第四章、Z变换和离散时间系统的Z域分析课件

第八章、Z变换和离散时间系统的Z域分析

本章要点Z变换的基本概念和基本性质利用Z变换解差分方程离散系统的系统函数离散系统的频率响应数字滤波器1第八章、Z变换和离散时间系统的Z域分析§8.1Z变换的定义—由拉氏变换引出Z变换有抽样信号单边拉氏变换2§8.1Z变换的定义—由拉氏变换引出Z变换有抽样信号2令,其中z为一个复变量则广义上讲T=1单边Z变换3令,其中z为§8.2Z变换的收敛域收敛域：当为有界时，令上述级数收敛的的所有可取的值的集合称为收敛域1）比值判别法2)根值判别法4§8.2Z变换的收敛域收敛域：当为有例：5例：5几类序列的收敛域（1）有限序列：在有限区间内，有非零的有限值的序列收敛域为除了0和的整个平面6几类序列的收敛域（1）有限序列：在有限区间内，有非零的有限值（1）右边序列：只在区间内，有非零的有限值的序列收敛半径圆外为收敛域7（1）右边序列：只在区间内，有非零（1）左边序列：只在区间内，有非零的有限值的序列收敛半径圆内为收敛域，若则不包括z=0点8（1）左边序列：只在区间内，有非零（1）双边序列：只在区间内，有非零的有限值的序列圆内收敛圆外收敛有环状收敛域没有收敛域9（1）双边序列：只在例：右边序列10例：右边序列10例：左边序列收敛半径圆内为收敛域，若则不包括z=0点11例：左边序列收敛半径圆内为收敛域，11例：有限长序列收敛域为除了0和的整个平面8个零点7阶极点一阶极点12例：有限长序列收敛域为除了0和8个零点1例：双边序列13例：双边序列13§8.3典型序列的Z变换单位样值序列单位阶跃序列斜变序列指数序列正弦余弦序列14§8.3典型序列的Z变换单位样值序列1415151616余弦序列的Z变换:17余弦序列的Z变换:17正弦序列的Z变换:18正弦序列的Z变换:18例19例19§8.4Z变换的逆变换（1）留数法（2）幂级数展开法（略）（3）部分分式法20§8.4Z变换的逆变换（1）留数法20（1）留数法假设有一固定的围线C，它包围原点，沿围线逆时针转一圈，两边乘以，然后沿着围线积分，得到：21（1）留数法21由复变函数中的柯西定理只有右边的即一项，于是逆变换22由复变函数中的柯西定理22用留数求围线积分一阶极点：S阶极点：23用留数求一阶极点：S阶极点：23例解必然是因果序列，右边序列24例解必然是因果序列，右边序列242525（2）部分分式法Am是在Pm处的留数只有一阶极点26（2）部分分式法Am是在只有一262727含有M个一阶S个高阶极点部分分式为另一种形式28含有M个一阶部分分式为28例双边序列简单的可用公式或查下册第75页的表8-2，8-3，8-4：左边序列右边序列29例双边序列简单的可用公式或查下册第75页的表8-2，8-3，§8.5Z变换的基本性质

线性和位移性序列线性加权（Z域微分）序列指数加权（Z域尺度变换）初值定理和终值定理时域卷积和Z域卷积定理帕斯瓦尔定理30§8.5Z变换的基本性质

线性和位移性30

Z变换的基本性质和定理如果 则有：*即满足均匀性与叠加性；*收敛域为两者重叠部分。1.线性31 Z变换的基本性质和定理*即满足均匀性与叠加性；*收敛域为两[例]已知,求其z变换。解：32[例]已知2.序列的移位如果 则有：[例2-8]求序列x(n)=u(n)-u(n-3)的z变换。332.序列的移位如果 则有：[例2-8]求序列3.Z域尺度变换(乘以指数序列)如果，则证明：343.Z域尺度变换(乘以指数序列)如果，则证明：344.序列的线性加权(Z域求导数)如果，则证明：354.序列的线性加权(Z域求导数)如果，则证明：355.共轭序列如果，则证明：365.共轭序列如果，则证明：366.翻褶序列如果，则证明：376.翻褶序列如果，则证明：377.初值定理证明：387.初值定理证明：388.终值定理证明：398.终值定理证明：39又由于只允许X(z)在z=1处可能有一阶极点，故因子（z-1)将抵消这一极点，因此(z-1)X(z)在上收敛。所以可取z1的极限。40又由于只允许X(z)在z=1处可能有一阶极点9.有限项累加特性证明：419.有限项累加特性证明：41[例]已知,求其z变换。解：42[例]已知10.序列的卷积和(时域卷积定理)

4310.序列的卷积和(时域卷积定理)43证明：44证明：4411.序列相乘(Z域卷积定理)其中,C是在变量V平面上，X(z/v),H(v)公共收敛域内环原点的一条逆时针单封闭围线。（证明从略）4511.序列相乘(Z域卷积定理)其中,C是在变量V平面上，X(

12.帕塞瓦定理(parseval)其中“*”表示复共轭，闭合积分围线C在公共收敛域内。（证明从略）如果则有:4612.帕塞瓦定理(parseval)其中“*”表示复共轭§8.6Z变换与拉氏变换的关系（一）从S平面到Z平面的映射（二）连续信号与抽样信号的拉氏变换 的关系（三）连续信号的拉氏变换与Z变换的关 系47§8.6Z变换与拉氏变换的关系（一）从S平面到Z（一）从S平面到Z平面的映射48（一）从S平面到Z平面的映射484949多圈50多圈505151（二）连续信号与抽样信号的拉氏变换的关系52（二）连续信号与抽样信号的拉氏变换的关系525353（三）连续信号的拉氏变换与其Z变换的关系抽样信号的拉氏变换与Z变换的关系连续信号与抽样信号的拉氏变换的关系54（三）连续信号的拉氏变换与其Z变换的关系抽样信号的拉氏变换与连续信号的拉氏变换与Z变换的关系若只含一阶极点则55连续信号的拉氏变换与Z变换的关系55§8.7用单边Z变换解差分方程解差分方程的方法：（1）时域经典法（2）卷积和解法（3）Z变换解法56§8.7用单边Z变换解差分方程解差分方程的方法：56（一）复习Z变换的位移特性若x(n)分别是双边序列、双边左移序列、双边右移序列时，它们的双边和单边Z变换是不同的：（1）双边序列的双边Z变换(p79-p83)57（一）复习Z变换的位移特性若x(n)分别是双边序列、双边左移（2）双边左移序列的单边Z变换58（2）双边左移序列的单边Z变换58（3）双边右移序列的单边Z变换因果序列是右移序列59（3）双边右移序列的单边Z变换因果序列59（4）对于因果序列x(n)60（4）对于因果序列x(n)60（二）用单边Z变换解差分方程的步骤和思路x(n-r),y(n-k)均为右移序列两边取单边Z变换初始状态若因果信号此项为零61（二）用单边Z变换解差分方程的步骤和思路初始状态若因果信号6例：完全解里面已含有初始条件62例：完全解里面已含有62例：完全解63例：完全解63§8.8离散系统的系统函数一、定义：（1）系统零状态响应的Z变换与输入的Z变换之比（2）系统单位样值响应h(n)的Z变换64§8.8离散系统的系统函数一、定义：64（1）定义一：系统零状态响应的Z变换与输入的Z变换之比

若x(n)是因果序列,则在系统零状态下：请注意这里与解差分有何不同？因果！零状态65（1）定义一：系统零状态响应的Z变换与输入的Z变换之比

若x（2）定义二：系统单位样值响应h(n)的Z变换激励与单位样值响应的卷积为系统零状态响应由卷积定理66（2）定义二：系统单位样值响应h(n)的Z变换激励与单位样值二、对系统特性的影响由极点分布决定系统单位样值响应由极点分布决定系统稳定性由零极点分布决定系统决定系统频率特性（§8.9)67二、对系统特性的影响由极点分布决定系统单位样值响应67（1）由极点分布决定系统单位样值响应

一般为复数它在平面的分布位置决定了系统特性68（1）由极点分布决定系统单位样值响应

一般为复极点分布对h(n)的影响69极点分布对h(n)的影响69（2）由极点分布决定系统稳定性系统稳定的充要条件是单位样值响应绝对可和。即：因果稳定系统的充要条件为：h(n)是单边的而且是有界的。即： 因果 稳定非因果也可以稳定70（2）由极点分布决定系统稳定性系统稳定的充要条件是单位样值响离散系统稳定的充是要条件为h(n)绝对可和71离散系统稳定的充是要条件为h(n)绝对可和71对稳定的因果系统收敛域为：全部极点位于单位圆内对于非因果系统，收敛域并不是在圆外区域，极点不限于单位圆内。72对稳定的因果系统收敛域为：全部极点位于单位圆内对于非因果系统例：已知因果系统的系统函数如下：试说明该系统是否稳定？解：临界稳定73例：已知因果系统的系统函数如下：临界稳定73例：已知系统函数如下，试说明分别在（1）（2）两种情况下系统的稳定性：（1）（2）解：（1）因果系统，右边序列因果系统但极点在单位圆外，不稳定发散74例：已知系统函数如下，试说明分别在（1）（2）两种情况下系统（2）非因果系统，右序左序有界 所以，该非因果系统，但是，是稳定的75（2）非因果系统§8.8离散系统的频率响应一、什么是离散系统的频率响应？ 定义一：单位样值响应的傅 立叶变换 定义二：离散系统在正弦序 列作用下的稳态响应二、系统的频率响应的几何确定76§8.8离散系统的频率响应一、什么是离散系统的频率响应？7定义一：序列的傅立叶变换序列的傅立叶变换：由S_Z的映射来看，当，则，于是相当于自变量沿着z=1单位圆周变化，则：序列的傅立叶正变换77定义一：序列的傅立叶变换序列的傅立叶变换：序列的77序列的傅立叶反变换序列的傅立叶逆变换78序列的傅立叶反变换序列78连续信号和离散序列的傅立叶变换的比较连续离散79连续信号和离散序列的傅立叶变换的比较连续离散79定义一：系统频率响应即系统单位样值函数的傅立叶变换当h(n)已知时，下列表达式表示系统频率响应函数，是以h(n)为加权系数，对各次谐波进行加权或改变的情况（物理意义）。80定义一：系统频率响应即系统单位样值函数的傅立叶变换80系统的激励是时，它的频谱覆盖了的范围于是系统的单位样值响应可以看成对各次的谐波的滤波的总的效果反映了系统对整个频带的滤波作用81系统的激励是时，它的频谱覆盖了定义二：正弦序列及其作用下系统的稳态响应的傅立叶变换之比82定义二：正弦序列及其作用下系统的稳态响应的傅立叶变换之比82因为是周期的，所以也是周期的，其周期为重复频率。83因为是周期的，所以定义二的物理意义把看成无数个窄带滤波器，每个滤波器的幅频特性是，且对信号有相移作用。84定义二的物理意义把看成无数个窄带滤波器，每8585二、系统的频率响应的几何确定86二、系统的频率响应的几何确定86系统的频率响应的几何确定法87系统的频率响应的几何确定法87由几何法可以看出：（1）z=0处的零极点对幅频特性没有影响，只对相位有影响（2）当旋转某个极点附近时，例如在同一半径上时，较短，则在该点应当出现一个峰值，越短，附近越尖锐。若落在单位圆上，则，则处的峰值趋于无穷大。（3）对于零点则其作用与极点的作用正好相反。88由几何法可以看出：88低通高通89低通高通89带通带阻90带通带阻90全通靠近单位圆周的极点附近有尖峰91全通靠近单位圆周的极点附近有尖峰91例：（8-34）解92例：（8-34）解929393例:(8-23)因果系统的系统函数如下,试说明这些系统是否稳定?

因果系统的极点必须在单位圆内解极点在单位圆内,系统稳定。Re[z]jIm[z]94例:(8-23)因果系统的系统函数如下,试说明这些系统是否稳解有一个极点在单位圆外，所以系统不稳定。jIm[z]Re[z]95解有一个极点在单位圆外，所以系统不稳定。jIm[z]Re[z解有一对共轭极点在单位圆上，所以系统临界稳定。jIm[z]Re[z]96解有一对共轭极点在单位圆上，所以系统临界稳定。jIm[z]R例：（8-29）求如下一阶离散系统的暂态和稳态响应解已知：暂态解稳态解97例：（8-29）求如下一阶离散系统的暂态和稳态响应解已知：暂暂态解稳态解98暂态解稳态解98例：（8-31）已知系统函数如下：求：（1）写出对应的差分方程；（2）画出系统结构图（3）求系统的频率响应，并画出k=0,0.5,1三种情况下系统的幅度响应和相位响应解99例：（8-31）已知系统函数如下：求：（1）写出对应的差分方100100§8.10数字滤波器的基本原理和构成周期频谱连续频谱非周期连续频谱周期频率特性滤波结果加矩形窗101§8.10数字滤波器的基本原理和构成周期频谱非周期连周期频102102数字滤波器的构成一般差分方程系统函数103数字滤波器的构成一般差分方程103(1)递归式数字滤波器(IIR)(a)直接式104(1)递归式数字滤波器(IIR)(a)直接式104（b）简化直接式105（b）简化直接式105简化直接式的证明：106简化直接式的证明：106107107108108(c)级联形式109(c)级联形式109(d)并联形式110(d)并联形式110 (2)非递归数字滤波器(FIR)梳形滤波器111 (2)非递归数字滤波器(FIR)梳形滤波器111例：由下列差分方程求出网络结构，并求其系统函数H(z)和单位样制值响应h(n)解112例：由下列差分方程求出网络结构，并求其系统函数H(z)和解113解113数字滤波器的设计方法：

冲激不变法在抽样点上冲激不变以后可以直接采用114数字滤波器的设计方法：

冲激不变法在抽样点上以后可以114用冲激不变法设计数字滤波器举例已知二阶巴特沃兹低通滤波器的系统函数如下,试设计该低通的数字滤波器115用冲激不变法设计数字滤波器举例已知二阶巴特沃兹低通滤波器第八章、Z变换和离散时间系统的Z域分析

本章要点Z变换的基本概念和基本性质利用Z变换解差分方程离散系统的系统函数离散系统的频率响应数字滤波器116第八章、Z变换和离散时间系统的Z域分析§8.1Z变换的定义—由拉氏变换引出Z变换有抽样信号单边拉氏变换117§8.1Z变换的定义—由拉氏变换引出Z变换有抽样信号2令,其中z为一个复变量则广义上讲T=1单边Z变换118令,其中z为§8.2Z变换的收敛域收敛域：当为有界时，令上述级数收敛的的所有可取的值的集合称为收敛域1）比值判别法2)根值判别法119§8.2Z变换的收敛域收敛域：当为有例：120例：5几类序列的收敛域（1）有限序列：在有限区间内，有非零的有限值的序列收敛域为除了0和的整个平面121几类序列的收敛域（1）有限序列：在有限区间内，有非零的有限值（1）右边序列：只在区间内，有非零的有限值的序列收敛半径圆外为收敛域122（1）右边序列：只在区间内，有非零（1）左边序列：只在区间内，有非零的有限值的序列收敛半径圆内为收敛域，若则不包括z=0点123（1）左边序列：只在区间内，有非零（1）双边序列：只在区间内，有非零的有限值的序列圆内收敛圆外收敛有环状收敛域没有收敛域124（1）双边序列：只在例：右边序列125例：右边序列10例：左边序列收敛半径圆内为收敛域，若则不包括z=0点126例：左边序列收敛半径圆内为收敛域，11例：有限长序列收敛域为除了0和的整个平面8个零点7阶极点一阶极点127例：有限长序列收敛域为除了0和8个零点1例：双边序列128例：双边序列13§8.3典型序列的Z变换单位样值序列单位阶跃序列斜变序列指数序列正弦余弦序列129§8.3典型序列的Z变换单位样值序列141301513116余弦序列的Z变换:132余弦序列的Z变换:17正弦序列的Z变换:133正弦序列的Z变换:18例134例19§8.4Z变换的逆变换（1）留数法（2）幂级数展开法（略）（3）部分分式法135§8.4Z变换的逆变换（1）留数法20（1）留数法假设有一固定的围线C，它包围原点，沿围线逆时针转一圈，两边乘以，然后沿着围线积分，得到：136（1）留数法21由复变函数中的柯西定理只有右边的即一项，于是逆变换137由复变函数中的柯西定理22用留数求围线积分一阶极点：S阶极点：138用留数求一阶极点：S阶极点：23例解必然是因果序列，右边序列139例解必然是因果序列，右边序列2414025（2）部分分式法Am是在Pm处的留数只有一阶极点141（2）部分分式法Am是在只有一2614227含有M个一阶S个高阶极点部分分式为另一种形式143含有M个一阶部分分式为28例双边序列简单的可用公式或查下册第75页的表8-2，8-3，8-4：左边序列右边序列144例双边序列简单的可用公式或查下册第75页的表8-2，8-3，§8.5Z变换的基本性质

线性和位移性序列线性加权（Z域微分）序列指数加权（Z域尺度变换）初值定理和终值定理时域卷积和Z域卷积定理帕斯瓦尔定理145§8.5Z变换的基本性质

线性和位移性30

Z变换的基本性质和定理如果 则有：*即满足均匀性与叠加性；*收敛域为两者重叠部分。1.线性146 Z变换的基本性质和定理*即满足均匀性与叠加性；*收敛域为两[例]已知,求其z变换。解：147[例]已知2.序列的移位如果 则有：[例2-8]求序列x(n)=u(n)-u(n-3)的z变换。1482.序列的移位如果 则有：[例2-8]求序列3.Z域尺度变换(乘以指数序列)如果，则证明：1493.Z域尺度变换(乘以指数序列)如果，则证明：344.序列的线性加权(Z域求导数)如果，则证明：1504.序列的线性加权(Z域求导数)如果，则证明：355.共轭序列如果，则证明：1515.共轭序列如果，则证明：366.翻褶序列如果，则证明：1526.翻褶序列如果，则证明：377.初值定理证明：1537.初值定理证明：388.终值定理证明：1548.终值定理证明：39又由于只允许X(z)在z=1处可能有一阶极点，故因子（z-1)将抵消这一极点，因此(z-1)X(z)在上收敛。所以可取z1的极限。155又由于只允许X(z)在z=1处可能有一阶极点9.有限项累加特性证明：1569.有限项累加特性证明：41[例]已知,求其z变换。解：157[例]已知10.序列的卷积和(时域卷积定理)

15810.序列的卷积和(时域卷积定理)43证明：159证明：4411.序列相乘(Z域卷积定理)其中,C是在变量V平面上，X(z/v),H(v)公共收敛域内环原点的一条逆时针单封闭围线。（证明从略）16011.序列相乘(Z域卷积定理)其中,C是在变量V平面上，X(

12.帕塞瓦定理(parseval)其中“*”表示复共轭，闭合积分围线C在公共收敛域内。（证明从略）如果则有:16112.帕塞瓦定理(parseval)其中“*”表示复共轭§8.6Z变换与拉氏变换的关系（一）从S平面到Z平面的映射（二）连续信号与抽样信号的拉氏变换 的关系（三）连续信号的拉氏变换与Z变换的关 系162§8.6Z变换与拉氏变换的关系（一）从S平面到Z（一）从S平面到Z平面的映射163（一）从S平面到Z平面的映射4816449多圈165多圈5016651（二）连续信号与抽样信号的拉氏变换的关系167（二）连续信号与抽样信号的拉氏变换的关系5216853（三）连续信号的拉氏变换与其Z变换的关系抽样信号的拉氏变换与Z变换的关系连续信号与抽样信号的拉氏变换的关系169（三）连续信号的拉氏变换与其Z变换的关系抽样信号的拉氏变换与连续信号的拉氏变换与Z变换的关系若只含一阶极点则170连续信号的拉氏变换与Z变换的关系55§8.7用单边Z变换解差分方程解差分方程的方法：（1）时域经典法（2）卷积和解法（3）Z变换解法171§8.7用单边Z变换解差分方程解差分方程的方法：56（一）复习Z变换的位移特性若x(n)分别是双边序列、双边左移序列、双边右移序列时，它们的双边和单边Z变换是不同的：（1）双边序列的双边Z变换(p79-p83)172（一）复习Z变换的位移特性若x(n)分别是双边序列、双边左移（2）双边左移序列的单边Z变换173（2）双边左移序列的单边Z变换58（3）双边右移序列的单边Z变换因果序列是右移序列174（3）双边右移序列的单边Z变换因果序列59（4）对于因果序列x(n)175（4）对于因果序列x(n)60（二）用单边Z变换解差分方程的步骤和思路x(n-r),y(n-k)均为右移序列两边取单边Z变换初始状态若因果信号此项为零176（二）用单边Z变换解差分方程的步骤和思路初始状态若因果信号6例：完全解里面已含有初始条件177例：完全解里面已含有62例：完全解178例：完全解63§8.8离散系统的系统函数一、定义：（1）系统零状态响应的Z变换与输入的Z变换之比（2）系统单位样值响应h(n)的Z变换179§8.8离散系统的系统函数一、定义：64（1）定义一：系统零状态响应的Z变换与输入的Z变换之比

若x(n)是因果序列,则在系统零状态下：请注意这里与解差分有何不同？因果！零状态180（1）定义一：系统零状态响应的Z变换与输入的Z变换之比

若x（2）定义二：系统单位样值响应h(n)的Z变换激励与单位样值响应的卷积为系统零状态响应由卷积定理181（2）定义二：系统单位样值响应h(n)的Z变换激励与单位样值二、对系统特性的影响由极点分布决定系统单位样值响应由极点分布决定系统稳定性由零极点分布决定系统决定系统频率特性（§8.9)182二、对系统特性的影响由极点分布决定系统单位样值响应67（1）由极点分布决定系统单位样值响应

一般为复数它在平面的分布位置决定了系统特性183（1）由极点分布决定系统单位样值响应

一般为复极点分布对h(n)的影响184极点分布对h(n)的影响69（2）由极点分布决定系统稳定性系统稳定的充要条件是单位样值响应绝对可和。即：因果稳定系统的充要条件为：h(n)是单边的而且是有界的。即： 因果 稳定非因果也可以稳定185（2）由极点分布决定系统稳定性系统稳定的充要条件是单位样值响离散系统稳定的充是要条件为h(n)绝对可和186离散系统稳定的充是要条件为h(n)绝对可和71对稳定的因果系统收敛域为：全部极点位于单位圆内对于非因果系统，收敛域并不是在圆外区域，极点不限于单位圆内。187对稳定的因果系统收敛域为：全部极点位于单位圆内对于非因果系统例：已知因果系统的系统函数如下：试说明该系统是否稳定？解：临界稳定188例：已知因果系统的系统函数如下：临界稳定73例：已知系统函数如下，试说明分别在（1）（2）两种情况下系统的稳定性：（1）（2）解：（1）因果系统，右边序列因果系统但极点在单位圆外，不稳定发散189例：已知系统函数如下，试说明分别在（1）（2）两种情况下系统（2）非因果系统，右序左序有界 所以，该非因果系统，但是，是稳定的190（2）非因果系统§8.8离散系统的频率响应一、什么是离散系统的频率响应？ 定义一：单位样值响应的傅 立叶变换 定义二：离散系统在正弦序 列作用下的稳态响应二、系统的频率响应的几何确定191§8.8离散系统的频率响应一、什么是离散系统的频率响应？7定义一：序列的傅立叶变换序列的傅立叶变换：由S_Z的映射来看，当，则，于是相当于自变量沿着z=1单位圆周变化，则：序列的傅立叶正变换192定义一：序列的傅立叶变换序列的傅立叶变换：序列的77序列的傅立叶反变换序列的傅立叶逆变换193序列的傅立叶反变换序列78连续信号和离散序列的傅立叶变换的比较连续离散194连续信号和离散序列的傅立叶变换的比较连续离散79定义一：系统频率响应即系统单位样值函数的傅立叶变换当h(n)已知时，下列表达式表示系统频率响应函数，是以h(n)为加权系数，对各次谐波进行加权或改变的情况（物理意义）。195定义一：系统频率响应即系统单位样值函数的傅立叶变换80系统的激励是时，它的频谱覆盖了的范围于是系统的单位样值响应可以看成对各次的谐波的滤波的总的效果反映了系统对整个频带的滤波作用196系统的激励是时，它的频谱覆盖了定义二：正弦序列及其作用下系统的稳态响应的傅立叶变换之比197定义二：正弦序列及其作用下系统的稳态响应的傅立叶变换之比82因为是周期的，所以也是周期的，其周期为重复频率。198因为是周期的，所以定义二的物理意义把看成无数个窄带滤波器，每个滤波器的幅频特性是，且对信号有相移作用。199定义二的物理意义把看成无数个窄带滤波器，每20085二、系统的频率响应的几何确定201二、系统的频率响应的几何确定86系统的频率响应的几何确定法202系统的频率响应的几何