中考培优中考综合题面积平分问题

年4月日

中考综合题面积平分问题1．问题探究：请在图①中作出两条直线，使它们将圆面四等分；如图②，M是正方形内一定点，请在图②中作出两条直线（要求其中一条直线必须过点M使它们将正方形ABCD的面积四等分，并说明理由．问题解决：（3如图③，在四边ABCD中，∥CD，+CD=BC，P是AD的中点，如AB=a，CD=b，且b＞a，那么在边BC上是否存在一点，使PQ所在直线将四边形的面积分成相等的两部分？如若存在，求出BQ的长；若不存在，说明理由．2．探索发现：1/如图1，在△中，是BC边上的中线，若ABC的面积为S，则△的面积为．联系拓展：在图2中E、分别是ABCD的边AB、的中点，若ABCD的面积为S求四边形BEDF的面积？并说明理由．在图3中，E、F分别是ABCD的边、BC上的点，且AE=AB，BF=BC，若ABCD的面积为S，则四边形BEDF的面积为．解决问题：（4如图4中，矩形ABCD中，（为常数，且n＞0是AB边上的一个动点，是BC边上的一个动点若在两点运动的过程中四边形的面积始终等于矩形面积的请探究线段BF应满足怎样的数量关系，并说明理由．3．如果1，已知直m∥nAB为直线n上两定点D为直线上两动点，容易证明：ABC的面积=ABD的面积；2/问题探究在图2中画出与四边形ABCD面积相等且以AB为一条边的三角形．在图3中知正方形的边长为4是边CD上一点CD为边作正方形GCEF当CG=a时，求△BDF的面积．问题解决（3李大爷家有一块正方形的果园如图所示，由于修建道路，图中三角形区域将被占用，现决定在DE右侧补给一块土地，补偿后，果园将调整为四边形ABMD，要求补偿后的四边形的面积与原来形正方形的面积相等且M在射线BE上在图4中通过画图来确M点的位置，并简要叙述画法和理由；若AB=4CE=a，求出上图中∠的值．4．问题提出（1如图①，△ABC是等边三角形，AB=12，若点是△ABC的内心，则的长为；问题探究3/（2如图②，在矩形中，AB=12，如果点是边上一点，且，那么边上是否存在一点Q，使得线PQ将矩形ABCD的面积平分？若存在，求PQ的长；若不存在请说明理由．问题解决（3某城市街角有一草坪，草坪是由△ABM草地和弦AB与其所对的劣弧围成的草地组成，如图③所示．管理员王师傅在处的水管上安装了一喷灌龙头，以后，他想只用喷灌龙头来给这块草坪浇水，并且在用喷灌龙头浇水时，既要能确保草坪的每个角落都能浇上水，又能节约用水，于是，他让喷灌龙头的转角正好等于∠AMB即每次喷灌时喷灌龙头由MA转到MB，然后再转回，这样往复喷灌同时，再合理设计好喷灌龙头喷水的射程就可以了．如图③，已测出AB=24m，MB=10m△AMB的面积为96m；过弦AB的中点作DE⊥交

于点E，又测得．请你根据以上信息助王师傅计算喷灌龙头的射程至少多少米时能实现他的想法？为什么果保留根号或精确到0.01米）5．提出问题：爸爸出差回家带了一个分布均匀的等腰三角形蛋糕礼物给儿子（如图1，且≠AC蛋糕的边缘均匀分布着巧克力，双胞胎儿子大毛和小毛决定只切一刀将这块蛋糕平分吃（要求分得的蛋糕和巧克力质量都一样4/12312123123背景介绍这条分割直线即平分了三角形的面积又平分了三角形的周长我们称这条线为三角形的“等分积周线”．尝试解决：大毛很快就想到了一条分割直线，而且用尺规作图作出．请你帮大毛在1中作出这条“等分积周线”从而平分蛋糕．小毛觉得大毛的方法很好，所以自己模仿着在蛋糕上过点C画了一条直线CD交AB于点D你觉得小毛会成功吗？如能成功，说出确定的方法；如不能成功，请说明理由图说明）（3若AB=BC=5cm，AC=6cm，如图3，你能找出几条△ABC的“分积周线”，请分别画出，并简要说明确定的方法．6）请图①中画出与ABC面积相等的三个三角形：△、△ABC、△ABC，其中点C、、C为△ABC所在平面上异于点C的三个不同点；（2请在图②中射线上通过画图确定一点E，使得S

△

=S

四边形

，并简要叙述画法和理由；5/问题解决（4李大爷家有一块果园如图③中的四边形ABCD由于修路图中三角形CEF区域将被占用现决定在DF的右侧补给他一块土地，要求补偿前后的总面积不变，已知∠A=135°∠B=60°，∠，AB=350m，（100+50

）m，CF=300m，DF=100m，若所补区域为三角形DFG，且点G在射线EF上，请求出符合条年的FG的长度．7．问题探究如图1，点E为矩形ABCD内一点，请过点E作一条直线，将矩形的面积分为相等的两部分；如图2，在矩形ABCD中，，，为对角线AC上一点，且AC=3AP，请问在CD上是6/否存在一点E使得直线PE将矩形ABCD的面积分为2：3两部分，如果存在求出DE的长；如果不存在，请说明理由；解决问题（3如图现有一块矩形空地，AB=80米，BC=60米，P为对角线AC上一点，且PC=3AP，计划在这块空地上修建一个四边形花园AECF，得E、分别在线AD、AB上，EF经过点P，若每平方米的造价为100元，请求出修建该花园所需费用的范围（其他费用不计8．平面上有三点MA、，若MA=MB，则称点A、B为点M的等距点．7/问题探究）如图①，在△ABC中，AB=AC，点为AB上一点，试在上确定一点，使点、Q为点A的等距点；（2如图②，平行四边形的对角线AC、BD交于点，点是边上一定点，试在BC边上找点Q，使点P、Q为点O的等距点，并说明理由．问题解决：（3如图③，在正方形ABCD中，AB=1点P是对角线AC一动点，在边CD上是否存在点Q使点B为点P的等距点使四边形BCQP的面积为正方形面积的一半？若存在这样的点Q，求出CQ的长；若不存在，说明理由．9．提出问题在一个图形上画一条直线若这条直线既平分该图形的面积又平分该图形的周长我们称这条直线8/为这个图形的“分积周线”．探究问题如图①，在Rt△ABC中，∠ACB=90°∠ABC=45°，AB=4请你过点C画出△ABC的一条“等分积周线”与AB交于点D并求出CD的长；如图②，在△ABC中，AB=BC，且≠，过点C画一条直线CE，中点E为AB上一点，你觉得CE可能是△ABC的“等分积周线”吗？请说明理由；解决问题（3西安市区的环境越来越美，随处可见的街心花园成为人们休闲的好去处．在某地的街心花园中