《物理电路章》课件

第六章正弦稳态电路分析6-1正弦量的基本概念6-2正弦量的相量表示6-3单一元件的电流电压关系6-4相量法分析正弦稳态电路6-5相量图法分析正弦稳态电路6-6正弦稳态电路中的功率6-7正弦稳态电路中的谐振第六章正弦稳态电路分析6-1正弦量的基本概6-1正弦量的基本概念所谓正弦交流电，一般指随时间按正弦规律周期性变化的电压、电流，并把它们统称为正弦量。用小写字母u、i表示。一、正弦量的三要素正弦量用三角函数表示：i=Imsin(ωt+φi)u=Umsin(ωt+φu)称为幅值或最大值称为角频率称为初相位或初相角角频率、幅值和初相位描述正弦量变化的快慢、最大值及初始位置三个方面的特征，是确定正弦量的三要素。ImUmωωφiφu正弦量用波形图表示6-1正弦量的基本概念所谓正弦交流电，一般指随时间按正弦1．周期（频率）与角频率正弦量变化一次所需要的时间称为周期T，单位为秒（s）。每秒时间内重复变化的次数，称为频率f,单位为赫兹（Hz），频率为周期的倒数，即f=1/T。正弦量每秒时间内变化的弧度称为角频率ω，单位为弧度/秒（rad/s）。T、f和ω都能反映正弦量变化的快慢，三者的关系为

ω=2π/T=2πf三者之间只要知道其中一个，就可求出其它两个。1．周期（频率）与角频率正弦量变化一次所需要的时间称为周期T2．瞬时值与有效值正弦量在每一瞬间的数值称为瞬时值，用u、i表示。最大的瞬时值称为幅值或最大值，用Um、Im表示。瞬时值和最大值是指正弦量某一瞬间的数值，不能用来表示正弦量的大小。正弦量的大小工程上规定用有效值I表示,它是根据正弦电流和直流电流的热效应相等来规定的。周期变化交流电有效值:正弦量的有效值

I==0.707Im

U==0.707Um=假定在相同时间T内2．瞬时值与有效值正弦量在每一瞬间的数值称为瞬时值，用u、i3．相位与初相位正弦量随时间变化的电角度(ωt+φ)称为相位或相位角，代表了正弦交流电的变化进程。t=0时的相位称为初相位或初相角，用φ表示。φ的大小和符号决定了正弦量计时起点和初始值。

φ=00＜φ＜(π+2nπ)-(π+2nπ)＜φ＜0初始值为零，称参考正弦量。初始值为正初始值为负3．相位与初相位正弦量随时间变化的电角度(ωt+φ)称为相位二、正弦量的相位差任意两个同频率的正弦量在相位上的差值称为相位差，用字母φ表示。例如，u=Umsin(ωt+φu)，i=Imsin(ωt+φi)，

φ=(ωt+φu)-(ωt+φi)=φu-φi。相位差等于两个同频率正弦量初相位之差，其物理意义在于表示两个同频率正弦量随时间变化步调上的先后。φ=0φu-i>0或φi-u<0φ=180°φ=-90°同相超前或滞后反相正交二、正弦量的相位差任意两个同频率的正弦量在相位上的差值称为相6-2正弦量的相量表示用三角函数式和波形图表示正弦量来分析和计算正弦交流电路都很不方便。工程中常采用相量图和相量式表示正弦量，这种表示方法称为正弦量的相量表示法。一、相量图法1.相量图的画法相量图就是用一个有向线段来表示正弦量，如i

=Imsin(ωt+φ)，该有向线段称为相量。i(t)t6-2正弦量的相量表示用三角函数式和波形图表示正弦量来2.相量的加减运算例1：计算图中相量I1+I2、I1+I2+I3和、I1-I2+I3。

解：方法一，平行四边形法则;

方法二，多边形法则。2.相量的加减运算例1：计算图中相量I1+I2、I1+I二、相量式法用复数式表示相量(正弦量)的方法称为正弦量相量式表示法，简称相量式法。⒈相量式的四种形式代数式三角式指数式极坐标式四种表示方法可以互换二、相量式法用复数式表示相量(正弦量)的方法称为正2.90°旋转因子(j)任意一个相量×j有任意一个相量÷j有j称为90°旋转因子注意：相量仅仅是用来表示正弦量的一种方法，两者有一一对应关系，但正弦量不等于相量。用相量表示正弦量是一种数学变换，只适用于同频率的正弦量。2.90°旋转因子(j)任意一个相量×j有例2：指出下列各式的错误，写出其正确的表达式。

⑴i=5sin(ωt-30°)=5e-j30°A

⑵U=100ej45°=1002sin(ωt+45°)V

⑶I=10∠30°A

⑷I=20e20°A解：⑴有错,I=5e-j30°A

⑵有错,

U=100ej45°

u=1002sin(ωt+45°)V⑶有错,I=10∠30°A⑷有错,I=20ej20°Am例2：指出下列各式的错误，写出其正确的表达式。

⑴例3：已知I=2∠-60°A，试求3I、jI、I/j，并画出相量图。解：3I=3×2∠-60°=6∠-60°A

jI=1∠90°×2∠-60°=2∠30°A

I/j=(2∠-60°)/(1∠90°)=2∠-150°A例3：已知I=2∠-60°A，试求3I、jI、I/j，并画例4：试写出u1＝2202sin(314t-150°),u2＝-2202

sin(314t-30°)，的相量式。并计算u1+u2、u1×u2。解：例4：试写出u1＝2202sin(314t-150°),6-3单一元件的电流电压关系

在电路中只有R、L、C其中某一元件，则称电路为单一元件的电路。一、电阻元件的电流电压关系设i=Imsinωt(参考正弦量）瞬时值关系：相位关系：u与i同相位大小关系：相量关系：电流电压同相，瞬时值、大小、相量均遵循欧姆定律6-3单一元件的电流电压关系在电路中只有R、二、电感元件的电流电压关系设i=Imsinωt(参考正弦量）瞬时值关系：u=ωLImcosωt=Umcosωt=Umsin(ωt+90°)相位关系：u超前i90度大小关系：相量关系：

XL=ωL=2πfL(感抗)电感在直流电路中f=0，XL=0，可视为短路。当把带线圈的交流设备接入直流电路，会产生短路事故。二、电感元件的电流电压关系设i=Imsinωt(参考正弦量三、电容元件的电流电压关系设u=Umsinωt(参考正弦量）瞬时值关系：i=ωCUmcosωt=Imcosωt=Imsin(ωt+90°)相位关系：i超前u

90度大小关系：相量关系：电容在直流电路中f=0，XC=∞，可视为开路。三、电容元件的电流电压关系设u=Umsinωt(参考正弦量例1：以下各式对电感电路是否成立？不能成立，请说明原因。解：⑴有错,uL=L

⑵有错,=XL

⑶有错,I=⑷对(5)有错,=ωLUIUI例1：以下各式对电感电路是否成立？不能成立，请说明原因。解：例2：以下各式对电容电路是否成立？不能成立，请说明原因。解：⑴有错,U=IXC

⑵有错,=-jXC

⑶有错,I=UωC⑷有错,I=jUωC(5)对UI例2：以下各式对电容电路是否成立？不能成立，请说明原因。解：6-4相量法分析正弦稳态电路由于电路的激励是正弦量，其响应都是同频率的正弦量可以用相量表示，而电感和电容可以用感抗和容抗表示，引入相量后，电路的基本定律可以用相量形式表示。对时域正弦稳态电路的分析可以转换为对频域相量模型的分析。时域正弦稳态电路动态元件上电流电压的微分（或积分）关系可以用相量表示成频域的代数关系，使电路的分析更为方便，这种频域下正弦稳态电路的分析方法就是所谓的相量法。6-4相量法分析正弦稳态电路由于电路的激励是正弦量，其响一、电路基本定律和基本公式的相量形式阻抗与导纳，欧姆定律的相量形式当电流电压为关联参考方向时，R、L、C三个元件电流电压关系的相量形式为Z称为元件的复阻抗(是复数)

，是正弦稳态电路负载的总称，Z的倒数称为复导纳Y,Z、Y分别定义为(单位：Ω)(单位：西门子S)欧姆定律的相量形式

一、电路基本定律和基本公式的相量形式阻抗与导纳，欧姆定律的相2.基尔霍夫定律的相量形式

时域电路模型相量模型对时域电路模型，根据基尔霍夫电压定律有u-uR-uL-uC=0则在对应的相量模型中应满足U-UR-UL-UC=0同理基尔霍夫电流定律对电流相量也成立2.基尔霍夫定律的相量形式时域电3.相量模型的基本计算公式

对时域正弦稳态电路的分析转换为对频域相量模型的分析时，只需将直流电路中的U、I、R→、、Z，则直流电路的一般分析方法都可转换为相量模型的分析方法。基本计算公式式中正、负号由参考方向决定。3.相量模型的基本计算公式对时域正弦稳态电二、R、L、C串联电路的分析1.电压与电流关系Z==R+j(XL-XC)=R+jX=|Z|∠φ

X=XL-XC称为电抗，表示电感和电容共同作用于电路的结果。当X>0，电路中电感的作用大于电容；当X<0，电容的作用大于电感，X可正，可负，XL、XC始终大于零。

当电路中RLC三元件同时存在时，其等效复阻抗Z的实部为电路的电阻R，虚部为电抗

X=(XL－XC）。

U

I二、R、L、C串联电路的分析1.电压与电流关系UI2.电压三角形和阻抗三角形选电流为参考相量作出电路的相量图电压三角形三个边关系为

U==I=I｜Z｜｜Z｜==φ角称为阻抗角，又是u与i的相位差φ与电路中电压和电流的大小无关，只与电路的参数R、L、C及电源的频率有关。2.电压三角形和阻抗三角形选电流为参考相量作出电路的相量图φ3.电路的性质根据φ角的不同取值，可将电路划分为三种性质。电感性电容性电阻性φ>0φ>0φ=0u超前iu滞后iui同相XL＞XC

XL＜XC

XL=XC

UL＞UC

UL＜UC

UL=UC3.电路的性质根据φ角的不同取值，可将电路划分为三三、相量法应用举例例1：已知US=40∠0°，求电路的I、IC、IL并确定电路性质。解：电路入端阻抗为：

Z1=1.5ΩZ2=j1ΩZ3=1-j2ΩZ=Z1+

Z2//

Z3

电路中电流：由计算结果可知:φ=36.9°>0,电路为感性，u超前i

。IL＞I，这在直流电路是不会发生的。

+12°Ð=+=-+=9.365.25.12j115.1jj°A-Ð=°Ð°Ð==··9.36169.365.2040SZUI°A-Ð=-=···3.553.25CLIII三、相量法应用举例例1：已知US=40∠0°，求电路的I、I例2：已知RLC并联电路中R=10,L=48mH,C=397μF。电

源U=120V,f=50Hz,求电流IR、IL、IC及i并画相量图，说明电路性质。解：设I=IR+IL+IC=12+j7=13.9∠30.3°Aφ=电路为容性-30.3°电流三角形(直角)例2：已知RLC并联电路中R=10,L=48mH,C=397例3：在图示的正弦稳态电路中，已知US1=110V，US2=100V，二者同相，求支路电流I1、I2、I3。解：用节点法求解，设b为参考点

Z1=1+j4ΩZ2=2ΩZ3=6-j6Ω

例3：在图示的正弦稳态电路中，已知US1=110V，US26-5相量图分析正弦稳态电路用相量法分析电路的过程是利用相量，采用分析电路的基本方法，列出相量式求解相量的过程。适合于该方法的电路特点是已知激励相量（或物理量的相量）和电路参数，求电路响应。当电路中各物理量的相位关系明确，用相量法分析电路比较方便。当电路中各物理量的相位关系不十分明确时，用相量法分析电路，过程比较复杂，而采用相量图法分析电路，会使分析较为方便。所谓相量图法是利用相量图中各物理量的几何关系分析电路的一种方法。6-5相量图分析正弦稳态电路用相量法分析电路的过程是利用一、常用的相量图1.串联电路电压、阻抗三角形2.并联电路电流、导纳三角形一、常用的相量图1.串联电路电压、阻抗三角形二、应用举例例1：试求图中A0和V0。解：利用相量三角形计算(a)A0=14.1A(b)V0=80V(c)A0=(5-3)=2A(d)V0=14.1V(e)I0=10AV0=141V+U2-.二、应用举例例1：试求图中A0和V0。+U2-.例2：电路如图所示，已知电压表测得的数据分别为U=36V,

UR1=20V,

U2=22.4V。且知R1=10Ω，f=50Hz。试求参数R和XL。

解：I=UR1/R1=2A设I=2∠0°A，画相量图根据余弦定理有

U2=UR12+U22-2UR1U2cos(180°-φ

)

φ=64°

U2=22.4∠64°=9.82+j20.2V

R=9.82/2=4.9Ω

XL=20.2/2=10Ω或R+XL=U2/I=4.9+j10Ω例2：电路如图所示，已知电压表测得的数据分别为U=36V,例3：电路如图，已知I1=10A,I2=10√2A,U=200V。

R=5Ω，R2=XL,求电流I，容抗XC,感抗XL。解：设Uab=Uab∠0°V，画相量图由相量图的几何关系确定

I=I1=10A

Uac=IR=50VUab=U-Uac=200-50=150VXC=Uab/I1=15Ω

Uab/I2=2XL

R2=XL=7.5Ω10例3：电路如图，已知I1=10A,I2=10√2A,U=206-6正弦稳态电路中的功率正弦交流电路的负载是由电阻、电感和电容三元件组合起来的无源网络。设网络端电压、电流、阻抗为

u=2Usin(ωt+φ)i=2IsinωtZ=R+j(XL-XC)一瞬时功率p=ui=UIcosφ-UIcos(2ωt+φ)1.电压、电流和瞬时功率波形图0≤t≤t1时间内，p＞0，

表明网络从电源取用功率。t1＜t≤t2时间内，p＜0，

网络中的储能元件释放功率，于是在电源和网络之间就形成了能量的往返交换。

t1到t2的时间对应于u与i的相位差（φ

）。φ6-6正弦稳态电路中的功率正弦交流电路的2.单一参数的瞬时功率（p=ui=UIcosφ-UIcos(2ωt+φ)）当φ=0，网络等效为一个电阻R，pR=UI-UIcos2ωt；当φ=90°，网络等效为一个电感L，pL=UIcos2ωt；当φ=-90°，网络等效为一个电容C，pL=-UIcos2ωt；同一时刻L、C吸收功率和释放功率的时间相反。2.单一参数的瞬时功率（p=ui=UIcosφ-UIcos一有功功率

在一周期内电路消耗的平均功率称为有功功率，即称为功率因素，φ称为功率因素角。二无功功率衡量储能元件能量转换的能力用无功功率Q表示。当电感和电容同时存在时

Q=QL－QC=I2(XL－XC)

=UIsinφ

=UIcosφcosφ一有功功率

在一周期内电路消耗的平均功率称为有功功三视在功率

视在功率用于衡量供电设备的供电能力，它等于电路电压U与电流I的乘积，单位为伏安，用S表示。即S=UI

视在功率的物理意义：电源(或电路)向负载能够输出的最大功率Pmax=S。S、P、Q的关系：

P=UIcosφ=ScosφQ=UIsinφ=Ssinφ

S=P2+Q2=UI当电路入接多个不同cosφ的负载：

P=∑Pk（各负载有功功率之和）Q=∑QkL

-∑QkC

（各负载无功功率代数之和）S=P2+Q2≠∑Sk（始终满足功率三角形）cosφ三视在功率

视在功率用于衡量供电设备的供电四复功率

用相量表示功率称为复功率S，它等于电路电压相量与电流相量共轭复数的乘积，即

S=U∠φu×I∠-φi=S∠φ

=P+jQ电路功率计算的3个方法：(1)已知电路电压、电流大小和相位差

P=UIcosφ=ScosφQ=UIsinφ=Ssinφ

S=P2+Q2=UI（2）已知电路各负载功率

P=∑Pk

Q=∑QkL

-∑QkCS=P2+Q2（3）已知电路电压相量与电流相量

S=U∠φu×I∠-φi=S∠φ

=P+jQcosφ四复功率

用相量表示功率称为复功率S，它等例2：电路如图，已知R1=R2=XL1=XL2=100Ω，两并联电路为容性，其UAB=100V、PAB=100W、cosφAB=。求(1)阻抗Z，(2)总电压相量，(3）整个电路的cosφ、整个电路的P、Q和S。

解(1)设UAB=100∠0°VZ2=R2+j

XL2=100∠45°Ω

I2==1∠-45°AI1==1AcosφAB=±45°

I1=1∠45°AIZ=I1-I2=jA(2)U=I1(R1+XL1)+UAB=200∠45°V(3)cosφ=1

Q=0S=P=UI1=200VAZ=-j100Ω

例2：电路如图，已知R1=R2=XL1=XL2=100Ω，两例1：计算电路的功率P、Q和S。已知R1=R2=R3=10Ω，XL1=20Ω，XL2=XC3=10Ω，电压U=220∠0°V，I1=7.78∠-45°A，I2=5.5∠-90°A，

I

3=5.5∠0°A。解：方法1，U=220V，I1=7.78A

，

φ

=0-（-45）=45°

S=UI=220×7.78=1712VAP=UI1cosφ=220×7.78×cos45°=1210WQ=UI1sinφ=220×7.78×sin45°=1210Var

方法2，P1=I12R1=605.3P2=I22R2=302.5P3=I32R3=302.5WQ1=I12XL1=1210.6Q2=I22XL2=302.5Q3=-I32XC3=-302.5VarP=P1+P2+P3=1201WQ=Q1+Q2+Q3=1210Var

S=P2+Q2=1712VA

方法3，S=220∠0°×7.78∠45°=1712∠45°=1201+j1201P=1201WQ=1201VarS=1712VA

例1：计算电路的功率P、Q和S。已知R1=R2=R3=10例3：电路如图,已知I1=I2=I,f=50Hz,U=100V,电路的功率

P=866W。试求R、L、和C。解:设U=100∠0°V,作相量图

根据相量图几何关系有

30°30°例3：电路如图,已知I1=I2=I,f=50Hz,U=100例4：电路如图,已知I3=20A,I2=30A,U1=1002V,U=220V,

电路的功率P=1000W。试求R、X1、X2

、X3的值。解:设U2=U2∠0°V,作相量图

根据相量图几何关系有

R=P/I12=10Ω

U1

2=(I1X1)2+(I1R)2

X1=10Ω

[U2+(I1X1)]2+(I1R)

2=U2

U2=96V

例4：电路如图,已知I3=20A,I2=30A,U1=100五功率因数的提高

一般的用电设备，如感应电动机、感应炉、目光灯等都属于电感性负载，往往造成电路的功率因数较低。1.提高功率因数的意义对于容量一定的供电设备，负载的conφ大，出的P越大，设备得到充分利用；对输电线路来说，当电压U一定，输送同一功率P=UIconφ时，conφ大，I小，则线路上电能损失和压降就小。提高conφ的意义在于：提高发电、输电和配电设备的利用率；减小输电线路电能损失和压降。五功率因数的提高

一般的用电设备，如2.提高功率因数的方法在感性负载两端并上适当的电容，利用电容器的无功功率补偿感性负载的无功功率，在不改变感性负载的前提下，提高线路的功率因数。设感性负载Z，已知cosφ、P、接入电压为U，频率为f的电路中。若将线路的cosφ增加至cosφ′应该并多大的电容？设电源电压为U=U∠0°作相量图当C↑→IC↑→I↓→cosφ′↑,当φ′=0,cosφ′=1,此后C↑→IC↑→I↑→cosφ′↓,最后出现cosφ′＞cosφ。2.提高功率因数的方法在感性负载两端并上适当的电容，利用电例1：电路如图,U=220V,f=50Hz,S断开时cosφ=0.5,P=2kW,

S合上后,cosφ′=0.866(感性),求R、L、C。解：例1：电路如图,U=220V,f=50Hz,S断开时cosφ例2：电容器与电感线圈并联电路如图,已知R=131Ω,测得数据如下。试计算三种情况下的电路的有功功率和功率因数。

C(μF）f(Hz)U(V)I(mA)IL(mA)IC(mA)

未接200101515

1μF200104.81513.9

10μF2001011315128.2解：三种情况下电路的有功功率相同P=I2R=29.5mW未接电容器时:C=1μF时:C=10μF时:例2：电容器与电感线圈并联电路如图,已知R=131Ω,测6-7正弦稳态电路中的谐振当电路φ=0时,U与I同相,电路发生串联谐振。一串联谐振谐振条件:

主要特征1.Z0=R(最小值）

U=UR

I0=U/R(最大值）2.P=UI0Q=0

3.XL=XC>>R∴UL=UC>>U(称电压谐振)4.品质因数Q6-7正弦稳态电路中的谐振当电路φ=0时,U与4.品质因数Q①品质因数越高，UL=UC越大于外加电压;②品质因数越高，选择性能越好。I当ω=ω0,I0为谐振电流当ω偏离ω0后，

越大，I越小当不变，Q

越大，I越小,选择性能越好。对应于I=0.707I0时的频率称为截止频率，ωf=ω2-ω1称为通频带。通频带越窄，选择性越好。下限截止频率上限截止频率4.品质因数Q①品质因数越高，UL=UC越大于外加电压;下限例1：电路如图,u1=102sinωtV,R1=R2=50Ω,当LC对u1频率产生谐振时,AB两端的电压UAB为多少？如果再串联一个电压源U2=10V,此时UAB为多少？解：XAB=0,AB两点相当于短路,UAB=0V串联U2后，由叠加原理可知：u1单独作用时，UAB′=0VU2单独作用时，UAB″=5VUAB=UAB′+UAB″=5V例1：电路如图,u1=102sinωtV,R1=R2=例2：电路如图,U=100V,I=1A,f=25Hz,P=100W,P1=50W,

Q1=50Var,求Z1、Z2、U1、U2和f0。解：设Z1=r1+jX1,Z2=r2+jX2

Q=UI=100W=P

电路发生串联谐振

P2=P-P1=100-50=50W例2：电路如图,U=100V,I=1A,f=25Hz,P=1例3：已知电阻器R=200Ω与电容器C=10μF及L=500mH的电感线圈串联的实验电路。在电源电压U一定的条件下,调整其频率f,使f=71Hz时，电流I最大。此时测出U=10V,I=30.2mA,UR=6.04V,UC=3.96V,UL=6.77V。试确定电感线圈上的电阻RL(电容器视为理想元件)及电路谐振频率f0。解：电路发生串联谐振

f0=71Hz=例3：已知电阻器R=200Ω与电容器C=10μF及L=500二

并联谐振谐振条件(XL>>R):

主要特征1.Z0=≈(最大值）理想电感元件时，R=0，Z0=∞

I0=U/Z0(最小值）2.P=UI0Q=0

3.XL=XC>>R∴IL≈IC>>I(称电流谐振)4.品质因数Q二并联谐振例1：电路如图所示,电源内阻和电感线圈的电阻均忽略不计。交流电源u的频率为f,现调节L或C使之谐振于f,这时AB两端电压uAB等于多少？解：uAB=u例1：电路如图所示,电源内阻和电感线圈的电阻均忽略不计。交流例2：电路如图3.2.7(a)所示，已知，R1=R2=R3=10Ω，XL1=100Ω，XL2=200Ω，XC1=100Ω，XC2=200Ω，试求当开关S分别合至6V和10V电源时，XL1、XC1、及AB两端的电压。

解：当开关S合至6V电源时UAB==2V

UL1=0UC1=

2V当开关S合至10V电源时电路发生谐振

UAB=10VUL1=UC1=0V例2：电路如图3.2.7(a)所示，已知，R1=R2=R3教学重点1.单一元件的电路计算55作业教学重点1.单一元件的电路计算55作业教学重点2.相量法分析正弦稳态电路56作业教学重点2.相量法分析正弦稳态电路56作业教学重点3.相量图法分析正弦稳态电路

电压、阻抗、功率三角形

电流、导纳三角形57作业教学重点3.相量图法分析正弦稳态电路57作业教学重点⒋串、并联谐振58作业教学重点⒋串、并联谐振58作业教学重点⒌电路性质的判断59作业教学重点⒌电路性质的判断59作业教学重点⒍功率因数的提高通过负载两端并适当电容可以提高线路的功率因数。对线路线路而言，并电容前、后，P没变，I、Q、cosφ改变。对负载而言，并电容前、后，P、IZ、QZ、cosφZ没变。60作业教学重点⒍功率因数的提高60作业6.15，6.18，6.20，6.356.266.326.226.27第六章作业：616.15，6.18，6.20，6.35第六章作业：61第六章正弦稳态电路分析6-1正弦量的基本概念6-2正弦量的相量表示6-3单一元件的电流电压关系6-4相量法分析正弦稳态电路6-5相量图法分析正弦稳态电路6-6正弦稳态电路中的功率6-7正弦稳态电路中的谐振第六章正弦稳态电路分析6-1正弦量的基本概6-1正弦量的基本概念所谓正弦交流电，一般指随时间按正弦规律周期性变化的电压、电流，并把它们统称为正弦量。用小写字母u、i表示。一、正弦量的三要素正弦量用三角函数表示：i=Imsin(ωt+φi)u=Umsin(ωt+φu)称为幅值或最大值称为角频率称为初相位或初相角角频率、幅值和初相位描述正弦量变化的快慢、最大值及初始位置三个方面的特征，是确定正弦量的三要素。ImUmωωφiφu正弦量用波形图表示6-1正弦量的基本概念所谓正弦交流电，一般指随时间按正弦1．周期（频率）与角频率正弦量变化一次所需要的时间称为周期T，单位为秒（s）。每秒时间内重复变化的次数，称为频率f,单位为赫兹（Hz），频率为周期的倒数，即f=1/T。正弦量每秒时间内变化的弧度称为角频率ω，单位为弧度/秒（rad/s）。T、f和ω都能反映正弦量变化的快慢，三者的关系为

ω=2π/T=2πf三者之间只要知道其中一个，就可求出其它两个。1．周期（频率）与角频率正弦量变化一次所需要的时间称为周期T2．瞬时值与有效值正弦量在每一瞬间的数值称为瞬时值，用u、i表示。最大的瞬时值称为幅值或最大值，用Um、Im表示。瞬时值和最大值是指正弦量某一瞬间的数值，不能用来表示正弦量的大小。正弦量的大小工程上规定用有效值I表示,它是根据正弦电流和直流电流的热效应相等来规定的。周期变化交流电有效值:正弦量的有效值

I==0.707Im

U==0.707Um=假定在相同时间T内2．瞬时值与有效值正弦量在每一瞬间的数值称为瞬时值，用u、i3．相位与初相位正弦量随时间变化的电角度(ωt+φ)称为相位或相位角，代表了正弦交流电的变化进程。t=0时的相位称为初相位或初相角，用φ表示。φ的大小和符号决定了正弦量计时起点和初始值。

φ=00＜φ＜(π+2nπ)-(π+2nπ)＜φ＜0初始值为零，称参考正弦量。初始值为正初始值为负3．相位与初相位正弦量随时间变化的电角度(ωt+φ)称为相位二、正弦量的相位差任意两个同频率的正弦量在相位上的差值称为相位差，用字母φ表示。例如，u=Umsin(ωt+φu)，i=Imsin(ωt+φi)，

φ=(ωt+φu)-(ωt+φi)=φu-φi。相位差等于两个同频率正弦量初相位之差，其物理意义在于表示两个同频率正弦量随时间变化步调上的先后。φ=0φu-i>0或φi-u<0φ=180°φ=-90°同相超前或滞后反相正交二、正弦量的相位差任意两个同频率的正弦量在相位上的差值称为相6-2正弦量的相量表示用三角函数式和波形图表示正弦量来分析和计算正弦交流电路都很不方便。工程中常采用相量图和相量式表示正弦量，这种表示方法称为正弦量的相量表示法。一、相量图法1.相量图的画法相量图就是用一个有向线段来表示正弦量，如i

=Imsin(ωt+φ)，该有向线段称为相量。i(t)t6-2正弦量的相量表示用三角函数式和波形图表示正弦量来2.相量的加减运算例1：计算图中相量I1+I2、I1+I2+I3和、I1-I2+I3。

解：方法一，平行四边形法则;

方法二，多边形法则。2.相量的加减运算例1：计算图中相量I1+I2、I1+I二、相量式法用复数式表示相量(正弦量)的方法称为正弦量相量式表示法，简称相量式法。⒈相量式的四种形式代数式三角式指数式极坐标式四种表示方法可以互换二、相量式法用复数式表示相量(正弦量)的方法称为正2.90°旋转因子(j)任意一个相量×j有任意一个相量÷j有j称为90°旋转因子注意：相量仅仅是用来表示正弦量的一种方法，两者有一一对应关系，但正弦量不等于相量。用相量表示正弦量是一种数学变换，只适用于同频率的正弦量。2.90°旋转因子(j)任意一个相量×j有例2：指出下列各式的错误，写出其正确的表达式。

⑴i=5sin(ωt-30°)=5e-j30°A

⑵U=100ej45°=1002sin(ωt+45°)V

⑶I=10∠30°A

⑷I=20e20°A解：⑴有错,I=5e-j30°A

⑵有错,

U=100ej45°

u=1002sin(ωt+45°)V⑶有错,I=10∠30°A⑷有错,I=20ej20°Am例2：指出下列各式的错误，写出其正确的表达式。

⑴例3：已知I=2∠-60°A，试求3I、jI、I/j，并画出相量图。解：3I=3×2∠-60°=6∠-60°A

jI=1∠90°×2∠-60°=2∠30°A

I/j=(2∠-60°)/(1∠90°)=2∠-150°A例3：已知I=2∠-60°A，试求3I、jI、I/j，并画例4：试写出u1＝2202sin(314t-150°),u2＝-2202

sin(314t-30°)，的相量式。并计算u1+u2、u1×u2。解：例4：试写出u1＝2202sin(314t-150°),6-3单一元件的电流电压关系

在电路中只有R、L、C其中某一元件，则称电路为单一元件的电路。一、电阻元件的电流电压关系设i=Imsinωt(参考正弦量）瞬时值关系：相位关系：u与i同相位大小关系：相量关系：电流电压同相，瞬时值、大小、相量均遵循欧姆定律6-3单一元件的电流电压关系在电路中只有R、二、电感元件的电流电压关系设i=Imsinωt(参考正弦量）瞬时值关系：u=ωLImcosωt=Umcosωt=Umsin(ωt+90°)相位关系：u超前i90度大小关系：相量关系：

XL=ωL=2πfL(感抗)电感在直流电路中f=0，XL=0，可视为短路。当把带线圈的交流设备接入直流电路，会产生短路事故。二、电感元件的电流电压关系设i=Imsinωt(参考正弦量三、电容元件的电流电压关系设u=Umsinωt(参考正弦量）瞬时值关系：i=ωCUmcosωt=Imcosωt=Imsin(ωt+90°)相位关系：i超前u

90度大小关系：相量关系：电容在直流电路中f=0，XC=∞，可视为开路。三、电容元件的电流电压关系设u=Umsinωt(参考正弦量例1：以下各式对电感电路是否成立？不能成立，请说明原因。解：⑴有错,uL=L

⑵有错,=XL

⑶有错,I=⑷对(5)有错,=ωLUIUI例1：以下各式对电感电路是否成立？不能成立，请说明原因。解：例2：以下各式对电容电路是否成立？不能成立，请说明原因。解：⑴有错,U=IXC

⑵有错,=-jXC

⑶有错,I=UωC⑷有错,I=jUωC(5)对UI例2：以下各式对电容电路是否成立？不能成立，请说明原因。解：6-4相量法分析正弦稳态电路由于电路的激励是正弦量，其响应都是同频率的正弦量可以用相量表示，而电感和电容可以用感抗和容抗表示，引入相量后，电路的基本定律可以用相量形式表示。对时域正弦稳态电路的分析可以转换为对频域相量模型的分析。时域正弦稳态电路动态元件上电流电压的微分（或积分）关系可以用相量表示成频域的代数关系，使电路的分析更为方便，这种频域下正弦稳态电路的分析方法就是所谓的相量法。6-4相量法分析正弦稳态电路由于电路的激励是正弦量，其响一、电路基本定律和基本公式的相量形式阻抗与导纳，欧姆定律的相量形式当电流电压为关联参考方向时，R、L、C三个元件电流电压关系的相量形式为Z称为元件的复阻抗(是复数)

，是正弦稳态电路负载的总称，Z的倒数称为复导纳Y,Z、Y分别定义为(单位：Ω)(单位：西门子S)欧姆定律的相量形式

一、电路基本定律和基本公式的相量形式阻抗与导纳，欧姆定律的相2.基尔霍夫定律的相量形式

时域电路模型相量模型对时域电路模型，根据基尔霍夫电压定律有u-uR-uL-uC=0则在对应的相量模型中应满足U-UR-UL-UC=0同理基尔霍夫电流定律对电流相量也成立2.基尔霍夫定律的相量形式时域电3.相量模型的基本计算公式

对时域正弦稳态电路的分析转换为对频域相量模型的分析时，只需将直流电路中的U、I、R→、、Z，则直流电路的一般分析方法都可转换为相量模型的分析方法。基本计算公式式中正、负号由参考方向决定。3.相量模型的基本计算公式对时域正弦稳态电二、R、L、C串联电路的分析1.电压与电流关系Z==R+j(XL-XC)=R+jX=|Z|∠φ

X=XL-XC称为电抗，表示电感和电容共同作用于电路的结果。当X>0，电路中电感的作用大于电容；当X<0，电容的作用大于电感，X可正，可负，XL、XC始终大于零。

当电路中RLC三元件同时存在时，其等效复阻抗Z的实部为电路的电阻R，虚部为电抗

X=(XL－XC）。

U

I二、R、L、C串联电路的分析1.电压与电流关系UI2.电压三角形和阻抗三角形选电流为参考相量作出电路的相量图电压三角形三个边关系为

U==I=I｜Z｜｜Z｜==φ角称为阻抗角，又是u与i的相位差φ与电路中电压和电流的大小无关，只与电路的参数R、L、C及电源的频率有关。2.电压三角形和阻抗三角形选电流为参考相量作出电路的相量图φ3.电路的性质根据φ角的不同取值，可将电路划分为三种性质。电感性电容性电阻性φ>0φ>0φ=0u超前iu滞后iui同相XL＞XC

XL＜XC

XL=XC

UL＞UC

UL＜UC

UL=UC3.电路的性质根据φ角的不同取值，可将电路划分为三三、相量法应用举例例1：已知US=40∠0°，求电路的I、IC、IL并确定电路性质。解：电路入端阻抗为：

Z1=1.5ΩZ2=j1ΩZ3=1-j2ΩZ=Z1+

Z2//

Z3

电路中电流：由计算结果可知:φ=36.9°>0,电路为感性，u超前i

。IL＞I，这在直流电路是不会发生的。

+12°Ð=+=-+=9.365.25.12j115.1jj°A-Ð=°Ð°Ð==··9.36169.365.2040SZUI°A-Ð=-=···3.553.25CLIII三、相量法应用举例例1：已知US=40∠0°，求电路的I、I例2：已知RLC并联电路中R=10,L=48mH,C=397μF。电

源U=120V,f=50Hz,求电流IR、IL、IC及i并画相量图，说明电路性质。解：设I=IR+IL+IC=12+j7=13.9∠30.3°Aφ=电路为容性-30.3°电流三角形(直角)例2：已知RLC并联电路中R=10,L=48mH,C=397例3：在图示的正弦稳态电路中，已知US1=110V，US2=100V，二者同相，求支路电流I1、I2、I3。解：用节点法求解，设b为参考点

Z1=1+j4ΩZ2=2ΩZ3=6-j6Ω

例3：在图示的正弦稳态电路中，已知US1=110V，US26-5相量图分析正弦稳态电路用相量法分析电路的过程是利用相量，采用分析电路的基本方法，列出相量式求解相量的过程。适合于该方法的电路特点是已知激励相量（或物理量的相量）和电路参数，求电路响应。当电路中各物理量的相位关系明确，用相量法分析电路比较方便。当电路中各物理量的相位关系不十分明确时，用相量法分析电路，过程比较复杂，而采用相量图法分析电路，会使分析较为方便。所谓相量图法是利用相量图中各物理量的几何关系分析电路的一种方法。6-5相量图分析正弦稳态电路用相量法分析电路的过程是利用一、常用的相量图1.串联电路电压、阻抗三角形2.并联电路电流、导纳三角形一、常用的相量图1.串联电路电压、阻抗三角形二、应用举例例1：试求图中A0和V0。解：利用相量三角形计算(a)A0=14.1A(b)V0=80V(c)A0=(5-3)=2A(d)V0=14.1V(e)I0=10AV0=141V+U2-.二、应用举例例1：试求图中A0和V0。+U2-.例2：电路如图所示，已知电压表测得的数据分别为U=36V,

UR1=20V,

U2=22.4V。且知R1=10Ω，f=50Hz。试求参数R和XL。

解：I=UR1/R1=2A设I=2∠0°A，画相量图根据余弦定理有

U2=UR12+U22-2UR1U2cos(180°-φ

)

φ=64°

U2=22.4∠64°=9.82+j20.2V

R=9.82/2=4.9Ω

XL=20.2/2=10Ω或R+XL=U2/I=4.9+j10Ω例2：电路如图所示，已知电压表测得的数据分别为U=36V,例3：电路如图，已知I1=10A,I2=10√2A,U=200V。

R=5Ω，R2=XL,求电流I，容抗XC,感抗XL。解：设Uab=Uab∠0°V，画相量图由相量图的几何关系确定

I=I1=10A

Uac=IR=50VUab=U-Uac=200-50=150VXC=Uab/I1=15Ω

Uab/I2=2XL

R2=XL=7.5Ω10例3：电路如图，已知I1=10A,I2=10√2A,U=206-6正弦稳态电路中的功率正弦交流电路的负载是由电阻、电感和电容三元件组合起来的无源网络。设网络端电压、电流、阻抗为

u=2Usin(ωt+φ)i=2IsinωtZ=R+j(XL-XC)一瞬时功率p=ui=UIcosφ-UIcos(2ωt+φ)1.电压、电流和瞬时功率波形图0≤t≤t1时间内，p＞0，

表明网络从电源取用功率。t1＜t≤t2时间内，p＜0，

网络中的储能元件释放功率，于是在电源和网络之间就形成了能量的往返交换。

t1到t2的时间对应于u与i的相位差（φ

）。φ6-6正弦稳态电路中的功率正弦交流电路的2.单一参数的瞬时功率（p=ui=UIcosφ-UIcos(2ωt+φ)）当φ=0，网络等效为一个电阻R，pR=UI-UIcos2ωt；当φ=90°，网络等效为一个电感L，pL=UIcos2ωt；当φ=-90°，网络等效为一个电容C，pL=-UIcos2ωt；同一时刻L、C吸收功率和释放功率的时间相反。2.单一参数的瞬时功率（p=ui=UIcosφ-UIcos一有功功率

在一周期内电路消耗的平均功率称为有功功率，即称为功率因素，φ称为功率因素角。二无功功率衡量储能元件能量转换的能力用无功功率Q表示。当电感和电容同时存在时

Q=QL－QC=I2(XL－XC)

=UIsinφ

=UIcosφcosφ一有功功率

在一周期内电路消耗的平均功率称为有功功三视在功率

视在功率用于衡量供电设备的供电能力，它等于电路电压U与电流I的乘积，单位为伏安，用S表示。即S=UI

视在功率的物理意义：电源(或电路)向负载能够输出的最大功率Pmax=S。S、P、Q的关系：

P=UIcosφ=ScosφQ=UIsinφ=Ssinφ

S=P2+Q2=UI当电路入接多个不同cosφ的负载：

P=∑Pk（各负载有功功率之和）Q=∑QkL

-∑QkC

（各负载无功功率代数之和）S=P2+Q2≠∑Sk（始终满足功率三角形）cosφ三视在功率

视在功率用于衡量供电设备的供电四复功率

用相量表示功率称为复功率S，它等于电路电压相量与电流相量共轭复数的乘积，即

S=U∠φu×I∠-φi=S∠φ

=P+jQ电路功率计算的3个方法：(1)已知电路电压、电流大小和相位差

P=UIcosφ=ScosφQ=UIsinφ=Ssinφ

S=P2+Q2=UI（2）已知电路各负载功率

P=∑Pk

Q=∑QkL

-∑QkCS=P2+Q2（3）已知电路电压相量与电流相量

S=U∠φu×I∠-φi=S∠φ

=P+jQcosφ四复功率

用相量表示功率称为复功率S，它等例2：电路如图，已知R1=R2=XL1=XL2=100Ω，两并联电路为容性，其UAB=100V、PAB=100W、cosφAB=。求(1)阻抗Z，(2)总电压相量，(3）整个电路的cosφ、整个电路的P、Q和S。

解(1)设UAB=100∠0°VZ2=R2+j

XL2=100∠45°Ω

I2==1∠-45°AI1==1AcosφAB=±45°

I1=1∠45°AIZ=I1-I2=jA(2)U=I1(R1+XL1)+UAB=200∠45°V(3)cosφ=1

Q=0S=P=UI1=200VAZ=-j100Ω

例2：电路如图，已知R1=R2=XL1=XL2=100Ω，两例1：计算电路的功率P、Q和S。已知R1=R2=R3=10Ω，XL1=20Ω，XL2=XC3=10Ω，电压U=220∠0°V，I1=7.78∠-45°A，I2=5.5∠-90°A，

I

3=5.5∠0°A。解：方法1，U=220V，I1=7.78A

，

φ

=0-（-45）=45°

S=UI=220×7.78=1712VAP=UI1cosφ=220×7.78×cos45°=1210WQ=UI1sinφ=220×7.78×sin45°=1210Var

方法2，P1=I12R1=605.3P2=I22R2=302.5P3=I32R3=302.5WQ1=I12XL1=1210.6Q2=I22XL2=302.5Q3=-I32XC3=-302.5VarP=P1+P2+P3=1201WQ=Q1+Q2+Q3=1210Var

S=P2+Q2=1712VA

方法3，S=220∠0°×7.78∠45°=1712∠45°=1201+j1201P=1201WQ=1201VarS=1712VA

例1：计算电路的功率P、Q和S。已知R1=R2=R3=10例3：电路如图,已知I1=I2=I,f=50Hz,U=100V,电路的功率

P=866W。试求R、L、和C。解:设U=100∠0°V,作相量图

根据相量图几何关系有

30°30°例3：电路如图,已知I1=I2=I,f=50Hz,U=100例4：电路如图,已知I3=20A,I2=30A,U1=1002V,U=220V,

电路的功率P=1000W。试求R、X1、X2

、X3的值。解:设U2=U2∠0°V,作相量图

根据相量图几何关系有

R=P/I12=10Ω

U1

2=(I1X1)2+(I1R)2

X1=10Ω

[U2+(I1X1)]2+(I1R)

2=U2

U2=96V

例4：电路如图,已知I3=20A,I2=30A,U1=100五功率因数的提高

一般的用电设备，如感应电动机、感应炉、目光灯等都属于电感性负载，往往造成电路的功率因数较低。1.提高功率因数的意义对于容量一定的供电设备，负载的conφ大，出的P越大，设备得到充分利用；对输电线路来说，当电压U一定，输送同一功率P=UIconφ时，conφ大，I小，则线路上电能损失和压降就小。提高conφ的意义在于：提高发电、输电和配电设备的利用率；减小输电线路电能损失和压降。五功率因数的提高

一般的用电设备，如2.提高功率因数的方法在感性负载两端并上适当的电容，利用电容器的无功功率补偿感性负载的无功功率，在不改变感性负载的前提下，提高线路的功率因数。设感性负载Z，已知cosφ、P、接入电压为U，频率为f的电路中。若将线路的cosφ增加至cosφ′应该并多大的电容？设电源电压为U=U∠0°作相量图当C↑→IC↑→I↓→cosφ′↑,当φ′=0,cosφ′=1,此后C↑→IC↑→I↑→cosφ′↓,最后出现cosφ′＞cosφ。2.提高功率因数的方法在感性负载两端