高中数学人教B版必修二学案：2.3.1圆的标准方程

.3圆的方程圆的标准方程［学习目标］1.会用定义推导圆的标准方程；掌握圆的标准方程的特点 .2.会根据已知条件求TOC\o"1-5"\h\z圆的标准方程.3.能准确判断点与圆的位置关系 .产预习导学主挑战自我।点>落实 ［知识链接］.平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫圆 ^.确定一个圆的基本要素是圆，口和半径 ..平面上两点间的距离公式 d=MX2-xi2+y2-yi-2.［预习导引］.圆的定义及圆的标准方程(1)圆的定义平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆 ^定点一圆的圆心；定长一圆的半径 .(2)圆的标准方程设圆的圆心是C(a,b),半径为r,则圆的标准方程是(x—a)2+(yb)2=r2,当圆的圆心在坐标原点时，圆的半径为r,则圆的标准方程是x2+y2=r2..点与圆的位置关系点与圆有三种位置关系，即点在圆外、点在圆上、点在圆内，判断点与圆的位置关系有两种方法：⑴将所给的点M与圆心C的距离跟半径r比较：若|CM|=r,则点M在圆上;若|CM|>r,则点M在圆夕卜;若|CM|vr,则点M在圆内.(2)可利用圆C的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2来确定：点M(m,n)在圆C上?(m—a)2+(n—b)2=r2;点M(m,n)在圆C外?(m—a)2+(n—b)2>r2;点M(m,n)在圆C内?(m—a)2+(n—b)2vr2科课堂讲义j重点难点，个个击破 要点一点与圆的位置关系例1已知点A(1,2)不在圆C：(x—a)2+(y+a)2=2a2的内部，求实数a的取值范围.解由题意，点A在圆C上或圆C的外部，.<1-a)2+(2+a)2>2a2,5-..2a+5>0,..a>—2,又aw。，5，a的取值范围是一2,0U(0,+8).规律方法判断点P(x。，y。)与圆(x—a)2+(y—b)2=r2的位置关系有几何法与代数法两种， 对于几何法，主要是利用点与圆心的距离与半径比较大小 ^对于代数法，主要是把点的坐标直接代入圆的标准方程，具体判断方法如下：①当(x。一a)2+(y。一b)2<r2时，点在圆内，②当(xo—a)2+(y。一b)2=r2时，点在圆上，③当(x。一a)2+(y。一b)2>r2时，点在圆外.跟踪演练1点P(m2,5)与圆x2+y2=24的位置关系是( )A.在圆外 B.在圆内C.在圆上 D.不确定答案A解析把点P(m2,5)代入圆的方程x2+y2=24得m4+25>24,故点P在圆外.要点二求圆的标准方程例2求过点A(1,—1),B(—1,1)且圆心在直线x+y—2=。上的圆的标准方程.解方法一设点C为圆心，二•点C在直线x+y—2=。上，，可设点C的坐标为(a,2—a).又•••该圆经过A,B两点，|CA|=|CB|.7a-12+2-a+12=勺a+12+2-a-12,解得a=1.・•・圆心坐标为C(1,1),半径长r=|CA|=2.

故所求圆的标准方程为(x—1)2+(y—1)2=4.1——1方法二 由已知可得线段AB的中点坐标为(0,0),kAB= =—1,所以弦AB的垂直平-1-1分线的斜率为k=1,所以AB的垂直平分线的方程为y-0=1(x-0),即y=x.则圆心是直线y=x, x=1,由 得x+y—2=0, y=1,y=x, x=1,由 得x+y—2=0, y=1,即圆心为。,1),圆的半径为q1-12+[1——1]2=2,故所求圆的标准方程为(x—1)2+(y—1)2=4.规律方法 直接法求圆的标准方程时， 一般先从确定圆的两个要素入手， 即首先求出圆心坐标和半径，然后直接写出圆的标准方程 .跟踪演练2以两点A(-3,—1)和B(5,5)为直径端点的圆的方程是 ( )A.(x-1)2+(y-2)2=10 B.(x-1)2+(y-2)2=100C.(x—1)2+(y—2产=5 D.(x—1)2+(y—2产=25答案D解析 二.点A(—3,—1)和B(5,5)的中点坐标为(1,2),••・以A、B为直径的圆的圆心坐标为(1,2),半径r=印5+32+5+12=5.，所求圆的方程为(x-1)2+(y—2)2=25.要点三圆的方程的综合应用例3已知圆心在x轴上的圆C与x轴交于两点A(1,0),B(5,0),(1)求此圆的标准方程；(2)设P(x,y)为圆C上任意一点，求P(x,y)到直线x—y+1=0的距离的最大值和最小值.解(1)由已知，得C(3,0),・•・所求方程为(x-3)2+y2=4.(2)圆心C到直线x—y+1=0的距离|3—0+1|“2+|3—0+1|“2+-12=2.2.・•.P到直线的最大距离为2+2取,最小距离为2近—2.规律方法 解答本题应用了圆的性质， 即圆上任意一点到圆心的距离都等于半径， 解题过程中用数形结合的思想能有效地找到解题的捷径， 即过圆心作已知直线的垂线， 便于求解此题.跟踪演练3已知圆C:(x—3)2+(y—4)2=1,点A(0,—1),B(0,1),设P是圆C上的动点，令d=|PA|2+pB|2,求d的最大值及最小值.解设P(x,y),则d=|PA|2+|PB|2=2(x2+y2)+2.,.|CO|2=52=25,.•.(5-1)2<x2+y2<(5+1)2.即16<x2+y2<36.••.d的最小值为2X16+2=34.最大值为2X36+2=74.二当堂检测丁当堂训编.体验成功 .圆(x—2)2+(y+3)2=2的圆心和半径分别是( )A.(—2,3),1 B.(2,—3),3C.(-2,3),/ D.(2,-3),也答案D.以原点为圆心，2为半径的圆的标准方程是 ( )A.x2+y2=2 B.x2+y2=4C.(x—2)2+(y—2)2=8 D.x2+y2=>/2答案B.已知两圆C1：(x―5)2+(y—3)2=9和C2：(x―2)2+(y+1)2=5,则两圆圆心间的距离为.答案5解析 C1圆心为(5,3),C2圆心为(2,-1),则d=45—22+3+12=5..圆的直径端点为A(2,0),B(2,—2),则此圆的标准方程为.答案(x—2)2+(y+1)2=1解析圆心C(2,—1),半径「=、2—22+0+22=1,，圆的标准方程为(x-2)2+(y+1)2=1..若圆C的半径为1,其圆心与点（1,0）关于直线y=x对称，则圆C的标准方程为答案 x2+（y-1）2=1解析 由题意知圆C的圆心为（0,1）,半径为1,所以圆C的标准方程为x2+（y—1）2=1.「课堂小结 1.确定圆的方程主要方法是待定系