高中数学多面体的外接球问题

简单多面体的外接球问题有关简单多面体的外接球,内切球问题衡东县第二中学刈长征一.外接球悯题若一个简单多面体的所有顶点都在一个球面上,则该球为此多面体的外接球.简单方面体的外接球间即是立体几何的重点相难点,此类同题实质是解?更球的半袖长或输量球心也置问题，其中理心位置的磷定是关蚓，下面介邰几种常见的球心位置的确定方法.1.由球的定义确定球心的位置如果一个定点与一个简单多面体的所有顶点的矩商都相等1那么这个定点就是速间单衣而体向外接球的球心.由此，可‘n得鲫储定的单苗面体外接耳的球心位置有如卜泮心结论1,正方体或长方体的外接球的球心为其体对角线的中点.伊；《加17年断课标全国n文数;长方体的长、射.高分别为52、I,其顶点都兴球44球而上，则球口的表面积为 ,解』长方体体对加线k为庐后于二而+可以长方体外接球学径出一平，所以长方体外接球的相面根为S工4网月？尸14汗,结论2；正棱柱的外接球的球心是上、下底面中心连线的中点,B匚例：｛式II下陕西理数)已知底面边长为I.州掖长J5的正四校杵的各个项点均在同个B匚球的球而上.则慢球的体积为1)3,十必—氏4开 C.2zr3解:如留，正四棱柱ABCD-胃RGDj.底面为边长为1.侧棱长沏J5,设让I分别为下.上底的中心.HI的中点为a下以。为外接球的球心,A所以外接球半使上航:包甲=1.所以外接球体积F=半#'=T.能其实此四校柱即任方悻，A。也城是长方阵体时俅戏艮的T•二结论3七直棱柱的外接球的球心是上、下底面旁边形外心连线的中点*例工(现13年辽宁文教)巴妞直三极柱ABC・ABM的六个顶点都在球。的球面上，若4B=3.M=4.力8上力「，44,=12.则球门的半经为()此M2K2加C.—D.3M2 2解：如图,也趣意可行，校村上、下底面为立如三相形.所以上、下底丽外接圆的圆心分别为BC、BC的中点，分别设茎分别为I、儿设HI的中点为5则点0为三棱柱外接球的球心，在Rf^BHO中,BO-48H、0i『="।所以外接班的半程网.2 2注土上述结论】，结论2都可以看作结论3的特殊情况.结论金正校辖外接球的球心在其高上，具体位置通过构造直角三角形计算得到.例；〈2014年大纲全国）正四梭锥的顶点都在同一球面上,若该四核批的岛为4,底面边长为2,则该球的衣面枳为（）TOC\o"1-5"\h\za817r c> 〃 c r、 27万A.- B. 16万 C. 9% D. ,4 4解：如图，设OI为底为正方形ABCD的中心,外接球球心为0,所以，PQ、1^\\ABCD.0在附上，设外接球0的外径为R,则设A0=P0,在RfA/IOOi中,R=AO=QAO：+OO：=QAO：+(POi-R$=孑所以，外接球的表面积为5=4乃川=4结论5,若棱锥的顶点可构其斜边的直角三角形，则公共斜边的中点就是其外接球的球心。例*（2017年新课标全国I文教改编）已知三棱错好用父的所有顶点都在球（）的球面上，若平面SC41.平面SCB,SA=ACSB=BC,SA±ACtSBLSC,三棱锥S-ABC的体枳为9,则球的表面根为 .解；如图，•.•5>I_L/CSBJ_6C，"0为SC的中点,由汽角三角形斜边上的中线等于斜边的•华，可得点0到AtB,C,S的距离相等，故点0为三棱卷外接耳的身心。・.•平面SC41平面SCB.SB二BC,.,.。5J,平面SAC.设球。的半径为R,则匕…RR=;R=9,.・.A=27.4-3.所以外接球衣而枳为5-4":36旌2,构造正方体、长方体、直棱柱等用上述结论确定外接球的球心（1）同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体，求其外接球问题可构造正方体或长方体。如下图:例：（2012年辽宁理数）已知正三棱锥P-A%点八A、氏C都在半径为O球面上，若PA、PB、PC两两互相垂直,则球心到截面ABC的距离是解：如图,构造正方体.则球心为正方体的中心0.易求得正方体梭长为2,设点0到面ABC的距离为d.作川垂直MN交MN于H,由联例•=%如，得：•所以d=且.3（2）框对的梗长相等的三棱锥，求其外接球问题可构造正方体或长方体.

A加FSI：A例：《2003全国）一个四而体的所有梭长都为JI.四个顶点在同•球而上,则此球的表而积为（）A.3aB.44C.36兀D.6乃解；根据上述方法，构造正方体，则正方体校氏为1,因此，该四面体外接球也就校长为1的正方体外接球,所以外接球华径汽=3,所以外接瓜表面粮为5=4兀川=3%.2（3）已知棱锥中含线面垂百：关系.求箕外接球问题，M构造直棱柱例，（2015年广西三川四月联号）一:核锥PM，CULPA1AB.PA±AC.ABAC20°.PA二AB=AC=2,则此三棱锥外接球的体积为 ^解：/PA1AB.PA±AC,PA±平而48U构造宜三核柱PQTABC,设G为A.46C外心，0为三极徘外接球球心，所以OQ±平面XSC体结论3泡：。Q=:儿26ABC由余弦定睚可求得BC=20再由正弦电理可来得△/SC外接圆半径r-2,所以，在A/A/OQ］中，AO=（4O；+OO；=区所以，三校推P-ABC外接球半径R二6,外接球体积卜二型&.3二.内切球问题方一个实而体的各个而都与一个球的球面相切,则称这个蒙面体是这个球的外切?而体，这个球是这个梦面体的内切球.因此，多面体内切球球心列该名而体各个面的距离相等.并非所有多而体都有内切球，卜而介绍几种常见多面体内切球问题:1.正多面体内切球的球心与其外接球的球心重合，内切球的半径为球心到多面体任一面的距乐例：已知桂长为a的正四而体ABCD,证明其内切球的半价为业。12证法一：如图.设.4，_L平而8CZ）.则H为△8CQ外心，由上述结论4可得，外接球球心在AH匕设外接球球心为0,

外接及半径为K则二BOR,在ABC。中，由正弦定理得8〃二—^’二巫。.sin60°2 3在R"BH中.AH=\/AB2-BH2=-a, BO2=BH2+OH\3，BO:=B1I2X/〃一CM）2,，ri=（#〃）?+湾a-/?『，.・.R=生,因内切球球心与外接球肃合,所以内切球半径，•=。〃=/〃一/。=立“一巫a=在”.3 4 12证法:；如图，平面6CD,诜外接球球心为0,则点Q也是内切球球心,DAD由T内切球球心到各个面的即席相等，都为内切球半径,设为“.•匕=^O-ABC+匕JTW）十匕十^O-BTIY・・•1£wrAH=1S.做7/7.・4•[厂='*//="a3皿3 4 12注：求校锥内切球半径，一般可用等体积法.即由内切球球心叮核推各个顶点的连线将原棱锥分割成以原校各面底面，以内切球球心为顶点的若干个小校崔，则各个小极锥的高部足内切球的半径，由分割前后的体积相等可列出关于内切球半径「的方程2.正棱锥的内切球与外接球的球心都在其高线上，但不一定重合。M：正四棱锥S-ABCD,底面边长为2,侧棱长为，则内切球华径为解：如图,设E为BC的中点,I为底面正方形AKD的中心.•・・S7«L平面SCO,则内切球球心在SI1＞设为0,过0作O〃，S£交SEf-lb任尺小5/。3易求出S/=x/7,即正四棱锥S