高三一轮数学（理）总复习-8.5　椭圆【系列四】

2017年高考“最后三十天”专题透析2017年高考“最后三十天”专题透析好教育云平台——教育因你我而变好教育云平台——教育因你我而变8．5椭圆[知识梳理]1．椭圆的定义(1)定义：在平面内到两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做(2)集合语言：P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a，且2a>|F1F2|}，|F1F2|＝2c，其中a>c>0注：当2a>|F1F2|时，轨迹为椭圆；当2a＝|F1F2|时，轨迹为线段F1F2；当2a2．椭圆的标准方程和几何性质标准方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)图形续表3．直线与椭圆位置关系的判断直线与椭圆方程联立方程组，消掉y，得到Ax2＋Bx＋C＝0的形式(这里的系数A一定不为0)，设其判别式为Δ：(1)Δ>0⇔直线与椭圆相交；(2)Δ＝0⇔直线与椭圆相切；(3)Δ<0⇔直线与椭圆相离．4．弦长公式(1)若直线y＝kx＋b与椭圆相交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|.(2)焦点弦(过焦点的弦)：最短的焦点弦为通径长eq\f(2b2,a)，最长为2a.5．必记结论(1)设椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)上任意一点P(x，y)，则当x＝0时，|OP|有最小值b，P点在短轴端点处；当x＝±a时，|OP|有最大值a，P点在长轴端点处．(2)已知过焦点F1的弦AB，则△ABF2的周长为4a

[诊断自测]1．概念思辨(1)平面内与两个定点F1、F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．()(2)方程mx2＋ny2＝1(m>0，n>0且m≠n)表示的曲线是椭圆．()(3)椭圆上一点P与两焦点F1，F2构成△PF1F2的周长为2a＋2c(其中a为椭圆的长半轴长，c为椭圆的半焦距)．(4)eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)与eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)的焦距相同．()答案(1)×(2)√(3)√(4)√2．教材衍化(1)(选修A1－1P35例3)已知椭圆的方程是eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,25)＝1(a>5)，它的两个焦点分别为F1，F2，且F1F2＝8，弦AB过点F1，则△ABF2的周长为()A．10 B．20C．2eq\r(41) D．4eq\r(41)答案D解析因为a>5，所以椭圆的焦点在x轴上，所以a2－25＝42，解得a＝eq\r(41).由椭圆的定义知△ABF2的周长为4a＝4eq\r(41).故选D.(2)(选修A1－1P42A组T6)已知点P是椭圆eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,4)＝1上y轴右侧的一点，且以点P及焦点F1，F2为顶点的三角形的面积等于1，则点P的坐标为________．答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(15),2)，1))或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(15),2)，－1))解析设P(x，y)，由题意知c2＝a2－b2＝5－4＝1，所以c＝1，则F1(－1,0)，F2(1,0)，由题意可得点P到x轴的距离为1，所以y＝±1，把y＝±1代入eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,4)＝1，得x＝±eq\f(\r(15),2)，又x>0，所以x＝eq\f(\r(15),2)，∴P点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(15),2)，1))或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(15),2)，－1)).3．小题热身(1)(2014·大纲卷)已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点为F1，F2，离心率为eq\f(\r(3),3)，过F2的直线l交C于A，B两点．若△AF1B的周长为4eq\r(3)，则C的方程为()A.eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1 B.eq\f(x2,3)＋y2＝1C.eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,8)＝1 D.eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,4)＝1答案A解析由题意及椭圆的定义知4a＝4eq\r(3)，则a＝eq\r(3)，又eq\f(c,a)＝eq\f(c,\r(3))＝eq\f(\r(3),3)，∴c＝1，∴b2＝2，∴C的方程为eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1，故选A.(2)椭圆Γ：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2c.若直线y＝eq\r(3)(x＋c)与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2＝2∠MF2F1，则该椭圆的离心率等于________．答案eq\r(3)－1解析由已知得直线y＝eq\r(3)(x＋c)过M，F1两点，所以直线MF1的斜率为eq\r(3)，所以∠MF1F2＝60°，则∠MF2F1＝30°，∠F1MF2＝90°，则MF1＝c，MF2＝eq\r(3)c，由点M在椭圆Γ上知：c＋eq\r(3)c＝2a，故e＝eq\f(c,a)＝eq\r(3)－1.题型1椭圆的定义及应用eq\o(\s\up7(),\s\do5(典例1))已知椭圆eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1上一点P到椭圆一个焦点F1的距离为3，则P到另一个焦点F2的距离为()A．2 B．3C．5 D．7应用椭圆的定义．答案D解析根据椭圆的定义|PF1|＋|PF2|＝2a＝10，得|PF2|＝7，故选[条件探究]若将典例中的条件改为“F1，F2分别为左、右焦点，M是PF1的中点，且|OM|＝3”，求点P解由M为PF1中点，O为F1F2中点，易得|PF2|＝6，再利用椭圆定义易知|PF1|＝eq\o(\s\up7(),\s\do5(典例2))(2018·漳浦县校级月考)椭圆eq\f(x2,4)＋y2＝1上的一点P与两焦点F1，F2所构成的三角形称为焦点三角形．(1)求eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))的最大值与最小值；(2)设∠F1PF2＝θ，求证：S△F1PF2＝taneq\f(θ,2).(1)利用向量数量积得到目标函数，利用二次函数求最值；(2)利用余弦定理、面积公式证明．解(1)设P(x，y)，∴F1(－eq\r(3)，0)，F2(eq\r(3)，0)，则eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))＝(－eq\r(3)－x，－y)·(eq\r(3)－x，－y)＝x2＋y2－3＝eq\f(3,4)x2－2，∵x2∈[0,4]，∴eq\f(3,4)x2－2∈[－2,1]．∴eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))的最大值为1，最小值为－2.(2)证明：由椭圆的定义可知||PF1|＋|PF2||＝2a|F1F2|＝2c，设∠F1PF2＝在△F1PF2中，由余弦定理可得：|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|(1＋cosθ)，可得4c2＝4a2－2|PF1|·|PF2|(1＋cosθ)⇒|PF1|·|PF2|＝eq\f(2b2,1＋cosθ)，即有△F1PF2的面积S＝eq\f(1,2)|PF1|·|PF2|sin∠F1PF2＝b2·eq\f(sinθ,1＋cosθ)＝b2taneq\f(θ,2)＝taneq\f(θ,2).方法技巧椭圆定义的应用技巧1．椭圆定义的应用主要有两个方面：一是判定平面内动点与两定点的轨迹是否为椭圆；二是利用定义求焦点三角形的周长、面积、椭圆的弦长及最值和离心率等．2．通常定义和余弦定理结合使用，求解关于焦点三角形的周长和面积问题．见典例2.冲关针对训练已知Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0))，B是圆eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋y2＝4(F为圆心)上一动点，线段AB的垂直平分线交BF于点P，则动点P的轨迹方程为________．答案x2＋eq\f(4,3)y2＝1解析如图，由题意知|PA|＝|PB|，|PF|＋|BP|＝2.所以|PA|＋|PF|＝2且|PA|＋|PF|>|AF|，即动点P的轨迹是以A，F为焦点的椭圆，a＝1，c＝eq\f(1,2)，b2＝eq\f(3,4).所以动点P的轨迹方程为x2＋eq\f(4,3)y2＝1.题型2椭圆的标准方程及应用eq\o(\s\up7(),\s\do5(典例1))(2018·湖南岳阳模拟)在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为坐标原点，F1、F2为它的两个焦点，离心率为eq\f(\r(2),2)，过F1的直线l交椭圆C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么椭圆C的方程为________．在未明确焦点的具体位置时，应分情况讨论．答案eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,8)＝1或eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,16)＝1解析由椭圆的定义及△ABF2的周长知4a＝16，则a＝4，又eq\f(c,a)＝eq\f(\r(2),2)，所以c＝eq\f(\r(2),2)a＝2eq\r(2)，所以b2＝a2－c2＝16－8＝8.当焦点在x轴上时，椭圆C的方程为eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,8)＝1；当焦点在y轴上时，椭圆C的方程为eq\f(y2,16)＋eq\f(x2,8)＝1.综上可知，椭圆C的方程为eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,8)＝1或eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,16)＝1.eq\o(\s\up7(),\s\do5(典例2))(2017·江西模拟)椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，F1，F2为椭圆的左、右焦点，且焦距为2eq\r(3)，O为坐标原点，点P为椭圆上一点，|OP|＝eq\f(\r(2),4)a，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等比数列，求椭圆的方程．用待定系数法，根据已知列出方程组．解设P(x，y)，则|OP|2＝x2＋y2＝eq\f(a2,8)，由椭圆定义，|PF1|＋|PF2|＝2a，|PF1|2＋2|PF1|·|PF2|＋|PF2|2＝4a又∵|PF1|，|F1F2|，|PF2|∴|PF1|·|PF2|＝|F1F2|2＝4c|PF1|2＋|PF2|2＋8c2＝4a∴(x＋c)2＋y2＋(x－c)2＋y2＋8c2＝4a2，整理得x2＋y2＋5c2＝即eq\f(a2,8)＋5c2＝2a2，整理得eq\f(c2,a2)＝eq\f(3,8)，又∵2c＝2eq\r(3)，∴c＝eq\r(3)，∴a2＝8，b2＝5.所求椭圆的方程为eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,5)＝1.方法技巧求椭圆标准方程的步骤1．判断椭圆焦点位置．2．设出椭圆方程．3．根据已知条件，建立方程(组)求待定系数，注意a2＝b2＋c2的应用．4．根据焦点写出椭圆方程．见典例1,2.提醒：当椭圆焦点位置不明确时，可设为eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,n)＝1(m>0，n>0，m≠n)，也可设为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，且A≠B)．可简记为“先定型，再定量”．冲关针对训练已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2.P为椭圆上的一点，PF1与y轴相交于Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,4)))，且M为PF1的中点，S△PF1F2＝eq\f(\r(3),2).求椭圆的方程．解设P(x0，y0)∵M为PF1的中点，O为F1F2∴x0＝c，y0＝eq\f(1,2).PF2∥y轴，△PF1F2是∠PF2F1＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(c2,a2)＋\f(\f(1,4),b2)＝1，,\f(1,2)·2c·\f(1,2)＝\f(\r(3),2)，,a2＝b2＋c2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝4，,b2＝1.))所求椭圆的方程为eq\f(x2,4)＋y2＝1.题型3椭圆的几何性质eq\o(\s\up7(),\s\do5(典例))F1，F2是椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点，若椭圆上存在点P，使∠F1PF2＝90°，则椭圆的离心率的取值范围是________．由∠F1PF2＝90°，求出xeq\o\al(2,0)＝eq\f(a2c2－b2,c2)后，利用xeq\o\al(2,0)∈[0，a2]求解．答案eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1))解析设P(x0，y0)为椭圆上一点，则eq\f(x\o\al(2,0),a2)＋eq\f(y\o\al(2,0),b2)＝1.eq\o(PF1,\s\up6(→))＝(－c－x0，－y0)，eq\o(PF2,\s\up6(→))＝(c－x0，－y0)，若∠F1PF2＝90°，则eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))＝xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)－c2＝0.∴xeq\o\al(2,0)＋b2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(x\o\al(2,0),a2)))＝c2，∴xeq\o\al(2,0)＝eq\f(a2c2－b2,c2).∵0≤xeq\o\al(2,0)≤a2，∴0≤eq\f(c2－b2,c2)≤1.∴b2≤c2，∴a2≤2c2，∴eq\f(\r(2),2)≤e<1.[条件探究]将典例2中条件“∠F1PF2＝90°”改为“∠F1PF2为钝角”，求离心率的取值范围．解椭圆上存在点P使∠F1PF2为钝角⇔以原点O为圆心，以c为半径的圆与椭圆有四个不同的交点⇔b<c，如图，由b<c，得a2－c2<c2，即a2<2c2，解得e＝eq\f(c,a)>eq\f(\r(2),2)，又0<e<1，故椭圆C的离心率的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1)).方法技巧求解椭圆离心率(或其范围)常用的方法1．若给定椭圆的方程，则根据椭圆方程确定a2，b2，进而求出a，c的值，从而利用公式e＝eq\f(c,a)直接求解．2．若椭圆的方程未知，则根据条件及几何图形建立关于a，b，c的齐次等式(或不等式)，化为关于a，c的齐次方程(或不等式)，进而化为关于e的方程(或不等式)进行求解．见典例.冲关针对训练(2015·重庆高考)如图，椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交椭圆于P，Q两点，且PQ⊥PF1.(1)若|PF1|＝2＋eq\r(2)，|PF2|＝2－eq\r(2)，求椭圆的标准方程；(2)若|PF1|＝|PQ|，求椭圆的离心率e.解(1)由椭圆的定义，有2a＝|PF1|＋|PF2|＝(2＋eq\r(2))＋(2－eq\r(2))＝4，故a＝2.设椭圆的半焦距为c，由已知PF1⊥PF2，得2c＝|F1F＝eq\r(|PF1|2＋|PF2|2)＝eq\r(2＋\r(2)2＋2－\r(2)2)＝2eq\r(3)，即c＝eq\r(3)，从而b＝eq\r(a2－c2)＝1.故所求椭圆的标准方程为eq\f(x2,4)＋y2＝1.(2)连接QF1，由椭圆的定义，|PF1|＋|PF2|＝2a，|QF1|＋|QF2|＝2a.从而由|PF1|＝|PQ|＝|PF2|＋|QF2|，有|QF1|＝4a－2|又由PF1⊥PQ，|PF1|＝|PQ|，知|QF1|＝eq\r(2)|PF1|，因此，4a－2|PF1|＝eq\r(2)|PF1|.|PF1|＝2(2－eq\r(2))a，从而|PF2|＝2a－|PF1|＝2a－2(2－eq\r(2))a＝2(eq\r(2)－1)a.由PF1⊥PF2，知|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝(2c)因此e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(|PF1|2＋|PF2|2),2a)＝eq\r(2－\r(2)2＋\r(2)－12)＝eq\r(9－6\r(2))＝eq\r(6)－eq\r(3).题型4直线与椭圆的综合问题角度1利用直线与椭圆的位置关系研究椭圆的标准方程及性质eq\o(\s\up7(),\s\do5(典例))(2014·全国卷Ⅱ)设F1，F2分别是椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直．直线MF1与C的另一个交点为N.(1)若直线MN的斜率为eq\f(3,4)，求C的离心率；(2)若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|＝5|F1N|，求a，b.本题(2)用代入法列出方程，用方程组法求解．解(1)根据c＝eq\r(a2－b2)及题设知Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c，\f(b2,a)))，2b2＝3ac将b2＝a2－c2代入2b2＝3ac，解得eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)或eq\f(c,a)＝－2(舍去)．故C的离心率为eq\f(1,2).(2)由题意，得原点O为F1F2的中点，MF2∥y轴，所以直线MF1与y轴的交点D(0,2)是线段MF1的中点，故eq\f(b2,a)＝4，即b2＝4a.①由|MN|＝5|F1N|得|DF1|＝2|F1N|.设N(x1，y1)，由题意知y1<0，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－c－x1＝c，,－2y1＝2，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＝－\f(3,2)c，,y1＝－1.))代入C的方程，得eq\f(9c2,4a2)＋eq\f(1,b2)＝1.②将①及c＝eq\r(a2－b2)代入②得eq\f(9a2－4a,4a2)＋eq\f(1,4a)＝1.解得a＝7，b2＝4a＝28，故a＝7，b＝2eq\r(7).角度2利用直线与椭圆的位置关系研究直线及弦的问题eq\o(\s\up7(),\s\do5(典例))(2014·全国卷Ⅰ)已知点A(0，－2)，椭圆E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为eq\f(\r(3),2)，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为eq\f(2\r(3),3)，O为坐标原点．(1)求E的方程；(2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点．当△OPQ的面积最大时，求l的方程．直线与椭圆构成方程组，用设而不求的方法求弦长，再求△OPQ的面积．解(1)设F(c,0)，由条件知，eq\f(2,c)＝eq\f(2\r(3),3)，得c＝eq\r(3).又eq\f(c,a)＝eq\f(\r(3),2)，所以a＝2，b2＝a2－c2＝1.故E的方程为eq\f(x2,4)＋y2＝1.(2)当l⊥x轴时不合题意，故设l：y＝kx－2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)．将y＝kx－2代入eq\f(x2,4)＋y2＝1得(1＋4k2)x2－16kx＋12＝0.当Δ＝16(4k2－3)>0，即k2>eq\f(3,4)时，x1,2＝eq\f(8k±2\r(4k2－3),4k2＋1).从而|PQ|＝eq\r(k2＋1)|x1－x2|＝eq\f(4\r(k2＋1)·\r(4k2－3),4k2＋1).又点O到直线PQ的距离d＝eq\f(2,\r(k2＋1))，所以△OPQ的面积S△OPQ＝eq\f(1,2)d·|PQ|＝eq\f(4\r(4k2－3),4k2＋1).设eq\r(4k2－3)＝t，则t>0，S△OPQ＝eq\f(4t,t2＋4)＝eq\f(4,t＋\f(4,t)).因为t＋eq\f(4,t)≥4，当且仅当t＝2，即k＝±eq\f(\r(7),2)时等号成立，且满足Δ>0，所以，当△OPQ的面积最大时，l的方程为y＝eq\f(\r(7),2)x－2或y＝－eq\f(\r(7),2)x－2.方法技巧直线与椭圆相交时有关弦问题的处理方法1．合理消元，消元时可以选择消去y，也可以消去x.见角度1典例．2．利用弦长公式、点到直线的距离公式等将所求量表示出来．3．构造基本不等式或利用函数知识求最值．见角度2典例．4．涉及弦中点的问题常用“点差法”解决．冲关针对训练(2015·陕西高考)已知椭圆E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的半焦距为c，原点O到经过两点(c,0)，(0，b)的直线的距离为eq\f(1,2)c.(1)求椭圆E的离心率；(2)如图，AB是圆M：(x＋2)2＋(y－1)2＝eq\f(5,2)的一条直径，若椭圆E经过A，B两点，求椭圆E的方程．解(1)过点(c,0)，(0，b)的直线方程为bx＋cy－bc＝0，则原点O到该直线的距离d＝eq\f(bc,\r(b2＋c2))＝eq\f(bc,a)，由d＝eq\f(1,2)c，得a＝2b＝2eq\r(a2－c2)，解得离心率eq\f(c,a)＝eq\f(\r(3),2).(2)由(1)知，椭圆E的方程为x2＋4y2＝4b2.①依题意，圆心M(－2,1)是线段AB的中点，且|AB|＝eq\r(10).易知，AB与x轴不垂直，设其方程为y＝k(x＋2)＋1，代入①得(1＋4k2)x2＋8k(2k＋1)x＋4(2k＋1)2－4b2＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－eq\f(8k2k＋1,1＋4k2)，x1x2＝eq\f(42k＋12－4b2,1＋4k2).由x1＋x2＝－4，得－eq\f(8k2k＋1,1＋4k2)＝－4，解得k＝eq\f(1,2).从而x1x2＝8－2b2.于是|AB|＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2)|x1－x2|＝eq\f(\r(5),2)eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝eq\r(10b2－2).由|AB|＝eq\r(10)，得eq\r(10b2－2)＝eq\r(10)，解得b2＝3.故椭圆E的方程为eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,3)＝1.1.(2017·浙江高考)椭圆eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1的离心率是()A.eq\f(\r(13),3) B.eq\f(\r(5),3)C.eq\f(2,3) D.eq\f(5,9)答案B解析∵椭圆方程为eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1，∴a＝3，c＝eq\r(a2－b2)＝eq\r(9－4)＝eq\r(5).∴e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(5),3).故选B.2．(2017·河北衡水中学二调)设椭圆eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，且满足eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))＝9，则|PF1|·|PF2|的值为()A．8 B．10C．12 D．15答案D解析由椭圆方程eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝1，可得c2＝4，所以|F1F2|＝2c＝4，而eq\o(F1F2,\s\up6(→))＝eq\o(PF2,\s\up6(→))－eq\o(PF1,\s\up6(→))，所以|eq\o(F1F2,\s\up6(→))|＝|eq\o(PF2,\s\up6(→))－eq\o(PF1,\s\up6(→))|，两边同时平方，得|eq\o(F1F2,\s\up6(→))|2＝|eq\o(PF1,\s\up6(→))|2－2eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))＋|eq\o(PF2,\s\up6(→))|2，所以|eq\o(PF1,\s\up6(→))|2＋|eq\o(PF2,\s\up6(→))|2＝|eq\o(F1F2,\s\up6(→))|2＋2eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))＝16＋18＝34，根据椭圆定义得|PF1|＋|PF2|＝2a＝8，所以34＋2|PF1||PF2|＝64，所以|PF1|·|PF2|＝15.故选D.3．(2018·武汉调研)已知直线MN过椭圆eq\f(x2,2)＋y2＝1的右焦点F，与椭圆交于M，N两点．直线PQ过原点O且与直线MN平行，直线PQ与椭圆交于P，Q两点，则eq\f(|PQ|2,|MN|)＝________.答案2eq\r(2)解析解法一：由题意知，直线MN的斜率不为0，设直线MN：x＝my＋1，则直线PQ：x＝my.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，P(x3，y3)，Q(x4，y4).eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝my＋1，,\f(x2,2)＋y2＝1))⇒(m2＋2)y2＋2my－1＝0⇒y1＋y2＝－eq\f(2m,m2＋2)，y1y2＝－eq\f(1,m2＋2).∴|MN|＝eq\r(1＋m2)|y1－y2|＝2eq\r(2)·eq\f(m2＋1,m2＋2).eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝my，,\f(x2,2)＋y2＝1))⇒(m2＋2)y2－2＝0⇒y3＋y4＝0，y3y4＝－eq\f(2,m2＋2).∴|PQ|＝eq\r(1＋m2)|y3－y4|＝2eq\r(2)eq\r(\f(m2＋1,m2＋2)).故eq\f(|PQ|2,|MN|)＝2eq\r(2).解法二：取特殊位置，当直线MN垂直于x轴时，易得|MN|＝eq\f(2b2,a)＝eq\r(2)，|PQ|＝2b＝2，则eq\f(|PQ|2,|MN|)＝2eq\r(2).4．(2015·安徽高考)设椭圆E的方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，点O为坐标原点，点A的坐标为(a,0)，点B的坐标为(0，b)，点M在线段AB上，满足|BM|＝2|MA|，直线OM的斜率为eq\f(\r(5),10).(1)求E的离心率e；(2)设点C的坐标为(0，－b)，N为线段AC的中点，点N关于直线AB的对称点的纵坐标为eq\f(7,2)，求E的方程．解(1)由题设条件知，点M的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)a，\f(1,3)b))，又kOM＝eq\f(\r(5),10)，从而eq\f(b,2a)＝eq\f(\r(5),10)，进而得a＝eq\r(5)b，c＝eq\r(a2－b2)＝2b，故e＝eq\f(c,a)＝eq\f(2\r(5),5).(2)由题设条件和(1)的计算结果可得，直线AB的方程为eq\f(x,\r(5)b)＋eq\f(y,b)＝1，点N的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),2)b，－\f(1,2)b)).设点N关于直线AB的对称点S的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1，\f(7,2)))，则线段NS的中点T的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),4)b＋\f(x1,2)，－\f(1,4)b＋\f(7,4))).又点T在直线AB上，且kNS·kAB＝－1，从而有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(\f(\r(5)b,4)＋\f(x1,2),\r(5)b)＋\f(－\f(1,4)b＋\f(7,4),b)＝1，,\f(\f(7,2)＋\f(1,2)b,x1－\f(\r(5),2)b)＝\r(5)，))解得b＝3.所以a＝3eq\r(5)，故椭圆E的方程为eq\f(x2,45)＋eq\f(y2,9)＝1.

[重点保分两级优选练]A级一、选择题1．(2018·江西五市八校模拟)已知正数m是2和8的等比中项，则圆锥曲线x2＋eq\f(y2,m)＝1的焦点坐标为()A．(±eq\r(3)，0) B．(0，±eq\r(3))C．(±eq\r(3)，0)或(±eq\r(5)，0) D．(0，±eq\r(3))或(±eq\r(5)，0)答案B解析因为正数m是2和8的等比中项，所以m2＝16，则m＝4，所以圆锥曲线x2＋eq\f(y2,m)＝1即为椭圆x2＋eq\f(y2,4)＝1，易知其焦点坐标为(0，±eq\r(3))，故选B.2．(2017·湖北荆门一模)已知θ是△ABC的一个内角，且sinθ＋cosθ＝eq\f(3,4)，则方程x2sinθ－y2cosθ＝1表示()A．焦点在x轴上的双曲线B．焦点在y轴上的双曲线C．焦点在x轴上的椭圆D．焦点在y轴上的椭圆答案D解析因为(sinθ＋cosθ)2＝1＋2sinθcosθ＝eq\f(9,16)，所以sinθcosθ＝－eq\f(7,32)＜0，结合θ∈(0，π)，知sinθ>0，cosθ<0，又sinθ＋cosθ＝eq\f(3,4)＞0，所以sinθ＞－cosθ＞0，故eq\f(1,－cosθ)＞eq\f(1,sinθ)＞0，因为x2sinθ－y2cosθ＝1可化为eq\f(y2,－\f(1,cosθ))＋eq\f(x2,\f(1,sinθ))＝1，所以方程x2sinθ－y2cosθ＝1表示焦点在y轴上的椭圆．故选D.3．(2018·湖北八校联考)设F1，F2为椭圆eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,5)＝1的两个焦点，点P在椭圆上，若线段PF1的中点在y轴上，则eq\f(|PF2|,|PF1|)的值为()A.eq\f(5,14) B.eq\f(5,13)C.eq\f(4,9) D.eq\f(5,9)答案B解析由题意知a＝3，b＝eq\r(5)，c＝2.设线段PF1的中点为M，则有OM∥PF2，∵OM⊥F1F2，∴PF2⊥F1F2，∴|PF2|＝eq\f(b2,a)＝eq\f(5,3).又∵|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，∴|PF1|＝2a－|PF2|＝eq\f(13,3)，∴eq\f(|PF2|,|PF1|)＝eq\f(5,3)×eq\f(3,13)＝eq\f(5,13)，故选B.4．(2017·全国卷Ⅲ)已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，则C的离心率为()A.eq\f(\r(6),3) B.eq\f(\r(3),3)C.eq\f(\r(2),3) D.eq\f(1,3)答案A解析由题意知以A1A2为直径的圆的圆心为(0,0)，半径为a又直线bx－ay＋2ab＝0与圆相切，∴圆心到直线的距离d＝eq\f(2ab,\r(a2＋b2))＝a，解得a＝eq\r(3)b，∴eq\f(b,a)＝eq\f(1,\r(3))，∴e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(a2－b2),a)＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2)＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(3))))2)＝eq\f(\r(6),3).故选A.5．已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)与双曲线eq\f(x2,m2)－eq\f(y2,n2)＝1(m>0，n>0)有相同的焦点(－c,0)和(c,0)，若c是a，m的等比中项，n2是2m2与c2的等差中项，则椭圆的离心率为()A.eq\f(\r(3),2) B.eq\f(\r(2),2)C.eq\f(1,2) D.eq\f(1,4)答案C解析因为椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)与双曲线eq\f(x2,m2)－eq\f(y2,n2)＝1(m>0，n>0)有相同的焦点(－c,0)和(c,0)，所以c2＝a2－b2＝m2＋n2.因为c是a，m的等比中项，n2是2m2与c2的等差中项，所以c2＝am,2n2＝2m2＋c2，所以m2＝eq\f(c4,a2)，n2＝eq\f(c4,a2)＋eq\f(c2,2)，所以eq\f(2c4,a2)＋eq\f(c2,2)＝c2，化为eq\f(c2,a2)＝eq\f(1,4)，所以e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,2).故选C.6．(2017·荔湾区期末)某宇宙飞船运行的轨道是以地球中心为一焦点的椭圆，测得近地点距地面m千米，远地点距地面n千米，地球半径为r千米，则该飞船运行轨道的短轴长为()A．2eq\r(m＋rn＋r)千米 B.eq\r(m＋rn＋r)千米C．2mn千米 D．mn千米答案A解析∵某宇宙飞船的运行轨道是以地球的中心F2为一个焦点的椭圆，设长半轴长为a，短半轴长为b，半焦距为c，则近地点A距地心为a－c，远地点B距地心为a＋c.∴a－c＝m＋r，a＋c＝n＋r，∴a＝eq\f(m＋n,2)＋r，c＝eq\f(n－m,2).又∵b2＝a2－c2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m＋n,2)＋r))2－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n－m,2)))2＝mn＋(m＋n)r＋r2＝(m＋r)(n＋r)．∴b＝eq\r(m＋rn＋r)，∴短轴长为2b＝2eq\r(7．(2017·九江期末)如图，F1，F2分别是椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的两个焦点，A和B是以O为圆心，以|OF1|为半径的圆与该椭圆左半部分的两个交点，且△F2AB是等边三角形，则该椭圆的离心率为()A.eq\f(\r(3),2) B.eq\f(1,2)C.eq\r(3)－1 D.eq\f(\r(2),2)答案C解析连接AF1，∵F1F2是圆O的直径，∴∠F1AF2＝90°即F1A⊥AF2又∵△F2AB是等边三角形，F1F2⊥AB∴∠AF2F1＝eq\f(1,2)∠AF2B＝30°，因此，在Rt△F1AF2中，|F1F2|＝2|F1A|＝eq\f(1,2)|F1F2|＝c，|F2A|＝eq\f(\r(3),2)|F1F2|＝eq\r(3)c.根据椭圆的定义，得2a＝|F1A|＋|F2A|＝(1＋eq\r(3))c，解得a＝eq\f(1＋\r(3),2)c，∴椭圆的离心率为e＝eq\f(c,a)＝eq\r(3)－1.故选C.8．(2018·郑州质检)椭圆eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,4)＝1的左焦点为F，直线x＝a与椭圆相交于点M，N，当△FMN的周长最大时，△FMN的面积是()A.eq\f(\r(5),5) B.eq\f(6\r(5),5)C.eq\f(8\r(5),5) D.eq\f(4\r(5),5)答案C解析设椭圆的右焦点为E，由椭圆的定义知△FMN的周长为L＝|MN|＋|MF|＋|NF|＝|MN|＋(2eq\r(5)－|ME|)＋(2eq\r(5)－|NE|)．因为|ME|＋|NE|≥|MN|，所以|MN|－|ME|－|NE|≤0，当直线MN过点E时取等号，所以L＝4eq\r(5)＋|MN|－|ME|－|NE|≤4eq\r(5)，即直线x＝a过椭圆的右焦点E时，△FMN的周长最大，此时S△FMN＝eq\f(1,2)×|MN|×|EF|＝eq\f(1,2)×eq\f(2×4,\r(5))×2＝eq\f(8\r(5),5)，故选C.9．如图所示，内外两个椭圆的离心率相同，从外层椭圆顶点向内层椭圆引切线AC，BD，设内层椭圆方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，若直线AC与BD的斜率之积为－eq\f(1,4)，则椭圆的离心率为()A.eq\f(1,2) B.eq\f(\r(2),2)C.eq\f(\r(3),2) D.eq\f(3,4)答案C解析设外层椭圆方程为eq\f(x2,ma2)＋eq\f(y2,mb2)＝1(a>b>0，m>1)，则切线AC的方程为y＝k1(x－ma)，切线BD的方程为y＝k2x＋mb，则由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝k1x－ma，,bx2＋ay2＝a2b2，))消去y，得(b2＋a2keq\o\al(2,1))x2－2ma3keq\o\al(2,1)x＋m2a4keq\o\al(2,1)－a2b2＝0.因为Δ＝(2ma3keq\o\al(2,1))2－4(b2＋a2keq\o\al(2,1))(m2a4keq\o\al(2,1)－a2b2)＝0，整理，得keq\o\al(2,1)＝eq\f(b2,a2)·eq\f(1,m2－1).由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝k2x＋mb，,bx2＋ay2＝a2b2，))消去y，得(b2＋a2keq\o\al(2,2))x2＋2a2mbk2x＋a2m2b2－a2b2＝0，因为Δ2＝(2a2mbk2)2－4×(b2＋a2keq\o\al(2,2))(a2m2b2－a2b2)＝0，整理，得keq\o\al(2,2)＝eq\f(b2,a2)·(m2－1)．所以keq\o\al(2,1)·keq\o\al(2,2)＝eq\f(b4,a4).因为k1k2＝－eq\f(1,4)，所以eq\f(b2,a2)＝eq\f(1,4)，e2＝eq\f(c2,a2)＝eq\f(a2－b2,a2)＝eq\f(3,4)，所以e＝eq\f(\r(3),2)，故选C.10．(2018·永康市模拟)设椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)和圆x2＋y2＝b2，若椭圆C上存在点P，使得过点P引圆O的两条切线，切点分别为A，B，满足∠APB＝60°，则椭圆的离心率e的取值范围是()A．0<e≤eq\f(\r(3),2) B.eq\f(1,2)≤e<1C.eq\f(\r(3),2)<e<1 D.eq\f(\r(3),2)≤e<1答案D解析由椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)焦点在x轴上，连接OA，OB，OP，依题意，O，P，A，B四点共圆，∵∠APB＝60°，∠APO＝∠BPO＝30°，在直角三角形OAP中，∠AOP＝60°，∴cos∠AOP＝eq\f(b,|OP|)＝eq\f(1,2)，∴|OP|＝eq\f(b,\f(1,2))＝2b，∴b<|OP|≤a，∴2b≤a，∴4b2≤a2，由a2＝b2＋c2，即4(a2－c2)≤a2，∴3a2≤4c2，即eq\f(c2,a2)≥eq\f(3,4)，∴e≥eq\f(\r(3),2)，又0<e<1，∴eq\f(\r(3),2)≤e<1，∴椭圆C的离心率的取值范围是eq\f(\r(3),2)≤e<1.故选D.二、填空题11．(2017·湖南东部六校联考)设P，Q分别是圆x2＋(y－1)2＝3和椭圆eq\f(x2,4)＋y2＝1上的点，则P，Q两点间的最大距离是________．答案eq\f(7\r(3),3)解析依据圆的性质可知，P，Q两点间的最大距离可以转化为圆心到椭圆上点的距离的最大值加上圆的半径eq\r(3)，设Q(x，y)，则圆心(0,1)到椭圆上点的距离为d＝eq\r(x2＋y－12)＝eq\r(－3y2－2y＋5)＝eq\r(－3\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋\f(1,3)))2＋\f(16,3))，∵－1≤y≤1，∴当y＝－eq\f(1,3)时，d取最大值eq\f(4\r(3),3)，所以P，Q两点间的最大距离为dmax＋eq\r(3)＝eq\f(7\r(3),3).12．(2018·广州二测)已知中心在坐标原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，点F关于直线y＝eq\f(1,2)x的对称点在椭圆C上，则椭圆C的方程为________．答案eq\f(5x2,9)＋eq\f(5y2,4)＝1解析设F(1,0)关于直线y＝eq\f(1,2)x的对称点为(x，y)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(0＋y,2)＝\f(1,2)×\f(1＋x,2)，,\f(y－0,x－1)×\f(1,2)＝－1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(3,5)，,y＝\f(4,5)，))由于椭圆的两个焦点为(－1,0)，(1,0)，所以2a＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)－1))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))2)＋eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)＋1))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))2)＝eq\f(6\r(5),5)，a＝eq\f(3\r(5),5)，又c＝1，所以b2＝a2－c2＝eq\f(9,5)－1＝eq\f(4,5)，所以椭圆C的方程为eq\f(\a\vs4\al(x2),\f(9,5))＋eq\f(\a\vs4\al(y2),\f(4,5))＝1，即eq\f(5x2,9)＋eq\f(5y2,4)＝1.13．(2018·江西五市联考)已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，A，B为椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,5)，0))，则椭圆的离心率e的取值范围是________．答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),5)，1))解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1≠x2，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1－\f(a,5)))2＋y\o\al(2,1)＝\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2－\f(a,5)))2＋y\o\al(2,2)，,\f(x\o\al(2,1),a2)＋\f(y\o\al(2,1),b2)＝1，,\f(x\o\al(2,2),a2)＋\f(y\o\al(2,2),b2)＝1，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(2a,5)x1－x2＝x\o\al(2,1)－x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,1)－y\o\al(2,2)，,y\o\al(2,1)＝b2－\f(b2,a2)x\o\al(2,1)，,y\o\al(2,2)＝b2－\f(b2,a2)x\o\al(2,2)，))所以eq\f(2a,5)(x1－x2)＝eq\f(a2－b2,a2)(xeq\o\al(2,1)－xeq\o\al(2,2))，所以eq\f(2a3,5a2－b2)＝x1＋x2.又－a≤x1≤a，－a≤x2≤a，x1≠x2，所以－2a<x1＋x2<2a，则eq\f(2a3,5a2－b2)<2a，即eq\f(b2,a2)<eq\f(4,5)，所以e2>eq\f(1,5).又0<e<1，所以eq\f(\r(5),5)<e<1.14．(2016·江苏高考)如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦点，直线y＝eq\f(b,2)与椭圆交于B，C两点，且∠BFC＝90°，则该椭圆的离心率是________．答案eq\f(\r(6),3)解析由已知条件易得Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)a，\f(b,2)))，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)a，\f(b,2)))，F(c,0)，∴eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c＋\f(\r(3),2)a，－\f(b,2)))，eq\o(CF,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c－\f(\r(3),2)a，－\f(b,2)))，由∠BFC＝90°，可得eq\o(BF,\s\up6(→))·eq\o(CF,\s\up6(→))＝0，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c－\f(\r(3),2)a))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c＋\f(\r(3),2)a))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2)))2＝0，c2－eq\f(3,4)a2＋eq\f(1,4)b2＝0，即4c2－3a2＋(a2－c2)＝0，亦即3c2＝所以eq\f(c2,a2)＝eq\f(2,3)，则e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(6),3).B级三、解答题15．(2018·安徽合肥三校联考)已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为eq\f(\r(2),2)，且椭圆经过圆C：x2＋y2－4x＋2eq\r(2)y＝0的圆心C.(1)求椭圆的方程；(2)设直线l过椭圆的焦点且与圆C相切，求直线l的方程．解(1)圆C方程化为(x－2)2＋(y＋eq\r(2))2＝6，圆心C(2，－eq\r(2))，半径r＝eq\r(6).设椭圆的方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(4,a2)＋\f(2,b2)＝1，,1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2＝\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))2，))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝8，,b2＝4.))所以所求的椭圆方程是eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,4)＝1.(2)由(1)得椭圆的左、右焦点分别是F1(－2,0)，F2(2,0)，|F2C|＝eq\r(2－22＋0＋\r(2)2)＝eq\r(2)<r＝eq\r(6).F2在圆C内，故过F2没有圆C的切线，所以直线l过焦点F1.设l的方程为y＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＝0，点C(2，－eq\r(2))到直线l的距离为d＝eq\f(|2k＋\r(2)＋2k|,\r(1＋k2))，由d＝eq\r(6)，得eq\f(|2k＋\r(2)＋2k|,\r(1＋k2))＝eq\r(6).化简，得5k2＋4eq\r(2)k－2＝0，解得k＝eq\f(\r(2),5)或k＝－eq\r(2).故l的方程为eq\r(2)x－5y＋2eq\r(2)＝0或eq\r(2)x＋y＋2eq\r(2)＝0.16．(2018·陕西咸阳模拟)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)过点P(2,1)，且离心率e＝eq\f(\r(3),2).(1)求椭圆C的方程；(2)直线l的斜率为eq\f(1,2)，直线l与椭圆C交于A，B两点．求△PAB面积的最大值．解(1)∵e2＝eq\f(c2,a2)＝eq\f(a2－b2,a2)＝eq\f(3,4)，∴a2＝4b2.又椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)过点P(2,1)，∴eq\f(4,a2)＋eq\f(1,b2)＝1.∴a2＝8，b2＝2.故所求椭圆方程为eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,2)＝1.(2)