高中数学必修正态分布

函数

φ

＝

e－

，∈函数

φ

＝

e－

，∈－∞，＋∞，其中实πσ．问题导航什么是正态曲线和正态分布？正态曲线有什么特点？曲线所表示的意义是什么？怎样求随机变量在某一区间范围内的概率？．例题导读请试做教材

练习

题．．正态曲线 （－μ）数

μ

和

σσ＞为参数，φ的图象为__________________正态分布密度曲线，简称正态曲线．．正态分布一般地，如果对于任何实数，b＜b，随机变量

满足

P＜≤b＝bφ

d，则称随机变量

X

服从正态分布．正态分布完全由参数________μ

和________σ

确定，因此正态分布常记作____________N(μ，σ

，如果随机变量

X

服从正态分布，则记为________X～(μ，σ．．正态曲线的性质σ正态曲线σ

＝

πσ

（－μ）e－

，∈R

有以下性质：曲线位于

轴________上方，与

轴________不相交；曲线是单峰的，它关于直线________x＝μ

对称；σ

σ

π曲线在________x＝μ

处达到峰值________ ；曲线与

轴之间的面积为________1；当________σ

μ

μ

的变化而沿

轴平移，如图①；当

μ

σ

确定，σ________σ________σ表示总体的分布越分散，如图②.．正态总体在三个特殊区间内取值的概率值Pμ－σ＜≤μ＋σ＝________0.682_________6；Pμ－σ＜≤μ＋σ＝________0.954_________4；Pμ－σ＜≤μ＋σ＝________0.997_________4．．判断对的打“√”，错的打“×”

函数

φ

中参数

μ

，

σ的意义分别是样本的均值与方差． 正态曲线是单峰的，其与

轴围成的面积是随参数μ，σ的变化而变化的． 正态曲线可以关于

轴对称． 答案：× × √

～Nμ，σ，且

P≤＝P＞，则

＝ A．．－μ答案：

B．σ．μ

服从正态分布

N，σ

P＜＝

π

π

π ＝ e－ ，∈，则该正态分布的均值为________，标准差为________．答案： π正态分布的再认识参数

μ

是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本的均值去估计；σ

是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本的标准差去估计．μ＝，σ＝

的正态分布叫做标准正态分布．正态分布定义中的式子实际是指随机变量

的取值区间在，b上的概率等于总体密度函数在，b上的定积分值．

μ

μ－σ，μ＋σ上取值的概率随着

σ

的减小而增大．这说明σ

越小，

取值落在区间μ－σ，μ＋σ

集中在

μ

于固定的

μ

和

σ，随机变量

取值区间越大，所对应的概率就越大，即

σ

原则．正态分布密度曲线密度函数的解析式，求出总体随机变量的均值和方差．解 从正态曲线可知，该正态曲线关于直线

＝

对称，最大值为

，π所以

μ＝，

＝

，πσ

ππ∴σ＝

π于是

φ＝

e－（－），∈－∞∞变量的期望是

μ＝，方差是

σ＝

＝两点：一是对称轴＝μ，另一是最值 ，这两点确定以后，相应σ π参数

μ，σ便确定了，代入便可求出相应的解析式．扫一扫 进入

导学网正态分布密度曲线．若一个正态分布的概率密度函数是一个偶函数，且该函数的最大值为 .求该正态分布的概率密度函数的解析式．

π解：关于

轴对称，即

μ＝由于

＝

，得

σ＝，πσ

π·故该正态分布的概率密度函数的解析式是φ＝ e－，∈－∞，＋∞． π ＝

P－＜≤－P－ ＝

P－＜≤－P－＜≤ ＝

P－＜≤＋－P－＜≤＋ ＝

Pμ－σ＜≤μ＋σ－Pμ－σ＜≤μ＋σ ＝

－

＝

所以

P≥＝

－P－＜≤ ＝

－P－＜≤＋ ＝

－Pμ－σ＜≤μ＋σ ＝

－

＝

设

～N，，试求：P－＜≤；P＜≤．解 因为

～N，，所以

μ＝，σ＝P－＜≤＝P－＜≤＋＝Pμ－σ＜≤μ＋σ＝

因为

P＜≤＝P－≤＜－，所以

P＜≤互动探究 在本例条件下，试求P≥．解：因为

P≥＝P≤－，②P＜②P＜

＝－P≥

；结合思想及转化化归思想的应用．常用结论有①对任意的

，有

P＜μ－＝P＞μ＋； ③P＜＜b＝P＜b－P≤．．

高考山东卷

已知某批零件的长度误差

单位：毫米

服从正态分布

N，，从中随机取一件，其长度误差落在区间，内的概率为

ξ

服从正态分布

Nμ，σ

Pμ－σ＜ξ＜μ＋σ＝，Pμ－σ＜ξ＜μ＋σ＝A．．

B．．解析：选

B.由正态分布的概率公式知

P－＜ξ＜＝

，P

－

＜

ξ

＜

＝

，

故 P

＜

ξ

＜

＝P（－＜ξ＜）－P（－＜ξ＜）

－

＝ ＝

＝ ，故选

B.设随机变量

～N，σ，且

P＜＜＝，则

P＜＝________．解析：概率密度曲线关于直线＝

右边的概率为

，在

左边的概率等于在

右边的概率，即－＝答案：设随机变量

～N，，若

P＞＋＝P＜－．①求

的值；②求

P－＜＜．解：①由

～N，

＝

对称如图所示，又

P＞＋＝P＜－，故有

－－＝＋－，∴＝②P－＜＜＝P－×＜＜＋×＝

正态分布的实际应用某年级的一次信息技术测验成绩近似服从正态分布

N，，如果规定低于

分的学生为不及格学生．成绩不及格的人数占多少？成绩在

～

之间的学生占多少？解 设学生的得分情况为随机变量，则

～N，，其中

μ＝，＝在

到

之间的学生占的比为P－≤＋＝

＝，∴不及格的学生所占的比为×－

＝

＝ ＝

Pμ－σ＜≤μ＋σ ＝

Pμ－σ＜≤μ＋σ＋

Pμ－σ＜≤μ＋σ ＝

×

＋

×

＝

×P－×≤＋×－P－≤＋＝×

－

＝正态曲线的应用及求解策略：解答此类题目的关键在于将待求的问题向μ－σ，μ＋σ，

μ－σ，μ＋σ，μ－σ，μ＋σ这三个区间进行转化，然后利用上述区间的概率求出相应概率，在此过程中依然会用到化归思想及数形结合思想．．

杭州质检某人从某城市的南郊乘公交车前往北区火车

近似服从正态分布～N，，求他在，分内赶到火车站的概率．解：∵～N，，∴μ＝，σ＝∴P＜≤＝P＜≤＋P＜≤ 即他在，分内赶到火车站的概率是

数学思想 正态分布中的化归与转化思想已知随机变量服从正态分布N，

，且P≤≤＝，则

P＝ A．

B．

．

．

解析 由于

服从正态分布

N，，故正态分布曲线的对称轴为

＝所以

P＝P，－P（≤≤） －

故

P＝ ＝ ＝

答案 B感悟提高 化归与转化思想是中学数学思想中的重要思想之作用．

P＋P＋P≤≤＝

将问题转化．．设有一正态总体，它的概率密度曲线是函数

的图象，且＝φ

＝

e－π分别是 A．

与

．

与

（－）B．

与

．

与

解析：选

B.由正态密度函数的定义可知，总体的均值μ＝，方差

σ＝，即

σ＝

高考湖南卷在如图所示的正方形中随机投掷

个点，则落入阴影部分曲线

为正态分布

N，的密度曲线的点的个数的估计值为 A．

．

B．

．

附：若

～Nμ，σ，则

Pμ－σ<≤μ＋σ＝

，Pμ－σ<≤μ＋σ＝

解析：选

C.由

P－1<≤＝

，得

P≤＝

，则阴影部分的面积为

，故估计落入阴影部分的点的个数为×

＝

，故选

C.×

服从正态分布

N，σσ＞．若 在，

内取值的概率为，则在，

内取值的概率为 解析：如图，易得

P＜＜＝P＜＜，故

P＜＜＝P＜＜＝×＝答案：．设

～N，，求

P≤．解：由已知得

P≤＝

，P≤＝

又∵正态曲线关于直线＝

对称，∴P≤＋P≤＝

－

＝

由对称性知

P≤＝P≤，所以

P≤＝

＝

．设随机变量

ξ～N，，则

ξ＝

．设随机变量

ξ～N，，则

ξ＝

A．

B．

．∴ξ＝ξ＝×＝∴ξ＝ξ＝×＝. ．下列函数是正态密度函数的是

，μ，σ

，μ，σσ＞都是实数σπ

（－μ）

eπ πB．＝ e－π．＝ e－

π

（－）．．＝

eπ解析：选

B.对于

A：函数的系数部分的二次根式包含σ，而且指

A

B式，其中

σ＝，μ＝，故

B

正确；对于：从系数部分看σ＝，可是从指数部分看

σ＝

号，故

不正确．．

高考湖北卷设

～Nμ，σ，～Nμ，σ，这两个正态分布密度曲线如图所示，下列结论中正确的是 μ＜μ，σ＜σ，P≥μ＝

，Pμ＜μ，σ＜σ，P≥μ＝

，P≥μ

，解析：选

由图象知，故

P≥μ

P≥μ

，故

A

错；因为

σ

＜σ

，所以

P≤σ

P≤σ

，故

B

错；B．P≤σ≤P≤σ．对任意正数

，P≥≥P≥．对任意正数

，P≤≥P≤ 对任意正数

，P≥P≥，故

错；对任意正数

，P≤≥P≤是正确的，故选

．已知随机变量

ξ

服从正态分布

N，σ，且

Pξ＜＝，则

P＜ξ＜＝ A．．

B．．解析：选

C.＝

对称，所以

Pξ＜＝，并且

P＜ξ＜＝P＜ξ＜，则

P＜ξ＜＝Pξ＜－Pξ＜＝－＝．设随机变量

ξ

服从正态分布

Nμ，σ，函数

＝＋＋ξ没有零点的概率是，则

μ＝ A．．

B．．不能确定解析：选

B.根据题意，函数＝＋＋ξ

没有零点时，Δ＝ ＋＋ξ没有零点的概率是

时，μ＝－ξ＜，即

＋＋ξ没有零点的概率是

时，μ＝．如果

ξ～Nμ，σ，且

Pξ＞＝Pξ＜

μ＝________．解析：∵ξ～Nμ，σ，故概率密度函数关于直线＝μ

对称，又＋Pξ＜＝Pξ＞，从而

μ＝

＝，即

μ

的值为

答案：

ξ

服从正态分布

N，σσ＞．若ξ

在，内取值的概率为

，则

ξ

在，＋∞

上取值的概率为________． 解析：由正态分布的特征易得

Pξ＝×－Pξ＝×－＝答案：．为了了解某地区高三男生的身体发育状况，抽查了该地区

名年龄在

岁至

岁的高三男生的体重情况，抽查结果表明他们的体重

服从正态分布

Nμ，，且正态分布密度曲线如图

小于等于

名男生中属于正常情况的人数约为________．解析：依题意可知，μ＝，σ＝，故

P＜≤＝Pμ－σ＜≤μ＋σ＝

，从而属于正常情况的人数为

×≈答案：．

苏州高二检测某个工厂的工人月收入服从正态分布N，，该工厂共有

名工人，试估计月收入在

元以下和

元以上的工人大约有多少人？解：设该工厂工人的月收入为ξ，则

ξ～N

，，所以

μ＝

，σ＝，所以月收入在区间

－×，

＋×内取值的概率是

，该区间即

，

．因此月收入在

元以下和

元以上的工人大约有

×－

＝

×

≈人．．

漳州高二检测某城市从南郊某地乘公共汽车前往北区火车站有两条路线可走，第一条路线穿过市区，路线较短，但交通拥挤，所需时间单位为分服从正态分布

N，；第二条路线沿环城公路走，路程较长，但交通阻塞少，所需时间服从正态分布

N，．若只有

分钟可用，问应走哪条路线？若只有

分钟可用，又应走哪条路线？解：由已知

～N，，～N，．由正态分布的σ

区间性质

Pμ－σ＜ξ≤μ＋σ＝

然后解决问题的关键是：根据上述性质得到如下结果：对

：μ＝；σ＝，σ区间为，，对

：μ＝；σ＝，σ区间为，，要尽量保证用时在

?，，?，才能保证有

以上π

Bπ

B．，

时间只有

分钟可用，应该走第二条路线．时间只有

分钟可用，两种方案都能保证有以上的概率准时到达，但是走市区平均用时比路线二少了

分钟，应该走第一条路线．[B.能力提升．设随机变量

～Nμ，σ，则随着

σ

的增大，P－μ＜σ将会 A．单调增加 B．单调减少．保持不变 ．增减不定解析：选

C.对于服从正态分布的随机变量

，不论

μ，σ怎么变化，P－μ＜σ总等于

．设正态总体落在区间和区间的概率相等，落在区间－，内的概率为

，则该正态总体对应的正态曲线的最高点的坐标为 A．，

． ，π

．，解析：选

A.正态总体落在区间－∞，－和，＋∞的概率相等，说明正态曲线关于＝

对称，所以

μ＝又在区间－，内的概率为

，∴－σ＝－，＋σ＝，∴σ＝（－）e－

，（－）e－

，∈R，π

∴最高点的坐标为

，

.π．设随机变量

ξ

服从正态分布

N，，则下列结论正确的是________．①Pξ＜＝Pξ＜＋Pξ＞－＞；②Pξ＜＝Pξ＜－＞；③Pξ＜＝－Pξ＜＞；④Pξ＜＝－Pξ＞＞．解析：因为

Pξ＜＝P－＜ξ＜，所以①不正确；因为

Pξ＜＝P－＜ξ＜＝Pξ＜－Pξ＜－＝Pξ＜－Pξ＞＝Pξ＜－－Pξ＜＝Pξ＜－②确；因为

Pξ＜＋Pξ＞＝，所以

Pξ＜＝－Pξ＞＞，所以④正确．答案：②④．设随机变量

～N，，则

＝－

服从的总体分布可记为________．解析：因为

～N，，所以

μ＝，σ＝又

＝－，所以

E＝E－＝μ－＝，＝＝，所以

～N，．答案：～N，．

高考课标全国卷Ⅰ从某企业生产的某种产品中抽取方图：求这

件产品质量指标值的样本平均数

和样本方差

同一组中的数据用该组区间的中点值作代表；由直方图可以认为，这种产品的质量指标值

服从正态分布Nμ，σ，其中

μ

近似为样本平均数

，σ近似为样本方差

.①利用该正态分布，求P；②某用户从该企业购买了

表示这

件产品中质量指标值位于区间，的产品件数，利用①的结果，求

E．附：

≈若

～Nμ，σ，则

Pμ－σ<<μ＋σ＝

，Pμ－σ<<μ＋σ＝

解：抽取产品的质量指标值的样本平均数

和样本方差

分别为

＝

×

＋

×

＋

×

＋

×

＋

×＋×＋×＝，＝－×＋－×＋－×＋×＋×＋×＋×＝①由知，～N，，从而

P＝P－＋＝

②由①知，一件产品的质量指标值位