【基础知识精讲】等式和它的性质

【基础知识精讲】等式和它的性质等式是数学中的重要研究对象，它是从客观世界中存在的相等关系中抽象出来的.所以等式的实质是用含有等号的式子来表示相等关系.运用等式的性质可以对等式进行变形.本章的学习重点解一元一次方程，实际上就是等式变形..关于等式的概念首先看下面这样的式子：2+3=3+2,3+x=5,a(b+c)=ab+ac,1S=2ah,m+2m=3m.它们都是用等号连接两个代数式而成.像这种用等号“二”来表示相等关系的式子，叫做等式.等式可以是数字算式，可以是公式、方程，也可以是用式子表示的运算律，运算法则等.所以等式可以表示不同的意义.我们看上面的几个等式，在等式m+2m=3ifi,不论m等于任何数值，左边和右边的值总是相等.在等式a(b+c)=ab+ac中,不论a,b,c各等于任何数值，左边和右边也总是相等的.一个等式，不论用何数值代替其中的字母，它的左、右两边的值总是相等，这样的等式叫恒等式.由数字组成的等式，都是恒等式.一个等式，只取某些数值代替等式中的字母时，等式才成立，而取另外一些数值代替等式中的字母时，等式不成立，这1样的等式叫做条件等式.如x+3=5,S=2ah等.综上所述，等式可以分成两类：即包等式和条件等式.我们接下来要学习的方程就是条件等式.为方便起见，在等式中，等号左、右两边的式子，分别叫做这个等式的左边、右边.一般说，等式的左边和右边都是代数式，但等式不是代数式.等式含有等号，代数式不含等号..关于等式的性质等式性质1等式两边都加上等式性质2等式性质1等式两边都加上等式性质2等式两边都乘以例如：3x-2=8是■个等式.3x-2+2=8+2得3x=10又如：3x+5=7,得3x=21再如，3x=-9,根据等式性质]3xX3=-9X3得x=-27(或减去)同一个数或同一个整式(或除以)同一个数(除数不能是((((2,得所得结果仍是等式.0),所得结果仍是等式等式两边都加上2)所得结果仍是等式)等式两边都减去5)所得结果仍是等式)(等式两边都乘以3)(所得结果仍是等式)冉如，-5x=15，等式两边同除以-5,-5x+(-5)=15+(-5),得x=-3.由此可见，运用等式的性质可以使方程变形为所需形式.所以等式的性质是解方程的理论依据等式还有两条性质，在解一元一次方程时也会用到，它们是：(1)对称性：如是a=b,那么b=a..即等式的左、右两边交换位置，所得结果仍是等式；(2)传递性：如果a=b,且b=c,那么a=c.这一性质也叫做等量代换【重点难点解析】.本节的重点是等式的两条性质的变形应用；难点是找出等式变形的根据..运用等式性质1时，必须注意等号两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式、才能保证所得结果仍是等式，否则就会破坏相等关系.如2+3=5,如果左边加上5,左边加上6,那么2+3+5*5+6.运用等式性质2时，要注意等式两边都乘以(或除以)同一个数(不是同一个整式)，才能保证所得结果仍是等式，还要注意0不能作除数..利用等式性质把等式变形，如填空并说明：若5x=4x-7，那么5x-=-7,是怎样变形的？解答这类题的关键是看第二个等式中不需要填空的一边是怎样由第一个等式的相应一边变化而来的.如该例中第二个等式中的右边-7是由第一个等式的右边4x-7减4x得到的，所以第二个等式的左边也应是5x-4x,因此填空为4x.例1判断下列各式中哪些是等式？哪些是代数式？①3x-4②a-b-c=a-(b+c)③5x+6=10④6-10=-4⑤a(m+n)=am+an⑥x2-2x+1分析：根据等式，代数式的意义来进行判断.解：②、③、④、⑤是等式，①、⑥是代数式.注：等式和代数式既有区别，又有联系.首先等号是关系符号，而代数式中只有运算符号，所以代数式不是等式，但等式的左、右两边可以是代数式.例2用适当的数或整式填空，使所得结果仍是等式，并说明是根据等式的哪条性质以及怎样变形的？(1)若4x=7x-5,则4x+=7x;(2)若8a=3a+4,则8a-=4;(3)若2x=8,则5x=.分析：题(1)等式的右边由7x-5变成了7x,说明右边加上了5,根据等式性质1,左边4x也要加上5.题(2)等式的右5边由3a+4变成了4,说明减去了3a,根据等式性质1,左边8a也要减去3a.题(3)等式的左边由2x变成了5x,说明乘以2,5根据等式性质2,右边的8也要乘以2.解：(1)4x+5=7x,根据等式性质1,等式两边都加上5.8a-3a=4,根据等式性质1,等式两边都减去3a.55x=20根据等式性质2,等式两边都乘以2.注：解这类题时，先从不需填空的一边入手，看这一边是怎样变形的，再根据等式的性质1或性质2,对另一边进行变形.例3回答下列问题：(1)从2a+3=2b-3,能不能得至Ua=b,为什么？(2)从5ab=6b,能不能得至15a=6,为什么？解：(1)从等式2a+3=2b-3,不能得到a=b.根据等式性质1,等式两边都减去3,彳#2a=2b-6;再根据等式性质2,等式两边都除以2,得a=b-3.而b不可能等于b-3，.二awb.(2)当b=0时，从5ab=6b,不能得到5a=6.这是因为等式两边不能都除以0.当bw0时，根据等式性质2,能得到5a=6.这是在等式两边可以同除以b(b*0).【难题巧解点拨】x例1解方程：4=7x分析：若去掉绝对值，则应确定4的符号，故要讨论x的范围，即：x>0,x<0,或x=0.x解：当x>0时，4=7,x=28当x=0时，0=7.这是不可能的.x=0不是此方程的解.x当x<0时，-4=7,..x=-28.综上所述，此方程的解是：x=28或x=-28.例2解方程：x注：(1)题运用了等式的基本性质1,注：(1)题运用了等式的基本性质1,两边都加上-y;(2)题运用于等式的基本性质2.两边都乘以y；这两题从等式变形的角度来讲相反数与倒数，从而将“互为相反数”和“互为倒数”以等式的形式反映出来^2,用适当的数填空：(1)如果-1=x,那么x=;(2)如果x=y,y=0.6,那么x=;(3)如果x=0,y=0,那么x=y=.解：(1)当x0-2时：-(x-1)-(x+2)=3.x=-2(2)当-2<x01时：-(x-1)-(x+2)=33=3x为在-2<x01内的任何有理数.(3)当x>1不在x>1的范围内，故在x>1范围内此方程无解.「•综合(1)、(2)、(3)得出此方程的解为-2<x<1注：此为绝对值中含有未知数的方程，通过对未知数的范围进行分段考虑，可把原方程转化为一元一次方程来解.具体分段方法是：首先令各绝对值内的整体为0,以求出未知数的各分点.如本题中：令x-1=0和x+2=0，得到分点x=1和x=-2,从而将未知数x的范围按从小到大(或从大到小)的顺序分为：x<2,-2<x<1,x>1三段.其次分别在未知数各段内对原方程进行转化.另外，应注意检查各方程的解是否在未知数的对应各段范围内，只有在内，此解方是方程在这个范围内的解；若解不在该范围内则此方程在这个范围内无解.【课本难题解答】知x、y都是数，利用等式性质将下列各小题中的等式进行变形，然后填空：(1)如果x+y=0,那么x=.这就是说，如果两个数的和为0,那么这两个数.(2)如果xy=1,那么x=.这就是说，如果两个数的积为1,那么这两个数.1解：(1)-y,互为相反数.(2)y,互为倒数.分析：(1)由于等式具有对称性，所以等式的左右两边的代数式可以互换位置，交换等式-1=x的左右两边即可得x=-1;(2)由于等式具有传递性，所以从x=y,y=0.6可知x=0.6,(3)由等式的对称性和传递性可得x=y=0.【典型热点考题】例1用适当的数或整式填空，使所得结果仍是等式，并说明是根据等式的哪一条性质以及怎样变形的^(1)如果3a=5a-4,那么3a+=5a;(2)如果3a=6,那么5a=;(3)如果5=x,那么x=;(4)如果a=b,b=c,c=d,那么a=.解：(1)3a+4=5a.根据等性质1,等式两边都加上4.55a=10.根据等性质2,等式两边都乘以3.x=5,根据等式性质3,左右两边互换.a=c或a=d,根据等式性质4.等量代换.例2判断下列各式中，哪些是代数式？哪些是等式？哪些是恒等式？哪些是条件等式？哪些是不等式？①3a+4;②5a+6=7;③x+2y=8;④am+bm=(a+b)m;⑤5-3=2;⑥x-1>y;⑦2a2-3a2;⑧3a<-2a.解：①⑦是代数式；②③④⑤是等式；④⑤是恒等式；②③是条件等式；⑥⑧是不等式.TOC\o"1-5"\h\z注：应掌握代数式、等式、不等式的意义，它们之间的区别与联系.例3选择题：(1)由等式3a-5=2a+6得到a=11的变形是().A.等式两边都除以3;B.等式两边都加上6;C.等式两边都加上(2a-5);D.等式两边都减去(2a-5).(2)下列说法中正确的是().A.在等式ab=ac两边都除以a,可得b=c;等式3a=9b两边都除以3,可得a=3b;bcC.在等式aa两边都除以a,可得b=c；D.在等式ax=bx两边都乘以x,可得a=b;(3)下列推理错误的是().1A.若x=y,则ax=ay;B.若-2x=6,则x=-12;2b2c,22C.右3a3a则b=c;D.右3x=3y,则x=y解：(1)D;(2)B;(3)D例4已知a、b都是数，利用等式性质将下列各小题中的等式进行变形，再填空：(1)若a+b=0〃Ua=.这就是说，如果两个数之和为0,那么这两个数.

(2)若a=-b,则a+=0.这就是说，如果两个数互为相反数，则这两个数的和(3)若ab=1,则2=,这就是说，如果两个数的积为1,则这两个数.1(4)若a=b,则=1,这就是说，如果两个数互为倒数，则这两个数的积.1解：(1)-b,互为相反数.(2)b,0(3)b,互为倒数.(4)ab,1.说明：本例从等式变形角度刻画相反数、倒数【同步达纲练习】(时间45分钟，满分100分).填空题：(5'X6=30')(1)在等式7m-6=3m勺两边同时,得到4m=6,这是根据.(2)在等式5a-7=8-9a的两边同时,得到14a=15,这是根据.320(3)在等式4x=-5的两边都或,得到x=-T.a+b=O,可得a=；由a-b=0,可得a=;由ab=1,可得a=由a=-2,b=-2,可得ab;由a=-b,可得b=,-b=.2(6)比x的一半少3的数是y的3,用等式可以表示为B.B.若7y-6=5-2y,贝U7y+6=17-2y;D.若7x=-7x,则7=-7..选择题：(6'X5=30')(1)下列结论正确的是(A.若x+3=y-7,贝Ux+7=y-11;C.若0.25x=-4,则x=-1;(2)下列说法错误的是(xyA.若aa,贝Ux=y;B.若x3C.若-4x=6,则x=-2;=y3C.若-4x=6,则x=-2;D.若6=-x,贝Ux=-6.(3)已知等式ax=ay,下列变形正确的是(B.ax+1=ay+1D.3-ax=3-ayB.ax+1=ay+1D.3-ax=3-ayC.ay=-ax(4)下列说法正确的是(A.等式两边都加上一个数或一个整式，所得结果仍是等式；B.等式两边都乘以一个数，所得结果仍是等式；C.等式两边都除以同一个数，所以结果仍是等式；D,一个等式的左、右两边分别与另一个等式的左、右两边分别相加，所得结果仍是等式;A.6-x+1=3B.6-x-1=3C.2-x+1=3D.2-x-1=3A.6-x+1=3B.6-x-1=3C.2-x+1=3D.2-x-1=333.(1)怎样从等式2x2-3=0,得到x2=2；(10')TOC\o"1-5"\h\zab八20—(2)怎样从等式23,得到a=3b;(10')1(3)怎样从等式3m-3=m得到m=-4.5;(10')125(4)怎样从等式S=2ah,得至ija=7T.(10')【素质优化训练】.判断题：3(a+b)=3a+b不是恒等式；()(2)由5a-3=2a+3变形，得到7a=6;()(3)由5x-2=x+2变形可得x=1;()(4)无论x取何数值时，等式3x=5x都不成立；()xy13y(5)由22两边都乘以2,可得x+y=1-3y.().选择题：(1)下列各式中，等式共有()个.a+b+c=d;5a-3a—2a;(a-1)(a-2)=0;a-1<a-2;-a(a-b)=b-a;a2>a;a(a-1)A.2B.3C.4D.5(2)若等式(a-1)(a-2)=0成立，那么a等于().A.1B.2C.1或2D.任意有理数mx=my贝Um^=my,其中下歹！J说法中：①若mx=my贝Ux=y;②若mx=my贝Umx+my=2my;③若my=my贝mx=my贝Um^=my,其中A.1B.2C.3D.43.解答题：(1)将等式3a-2b=2a-2b变形；两边都加上2b,得3a=2a,两边同除以a,得3=2,错在什么地方?12S,b(2)将公式S=2(a+b)h怎样变形，才能得到a=h(其中字母都不等于0).【生活实际运用】2小时.有一次停电，将有粗细不同的两支蜡烛，细蜡烛之长为粗蜡烛之长的2倍，细蜡烛点完需12小时.有一次停电，将这样的两支未使用过的蜡烛同时点燃，来电时，发现两支蜡烛所剩的长度一样，问停电的时间有多长？【同步达纲练习】431.(1)减去3m-6,等式性质1;(2)加上9a+7,等式性质1;(3)乘以3,都除以4;(4)-b,b,b

12(5)