对数运算教案

课程基本信息课题对数运算教科书书名：普通高中教科书数学必修第一册A版出版社：人民教育出版社 出版日期：2019年6月教学目标教学目标：.理解并掌握对数的运算性质，并进行简单的计算；.在运算中进一步理解对数的概念，体会对数与指数之间的关系；.在运算中培养数学运算和逻辑推理的学科素养.教学重点：理解对数的运算性质.教学难点：恰当使用对数运算性质进行计算.教学过程时间教学环节主要师生活动5分钟复习引入一.复习对数概念及指数幂运算性质.对数的概念一般地，如果ax=N（a>0,且a丰1）,那么数x叫做以a为底N的对数，记作x=logN,其中a叫做对数的底数，N叫做真数.a例如，如果2x=5，那么x=log25.其中2叫做对数的底数，5叫做真数..对数与指数的关系根据对数的定义，可以得到对数与指数间的关系：当a>0,a丰1时，ax=Nox=logN.例如，3x=2ox=log2，即310g32=2.3

3.指数幂运算性质对于任意实数r,s，均有下面的运算性质.ar-as=ar+s(a>0,r,seR),Qr)=ars(a>0,r,seR),(ab)r=arbr(a>0,b>0,reR).二.提出问题：依据对数和指数的关系，能否利用指数幂运算的性质得出相应的对数运算的性质？10分钟探究新知一.利用同底数幂乘法的运算性质推导对数运算性质观察同底数幂乘法的运算性质：ar-as=ar+s(a>0,r,seR).等式左边两个同底数幂ar与as相乘，等式右边指数相加.利用指数与对数的关系，设M=ar,N=as,即r=logM,s=logN.因为ar-as=ar+s,所以MN=ar+s,所以log(MN)=r+s,a故log(MN)=logM+logN.进而得到对数运算的第一个性质.

思考：对数的这个性质还可以怎样证明？设m=logM,n=logN,即M=am,N=an,则logM+logN=m+n.因为MN=am-an=am+n,所以log(MN)=m+n,所以log(MN)=logM+logN.二.利用同底数幂除法的运算性质推导对数运算性质观察同底数幂除法的运算性质：ar-as=a-s(a>0,r,seR).等式左边两个同底数幂ar除以as，等式右边指数相减.利用指数与对数的关系，设M=arN=as，即r=logM,s=logN.因为ar+as=ar-s，所以M=ar-s，N10gaM=LS，所以log—=logM-logN.aN a a进而得到对数运算的第二个性质.

从除法与乘法之间的关系证明：因为M=MN-1,N所以log—=log(MN-i)=logM+logN-i,aN a a a故log—=logM-logN.aN a a三.利用幂的乘方的运算性质推导对数运算性质观察幂的乘方的运算性质：0m)=刖Q>0,m,〃£R).等式左边幂am的n次方，等式右边指数相乘.利用指数与对数的关系，设M=am,即m=logaM.因为Qm)=amn,所以Mn=amn,logMn=mn，所以logMn=nlogM.进而得到对数运算的第三个性质.综上所述，对数运算具有如下性质.如果a>0,且a中1,M>0,N>0,那么⑴10g(MN)=logM+logN； M一 一(2)log一=logM-logN；aN a a(3)logMn=nlogM.在上述推理过程中应关注以下几个问题：(1)进一步理解对数与指数之间的关系

正像加法与减法、乘法与除法关系一样，我们通过加法运算学习了减法运算，通过乘法运算学习了除法运算.对于对数运算，也是通过指数幂运算推导对数运算的性质。在三个运算性质的推导过程中，都利用了对数与指数之间的关系，即ax=N=x=logaN，将指数式转化为对数式，利用指数幂运算性质得到对数运算性质.（2）进一步理解对数的概念基于对数概念的理解，对数运算性质（1）等式的左边是乘积的指数，等式的右边是指数之和，因为是同底数幂的乘积，所以乘积中的指数是每个幂的指数的和，因此性质⑴等式左右两边用两种方式分别刻画了指数之和.同理，性质⑵等式左右两边用两种方式分别刻画了指数之差，性质（3）等式左右两边用两种方式分别刻画了指数之积.（3）进一步理解对数的运算性出数学发展史中的意义从对数运算的性质可以看出，通过对数运算可以把乘法转化为加法，把除法转化为减法，把乘方转化为乘法.从运算的角度看，加、减是一级运算，乘、除是二级运算，乘方、开方是三级运算.运算数量级的不同决定了运算的复杂度，一般来说，运算的数量级越高，运算的复杂度越高.对数运算降低了运算的级别，简化了运算.现代社会由于有了计算机等工具，对数的运算性质的这种作用似乎显得有些微不足道.但在数学发展过程中，由于当时没有计算工具，对于天文学中大数的乘、除等运算，仅靠纸笔运算是相当繁琐、复杂的，而对数的发明“延长了天文学家的寿命”.因此，对数的运算性质堪称数学发展史上的伟大成就.5分钟巩固提升例1求下列各式的值：（1）lgV1O0, （2）log2（47x25）.一，、一 । _2 2 2解：（1）lg5/100=igio5=5[gio=5；

（2）log（47x25）=log47+log25=7log4+5log2=7x2+5x1二19分析：教师引导学生观察运算结构，运用对数的运算性质求值.（1）求ig5100的值：这是求以io为底的对数，注意观察真数的形式，真数是根式的形式，根式的被开方数是100，是10的平方，是对数的底数的平方，即找到了真数与底数之间的关系.所以选择对数的运算性质logMn=nlogM完成a a求值.（2）求log2（47x25）的值：这是求以2为底的对数，真数是2的幂的乘积，所以先选择对数的运算性质logaMN=logaM+logaN，将乘积的对数转化为因子的对数和的形式，再求每一个因子的对数，进而完成求值.例2用lnx,lnj,ln工表示ln―£.解：ln =lnx26-ln依3iz=lnx2+lnG-lnVz,J 1.=2lnx+—lnj--lnz.2 3X2.分析：本体的关键在于建立ln—4与lnx,lnj,lnz之间的联系，商的对数转化31z为被除式的对数与除式的对数的差，然后在运用性质logMn=nlogM，进而a a完成化简.小结：在上述求值过程中，观察运算结构，寻求真数与底数之间的联系，正确选择对数运算性质是非常重要的求值步骤.

练习：求下列」各式的值：(1)log3(27x92); (2)lg5+lg2;(3)log3+log-; (4)log5-log15;333 3 3解：(1)log3(27x92Zlog327+log392=log33+log92=3log3+2log9=3+2x2=7.解：(2)lg5+lg2=lg10=1.,、 1 ( 1'解：(3)lg3+lg-=lg3x-=lg1=0.3 13J，一,.、一 一一 一一5一 1一 一 一一 一解单：(4)log 5-log 15=log—=log —=log 3-1 =—log