高考数学一轮复习讲义：椭圆、双曲线及抛物线(无答案)

第第页例、已知椭圆a2+b2=1(a>b>0)离心率为1,过点E(—9,0)的椭圆的两条切线相互垂直(1)求此椭圆的方程;(2)若存在过点(t,0)的直线l交椭圆于A,B两点，使得FA，FB(F为右焦点)，求t的取值范围方法技巧厂…”一—一…一…”一—一…一…”一…”一…一…”一…”一…一…”深访刘而…了不帚再方法一…”一—一…一…”一—一…一!i(1)函数法：用其他变量表示该参数，建立函数关系，利用求函数值域的方法求解.1 (2)不等式法：根据题意建立含参数的不等式，通过解不等式求参数范围.i| (3)判别式法：建立关于某变量的一元二次方程，利用判别式 A求参数的范围.■i (4)数形结合法：研究该参数所表示的几何意义，利用数形结合思想求解.二而演练—一—一一一—一■■■■■■■ 一一 一一一v2..2 o2已知椭圆亚+*=1(a>b>0)的右焦点为F,直线PQ过F交椭圆于P,Q两点，且|PF|maxQF|min=a；.(1)求椭圆的长轴与短轴的比值;⑵如图，线段p*q垂直平分线与pQ交于点M，与x轴，y轴分别交于D，E两点，求就的取值范围.题型三、证明问题1,,例、(2019北京局考)已知抛物线C:y2=2px过点P(1,1).过点0,万作直线l与抛物线C交于不同的两点M,N,过点M作x轴的垂线分别与直线OP,ON交于点A,B,其中O为原点.(1)求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；(2)求证：A为线段BM的中点.方法技巧「一…”一而保山装一而证而一亚防而而IT盲茬歪浮爰看而而菽二,吞1丽南］而百法二瓶S沟i”…一…—一|直接法或反证法.一而而冻———一一一一一―一x2y2(2019成都一诊)已知椭圆5+：=1的右焦点为F,设直线l：x=5与x轴的交点为E,过点F且斜率为k的直线1i与椭圆交于A,B两点，M为线段EF的中点.(1)若直线1i的倾斜角为4c,求|AB|的值；(2)设直线AM交直线l于点N,证明：直线BNH.高考真题演练x2y2 3(2019全国卷出)已知点A(0,-2),椭圆E:/+禧=1(a>b>0)的离心率为2,F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为平，O为坐标原点.3(1)求E的方程；(2)设过点A的动直线l与E相交于P,Q两点.当4PQ的面积最大时，求l的方程.(2019全国卷出中面直角坐标系xOy中，过椭圆M:%+2=13»0)右焦点白直线x+y—43=0交M于A,B1两点，P为AB的中点，且OP的斜率为2.(1)求M的方程；(2)C,D为M上的两点，若四边形ACBD的对角线CDXAB,求四边形ACBD面积的最大值.(2019全国卷出)设圆x2+y2+2x—15=0的圆心为A,直线l过点B(1,0)且与x轴不重合，l交圆A于C,D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.(1)证明|EA|十|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程；(2)设点E的轨迹为曲线C1,直线l交C1于M,N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围.[Wj考达标检测

2 2.已知A,B分别是椭圆C:$+3=1(a>b>0)的长轴与短轴的一个端点， F1,F2分别是椭圆C的左、右焦点，D是椭圆上的一点， ADF1F2的周长为6,|AB尸巾.(1)求椭圆C的方程；(2)若P是圆x2+y2=7上任一点，过点P作椭圆C的切线，切点分别为M,N,求证：PMXPN..已知椭圆C:a2■+b^=1(a>b>0)的短轴长为2,且椭圆C的顶点在圆M：x2+y—¥2=2上.(1)求椭圆C的方程；(2)过椭圆的上焦点作相互垂直的弦 AB,CD,求|AB|十|CD|的最小值..已知椭圆C:y2+x2-=1(a>b>0)的上、下焦点分别为Fi,F2,离心率为1,P为C上的动点，且满足?2P=XPQ(Q0),ab 2|PQ|=|PFi|,^FiF2面积的最大值为4.(1)求点Q的轨迹E的方程和椭圆C的方程；(2)直线y=kx+m(m>0)与椭圆C相切且与曲线E交于M,N两点，求SAFiMN的取值范围..如图，椭圆E的左、右顶点分别为A,B,左、右焦点分别为Fi,F2,|AB|=4,|FiF2|=2/3.(1)求椭圆E的方程；(2)直线y=kx+m(k>0)交椭圆于C,D两点，与线段F1F2及椭圆短轴分别交于M,N两点(M,N不重合)，且|CN|=|DM|,求k的值；k2(3)在(2)的条件下，若m>0,设直线AD,BC的斜率分别为匕，k2,求2的取值范围.k2能力提高训练题x2y2 43已知椭圆C:/+$=1(a>b>0)的右准线l的万程为*=-3—，短轴长为2.⑴求椭圆C的方程；(2)过定点B(1,0)作直线l与椭圆C相交于P,Q(异于Ai,A2)两点，设直线PA1与直线QA2相交于点M(2xo,y。).①试用x0,y0表示点P,Q的坐标；②求证：点M始终在一条定直线上.高考研究课七、圆锥曲线的综合问题——定点、定值、探索性问题全国卷5年命题分析考点考查频度考查角度定点问题5年1考直线过定点定值问题5年2考证明斜率积为定值、证定值探索性问题5年2考探索点的存在性问题题型一、定点问题2 2例、已知右焦点为F的椭圆C:孑+y2=1(a>b>0)过点M1,2,直线x=a与抛物线Ci：x2=8y交于点N,且8M=Hl,其中O为坐标原点.(1)求椭圆C的方程；(2)直线l与椭圆C交于A,B两点.若直线l与x轴垂直，过点P(4,0)的直线PB交椭圆C于另一点E,证明直线AE与x轴相交于定点.方法技巧厂…————…一…”——一…一…”一一…一…”一一…一…”一…”莞商而画的焉市本法…一…一…”一—一…一…”一—一…一…”一—一…一…—一—一”■(1)假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于I定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点；■| (2)从特殊位置入手，找出定点，再证明该点适合题意.■」而而练———一一一一一―一如图，过顶点在原点、对称轴为y轴的抛物线E上的定点A(2,1)作斜率分别为ki,k2的直线，分别交抛物线E于B,C两点.(1)求抛物线E的标准方程和准线方程；(2)若k1+k2=k1k2,证明：直线BC恒过定点.题型二、定值问题x2y2 3例、已知椭圆C：bb2-=1(a>b>0)的离心率为>A(a,0),B(0,b),O(0,0),AOAB的面积为1.(1)求椭圆C的方程；(2)设P是椭圆C上一点，直线PA与y轴交于点M,直线PB与x轴交于点N.求证：AN|BM|为定值.方法技巧“一…———一…―…”——一…一…”―…—一…一…”―…—一…一…”一一…寂而丽岐而至出一一…一…”一—一…一…”一—一…一…”一—一…一(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关.(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.…而而标一一—一…一一一一一…一——一——一——一———————…—一——一…—一——一…—一——一…—一—一一…—一-2,,……一设抛物线C1：y2=8x的准线与x轴父于点F1,焦点为F2.以F1,F2为焦点，离心率为丁的椭圆记为C2.(1)求椭圆C2的方程；(2)设N(0,—2),过点P(1,2)作直线I,交椭圆C2于异于N的A,B两点.①若直线NA,NB的斜率分别为k1,k2,证明：k1+k2为定值；②以B为圆心，以BF2为半径作圆B,是否存在定圆M,使得圆B与圆M恒相切？若存在，求出圆M的方程，若不存在，请说明理由.题型三、探索性问题圆锥曲线的探索性问题主要体现在以下几个方面：1探索是否存在常数的问题；2探索是否存在点或直线的问题；3探索最值或定值的存在性问题.角度一：探索是否存在常数的问题.如图，椭圆E：X2+y2=1(a>b>0)的离心率是当，点P(0,1)在短轴CD上，且1C石5=—1.(1)求椭圆E的方程. .. . …>>._>>、>(2)设O为坐标原点，过点P的动直线与椭圆交于A,B两点.是否存在常数入，使得OAOB+入PA•PB为定值？若存在，求入的值；若不存在，请说明理由.方法技巧「一…”"I族基布花帝薮而而i面7一同百元而法而君忌i证录也花谷翥作而篆薮殖:一而巢而而薪而济T苦”…一…”一”…一”…'I'则就存在.[ I品度二：探索是否存在点或直线而向施.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,直线y=2与y的轴的交点为P,与C的交点为Q,且|QF|=2|PQ|.⑴求C的方程；(2)过焦点F的直线l的斜率为—1,判断C上是否存在两点M,N,使得M,N关于直线l对称，若存在，求出|MN|的值，若不存在，说明理由.方法技巧TOC\o"1-5"\h\z「一……至翥11有55瓶系泊!而际演碍1修5否方丁……一—…底藐而疝反而而强而川而后而不画丽Si而if”…一”…jj直接判断. j:一一…一i-—一一一i一i i一一一$1[1]麻11彷嬴而而柞而―i i.(2019湖南六校联考)如图，已知M(xo,yo)是椭圆C:7'+^=1上的任一点，从原点O向圆M:(x—xo)2+(y—yo)26 3=2作两条切线，分别交椭圆于点 P,Q.(1)若直线OP,OQ的斜率存在，并分别记为k1，k2,求证：k1k2为定值；(2)试问|OP|2+|OQ|2是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由.方法技巧TOC\o"1-5"\h\zi 解而探索，山可题的注意事项 i:i解决探索性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在. i:I (1)当条件和结论不唯一时要分类讨论. I| (2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件. |高考真题演彖

(2019全国卷出)已知椭圆C:、+3=1(a>b>0),四点Pi(1,1),P2(0,1),P3—1,当,P41,当中恰有三点在椭圆C上.(1)求C的方程；(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A,B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为—1,证明：l过定点.(2019全国卷出)已知椭圆C:$+b2=1(a>b>0)的离心率为多，点(2,/2)在C上.(1)求C的方程；(2)直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A,B,线段AB的中点为M.证明：直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.X2(2019全国卷出在直角坐标系xOy中，曲线C：y=可与直线l：N=kx+a(a>0)交于M,N两点.(1)当k=0时，分别求C在点M和N处的切线方程；(2)y轴上是否存在点P,使得当k变动时，总有/OPM=/OPN?说明理由.tWj考达标检测1.如图，已知椭圆C：伞+b2=1(a>b>0)的离心率是坐其中一个顶点为B(0,1).(1)求椭圆C的方程；(2)设P,Q是椭圆C上异于点B的任意两点，且BPXBQ.试问：直线PQ是否恒过一定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，说明理由.TOC\o"1-5"\h\z2,已知椭圆C:X2■+，=1(a>b>0)的离心率为当，短轴端点到焦点的距离为 2.(1)求椭圆C的方程；(2)设A,B为椭圆C上任意两点，O为坐标原点，且OALOB.求证：原点O到直线AB的距离为定值，并求出该定值..已知椭圆C：x1+巳=1(a>b>0)的离心率为坐,以原点。为圆心，椭圆C的长半轴长为半径的圆与直线 2x-V2ab 3y+6=0相切.(1)求椭圆C的标准方程；(2)已知点A,B为动直线y=k(x—2)(kw即椭圆C的两个交点，问：在x轴上是否存在定点E,使得启F2+EANB为定值？若存在，试求出点E的坐标和定值；若不存在，请说明理由.3 -在椭圆C上，O3 -在椭圆C上，O为坐标原点.且/AOB为锐角，求直线l的斜率k的取值范围;4..O：x2+y2=4的两条切线，切点分别为 M,N(M,3.已知椭圆C: #=1(a>b>0)的右焦点为F(1,0),且点P1,(1)求椭圆C的标准方程;(2)设过定点T(0,2)的直线l与椭圆C交于不同的两点 A,B,⑶过椭圆C1:K+y5=1上异于其顶点的任一点 P,作圆3 b2-3

N不在坐标轴上)，若直线MN在x轴、y轴上的截距分别为m,n,证明：亲十"^为定值•能力提高训练题已知椭圆的两个焦点为 F«-y/5, 0), F2(>/5, 0),M是椭圆上一点，若 M/iMFt=0, |MU|mF2|= 8.(1)求椭圆的方程；(2)直线l过右焦点F2(乖,0)(不与x轴重合)且与椭圆相交于不同的两点 A,B,在x轴上是否存在一个定点 P(xo,0),使得谊TB使得谊TB的值为定值？若存在，写出P点的坐标；若不存在，说明理由.阶段滚动检测TOC\o"1-5"\h\z一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 ).设集合A={x|x>3},B=xx-1W0,则AAB=( )x4tA.[4,+8) B.(4,+oo) c.(3,4] d.(3,4).若？xoC[—1,m](m>—1),|xo|—1>0"是假命题，则实数m的取值范围是( )A.(-1,1) B.(-1,1] C.[1,+8) D.[0,1].已知平面向量a,b满足|a|=2,|b|=1,a与b的夹角为名且(a+入(2a—b),则实数入的值为( )3A.—7 B.-3 C.2 D.3，一一 一 ，一、 I、………，， - 1 …4.已知函数f(x)是te义在R上的偶函数，且在区间[0,+°°比单倜递增，右头数a满足f(log2a)+f(log]a)wf(1),则a的取值范围为( )1门A.[1,2] B.0,2 C.(0,2] D.2.设P是左、右顶点分别为A,B的双曲线xA.2 B.1-y2=1上的点，若直线PA的倾斜角为斗,则直线PB的倾斜角是()3A.2 B.1兀 3兀 5兀 11兀A.6 B.4 C.6 D.12.已知a,b,c均为正数，且(a+c)(b+c)=2,则a+2b+3c的最小值为( )A.V2 B.2V2 C.4 D.8得到函数g(x),若存在x0,.函数f(x)—\/3cos2x+sin2x的图象向右平移6个单位长度，再向下平移得到函数g(x),若存在x0,C.2 D.31皿9.已知数列{an}的前n项和为Sn=ln1+n,则ea7+a8+a9=( )使彳导|g(x0)|a成立，则a的最小值为( )A.3 B.1 C.5 D.2.某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为 1+兀，则a的值为( )33A.420B.2126C.2735D.36x—2y—2WQ10.设直线xcos0—ysin0+2cos0=0(长[0兀府关于x,y的不等式组x+y-2<Q2x-y+2>0所表示的平面区域有公共点，则。的取值范围为(兀A.4，兀U{0}71,3TtC.了，兀U{0}11.菱形ABCD的对角线相交于点O,其中AO=45,P是4BCD内(包括边界)一动点，则aP-AC^的取值范围是( )A.[15,20] B.[10,20]一xlnx,0<x<a,12.设0<a<1,已知函数f(x)=1.cos2顺a<x<C.[10/5,20d5] D.[5,10]若对任意bC01,函数g(x)=f(x)—b至少有两个零点，则’ea的取值范围是( )1 3A.。，& B.。，4C.i1D,、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把正确答案填在题中的横线上 )13.在平面直角坐标系xOy中，双曲线a2-y2=1与抛物线y2=-12x有相同的焦点，则双曲线的两条渐近线的方程为..在数列｛an｝中，an+1+(-1)nan=2n-1,则数列｛an｝前12项和等于..在平面直角坐标系 xOy中，圆C1：(x-1)2+y2=2,圆C2：(x—m)2+(y+m)2=m2,若圆C2上存在点P满足：过点P向圆C1作两条切线FA,PB,切点为A,B,那BP的面积为1,则正数m的取值范围为.2x,x<(16,若函数f(x)= 则函数y=f(f(x))—1的零点个数为 .log2x,x>0,三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤).(本小题满分10分)已知函数f(x)=2sinxcosx+2V3cos2x—V3.(1)求函数y=f(x)的最小正周期和单调递减区间；A(2)已知那BC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,其中a=7,若锐角A满足f]—6=[3,且sinB+sinC=1343,求bc的值