补充求二次函数解析式(2课时)

用待定系数法求二次函数解析式1、已知抛物线y=ax2+bx+c0问题1经过点（-1,0），则___________经过点（0,-3），则___________经过点（4,5），则___________对称轴为直线x=1，则___________当x=1时，y=0，则a+b+c=_____ab2-=1a-b+c=0c=-316a+4b+c=5顶点坐标是（-3,4），则h=_____,k=______，-3a（x+3）2+44问题22、已知抛物线y=a（x-h）2+k对称轴为直线x=1，则___________代入得y=______________代入得y=______________h=1a（x-1）2+k抛物线解析式抛物线与x轴交点坐标(x1,0),(x2,0)y=2(x-1)(x-3)y=3(x-2)(x+1)y=-5(x+4)(x+6)-x1-x2求出下表中抛物线与x轴的交点坐标，看看你有什么发现？（1，0）（3，0）（2，0）（-1，0）（-4，0）（-6，0）(x1,0),(x2,0)y=a(x___)(x____)

（a≠0）交点式问题3抛物线解析式抛物线与x轴交点坐标(x1,0),(x2,0)-x1-x2求出下表中抛物线与x轴的交点坐标，看看你有什么发现？（1，0）（3，0）（2，0）（-1，0）（-4，0）（-6，0）(x1,0),(x2,0)y=a(x___)(x____)

（a≠0）交点式问题3y=a(x-1)(x-3)（a≠0）y=a(x-2)(x+1)（a≠0）y=a(x+4)(x+6)（a≠0）若抛物线与x轴的两个交点的横坐标分别为x1、x2，那么对称轴方程为：

x=(x1+x2)/2交点式

y=a(x-x1)(x-x2)小结(1)二次函数解析式的三种表示形式(1)一般式(2)顶点式(3)交点式（一）方法：

例1.已知二次函数图象经过A(2,-4),B(0,2),C(-1,2)三点，求此函数的解析式。解：设二次函数解析式为y=ax2+bx+c∵

图象过A(2,-4),B(0,2)，C(-1,2)∴

4a+2b+c

=

-4

c=2

a-b+c=2

解得

a=-1,b=-1，c=2∴

函数的解析式为：

y=-x2-x+2待定系数法一、设二、代三、解四、还原方法（一）：

1.一般式：y=ax2+bx+c(a≠0)

已知图象上任意三点坐标，特别是已知函数图象与y轴的交点坐标（0，c）时，使用一般式很方便。

解：设所求的二次函数为解得已知一个二次函数的图象过点（0,-3）（4,5）（－1,0）三点，求这个函数的解析式？对应练习：∵二次函数的图象过点（0,-3）（4，5）（－1,0）∴c=-3a-b+c=016a+4b+c=5a=b=c=y=ax2+bx+c-3∴所求二次函数为1-2y=x2-2x-3例2.

已知一个二次函数的图象经过点(4,-3)，并且当x=3时有最大值4，试确定这个二次函数的解析式。解法1：（利用一般式）设二次函数解析式为：y=ax2+bx+c由题意知

16a+4b+c=-3

-b/2a=3

(4ac-b2)/4a=4解方程组得：

a=-7b=42c=-59∴

二次函数的解析式为：y=-7x2+42x-59解法2：（利用顶点式）设二次函数解析式为：y=a(x-h)2+k

∵

当x=3时，有最大值4∴

顶点坐标为(3,4)∴

y=a(x-3)2+4∵

函数图象过点（4，-3）∴

a(4-3)2+4=-3∴

a=-7∴

y=-7(x-3)2+4=-7x2+42x-59∴

二次函数的解析式为：y=-7x2+42x-59例2.

已知一个二次函数的图象经过点(4,-3)，并且当x=3时有最大值4，试确定这个二次函数的解析式。

2.顶点式

y=a(x-h)2+k(a≠0)

已知对称轴方程x=h、最值k或顶点坐标（h,k）时优先选用顶点式。

解：设所求的二次函数为已知抛物线的顶点为（1，－4），且过点（0，－3），求抛物线的解析式？又∵点(0,-3)在抛物线上a-4=-3,∴所求的抛物线解析式为y=(x-1)2-4对应练习（变式1）∵顶点为（1，－4）∴∴

a=1y=a(x-1)2-4y=a(x-h)2+k

y=a(x-1)2-4

∴解：设所求的二次函数为已知一个二次函数的图象过点（0,-3）（4,5）对称轴为直线x=1，求这个函数的解析式？变式2y=a(x-1)2+k思考：怎样设二次函数关系式解：设所求的二次函数为y=ax2+bx+cc=-3

16a+4b+c=0已知一个二次函数的图象过点（0,-3）（4,5）对称轴为直线x=1，求这个函数的解析式？对称轴为直线x=1ab2-=1变式2依题意得解:∵二次函数的图象过点B(5,0),对称轴为直线x=3∴二次函数的图象与x轴另一交点的坐标为(1,0)

设二次函数解析式为：y=a(x-1)(x-5)∵图象过A(0,-5)∴-5=a(0-1)(0-5)即

a=-1∴

y=-(x-1)(x-5)=-x2+6x-5

例3.二次函数y=ax2+bx+c的图象过点A(0,-5),B(5,0)两点，它的对称轴为直线x=3，求这个二次函数的解析式。3．交点式

y=a(x-x1)(x-x2)

知道抛物线与x轴的两个交点的坐标，或一个交点的坐标及对称轴方程或顶点的横坐标时选用两根式比较简便解：设所求的二次函数为y=a(x-x1)(x-x2)∴

a(0+1)(0-3)=-3已知一个二次函数的图象过点（0,-3）（-1,0）（3,0）三点，求这个函数的解析式？对应练习（变式3）∴所求二次函数为y=x2-2x-3∴

y=a(x+1)(x-3)∵过（-1,0）（3,0）

∵过（0,-3）∴a=1例4

已知二次函数图像如图所示，求其解析式解法一：设解析式为∵A(-1,0)在抛物线上∴a=-1即：∴(a≠0)结果需化成一般式例4

已知二次函数图像如图所示，求其解析式解法二：设解析式为∵顶点C（1，4）∴对称轴x=1∵A(-1,0)、B点关于x=1对称∴B（3，0）∵A(-1,0)、B（3，0）和C（1，4）在抛物线上，∴解得所以(a≠0)例4

已知二次函数图像如图所示，求其解析式解法三：设解析式为∵顶点C（1，4）∴对称轴x=1∵A(-1,0)、B点关于x=1对称∴B（3，0）又∵C（1，4）在抛物线上，∴即(a≠0)∴a=-1∴例5

将抛物线向左平移4个单位，向下平移3个单位，求平移后抛物线解析式平移不改变形状，只改变位置选择顶点式解：=（x+1)2+5∴顶点（-1，5）∴平移后顶点（-5，2）∴y=(x+5)2+2

即y=x2+10x+27

例6

已知抛物线过（1，1）和（4，4）

且顶点在x轴上，求抛物线解析式解：设解析式为∵(1,1)、（4，4）在抛物线上(a≠0)

∴解得

∴或或即（三）练习题二次函数图象经过点

(1,4),(-1,0)和(3,0)三点，求二次函数的解析式。解法1：（一般式）设二次函数解析式为y=ax2+bx+c∵二次函数图象过点(1,4),(-1,0)和(3,0)∴

a+b+c=4

①

a-b+c=0

②

9a+3b+c=0

③①-②得：2b=4∴

b=2

代入②、③得：a+c=2

④

9a+c=-6

⑤

⑤-④得：8a=-8∴a=-1

代入④

得：c=3∴

函数的解析式为：y=-x2+2x+3解法2：（顶点式）∵

抛物线与x轴相交两点(-1,0)和(3,0)，∴1=(-1+3)/2∴

点(1,4)为抛物线的顶点由题意设二次函数解析式为：y=a(x+h)2+k

y=a(x-1)2+4

∵抛物线过点(-1,0)∴0=a(-1-1)2+4得a=-1∴函数的解析式为：y=-1(x-1)2+4=-x2+2x+3解法3：（交点式）由题意可知两根为x1=-1、x2=3设二次函数解析式为y=a(x-x1)(x-x2)

则有：y=a(x+1)(x-3)∵函数图象过点(1,4)∴4=a(1+1)(1-3)得a=-1∴函数的解析式为：

y=-1(x+1)(x-3)=-x2+2x+3根据下列条件求二次函数解析式(1)抛物线过点(0,0)(1,2)(2,3)三点解法:抛物线过一般三点通常设一般式将三点坐标代入求出a,b,c的值解:设二次函数解析式为:y=ax2+bx+c(a≠0)

则解得：所求的抛物线解析式为:(2)抛物线顶点是(2,-1)且过点(-1,2)解法(一)可设一般式列方程组求a,b,c解法(二)可设顶点式解:∵抛物线的顶点为(2,-1)

∴设解析式为:y=a(x-2)2-1把点(-1,2)代入

a(-1-2)2-1=2(3)图象与X轴交于(2,0)(-1,0)且过点(0,-2)解法(一)可设一般式解法(二)可设交点式解:∵抛物线与X轴交于点(2,0)(-1,0)∴设解析式为:y=a(x-2)(x+1)把点(0,-2)代入a(0-2)(0+1)=-2解得a=1∴所求解析式为y=(x-2)(x+1)即:y=x2-x-2另一些例题讲解:1.若抛物线y=x2-4x+c(1)过点A(1,3)求c(2)顶点在X轴上求c(1)点在抛物线上,将A(1,3)代入解析式求得c=6(2)顶点在X轴上解析式特点（完全平方式）（或根据顶点的纵坐标为0）求得:c=42,若抛物线y=ax2+2x+c

的对称轴是直线x=2

且函数的最大值是-3,求a,c分析:实质知道顶点坐标(2,-3)且为最高点抛物线开口向下解:解得3.图象与X轴交于(2,0)(3,0)且函数最小值是-3分析:函数最小值:-3即顶点纵坐标但隐藏着抛物线开口向上这个条件可设一般式来解.但比较繁可设交点式来解求得的解析式为:y=12x2-60x+724,求下列二次函数解析式(1)抛物线y=x2-5(m+1)x+2m的对称轴是y轴所求的解析式为:y=x2-2(2)y=(m-3)x2+mx+m+3的最大值是0(3)y=ax2+bx+c且a:b:c=2:3:4,函数有最小值解得:y=4x2+6x+8(4)抛物线y=ax2+bx+c的顶点是(-1,2),且a+b+c+2=05,思考题:（求下列二次函数解析式）(1)若抛物线y=(m2-2)x2-4mx+n对称轴是直线x=2,且最高点在直线上解法:可先求出顶点坐标(2,2)

再由题意得解得:m=-1n=-2即：y=-x2+4x-2(2)若抛物线y=2x2+bx+c过点(2,3)

且顶点在直线y=3x-2上解法：可抓住顶点在直线y=3x-2上设抛物线的顶点坐标为（m,3m-2)来解所求得的抛物线解析式为：解析式的求法

解析式使用范围1.一般式已知任意三个点2.顶点式y=ax2+bx+cy=a(x+h)2+k

1)已知函数与x轴只有一个交点（或函数的顶点在x轴上）k=0

3.特殊式3)已知任意三点，其中两点是函数与x轴两交点2)已知函数图象的顶点在y轴上

h=01)已知顶点（-h,k)及另一点2)平移变换4．交点式；y=a(x-x1)(x-x2)

知道抛物线与x轴的两个交点的坐标，或一个交点的坐标及对称轴方程或顶点的横坐标时选用两根式比较简便九年级数学富阳永兴中学二次函数y=ax2+bx+c的图象特殊位置：顶点在y轴上顶点在x轴上b=0顶点在原点上b=0，c=0图象经过原点c=0图象经过(1,2)a+b+c=2顶点在y=2x-1上例1．已知抛物线y=x2+mx+2m-m2,根据下列条件求m值(1)抛物线经过原点

(2)抛物线的顶点在x轴上(3)抛物线的顶点在y轴上(4)抛物线的对称轴为直线x=1(5)抛物线的顶点在直线y=2x+1上(6)抛物线与x轴两个交点间的距离为c=0m1=0,m2=2∆=0b=0m=0点在直线上m1=0,m2=,m2=2

m1=m=-2,m2=4m1=形数数学富阳永兴中学试一试：４．已知抛物线y=x2-mx+m-1，根据下列条件求m的值（1）顶点在x轴上；（2）顶点在y轴上；（3）抛物线过原点；（4）最小值是-1；（5）顶点在直线y=x上；（6）抛物线经过第一、二、四象限；（7）抛物线过定点，并求定点坐标。例2、已知如图所示，∠B=900,OA=10,S△AOB=20,求过O、A、B三点的抛物线的解析式。长度坐标点的位置，符号

旋转180度x轴对称y轴对称原点对称形状大小开口方向对称轴顶点坐标改变改变改变改变改变改变改变改变你来试一试，好吗？二、抛物线的变换

1、抛物线y=3x2-12x+13关于x轴对称的解析式是什么？

2、抛物线y=3x2-12x+13关于y轴对称的解析式是什么？

3、抛物线y=3x2-12x+13关于原点对称的解析式是什么？

1.抛物线y=ax2+bx+c与y=-x2形状相同,对称轴是直线x=3,最高点在直线y=x+1上,求抛物线解析式;Y=-(x-3)2+42.已知直线y=kx+b与x轴相交于点A的横坐标为2,与抛物线y=ax2相交于B、C两点,且点B与点P(-1,1)关于y轴对称.(1)求直线和抛物线的解析式;(2)若抛物线上有一点D,使S△AOD=S△BOC,求点D的坐标.3.已知抛物线y=ax2+bx+c与直线y=kx+4相交于点A(1,m),B(4,8),与x轴交于坐标原点O和点C.(1)求直线和抛物线解析式.(2)在x轴上方的抛物线是否存在D点,使得S△OCD=S△OCB.若存在,求出所有符合条件的点;若不存在,说明理由.设抛物线的解析式为,则a(3-1)2-1=-3,解得:a=-∴抛物线的解析式为:

5.某抛物线是将抛物线y＝ax2向右平移一个单位长度，再向下平移一个单位长度得到的，且抛物线过点(3，-3)．求该抛物线的解析式．解:6.已知二次函数的对称轴是直线x＝1，图象上最低点P的纵坐标为-8，图象经过点(-2，10)，求这个函数的解析式．

分析:这类题型可由顶点坐标(h，k)，设函数解析式为y＝a(x-h)2＋k(a≠0)，在本题中，可设y＝a(x-1)2-8，再将x＝-2，y＝10代入求得

a＝2，∴y＝2(x-1)2-8即y＝2x2-4x-6A-8xyX=17.已知二次函数的图象与x轴的两交点的距离是4，且当x＝1，函数有最小值-4，求这个二次函数的解析式．

(-1,0)(3,0)X=1如图，直角△ABC的两条直角边OA、OB的长分别是1和3，将△AOB绕O点按逆时针方向旋转90°，至△DOC的位置，求过C、B、A三点的二次函数解析式。CAOBDxy应用迁移应用迁移(1，0)（0，3）（-3，0）

2、已知:抛物线y=ax2+bx+c过点（-5，0）、（0，）（1，6）三点，直线L的解析式为y=2x-3，（1）求抛物线的解析式；（2）求证：抛物线与直线无交点；（3）若与直线L平行的直线与抛物线只有一个交点P，求P点的坐标。试一试：点拔：（1）（2）证抛物线和直线的解析式组成的方程组无解（3）设与L平行的直线的解析式为y=2x+n则：此直线和抛物线的解析式组成的方程组只有一个解。即△=02、已知：二次函数y=ax2+bx+c有最大值，它与直线y=3x-1交于A（m，2）、B（n，5），且其中一个交点为该抛物线的顶点，求（1）此二次函数的解析式；（2）当x取何值时，y随x的增大而增大。分析：先求出A、B两点的坐标：A（1，2）、B（2，5）①若A（1，2）为顶点：设解析式为y=a(x-1)2+2∵5=a+2∴a=3又∵函数有最大值,∴a=3不合,舍去.②若B（2，5）为顶点：设解析式为y=a(x-2)2+5∵2=a+5∴a=-3则解析式为y=-3(x-2)2+5讲例：

1、已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象的顶点为P（-2，9），且与x轴有两个交点A、B（A左B右），S△ABC=27，求：（1）二次函数的解析式；（2）A、B两点的坐标；（3）画出草图；（4）若抛物线与y轴交于C点，求四边形ABCP的面积。试一试：(1)y=-x2-4x+5(2)A(-5,0),B(1,0)(4)S