2023学年广东省东莞市第四高级中学高三六校第一次联考数学试卷（含答案解析）

2023高考数学模拟试卷考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．执行下面的程序框图，如果输入，，则计算机输出的数是（）A． B． C． D．2．在中，角所对的边分别为，已知，．当变化时，若存在最大值，则正数的取值范围为A． B． C． D．3．如图所示程序框图，若判断框内为“”，则输出（）A．2 B．10 C．34 D．984．若的二项式展开式中二项式系数的和为32，则正整数的值为（）A．7 B．6 C．5 D．45．执行如图所示的程序框图，如果输入，则输出属于（）A． B． C． D．6．已知集合，则集合（）A． B． C． D．7．如图，网格纸上小正方形的边长为，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A． B． C． D．8．如图，正三棱柱各条棱的长度均相等，为的中点，分别是线段和线段的动点（含端点），且满足，当运动时，下列结论中不正确的是A．在内总存在与平面平行的线段B．平面平面C．三棱锥的体积为定值D．可能为直角三角形9．函数的大致图像为（）A． B．C． D．10．执行如图所示的程序框图，输出的结果为（）A． B．4 C． D．11．将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案种数是()A．18种 B．36种 C．54种 D．72种12．已知定义在上的函数在区间上单调递增，且的图象关于对称，若实数满足，则的取值范围是（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．函数满足，当时，，若函数在上有1515个零点，则实数的范围为___________.14．已知，满足约束条件，则的最小值为______．15．在长方体中，，则异面直线与所成角的余弦值为（）A． B． C． D．16．三所学校举行高三联考，三所学校参加联考的人数分别为160，240，400，为调查联考数学学科的成绩，现采用分层抽样的方法在这三所学校中抽取样本，若在学校抽取的数学成绩的份数为30，则抽取的样本容量为____________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知多面体中，、均垂直于平面，，，，是的中点．（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值．18．（12分）已知公比为正数的等比数列的前项和为，且，.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.19．（12分）如图在直角中，为直角，，，分别为，的中点，将沿折起，使点到达点的位置，连接，，为的中点．（Ⅰ）证明：面；（Ⅱ）若，求二面角的余弦值．20．（12分）已知数列满足，．（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和．21．（12分）已知抛物线：（）的焦点到点的距离为.（1）求抛物线的方程；（2）过点作抛物线的两条切线，切点分别为，，点、分别在第一和第二象限内，求的面积.22．（10分）已知倾斜角为的直线经过抛物线的焦点，与抛物线相交于、两点，且.（1）求抛物线的方程；（2）设为抛物线上任意一点（异于顶点），过做倾斜角互补的两条直线、，交抛物线于另两点、，记抛物线在点的切线的倾斜角为，直线的倾斜角为，求证：与互补.

2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．B【答案解析】

先明确该程序框图的功能是计算两个数的最大公约数，再利用辗转相除法计算即可.【题目详解】本程序框图的功能是计算，中的最大公约数，所以，，，故当输入，，则计算机输出的数是57.故选：B.【答案点睛】本题考查程序框图的功能，做此类题一定要注意明确程序框图的功能是什么，本题是一道基础题.2．C【答案解析】

因为，，所以根据正弦定理可得，所以，，所以，其中，，因为存在最大值，所以由，可得，所以，所以，解得，所以正数的取值范围为，故选C．3．C【答案解析】

由题意，逐步分析循环中各变量的值的变化情况，即可得解.【题目详解】由题意运行程序可得：，，，；，，，；，，，；不成立，此时输出.故选：C.【答案点睛】本题考查了程序框图，只需在理解程序框图的前提下细心计算即可，属于基础题.4．C【答案解析】

由二项式系数性质，的展开式中所有二项式系数和为计算．【题目详解】的二项展开式中二项式系数和为，．故选：C．【答案点睛】本题考查二项式系数的性质，掌握二项式系数性质是解题关键．5．B【答案解析】

由题意，框图的作用是求分段函数的值域，求解即得解.【题目详解】由题意可知，框图的作用是求分段函数的值域，当；当综上：.故选：B【答案点睛】本题考查了条件分支的程序框图，考查了学生逻辑推理，分类讨论，数学运算的能力，属于基础题.6．D【答案解析】

弄清集合B的含义，它的元素x来自于集合A，且也是集合A的元素.【题目详解】因，所以，故，又，，则，故集合.故选：D.【答案点睛】本题考查集合的定义，涉及到解绝对值不等式，是一道基础题.7．D【答案解析】

根据三视图判断出几何体是由一个三棱锥和一个三棱柱构成，利用锥体和柱体的体积公式计算出体积并相加求得几何体的体积.【题目详解】由三视图可知该几何体的直观图是由一个三棱锥和三棱柱构成，该多面体体积为.故选D.【答案点睛】本小题主要考查三视图还原为原图，考查柱体和锥体的体积公式，属于基础题.8．D【答案解析】

A项用平行于平面ABC的平面与平面MDN相交，则交线与平面ABC平行；B项利用线面垂直的判定定理；C项三棱锥与三棱锥体积相等，三棱锥的底面积是定值，高也是定值，则体积是定值;D项用反证法说明三角形DMN不可能是直角三角形.【题目详解】A项，用平行于平面ABC的平面截平面MND，则交线平行于平面ABC，故正确；B项，如图：当M、N分别在BB1、CC1上运动时,若满足BM=CN,则线段MN必过正方形BCC1B1的中心O,由DO垂直于平面BCC1B1可得平面平面，故正确；C项,当M、N分别在BB1、CC1上运动时,△A1DM的面积不变,N到平面A1DM的距离不变,所以棱锥N-A1DM的体积不变,即三棱锥A1-DMN的体积为定值,故正确；D项,若△DMN为直角三角形,则必是以∠MDN为直角的直角三角形,但MN的最大值为BC1,而此时DM,DN的长大于BB1,所以△DMN不可能为直角三角形,故错误.故选D【答案点睛】本题考查了命题真假判断、棱柱的结构特征、空间想象力和思维能力，意在考查对线面、面面平行、垂直的判定和性质的应用，是中档题.9．D【答案解析】

通过取特殊值逐项排除即可得到正确结果.【题目详解】函数的定义域为，当时，，排除B和C；当时，，排除A.故选：D.【答案点睛】本题考查图象的判断，取特殊值排除选项是基本手段，属中档题.10．A【答案解析】

模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的的值，当，，退出循环，输出结果.【题目详解】程序运行过程如下：，；，；，；，；，；，；，，退出循环，输出结果为，故选：A.【答案点睛】该题考查的是有关程序框图的问题，涉及到的知识点有判断程序框图输出结果，属于基础题目.11．B【答案解析】

把4名大学生按人数分成3组，为1人、1人、2人，再把这三组分配到3个乡镇即得.【题目详解】把4名大学生按人数分成3组，为1人、1人、2人，再把这三组分配到3个乡镇，则不同的分配方案有种.故选：.【答案点睛】本题考查排列组合，属于基础题.12．C【答案解析】

根据题意，由函数的图象变换分析可得函数为偶函数，又由函数在区间上单调递增，分析可得，解可得的取值范围，即可得答案.【题目详解】将函数的图象向左平移个单位长度可得函数的图象，由于函数的图象关于直线对称，则函数的图象关于轴对称，即函数为偶函数，由，得，函数在区间上单调递增，则，得，解得.因此，实数的取值范围是.故选：C.【答案点睛】本题考查利用函数的单调性与奇偶性解不等式，注意分析函数的奇偶性，属于中等题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．【答案解析】

由已知，在上有3个根，分，，，四种情况讨论的单调性、最值即可得到答案.【题目详解】由已知，的周期为4，且至多在上有4个根，而含505个周期，所以在上有3个根，设，，易知在上单调递减，在，上单调递增，又，.若时，在上无根，在必有3个根，则，即，此时；若时，在上有1个根，注意到，此时在不可能有2个根，故不满足；若时，要使在有2个根，只需，解得；若时，在上单调递增，最多只有1个零点，不满足题意；综上，实数的范围为.故答案为：【答案点睛】本题考查利用导数研究函数的零点个数问题，涉及到函数的周期性、分类讨论函数的零点，是一道中档题.14．2【答案解析】

作出可行域，平移基准直线到处，求得的最小值.【题目详解】画出可行域如下图所示，由图可知平移基准直线到处时，取得最小值为.故答案为：【答案点睛】本小题主要考查线性规划求最值，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.15．C【答案解析】

根据确定是异面直线与所成的角，利用余弦定理计算得到答案.【题目详解】由题意可得.因为，所以是异面直线与所成的角，记为，故.故选：.【答案点睛】本题考查了异面直线夹角，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.16．【答案解析】

某层抽取的人数等于该层的总人数乘以抽样比.【题目详解】设抽取的样本容量为x，由已知，，解得.故答案为：【答案点睛】本题考查随机抽样中的分层抽样，考查学生基本的运算能力，是一道容易题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（1）见解析；（2）．【答案解析】

（1）取的中点，连接、，推导出四边形为平行四边形，可得出，由此能证明平面；（2）由，得平面，则点到平面的距离等于点到平面的距离，在平面内过点作于点，就是到平面的距离，也就是点到平面的距离，由此能求出直线与平面所成角的正弦值．【题目详解】（1）取的中点，连接、，、分别为、的中点，则且，、均垂直于平面，且，则，且，所以，四边形为平行四边形，则，平面，平面，因此，平面；（2）由，平面，平面，平面，点到平面的距离等于点到平面的距离，在平面内过点作于点，平面，平面，，，，平面，即就是到平面的距离，也就是点到平面的距离，设，则到平面的距离，，因此，直线与平面所成角的正弦值为．【答案点睛】本题考查线面平行的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．18．（1）（2）【答案解析】

（1）判断公比不为1，运用等比数列的求和公式，解方程可得公比，进而得到所求通项公式；（2）求得，运用数列的错位相减法求和，以及等比数列的求和公式，计算可得所求和.【题目详解】解：（1）设公比为正数的等比数列的前项和为，且，，可得时，，不成立；当时，，即，解得（舍去），则；（2），前项和，，两式相减可得，化简可得.【答案点睛】本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的错位相减法求和，考查方程思想和运算能力，属于中档题．19．（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）.【答案解析】

（Ⅰ）取中点，连结、，四边形是平行四边形，由，，得，从而，，求出，由此能证明．（Ⅱ）以为原点，、、所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的余弦值．【题目详解】证明：（Ⅰ）取中点，连结、，∵，，∴四边形是平行四边形，∵，，，∴，∴，∴，在中，，又∵为的中点，∴，又∵，∴．解：（Ⅱ）∵，，，∴，以为原点，、、所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，设，则，，，，∴，，，设面的法向量，则，取，得，同理，得平面的法向量，设二面角的平面角为，则，∴二面角的余弦值为．【答案点睛】本题考查面面垂直及线面垂直性质定理、线面垂直判定与性质定理以及利用空间向量求线面角与二面角，考查基本分析求解能力，属中档题．20．（1）；（2）【答案解析】

（1）根据递推公式，用配凑法构造等比数列，求其通项公式，进而求出的通项公式；（2）求出数列的通项公式，利用错位相减法求数列的前项和.【题目详解】解：（1），，是首项为，公比为的等比数列．所以，．（2）.【答案点睛】本题考查了由数列的递推公式求通项公式，错位相减法求数列的前n项和的问题，属于中档题.21．（1）（2）【答案解析】

（1）因为，可得，即可求得答案；（2）分别设、的斜率为和，切点，，可得过点的抛物线的切线方程为：，联立直线方程和抛物线方程，得到关于一元二次方程，根据，求得，，进而求得切点，坐标，根据两点间距离公式求得，根据点到直线距离公式求得点到切线的距离，进而求得的面积.【题目详解】（1），，解得，抛物线的方程为.（2）由题意可知，、的斜率都存在，分别设为和，切点，，过点的抛物线的切线：，由,消掉,可得，，即，解得，，又由，得，，，同理可得，，，，，切线的方程为，点到切线的距离为，，即的面积为.【答案点睛】本题主要考查了求抛物线方程和抛物线中三角形面积问题，解题关键是掌握抛物线定义和圆锥曲线与直线交点问题时,通常用直线和圆锥曲线联