XW0）=0.16C.设直线I的倾斜角为a,斜率为匕则“a<g”是的必要非充分条件D.相关系数|r|越接近1,表示线性相关程度越强.已知圆M：/+y2-2ax=8截直线，：x-y=0所得的弦长为,则圆M与圆N：/+（y—1）2=4的位置关系是（）A.内切 B.相交 C.外切 D.相离.过椭圆5+痣=l（m>9）右焦点尸的圆与圆。：M+y2=4外切，该圆直径FQ的端点Q的轨迹记为曲线C,若P为曲线C上的一动点，则|FP|长度最小值为（）A.0 B.1 C,1 D.2二、填空题（本大题共12小题，共54.0分）.设全集U=R,A=（-co,0）,则C（M=..抛物线y2=-2x的焦点坐标为..若直线，1：3x-?ny+1=0与％：y=2x+l互相垂直，则实数m=.下列是关于出生男婴与女婴调查的2x2列联表晚上白天总计男婴45AB女婴E35C总计98D180那么。=..已知随机变量X服从二项分布8(4,p),且P(X=2)=：,那么一次试验成功的概率pO的值为 ..设某种宠物小狗活到18岁的概率是0.6,活到25岁的概率是0.2.现有一只18岁的该种宠物小狗，问它活到25岁的概率是..已知随机变量X服从正态分布X〜N(8r2),P(x>10)=m,P(6<x<8)=n,则白+2的最小值为 .2mn.已知变量y与x线性相关，若3=3,亍=10,且y与x的线性回归直线的斜率为2,则线性回归方程是..(l+x+鬻)1。中含有/项的系数为..2022年北京冬奥会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王、小刘共计六名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余四人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有 种.2 2.设椭圆器+勺=1的左、右焦点分别为Fi、尸2，点P在该椭圆上，则使得2P为等腰三角形的个数是..已知椭圆条+，=l(a>b>0)满足a=y[ib,长轴4B上2021个等分点从左至右依次为点Mi，M2,■■；M2021,过点Mi作斜率为k(k*0)的直线，交椭圆于Pi、P2两点，Pi点在x轴上方；过“2点作斜率为片0)的直线，交椭圆于「3、”两点，P3点、在X轴上方；以此类推，过“2021点作斜率为k(kH0)的直线，交椭圆于8041、”042两点，8041点在X轴上方；则4042条直线AP1，4P2,…,AP4042的斜率乘积为.三、解答题(本大题共5小题，共76.0分).如图所示，在长方体4BCD-4B1GD1中，AB=2,BC=2,CCX=4,M为棱Cg—人T•(1)若GM=i,求异面直线和GD1所成角的正切值；(2)若C\M=2,求证J•平面&B1M..(1)设(2x—1)2。。=的+%*+(Z2*2T 卜41200—。。,求：①展开式中各二项式系数的和；② +1。2|+…+|42001的值•(2)设(x+2)n展开式的第10项系数最大，求正整数71..某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A,B两类问题.每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分.已知小明能正确回答4类问题的概率为0.8,能正确回答B类问题的概率为0.6,且能正确回答问题的概率与回答次序无关.(1)若小明先回答4类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列；(2)为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由..双曲线/一£=l(b>0)的左、右焦点分别为&、&，直线，过尸2且与双曲线交于％、B两点.(1)若I的倾斜角为aAFiAB是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；(2)若点P为双曲线上任一点，求证点P到双曲线两渐近线的距离之积为定值，并求出该定值(用含有b的代数式表示)；(3)设b=2注,若/的斜率存在，且+居、)•通=0,求，的斜率..已知椭圆的C的方程：-+^=1.6 3(1)设P为椭圆C异于椭圆左、右顶点Al、&上任一点，直线P4的斜率为抬，直线P&的斜率为心，试证明灯42为定值；(2)求椭圆中所有斜率为1的平行弦的中点轨迹方程；(3)设椭圆上一点4(2,1),且点M,N在C上，且AMJ.4N,AD1MN,。为垂足.证明：存在定点Q，使得|DQ|为定值.答案和解析.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合线面垂直的定义是解决本题的关键，属于基础题.根据线面垂直的定义，以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可.【解答】解：直线ml平面a,则直线m与平面a内所有直线，即直线m与平面a内无穷多条直线都垂直成立，若平面a内无穷多条直线都是平行的，则当直线m与平面a内无穷多条直线都垂直时，直线m1平面a也不一定成立，即“直线机1平面a”是“直线m与平面a内无穷多条直线都垂直”的充分不必要条件,故选：A..【答案】C【解析】解：对于4,因为p：x2<x,解得0<x<l；因为q：i>l,解得0<x<l,故p是q的充要条件，故A正确；对于8,根据正态分布的对称性，P(X<0)=P(X>4)=1-P(X<4)=0.16,故B正确；对于C,当k<旧时，a6U(pTr),故“a<是“k<遮”的既不充分也不必要条件，故C错误：对于D,相关系数网越接近1,表示线性相关程度越强，故。正确.故选：C.根据充分必要条件的判断，正态分布的特点以及相关系数逐一分析，即可求解.本题考查充分条件与必要条件、正态分布、直线的方程、相关系数，考查学生的逻辑思维能力和运算能力，属中档题..【答案】B

【解析】解：由圆M：一+丁2-2q%=8可得M圆心坐标为(q,0),半径为1屋+8,圆N：M+(y-i)2=4的圆以为n(0,1),半径为2,由题意得+8=(号)2+G原)2,解得。2=1,圆M的半径为3,\MN\=yja2+1=V2»则3-2<|MN|<3+2,故选：B.根据直线与圆相交的弦长公式，求出a的值，结合两圆的位置关系进行判断即可.本题主要考查直线和圆相交的应用，以及两圆位置关系的判断，根据相交弦长公式求出a的值是解决本题的关键..【答案】C【解析】解：椭圆式+上-=l(m>9)的右焦点厂(3,0),左焦点尸式一3,0),过椭圆右焦点F的圆，圆心C,半径为R,连接OC,则OC为AFQFi中位线，由C与圆0外切，则|OC|=2+R,由|0Q|=2\OC\,则向Q|=4+2R,贝”FiQ|-|QF|=4+2R-2R=4，则Q的轨迹为以凡居为焦点的双曲线的右支，且双曲线的右顶点为(2,0),•••P为曲线C上的一动点，则|FP|长度最小值为尸到右顶点的距离等于L故选：C.设过椭圆右焦点尸的圆的圆心为C,半径为R,由题意可知：\OC\=2+R,由|6Q|=2\OC\,则|&Q|=4+2R,则|&Q|-|QF|=4+2R-2R=4,根据双曲线的定义可得Q的轨迹，数形结合得答案.本题考查椭圆的性质，考查双曲线的定义，考查数形结合思想，属于中档题.5.【答案】[0,+8)【解析】解：：全集U=R,A=(—00,0),•••CUA=[0,+oo).故答案为：。+8).利用补集定义、不等式的性质直接求解.本题考查集合的运算，考查补集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.6.【答案】(一(0)【解析】解：抛物线y2=—2x,开口向左，p=l,故焦点坐标为(一0),故答案为：(一：,0).根据抛物线的方程的标准方程，求出p值，确定开口方向，从而写出焦点坐标.本题考查抛物线的标准方程，以及简单性质的应用，属于容易题..【答案】一6【解析】解：•・,直线3x-my+1=0与L：y=2x+l互相垂直，•••它们的斜率之积等于一1,即三x2=—l,求得巾=一6,m故答案为：—6.由题意，利用两条直线垂直的性质，计算求得m的值.本题主要考查两条直线垂直的性质，属于基础题..【答案】82【解析】解：由表可知：98+D=180,解得：D=82.故答案为：82.根据2x2列联表的性质列式计算即可.本题考查2x2列联表的计算，是基础题..【答案】i【解析】解：•.•随机变量X服从二项分布B(4,p),P(X=2)=j,C^pz(l-p)2=解得p=o L故答案为：根据已知条件，结合二项分布的概率公式，即可求解.本题主要考查二项分布的概率公式，考查转化能力，属于基础题.10.【答案W【解析】解：设某种宠物小狗活到18岁的事件为4活到25岁的事件为B,由题意可知，P(4)=0.6,P(AB)=0.2,故答案为：根据已知条件，结合条件概率公式，即可求解.本题主要考查条件概率公式，考查转化能力，属于基础题.11.【答案】25【解析】解：・・•随机变量X服从正态分布X〜N(8,02),・・・P(XN8)=3,由P(6<x<8)=n,得P(8<x<10)=n,又P(x>10)=m,••・m+n=a，且m>0,n>0,则上+-=2(—+-)(m+n)=17+-+—>17+2l-x—=25.2mn2mn mn ymn当且仅当强=詈,即血=/，n=：时等号成立.•••~+:的最小值为25.2mn故答案为：25.由正态分布曲线的对称性求出m+n=%再由基本不等式求最值.本题考查正态分布曲线的对称性，以及基本不等式的应用，属于中档题.12.【答案】y=2x+4【解析】解：•变量y与x线性相关，y与x的线性回归直线的斜率为2,・・・可设线性回归方程为y=2%+a，v%=3,y=10»10=6+a，解得a=4，故线性回归方程为y=2x+4.故答案为：y=2x+4.根据已知条件，先设出线性回归方程为y=2x+a，再结合线性回归方程的性质，即可求解.本题主要考查线性回归方程的性质，属于基础题..【答案】45【解析】解：因为(l+x+器)1°表示的是10个(l+x+篇)因式的乘积，所以从10个因式中选2个X,剩下选8个1即可求出展开式中含/的项的系数，即为/•瑞=45,故答案为：45.因为(1+x+袋)1°表示的是10个(1+x+溪)因式的乘积，所以从10个因式中选2个X,剩下选8个1即可求出展开式中含/的项的系数，由此即可求解.本题考查了二项式定理的应用，涉及到组合数的运算性质，考查了学生的运算能力，属于基础题..【答案】120【解析】解：根据题意分2种情况讨论：①若小张或小赵入选，则有选法6废&=96；②若小张、小赵都入选，则有选法G掰=24,共有选法96+24=120种.故答案为：120.根据题意，小张和小赵只能从事前两项工作，由此分2种情况讨论，①若小张或小赵入选，②若小张、小赵都入选，分别计算其情况数目，由加法原理，计算可得答案.本题考查组合、排列的综合运用，涉及分类讨论的思想，注意按一定顺序，做到不重不漏..【答案】6【解析】解：在椭圆式+艺=1中，a=41=3,c=V7，则点Fi(-V7,0),F2(V7,0)，16 9设点P(x,y),则y2=9—誓，其中-4WxW4,①若点P为椭圆短轴端点，则仍&|=仍尸2|，此时AF]F2P为等腰三角形，此时满足条件的点P的个数为2；②若点P满足仍加=I&F2I=2V7,则|P/y=J(x-V7)2+y2=Jx2-21/7%+7+9-—x=2a/7,解得x=1^-86（—4,4）,此时满足条件的点P有2个；③若点P满足|Pa|=IF1F2I，同②可知满足条件的点P的个数为2;综上所述，使得AaF2P为等腰三角形的个数是6.故答案为：6.分!=\PF2\.\PF2\=I&F2I、|PFi|=|尸/2|三种情况讨论,求出对应的点P的个数,即可得解.本题考查了椭圆的性质，属于中档题..【答案】一去篇【解析】解：由椭圆的对称性可知：kAP1-kAPi042=kAPi・程匕=熹•*=/4:1同理可得：kAP2-kAP4041=kAP2-kAP4040=■■■=kAP2021-kAP2022=所以4042条直线APi，AP2,-143042的斜率乘积为（一｝2。21=一嬴.故答案为：一总五.1,2利用椭圆的对称性，求出服Pz.%p41Ml=kAp3-kAPww=…=kAp202l-kAp2022=--^=一%从而得到答案.本题考查了椭圆的性质，属于中档题..【答案】解：（1）由题意知，CjM=BG=BC=2, BxAxM或其补角即为异面直线&M和Ci。1所成的角,由长方体的性质可知，A/L平面313CC1，yfrj ,—:.=—*11A1B12 4即异面直线41M和65所成角的正切值为雷.证明：（2）由题意可知，BC=B1C1=2,GM=2,CC1=4,•••CM=2,BrM=BM=VBC2+CM2=2V2.在AaBM中，BBl=BM2+BrM2,乙BMBi=90°,即BM1BtM,又•••Ai/1平面BiBCG，可得1BM,且Cl4a=Br,：.BM_L平面&B1M.【解析】（1）因为为&〃6。1，所以/Bi&M或其补角即为异面直线为M和Ci。1所成的角,结合长方体的结构特征即可求解.（2）利用勾股定理可证得又4S11BM,且当Mn4避1=%,利用线面垂直的判定定理即可证得BM平面&B1M.本题主要考查了异面直线所成的角，以及线面垂直的判断，属于基础题..【答案】解：（1）①展开式的二项式系数和为220。，②因为|即|+同+\a2\+…+|a2ool的值与二项式（2x+I/。。的展开式的各项系数和相等，所以令x=1,则|a0|+la/+|a2|+…+|。20。1=（2+I）200=3200»令x=O则|a（）|=1,所以|a/+|。2|+…+|。20。1=32°°—1；（2）二项式（x+2）n的展开式的通项公式为Tr+1=CA2"n-r,r=0,1，…，n,设第r+1的系数最大，则二］，解得等wrw等，vCn•ZCn,Z s s由已知r=9,代入解得n=13或14.【解析】（1）①根据二项式系数和公式即可求解；②因为“|+|%|+出|+…+|。20。1的值与二项式（2x+I/。。的展开式的各项系数和相等，再分别令x=0,x=1,建立方程即可求解；（2）求出展开式的通项公式，设第r+1项的系数最大，然后根据通项公式建立不等式组，令r=9,由此即可求解.本题考查了二项式定理的应用，涉及到与系数最大有关的问题，考查了学生的运算转化能力，属于中档题..【答案】解：(1)由已知可得，X的所有可能取值为0,20,100,则P(X=0)=1-0.8=0.2,P(X=20)=0.8x(1-0.6)=0.32P(X=100)=0.8x0.6=0.48,所以X的分布列为：X020100P0.20.320.48(2)由(1)可知小明先回答4类问题累计得分的期望为E(X)=0x0.2+20x0.32+100x0.48=54.4,若小明先回答B类问题，记丫为小明的累计得分，则丫的所有可能取值为o,so,loo,p(y=0)=1—0.6=0.4,P(Y=80)=0.6X(1-0.8)=0.12,P(y=100)=0.6x0.8=0.48,则丫的期望为E(y)=0x0.4+80x0.12+100X0.48=57.6,因为E(Y)>E(X),所以为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答B类问题.【解析】本题主要考查离散型随机变量分布列及数学期望，考查运算求解能力，属于中档题.(1)由已知可得，X的所有可能取值为0,20,100,分别求出对应的概率即可求解分布列；⑵由(1)可得E(x),若小明先回答B类问题，记丫为小明的累计得分，丫的所有可能取值为0,80,100,分别求出对应的概率，从而可得E(Y),比较E(X)与E(Y)的大小，即可得出结论..【答案】解：(1)双曲线/一，=l(b>0)的左、右焦点分别为Fi，F2,a=l,c2=1+b2,直线，过尸2且与双曲线交于A,8两点，直线1的倾斜角为(AFiAB是等边三角形,可得：A(c,b2),可得：y.2/)2=2c,3b4=4(a2+b2),

即3b4-482一4=0,b>0,解得炉=2.所求双曲线方程为：/_1=1,其渐近线方程为y=±V2x.(2)证明：设P(Xo，，y。)，双曲线/一£=l(b>0)的渐近线方程为bx土y=0,则点P到直线bx+y=0的距离为四=点P到直线bx-y=0的距离为d?=l^o-y0|Vd2+1所以心42=所以心42=雷.甯H一治b2+l9又或一普=L所以〃诏一泊=「所以d/2=笔泻=急,所以点P到双曲线两渐近线的距离之积为定值，该定值乒；b£+l(3)b=2应，双曲线/一1=1,可得&(一3,0),F2(3,0).8设4(//1)，B(x2.y2)>直线的斜率为：k=”，人21*1直线/的方程为：y=k(x—3),(y~~kx3k2y2,,消去y可得：(8-1)/+6/£2》一9^一8=0,x-T=1A=36k4-4x(8-k2X-9k2-8)=4(64/+64)>0,可得%+X2=黑，则yi+y2=k(Xi+x2-4)=k(黑-6)=舞・M= +2,yi)>福=(不+2,y2).(不f+瓦万)-AB=0可得：(xi+x2+6,yi+y2)-(Xj-x2,y1-y2)=0>可得Xi+乃+6+(yi+yz)k=0,得目+6+目/=°可得：/=£解得k=土等.，的斜率为：土等.【解析】(1)利用直线的倾斜角，求出4B,利用三角形是正三角形，求解b,即可得到双曲线方程.(2)设p(x°,,yo)，求出p到两渐近线的距离，可证点P到双曲线两渐近线的距离之积为定值，可求出定值：(3)求出左焦点的坐标，设出直线方程，推出4、8坐标，利用向量的数量积为0,即可求得直线的斜率.本题考查双曲线与直线的位置关系的综合应用，平方差法以及直线与双曲线方程联立求解方法，考查计算能力，转化思想的应用.21.【答案】解：(1)设P(Xo，yo)，41(一伤,0)，i42(V6,0).因为P为椭圆C上一点，所以近+%=1,6 3所以犬=3—日,所以刈=忍心=4所以七七=-A='』=孚-=二=一工，12 x0+\/6X0->/6Xq-6Xq-62故心为定值一也(2)设弦的两个端点分别为PQi，%),Q(x2,y2),PQ的中点为M(x,y),则1,①磅+理=1,②TOC\o"1-5"\h\z6 3J所以①一②得：.yl-yl_0,6 3一，即空+痣孑5(%+力)=°，因为Xi+》2=2x,yi+y2=2y, 1,所以x+2y=0.由于弦中点轨迹在已知椭圆内，(X2y