机械工程控制基础-频率特性

机械工程控制基础2011.10主讲人：张燕机械类专业必修课

机械动力工程学院教学内容1、课程准备7、系统的性能指标与校正2、绪论4、系统的时间响应分析3、系统的数学模型5、系统的频率特性分析6、系统的稳定性分析教学内容第一讲控制系统的频率特性一、频率特性引入的目的及重要性系统的频率特性—频率特性概述1）引入目的：

将传递函数从复域引到频域来分析系统特性.系统的频率特性—频率特性概述2）重要性：

建立起系统的时间响应与频谱、单位脉冲响应与频率特性之间的直接关系。沟通时域与频域中对于系统的分析与研究。任何信号可分解为叠加的谐波信号。可通过系统频率特性分析，研究系统的稳定性与响应的快速性与准确性。对于复杂的系统或环节，可通过实验方法求频率特性，进而求出传递函数。设系统结构如图，由劳斯判据知系统稳定。给系统输入正弦信号，保持幅值不变，增大频率Ar=1ω=0.5ω=1ω=2ω=2.5ω=4曲线如下:结论：给稳定的系统输入一个正弦信号，其稳态输出是与输入同频率的正弦信号，幅值随ω而变，相角也是ω的函数。40不系统的频率特性—频率特性概述系统的频率特性—频率特性概述二、频率响应与频率特性1.频率响应定义：线性定常系统对谐波输入的稳态响应称为频率响应。G(s)Xi(s)Xo(s)根据微分方程解的理论，若对系统输入一谐波信号xi(t)=Xisinωt，系统的稳态输出响应也为同一频率的谐波信号，但幅值和相位发生了变化。系统的频率特性—频率特性概述系统的频率特性—频率特性概述实例分析1系统传递函数：系统输入函数：则：瞬态分量稳态分量系统统的的频频率率特特性性—频率率特特性性概概述述则，，幅幅值值为为：：相位位为为：：由传传递递函函数数可可知知，，-1/T是G(s)的极极点点，，也也是是系系统统微微分分方方程程的的特特征征根根si，由由于于si为负负值值，，所所以以系系统统是是稳稳定定。。随着着时时间间的的推推移移，，当t→→∞∞时，，瞬瞬态态分分量量迅迅速速衰衰减减至至零零，，系统统的的输输出出x0(t)即为为稳稳态态响响应应。。所以以，，系系统统的的稳稳态态响响应应为为：：系统统的的频频率率特特性性—频率率特特性性概概述述显然，频率响应只只是时间响响应的一个个特例。不过，当谐谐波的频率率ω不同时，幅幅值X0(ω)与相位φ(ω)也不同。这这恰好提供供了有关系系统本身特特性的重要要信息。从从这个意义义上说，研究频率响响应或者研研究下面将将要介绍的的频率特性性就是在频频域中研究究系统的特特性。系统的频率率特性—频率特性概概述三、频率特特性与传递递函数的关关系若系统的微微分方程为为：则系统的传传递函数：：输入信号为为谐波信号号：系统输出为为：系统的频率率特性—频率特性概概述若系统无重重极点：则系统的输输出：式中，si为特征根；；Ai、B、B*（B与B*共轭）为待待定系数。。对于稳定系系统而言，，系统的特特征根si均具有负实实部，则上式中中的瞬态分分量，t→∞，将衰减为为零，系统统x0(t)即为稳态响响应，故系系统的稳态态响应为B值由留数定定理：同理，系统的频率率特性—频率特性概概述由B、B*求得系统的的稳态响应应为：故频率特性性为：Ð===)()()()()()(wwjwwwwjGjGXXAio系统的频率率特性—频率特性概概述将G(jω)与G(s)比较不难看看出，G(jω)就是G(s)中的s=jω时的结果，，是ω的复变函数数。显然，，频率特性性的量纲就就是传递函函数的量纲纲，也是输输出信号与与输入信号号的量纲之之比。由于G(jω)是一个复变函数，故可写成实部和虚部之和，即：

式中，u(ω

)是频率特性的实部，称为实频特性；v(ω)是频率特性的虚部，称为虚频特性。四、频率特特性的求法法1.频率响应频频率特性性从x0(t)的稳态项中可得到频频率响应的的幅值和相相位。然后后，按幅频频特性和相相频特性的的定义，就就可分别求求得幅频特特性和相频频特性。由例如：前面的例子稳态响应为：根据频率特性的定义：2.传递函数频频率特性性系统的频率率特性就是是其传递函函数G(s)中用复变量量jω替换s，也称G(jω)为谐波传递递函数。例如：已知传递函函数则频率特性性为因此=∠G(jω)系统的频率率响应为：：3.用试验方法法求解条件：不知道传递递函数或微微分方程等等数学模型型。步骤1：改变输入谐波信信号Xiejωt频率的频率ω，并测出与与此相对应应的输出幅幅值Xo(ω)与相移φ(ω).步骤2：作出幅值值比Xo(ω)/Xi,对频率ω的曲线，此此即幅频特性曲曲线；步骤3：作出相移移φ(ω)对频率ω的曲线，此此即相频特性曲曲线；系统的频率率特性—频率特性概概述4.频率特性的的特点和作作用（1）由当时并且所以即这表明系统统的频率特特性就是单位脉冲响响应的傅立立叶变换。对频率特性性的分析就就是对单位位脉冲响应应函数的频频谱分析。。系统的频率率特性—频率特性概概述时间响应主要用于分分析线性系系统过渡过过程，以获获得系统的的动态特性性，而频率特性分分析则通过分析析不同频率率的谐波输输入时系统统的稳态响响应，获得得系统的动动态特性；；在研究系统统的结构和和参数的变变化对系统统性能的影影响时，在频域中分分析比在时时域中容易易。根据频率率特性，方方便判断系系统稳定性性好稳定性性储备，参参数选择和和系统校正正，使系统统尽可能达达到预期的的性能指标标；对高阶复杂杂线性系统统的性能分分析比较方方便；某些频带干干扰严重时时，采用频频率特性可可以设计出出合适的通通频带，拟拟制噪声的的影响；缺点：系统统非线性产产生的误差差及应用的的局限性(难应用于时时变系统和和多输入-多输出系统统，等等)。系统的频率率特性—频率特性概概述例1图示电路，，设输入端端的电压为为e(t)=Esinωt，求通过电阻阻R的稳态电流流i(t)。解：根据克克希荷夫定定律，有：：故传递函数数为：系统的频率率特性为：：幅频和相频频特性为：：根据频率特特性的定义义有：系统的频率率特性—频率特性概概述例2设输入信号号为x(t)=2sint，测得输出出为y(t)=4sin(t-45˚)，若系统传传递函数如如右式所示示，求该系系统的参数数ξ和ωn。系统的频率率特性为：：幅频和相频频特性为：：系统的频率率特性—频率特性概概述将ω=1及有关已知知条件代入入以上二式式得：将以上二式式联立求解解得：系统的频率率特性第二讲频频率特性的的图示方法法—极坐标图(Nyquist图)系统的频率率特性—Nyquist图一、频率特特性的极坐坐标图概念说明：：极坐标图：：Nyquist图或幅相频频率特性图图。奈奎斯特(N.Nyquist)在1932年提出基于于极坐标图图方法以阐阐述反馈系系统稳定性性的问题。。研究目的：：利用直观曲曲线图形表表达系统频频率特性。。特点：利用图解法法表示幅值值、相角随随输入信号号频率变化化的几何关关系。二、典型环环节的Nyquist图系统的频率率特性—Nyquist图系统的频率率特性—Nyquist图系统的频频率特性性—Nyquist图系统的频频率特性性—Nyquist图系统的频频率特性性—Nyquist图系统的频频率特性性—Nyquist图系统的频频率特性性—Nyquist图小结：频率响应应：线性定常常系统对对谐波输入入的稳态响应应频率特性性：将传递函函数G(s)中的s转换为jw即：G(jw)包括：频率特性性的表示示方法：：(2)图示表示示方法——Nyquist图（极坐坐标图））典型环节节的nyquist图：比例环节节积分环节节微分环节节惯性环节节一阶微分分环节振荡环节节延迟环节节系统的频频率特性性—Nyquist图ω=1/T,U(ω)=V(ω)=-KT/2,｜G(jω)｜=KT/2,∠G(jω)=-900-450系统的频频率特性性—Nyquist图系统的频频率特性性—Nyquist图实例分析析3已知系统统的传递递函数，，试绘制制Nyquist图。系统的频频率特性性为：幅频特性性：相频特性性：Nyquist图总结说说明对如下系统：0型系统（（v=0）＝0：A(0)＝K＝：A()＝0(0)＝0°()＝-(n-m)×90°ReIm＝0K＝n=1n=2n=3n=4

只包含惯性环节(即m=0)的0型系统Nyquist图0I型系统（（v=1）＝0：＝：(0)＝－90°()＝－(n－m)×90°A()＝0A(0)＝ReIm＝0＝n=2n=3n=40n=1m=0II型系统（（v=2）

＝：()＝－(n－m)×90°A()＝0

＝0：(0)＝－180°A(0)＝ReIm＝0＝n=2n=3n=40m=0开环含有有v个积分环环节系统统，Nyquist曲线起自自幅角为为－v90°的无穷远远处。n=m时，Nyquist曲线起自自实轴上上的某一一有限远远点，且且止于实实轴上的的某一有有限远点点。n>m时，Nyquist曲线终点点幅值为为0，而相角角为－(n－m)×90°。＝n-m=1n-m=2n-m=3n-m=4ReIm0系统的频频率特性性—Nyquist图若系统的的频率特特性为：：绘图讨论论：其Nyquist图的一般般形状为为：(1)当ω＝0时对0型系统，，|G(jω)|＝K，∠G(jω)＝0，Nyquist起始点是是一个正正实轴上上有有限限值的点点。对Ⅰ型系统，，|G(jω)|＝∞，，∠G(jω)＝－90，在低频频段，Nyquist渐进于与与负虚轴轴平行的的直线。。对Ⅱ型系统，，|G(jω)|＝∞，，∠G(jω)＝－180，在低频频段，G(jω)负实部是是比虚部部阶数更更高的无无穷大。。系统的频频率特性性—Nyquist图(2)当ω＝∞时时对0型、Ⅰ型、Ⅱ型系统，，|G(jω)|＝const，∠G(jω)＝(m－n)×90。;要熟记课课本131-133页常见Nyquist图。(4)当G(s)中含义导导前环节节时，若若由于相相位非单单调下降降，则Nyquist曲线将发发生弯曲曲。(3)当G(s)中含义振振荡环节节时，不不改变上上述结论论。要熟记课课本137-139页常见Nyquist图。系统的频频率特性性第三讲频频率特特性的图图示方法法—对数坐标标图(Bode图)对数坐标标图的坐坐标约定定：两张图的的纵坐标标均按线性性分度，横坐标标是频率ω，采用对数(lgω)分度，但但在坐标标标注时时是标其真数数ω，故横坐标标无零点点。1到10的距离等等于10到100的距离，，这个距距离表示示10倍频程，，用dec表示。系统的频频率特性性—Bode图一、对对数坐坐标图图对数坐坐标图图的组组成：：对数幅频特特性图，它的纵坐坐标为20lg|G|，单位是分分贝，用符符号dB表示。对数相频特性图图，它的纵坐标标为()。一个十倍频频程一个十倍频频程1-1020.1110100w系统的频率率特性—Bode图对数坐标图图的优势：：可将串联环环节的幅频特性性乘除运算算转变为加加减运算。。对系统作近近似分析时时，只需画画出对数幅幅频特性曲曲线的渐近近线，大大大简化了图图形的绘制制。可分别作出出各个环节节的Bode图，然后用用迭加方法法得到系统统的Bode图。并由此看看出各个环环节对系统统总特性的的影响。因横坐标采采用对数分分度，所以以能把较宽宽频率范围围的图形紧紧凑地表示示出来。简化计算和和作图有利于凸现现低频特性性系统的频率率特性—Bode图二、典型环环节的Bode图（1）比例环节节对数幅频特特性为：对数相频特特性为：频率特性：：当K值改变时，，对数幅频频特性上下下移动，相相频特性不不变。系统的频率率特性—Bode图60①G(s)=1s100.2210.1L(ω)dBω0dB2040-40-2020100[-20dB/dec][-20dB/dec][-20dB/dec]②G(s)=10s1③

G(s)=5s90000-900相角均为-900是一条直线线，斜率-20dB/dec积分环节对对数频率特特性曲线61

对数曲线求求斜率ωL(ω)dB0dBabLaLbωaωb斜率=对边邻边=La-Lbωa-ωb×lgωa-lgωb62

例：求交接频率率(幅值穿越频频率)ωcωc=0.4L(ω)dBω0dB-7.96-21.94ωc15斜率=-7.96lg1∴∵ω=1时,则有令=1得：–(-21.94)–lg5L(1)=-7.96=20lgk,∴k=0.4系统的频率率特性—Bode图系统的频率率特性—Bode图（4）惯性环节节频率特性为为：对数幅频特特性为：幅频特性为为：相频特性为为：若令(称为转角频率)则当ω<<ωT所以，对数数幅频特性性在低频段段近似为0dB水平线，它止于点(ωT，0)，0dB线称低频渐近线线所以，对数数幅频特性性在高频段段近似为一一直线，始于点(ωT，0)，斜率为－－20dB/dec，称为高频渐近线线。当ω>>ωT显然，ωT=1/T为低频渐近近线和高频频渐近线的的交点频率率，称为转角频率。系统的频率率特性—Bode图根据上述分分析可画出出惯性环节节对数幅频频特性Bode图如下：从图中可以以看出,惯性环节有有低通频滤波波的特性。当当输入频率率ω〉ωT时，其输出出很快衰减减，即滤掉掉输入信号号的高频部部分。在低低频段，输输出能较准准确地反映映输入。对数相频特特性为：因此，惯性性环节的对对数相频特特性Bode图如下:对称于点（（-450,ωT）系统的频率率特性—Bode图根据上述分分析可画出出Bode图如下：系统的频率率特性—Bode图惯性环节Bode图精确曲线线图：系统的频率率特性—Bode图惯性环节的的误差修正正曲线(0.1ωT~10ωT)：误差计算公式为：低频段：高频段：系统的频率率特性—Bode图从图中可以以看出，最大误差发发生在转角角频率ωT处，其误差差为-3dB；在2ωT或ωT/2的频率出，，e(ω)为-0.91dB，即约为-1dB，而在10ωT或ωT/10的频率处，，e(ω)就接近于0dB，因此可以在(0.1ωT~10ωT)范围内对渐渐近线进行行修正。系统的频率率特性—Bode图（5）一阶微分分环节(导前环节））频率特性为为：与与惯性性环节互为为倒数若令则对数幅频特特性为：相频特性为为：显然，它与与惯性环节的对数幅频频特性和相相频特性比比较，仅相差一个个符号。所以一阶微微分环节的的对数频率率特性与惯惯性环节的的对数频率率特性呈镜像关系系对称于ω轴。系统的频率率特性—Bode图导前环节的的Bode图(精确曲线)：系统的频率率特性—Bode图（6）振荡环节节传递函数为为：频率特性为为：幅频特性为为：相频特性为为：系统的频率率特性—Bode图系统的频率率特性—Bode图与惯性环节节类似，渐渐近线和精精确曲线之之间有误差差e(λ,ξ)，不不仅仅与与λ有关关，，而而且且与与ξ有关关。。ξ越小小，，λ=1处或或其其附附近近的的峰峰值值越越高高，，精精确确曲曲线线与与渐渐近近线线之之间间的的误误差差越越大大。。误差计算方法：当λ≤1时，有：当λ≥1时，有：误差差修修正正曲曲线线78

夸张张图图形形L(ω)ω0dB[-40]L(ω)ω0dB[-40]L(ω)ω0dB[-40]L(ω)ω0dB[-40]ω=r1.25dB系统统的的频频率率特特性性—Bode图振荡荡环环节节的的谐谐振振频频率率当时ξ

越小，ωr

越接近ωn

；ξ

增大，ωr

离ωn

的距离就增大。

在ωr=ωn

处，谐振峰值为：误差差振振荡荡环环节节Mr-ξξ关系系曲曲线线系统统的的频频率率特特性性—Bode图（7）二二阶阶微微分分环环节节（（与与二二阶阶振振荡荡环环节节成成倒倒数数关关系系））所以以，，其其Bode图与与二二阶阶振振荡荡环环节节的的Bode图对对称称于于频频率率轴轴传递递函函数数：：频率率特特性性：：对数数幅幅频频特特性性为为：：对数数相相频频特特性性为为：：系统统的的频频率率特特性性—Bode图二阶阶微微分分环环节节Bode图相频频曲曲线线的的位位置置与与ξ大小小有有关关，，曲曲线线中中蓝蓝色色线线ξ小。。系统统的的频频率率特特性性—Bode图对数数相相频频特特性性为为：：频率率特特性性：：对数数幅幅频频特特性性为为：：（8）延延时时环环节节传递递函函数数：：延时时环环节节相相频频特特性性系统统的的频频率率特特性性—Bode图典型型环环节节Bode图比比较较：：-20dB/dec20dB/dec40dB/dec-40dB/dec积分分环环节节微分分环环节节惯性性环环节节导前前环环节节振荡荡环环节节二阶阶微微分分环环节节系统统的的频频率率特特性性—图示示方方法法三、、绘绘制制系系统统Bode图的的步步骤骤1.环节节曲曲线线叠叠加加法法将G(s)转化化为为若若干干个个标标准准形形式式的的环环节节的的传传递递函函数数的的乘乘积积形形式式；；求G(jω)；确定定各各环环节节转转角角频频率率（（惯惯性性、、一一阶阶微微分分、、振振荡荡和和二二阶阶微微分分））；；作出出各各环环节节的的对对数数幅幅频频特特性性的的渐渐近近线线；；根据据误误差差曲曲线线进进行行修修整整（（必必要要时时））；；各环环节节的的对对数数幅幅频频特特性性曲曲线线叠叠加加（（不不包包括括系系统统总总的的增增益益K）；将叠加加后的的曲线线整体体垂直直移动动20lgK；作出各各环节节的对对数相相频特特性曲曲线，，然后后叠加加；如有延延时环环节，，对数数幅频频特性性不变变，对对数相相频特特性则则加上上－τω。系统的的频率率特性性—Bode图系统的的频率率特性性—图示方方法实例分分析1绘制系系统对对数幅幅频特特性曲曲线：：（1）将系系统传传递函函数标标准化化系统频频率特特性：：系统由由5个环节节组成成，比比例环环节（（K＝7.5）、导导前环环节（（时间间常数数为1/3）、积积分环环节、、一阶阶惯性性环节节（时时间常常数为为1/2）和振振荡环环节（（时间间常数数为2－1/2）组成成。方法1：先分别别作出出五个个环节节的对对数幅幅频特特性的的渐近近线，，然后后叠fndnfdg加，即即可。。方法2：(1)分别在在横轴轴上标标出三三个转转角频频率;(2)包含一一个积积分环环节，，找出出横坐坐标为为w＝1，纵坐坐标为为20lg(7.5)＝17.5dB的点，，过该该点作作斜率率为－－20dB/dec的直线线;(3)再做中中频段段的对对数幅幅频特特性的的渐近近线.（2）识别别低频频段因因子L（ω）斜率率为-20dB/dec（3）识别别中高高频段段因子子例：由由对数数幅频频曲线线识别别系统统参数数1）环节节识别别（1）确定定转折折频率率2）确定定增益益KK=100含-20-40-20-40系统的的频率率特性性—频率特特性和和相位位系统统五、频频率特特性的的特征征量1.零频幅幅值A(0)2.复现频频率ωM与复现现带宽宽0～ωMω→0时闭环环系统统输出出与输输入幅幅值之之比，，反映映系统统稳态态误差差和稳稳态精精度。。在频率率极低低时，，对单单位反反馈系系统而而言，，若输输出幅幅值能能完全全准确确地反反映输输入幅幅值，，则A(0)=1。A(0)越接近近1，系统统的稳稳态误误差越越小。。所以以A(0)的数制制与1相差的的大小小，反反映了了系统统的稳稳态精精度。。若事先先规定定一个个Δ作为反反映低低频输输入信信号的的允许许误差差，那那么，，ωM就是幅幅频特特性值值与A(0)的差第第一次次达到到Δ时的频频率值值，成成为复复现频频率。。当频频率超过ωM，输出就就不能能“复现”输入，所以以0～ωM表征复复现低低频输输入信信号的的频带带宽度度，称称为复复现带带宽。。系统的的频率率特性性—频率特特性和和相位位系统统3.谐振频频率ωr及相对对谐振振峰值值Mr(Amax/A(0))4.截止频频率ωb和截止止带宽宽0~ωb幅频特特性A(ω)出现最最大值值Amax时的频频率称称为谐振频频率ωr。ω=ωr时的幅幅值A(ωr)=Amax与ω=0时的幅幅值A(0)之比Amax/A(0)称为谐振比比或相相对谐谐振峰峰值Mr。Mr反映了了系统统的相相对稳稳定性性。Mr越大，，系统统阶跃跃响应应的超超调量量也最最大，，这就就意味味着系系统的的平稳稳性较较差。。幅频特特性A(ω)的数值值由A(0)下降3dB时的频频率，，亦即即A(ω)由A(0)下降到到0.707A(0)时的频频率成成为系系统的的截止止频率率ωb。频率率0~ωb的范范围围成成为为系系统统的的截截止止带带宽宽或或带带宽宽。。它它表表示示超超过过此此频频率率后后，，输输出出就就急急剧剧衰衰减减，，跟跟不不上上输输入入，，形形成成系系统统响响应应的的截截止止状状态态。。系统统的的频频率率特特性性—频率率特特性性和和相相位位系系统统六、、最最小小相相位位和和非非最最小小相相位位系系统统（1）基基本本定定义义：：最小小相相位位传传递递函函数数：：在右右半半s平面面内内既既无无极极点点也也无无零零点点的的传传递递函函数数。。非最最小小相相位位传传递递函函数数：：在右右半半s平面面内内有有极极点点也也或或有有零零点点的的传传递递函函数数。。最小小相相位位系系统统：：具有有最最小小相相位位传传递递函函数数的的系系统统。。非最最小小相相位位系系统统：：具有有非非最最小小相相位位传传递递函函数数的的系系统统。。系统统的的频频率率特特性性—频率率特特性性和和相相位位系系统统对于于稳稳定定系系统统而而言言，，在在具具有有相相同同幅幅值值特特性性的的系系统统中中，，最最小小相相位位传传递递函函数数（（系系统统））的的相相角角范范围围，，在在所所有有这这类类系系统统中中是是最最小小的的。。任任何何非非最最小小相相位位传传递递函函数数的的相相角角范范围围，，都都大大于于最最小小相相位位传传递递函函数数的的相相角角范范围围。。根据据传传递递函函数数和和零零极极点点分分布布分分析析系系统统。。系统统的的频频率率特特性性—频率率特特性性和和相相位位系系统统对于于稳稳定定系系统统：：（2）系系统统稳稳定定性性与与相相位位变变化化关关系系：：T1，T2，…Tn均为为正正值值，，τ1，τ2，…，τm可正正可可负负，，而而最小小相相位位系系统统的的τ1，τ2，…，τm均为为正正值值。。从而而有有：：非最最小小相相位位系系统统若若有有q个零零点点在在[s]平面面的的右右半半平平面面，则则有有：系统统的的频频率率特特性性—频率率特特性性和和相相位位系系统统由于于ω是从从0变化化到到+∞∞，比比较较以以上上二二式式可可知知，，稳稳定定系系统统中中最最小小相相位位系系统统的的相相位位变变化化范范围围最最小小。。实例例分分析析2中相相频频特特性性曲曲线线如如下下：：最小小相相位位系系统统和非最最小小相相位位系系统统的相相频频特特性性。。例：：有2个系系统统，，开开环环传传递递函函数数分分别别为为解：：则两两个个系系统统的的幅幅频频特特性性相相同同,相频频特特性性却却不不同同：：w)(wj°0°-90)(1wjdecdB/20-)(2wjw°-45最小小相相位位系系统统的的相相角角变变化化小小于于非非最最小小相相位位系系统统．．分析析哪哪