上的一致收敛性Chap10课件

Chap10

函数列与函数项级数Chap10函数列与函数项级数

Chap10―1

一致收敛性Chap10―1一致收敛性一、基本问题对函数列{fn(x)},xX.若{fn(x0)}收敛,则称x0为收敛点否则称之为发散点.收敛点的全体D称为收敛域.定义1设{fn(x)}的收敛域为D,且xD:则称{fn(x)}在D上(点态)收敛,f(x)称为极限函数,记为一、基本问题对函数列{fn(x)},xX.若{fn(x－N叙述：定义2设{un(x)}为函数列,

称为函数项级数.称为其部分和函数.若则称在D上(点态)收敛.S(x)称为和函数，记为即－N叙述：定义2设{un(x)}为函数列,称为函

问题

极限函数f(x)(和函数S(x))

能否保持fn(x)

(un(x))的“连续性、可导性、可积性”等分析性质？例1考察函数列的极限函数在[0,1]上的连续性.例2设考察其极限函数的导数及导数函数列的极限函数.例3设考察其极限函数的积分及其积分的极限.问题极限函数f(x)(和函数S(x))能否保持二、一致收敛定义3设{fn(x)}为函数列,

若存在f(x)使则称{fn(x)}在D上一致收敛于f(x),记为

若则D1D:

若则反之不然.二、一致收敛定义3设{fn(x)}为函数列,若存在f

fn(x)在D上不一致收敛的肯定叙述:不一致收敛判别法：

或者{fn(x)}在D上不点态收敛；

或者虽但{fn(x)}不一致收敛于f(x),即fn(x)在D上不一致收敛的肯定叙述:不一致收敛判别法：例4说明在(0,+)上不一致收敛.例5讨论在D上的一致收敛性.(1)D=[1,+);(2)D=[0,1].例4说明在(0,+)上不一致收敛.例5讨论在D上的三、一致收敛的判别定理(Cauchy一致收敛准则)

{fn(x)}在D上一致收敛

思考在D上一致收敛的Cauchy准则？

结论若在D上一致收敛，则有三、一致收敛的判别定理(Cauchy一致收敛准则){fn定理(确界极限)定理(点列极限)例6讨论在[0,+)上的一致收敛性.注极限函数(和函数)难确定,常用Cauchy准则!极限函数(和函数)易计算,常用定义或确界极限！常用点列极限判断不一致收敛！定理(确界极限)定理(点列极限)例6讨论在[0,+命题设un(x)

C[a,b],且在(a,b)内一致收敛,则在[a,b]上收敛，且思考函数列的对应形式？一致收敛.例7证明函数项级数在(1,+)上收敛,但不一致收敛.命题设un(x)C[a,b],且在(a,b)内一定义4

设D为区间,若对闭区间I

D,{fn(x)}总在I上一致收敛,则称{fn(x)}在D上内闭一致收敛.结论设{fn(x)}在(a,b)内闭一致收敛,则{fn(x)}在(a,b)点态收敛.又问{fn(x)}在(a,b)必定一致收敛吗？例8考察在(0,1)的一致收敛性和内闭一致收敛性.四、内闭一致收敛定义4设D为区间,若对闭区间ID,{fn(x

Chap10―2一致收敛性判别法Chap10―2一致收敛性判别法定理(WeierstrassM-判别法)

设nN,xD:且收敛,则在D上一致收敛

优级数：

绝对一致收敛：一致收敛！例1判断在[0,1]上的一致收敛性定理(WeierstrassM-判别法)设nN,定理(A-D判别法)设{un(x)},{vn(x)}满足下列两组条件之一：则在D上一致收敛.(Abel)xD,{vn(x)}单调,且在D上一致有界,(Dirichlet)在D上一致收敛;xD,{vn(x)}单调,且在D上一致趋于0,的{Sn(x)}在D上一致有界.定理(A-D判别法)设{un(x)},{vn(x)}满足下例2判断在[0,1]上的一致收敛性例3判断在[0,+)上的一致收敛性例2判断在[0,1]上的一致收敛性例3判断在[0,

Chap10―3一致收敛函数列、函数项级数的性质Chap10―3一致收敛函数列、函数项定理(连续性)设fn(x)C(D),且,则f(x)C(D).

等价形式

函数项级数若un(x)C(D),且一致收敛(或内闭一致收敛)于S(x),则S(x)C(D).

逆否命题若fn(x)C(D),且,但,则{fn(x)}在D上不一致收敛.定理(连续性)设fn(x)C(D),且,则f(例1讨论在R上的一致收敛性

思考在fn(x)C(D)的前提下,逆命题成立否？

反例考察在[0,1]上的情形.例1讨论在R上的一致收敛性思考在fn(x)C(D定理(积分号下取极限)设fn(x)C[a,b],且,则

注用到连续性定理:f

C[a,b],从而fR[a,b]！推论(逐项可积性)设un(x)C[a,b],且在[a,b]上一致收敛,则定理(积分号下取极限)设fn(x)C[a,b],且定理(微分号下取极限)设fn(x)C[a,b],且{fn(x)}一致收敛,则f(x)C[a,b],又推论(逐项可微性)设满足：(2)un(x)C[a,b]；在[a,b]上一致收敛.则S(x)C[a,b]定理(微分号下取极限)设fn(x)C[a,b],例4设(1)求f(x)的定义域D;(2)证明在D上不一致收敛;(3)证明f(x)C(D);(4)证明在D内可逐项求导,且导函数连续.在(1,+)上收敛,但不一致收敛.例3已证现记其和函数为f(x),证明:fC(1,+).例4设(1)求f(x)的定义域D;(2)证明

Chap10小结Chap10小结一、一致收敛判别法

定义法Cauchy一致收敛准则

确界极限一、一致收敛判别法定义法Cauchy一致收敛准则确界极

命题设fn(x)C[a,b],且则WeierstrassM判别法(函数项级数)且收敛一致收敛AD判别法(函数项级数)在(a,b)内一致收敛,在[a,b]上一致收敛.命题设fn(x)C[a,b],且则Weiers二、不一致收敛判别法

结论不点态收敛不一致收敛Cauchy不一致收敛准则

点列极限二、不一致收敛判别法结论不点态收敛不一致收敛Cau

命题设un(x)C[a,b),且发散,则

一致收敛的必要条件不一致收敛

连续性定理逆否命题在(a,b)内不一致收敛.fn(x)C(D),且f(x)C(D)命题设un(x)C[a,b),且发散,则一致

Chap10

函数列与函数项级数Chap10函数列与函数项级数

Chap10―1

一致收敛性Chap10―1一致收敛性一、基本问题对函数列{fn(x)},xX.若{fn(x0)}收敛,则称x0为收敛点否则称之为发散点.收敛点的全体D称为收敛域.定义1设{fn(x)}的收敛域为D,且xD:则称{fn(x)}在D上(点态)收敛,f(x)称为极限函数,记为一、基本问题对函数列{fn(x)},xX.若{fn(x－N叙述：定义2设{un(x)}为函数列,

称为函数项级数.称为其部分和函数.若则称在D上(点态)收敛.S(x)称为和函数，记为即－N叙述：定义2设{un(x)}为函数列,称为函

问题

极限函数f(x)(和函数S(x))

能否保持fn(x)

(un(x))的“连续性、可导性、可积性”等分析性质？例1考察函数列的极限函数在[0,1]上的连续性.例2设考察其极限函数的导数及导数函数列的极限函数.例3设考察其极限函数的积分及其积分的极限.问题极限函数f(x)(和函数S(x))能否保持二、一致收敛定义3设{fn(x)}为函数列,

若存在f(x)使则称{fn(x)}在D上一致收敛于f(x),记为

若则D1D:

若则反之不然.二、一致收敛定义3设{fn(x)}为函数列,若存在f

fn(x)在D上不一致收敛的肯定叙述:不一致收敛判别法：

或者{fn(x)}在D上不点态收敛；

或者虽但{fn(x)}不一致收敛于f(x),即fn(x)在D上不一致收敛的肯定叙述:不一致收敛判别法：例4说明在(0,+)上不一致收敛.例5讨论在D上的一致收敛性.(1)D=[1,+);(2)D=[0,1].例4说明在(0,+)上不一致收敛.例5讨论在D上的三、一致收敛的判别定理(Cauchy一致收敛准则)

{fn(x)}在D上一致收敛

思考在D上一致收敛的Cauchy准则？

结论若在D上一致收敛，则有三、一致收敛的判别定理(Cauchy一致收敛准则){fn定理(确界极限)定理(点列极限)例6讨论在[0,+)上的一致收敛性.注极限函数(和函数)难确定,常用Cauchy准则!极限函数(和函数)易计算,常用定义或确界极限！常用点列极限判断不一致收敛！定理(确界极限)定理(点列极限)例6讨论在[0,+命题设un(x)

C[a,b],且在(a,b)内一致收敛,则在[a,b]上收敛，且思考函数列的对应形式？一致收敛.例7证明函数项级数在(1,+)上收敛,但不一致收敛.命题设un(x)C[a,b],且在(a,b)内一定义4

设D为区间,若对闭区间I

D,{fn(x)}总在I上一致收敛,则称{fn(x)}在D上内闭一致收敛.结论设{fn(x)}在(a,b)内闭一致收敛,则{fn(x)}在(a,b)点态收敛.又问{fn(x)}在(a,b)必定一致收敛吗？例8考察在(0,1)的一致收敛性和内闭一致收敛性.四、内闭一致收敛定义4设D为区间,若对闭区间ID,{fn(x

Chap10―2一致收敛性判别法Chap10―2一致收敛性判别法定理(WeierstrassM-判别法)

设nN,xD:且收敛,则在D上一致收敛

优级数：

绝对一致收敛：一致收敛！例1判断在[0,1]上的一致收敛性定理(WeierstrassM-判别法)设nN,定理(A-D判别法)设{un(x)},{vn(x)}满足下列两组条件之一：则在D上一致收敛.(Abel)xD,{vn(x)}单调,且在D上一致有界,(Dirichlet)在D上一致收敛;xD,{vn(x)}单调,且在D上一致趋于0,的{Sn(x)}在D上一致有界.定理(A-D判别法)设{un(x)},{vn(x)}满足下例2判断在[0,1]上的一致收敛性例3判断在[0,+)上的一致收敛性例2判断在[0,1]上的一致收敛性例3判断在[0,

Chap10―3一致收敛函数列、函数项级数的性质Chap10―3一致收敛函数列、函数项定理(连续性)设fn(x)C(D),且,则f(x)C(D).

等价形式

函数项级数若un(x)C(D),且一致收敛(或内闭一致收敛)于S(x),则S(x)C(D).

逆否命题若fn(x)C(D),且,但,则{fn(x)}在D上不一致收敛.定理(连续性)设fn(x)C(D),且,则f(例1讨论在R上的一致收敛性

思考在fn(x)C(D)的前提下,逆命题成立否？

反例考察在[0,1]上的情形.例1讨论在R上的一致收敛性思考在fn(x)C(D定理(积分号下取极限)设fn(x)C[a,b],且,则

注用到连续性定理:f

C[a,b],从而fR[a,b]！推论(逐项可积性)设un(x)C[a,b],且在[a,b]上一致收敛,则定理(积分号下取极限)设fn(x)C[a,b],且定理(微分号下取极限)设fn(x)C[a,b],且{fn(x)}一致收敛,则f(x)C[a,b],又推论(逐项可微性)设满足：(2)un(x)C[a,b]；在[a,b]上一致收敛.