全国自考线性代数往年试题复习资料

----------------------------欠缺的答案欠缺的答案--------------------全国２全国２0121月自考《线性代数经管类》答案课程代码：04184----------------------------------------20１11月自考线性代数(经管类)参考答案三、计算题--------------２01０年10月全国自考线性代数(经管类)参考答案全国2010年7月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题答案3i一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分,共２0分)3i13１．设3阶方阵A,131 2

,,其中

（i）为的列向量,若|B|

,．2 ．

,)|6,则|A（ C )|A,Ａ．11

,)3030202105000202323

,62

,)|632.计算行列式

B.ﻩﻩＣ．6ﻩﻩﻩﻩＤ．12（ Ａ ）30202105000202323A．180 ﻩ302021050002023233 0 232 10 5 3(2)0 0 23.若A为3阶方阵且|A1|2,则|2A|（ C )1

3 02 10

3(2)30180.A．2 ﻩﻩ B.2ﻩﻩ ﻩＣ.4 ﻩ Ｄ．8|A1,|2A23|A812 2

4．4.设,1 2

,,123 12

都是３维向量，则必有( Ｂ ）A.,21 22

,,3

线性无ﻩﻩ B．,

,,23 2

线性相关1C.11

可由

,,3

线性表示 ﻩ D.

不可由

,,3

线性表示r(若A为６阶方阵,齐次方程组基础解系中解向量的个数为２，则Ａ．２ ﻩ ﻩB．３ﻩ C．4ﻩ ﻩﻩ6r2r4．设、B为同阶方阵,且r(r(B),则（ C ）与B相似 B．|AB| ﻩ 与等价 ﻩD．A与B合注：A与B有相同的等价标准形．设为3阶方阵,其特征值分别为,则|A2E|( D )A.０ﻩﻩ Ｂ.2ﻩﻩ C．3ﻩ D.24A2E,所以|A2E43224．若、B相似，则下列说法的是( B ）

( C ）A．A与

Ｂ．A与B合ﻩ C．|AB|ﻩ D．A与B有相同特征值注:只有正交相似才是合同的．９．若向量

与t)正交，则t( Ｄ ）A．2ﻩﻩﻩB．０ﻩﻩ26t0,得t

Ｃ.2ﻩ ﻩﻩD．410．设３阶实对称矩阵A的特征值分别为,则（ B ）A．A正ﻩﻩ 半正ﻩ ﻩC．A负ﻩﻩ 半负定2z1

z2

0z3

0，是半正定的.二、填空题(本大题共1０小题,每小题２分,共20分）3 2 2 1 11１.设A0 1,B0 1 0,则AB ＿ ＿＿ ＿.2 2 3 2 6 5 3 2 1 1 AB0 10 1 00 1 0.2 4

4 2 2 12.设A为3阶方阵,且|A|3， 则|3A1| ＿_＿ ＿＿＿＿_．|3A1|33|A1|33

1 33 9.1|A| 31１3．三元方程x x1 2

x 1的通解是 ＿_＿ .x 1x x1 2

1 1 13 30x

,通解是

k1k

0.2

2 0 10 21x3

x3 １４．设,则与反方向的单位向量是_＿_＿_＿ ＿_＿＿． 1 1(1,2,2).|||| 3115．设A为５阶方阵，且r(3,则线性空间W{x|Ax的维数是 ＿_＿＿ W{x|Ax的维数等于Ax0基础解系所含向量的个数:nr532．1１6.设为3阶方阵，特征值分别为2则|5A1|＿＿ ＿＿_＿．1 53．|5A1|53．|

125A| 2(1/2)1若、B为５阶方阵，且Ax0只有零解，且r(B)3,则r(AB) ＿＿ ＿＿.Ax0只有零解,所以A可逆，从而r(AB)r(B)3.2 1 0 实对称矩阵1 0 1所对应的二次型f(x,

,x)＿ ＿ ＿. 0 1

1 2 3f(x,x,x)2x2x

2x

2xx.1 2

1 3 1

2 31 1 3元非齐次线性方程组Axb有解1

2，3

2，且r(2，则Axb的通解是 ＿_＿ .31

1 1 1 ) 0是Ax0的基础解系,Axb的通解是 2k0.2 1 21

0 3 0 3 20．设2,则A3 3

T的非零特征值是_＿ ＿ .1 由T214A23 3 则21414.

(T)

14A，设A的非零特征值是，三、计算题(本大题共６小题,每小题9分，共5４分)200010200021．计算5阶行列式D 00200.0002010002解：连续3次按第2行展开，D2

2 0 12001020000201002420010200002010021 1 0 2

8324．2200100143010X001201

0 0 2 0 1 0 1 2 0

，求Ｘ． 2 0 0 1 0 0 解:记A0 1 0,B0 0 1，C2 0 1,则AXBC， 0 0 2 0 1 0 1/2 0 0 1 0 0A1

0 1 0，B0

1，0 0 1/2 0 1 0 1 0 01 4 31 0 01 XA1CB1

20 2 02 0 10 0 10 0 11 2 00 1 0 1 4 31 0 0 1 3 41 1 24 0 20 0 124 2 0．1 2 00 1 0 1 0 2 x x 3x x 11 2 3 4２３．求非齐次线性方程组3x x 3x 4x

4 的通解.x1 2 3 4b

5x 9x 8x 01113111131111331344 04671 0461598004671000

1 17 1

0 04444124440635103/23/45/404671 04671 013/27/41/

，0

0 0 0

0

0 0 0

0 0

0 0 x 5 3x 3x1 4

2 3 4 4

5/4 3/2 3/4 x 1

3x 7

，通解为1/4

3/2

7/

，k,

都是任意常数．2 4 2 3 4 4

0

1 1

2 0 1 2x x3 3

001 001x x，4 4，求向量组1

19219219210041502041

，3，

(2,4,2,8)的秩和一个极大无关组．2T,T,T

0 1 2 3 1 10

1 10

0 19 04 4 8 1 1 2 0 8 0 1 9 2 1 0 2 0 1

0 1

，向量组的秩为2,

是一个极大无关组.0 0 0 0 0 0 1 2 0 0 0 2 1 2已知A

a 3的一个特征向量b及 1 b

2 1 21 1 1 是所对应的特征值,则A,即

a 3

1

1,从而a2

a3b01; 1 b 21 1 对于1，解齐次方程组A)x0:2 1 2

3 1 2 1 0 1

1 0 1 1 0 1 xxEA5 3 35 2 35 2 3

0 2 20 1 1 13

，x x , 1 0 2 1 0 1

0 1 1

0 0 0 x2 x3 1 1 1 基础解系为 1，属于 的全部特征向量

1， 为任意非零实数． 1 1 2 1 1 2 26．设A1 2 1 a，试确定a使r(2 解:A

1 1 2 22211211221122121a 112 03321 1 2 2

1 2

a 0 3 3 a2 1 1 2 20 3 3 2a0r2． 0 0 0 a 2四、证明题(本大题共1小题,6分）21２7.若,,11 2

是Axbb0)的线性无关解,证明

,1

是对应齐次线性方程组Ax0的线性无关解.证:因为,,1 2

是Axb的解,所以

,1 ,

是Ax0的解;

211123k k 0211123设k1 2

)k1 2

)01

，即(k

k2

k1

k2

0,由,,

1 2k1线性无关,得 k 0k1212021

，只有零解k k1 2

0,所以

,1

线性无关.全国2010年1月高等教育自学考试线性代数(经管类）试题答案一、单项选择题(本大题共1０小题,每小题2分，共20分)xyz1.设行列式4031，则行列式xyz1.设行列式4031，则行列式1114 0 1 （ Ａ )31 1 1A．2 ﻩﻩＢ.1 ﻩﻩﻩC.2 D.3 32x 2y 2z

x y z4 0 1 3

24 0 32.3 31 1 1

1 1 1２．设B,C为同阶可逆方阵,则(ABC)1( Ｂ )2A．A1B1C1ﻩﻩB．C1B1A1ﻩ C．C1A1B1ﻩ D.A1C1B121３．设,1

,,

是4维列向量，矩阵A,

,,

)．如果|A|2,则|2A|（ Ｄ ）ﻩﻩﻩﻩﻩﻩ

3 44

1 2 3 4ﻩ C.4 ﻩ ﻩ|2A|(2)4|A|ﻩ C.4 ﻩ ﻩ4.设,1 A．,1

,,3 ,,3

是三维实向量,则（ Ｃ ）1123一定线性无ﻩﻩ B． 一定可由1123

,,23 2

线性表出C．,1 2

,,，3 ，

一定线性相关 ﻩﻩﻩD.,,

一定线性无关向量组1

2

，3，

的秩为（ Ｃ )A．１ﻩ Ｂ．2 ﻩ C.3 ﻩﻩﻩD.4设A是46矩阵,r(2,则方程组Ax0的基础解系中所含向量的个数是( Ｄ ）Ａ．1ﻩﻩB.2ﻩC．3ﻩﻩﻩD.４A.1ﻩﻩB．2ﻩﻩC．3ﻩﻩﻩﻩD．4nr624．７.设A是mn矩阵,已知Ax0只有零解,则以下结论正确的是（ A )A．mn ﻩB.Axb（其中bm维实向量）必有唯一解Crm D．Ax0存在基础解系若mn，即方程个数小于未知量个数,则Ax0必有非零解．4 5 2设矩阵A5 7 3，则以下向量中是A的特征向量的是（ A ） 6 9 4Ａ．ﻩ Ｂ.ﻩﻩﻩC．ﻩ ﻩD．x 4 5 2x

x 1

1

122223设px是A的特征向量,则Ap223

p，5 7 3x

x，x x 3

6 9 4x

x 3x4x

5x

2x

x 5x

27x

33x

1x

,将各备选答案代入验证,可知

是A的特征向量．61 2 3 2x 9x1

4x x3 31 1设矩阵A3 的三个特征值分别为,,

,则

（ Ｂ ) 1 2

1 2 31 1A．4ﻩﻩB．５ﻩﻩﻩC．6ﻩﻩD.71

tr(A)1315.3.

f(x,

,x)x24xx

6x

4x

12x

9x2的矩阵为（ Ａ )1 2 3 1

12 13

2 3 31 2 3 1 4

1 2 6 1 2 3A．2 4 6ﻩﻩB.0 4 6ﻩ C.2 4 6 ﻩD.2 4 0 3 6

3 6 9

6

3 12 9二、填空题(本大题共1０小题，每小题2分,共20分）12311．行列式459_＿＿ .671312310459 430 12310459 4336 7 13 6 5 55 2 0 02 1 0 0

5 5

0.１2.设A

，则A1_＿_＿_＿ .0 0 2 1200100200100010400200010001001050005005(E)200

021001010210010110001 0 0 2 2

0 1 00 0 21040400200010000102000100250001002500021001000200022

00 10001200 100012001200010025005000 0 1 0 0 0 1 1，A1

0

0 1 1.0 0 0 1

0 1 2

0

1 2 5 2 2 1解法二:令A

2 1,A 1 1,则1 2 A1 |

1 2 1|A2 5，A1| |A

1 1 1 2 121 A 1 12

A 2 1 2 0 0 A

1 A1

O 2 5 0 0A1 1

.O A O 2 2

0 0 1 1 0 0 1 2 设方阵A满足A3

2AEO,则A2

2E)

＿ ＿.A32AEO,A32AE，(A22E)AE，(A22E)(A)E，(A22E)1A.实数向量空间V{(xx1 2

,x)|x x3 1

x 0}的维数是 ＿ ＿.3V就是齐次方程组x3

x x12 1

0的解向量组,它的基础解系(即极大无关组)含有nr312个向2量,所以V的维数是2．2１５.设,1 2

是非齐次线性方程组Axb的解.则A(5

41

)＿ ＿_.A(52

41

)5A2

4A1

5b4bb.16．设A是mn实矩阵,若r(ATA)5，则r(_＿ 利用P.１15例7的结论：r(r(ATA)5.a 1 1x 1 1 17．设线性方程组1 a 1x21有无穷多个解,则a＿＿ ．31 1 ax3

2a 1 1 1 1 1 a 2 1 1 a 2 (b)1 a 1 11 a 1 10 a1 1a 3 1 1 a 2 a 1 1 1 0 1a 1a2 2a1 1 1 a 2 1 1 a 2 0 a1 1a 3 0 a1 1a 3 ， 0 0 2aa2 2a4 0 0 (aa) 2(a2) 方程组有无穷多个解，则a2.18．设n阶矩阵A有一个特征值3,则|3EA＿.0是3EA的特征值,所以|3EA|0．1９.设向量，(2,，且与正交，则a 由(,)0，即22a60，得a2.二次型f(xx02 224424424424 4022022022A

,x)4x3 2

3x3

4xx12

4xx13

8xx2

的秩为 ＿ .3．2 4 3 2 4 3 0 8 1 0 0 9 三、计算题(本大题共6小题，每小题9分,共５4分)2 3 4 53 4 5 6计算４阶行列式D

4 5 6 7．5 6 7 82 3 4 5 2 3 4 5 2 3 4 53 4 5 64567456745671111526378111111111

3 4 5 6

3 4 5 6

0(标准答案．设A4 5 2，判断A是否可逆，若可逆,求其逆矩阵A1． 5 7 331311002311001210152010452010452017300112101123110E455

1000 121121011121011032054 011122 0 1 1 1 2 2 0 3 2 0 5 1 2 1 0 1 1 1 2 0 3 0 10 1 1 1 2 20 1 0 2 1 00

1 3 1 2

0 0 1 3 1 2

1 2 11100121010210 所以A可逆，且A12 1 0（标准答案． 0 0 1 3 1 2 23．设向量,求T)101. T)101T)(T)(T 101 100由于

T(3,2)322

，

3

9 6所以T)101T13100T13100 (3,2)13100

（标准答案)．24.设向量组1

，2，

(1,1,2,4),3,

2，，4

6 4(1,2,3,2).（1)求该向量组的一个极大无关组;（2)将其余向量表示为该极大无关组的线性组合.1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 2 0 3 3 0解:(1)T,T,T,T

1 2 3

3 2 2 3 0 1 1 0 6 4 8 2 0 2 2 1111111101100110

1

1 1 0 1 1 00

1 0 0 0 0 0 0

2 2 00 1 1 2 0 0 2 01 1 1 1 1 1 0 2 1 0 0 1100100 100100

0 00 1 1 0

1

1 0 1，0 0 1 1

1

0 1 10 0 0 0

0

0 0 0 ,,1 2

是一个极大线性无关组;(2）4

1

(标准答案）.3x x 2x 034x 4x 2５.求齐次线性方程组 x x3x1x2x3 4

0的基础解系及其通解.01111021104111 051

2 1

0 2解：A

7

0 1 0 1 3 1 1 0 0 4 1 6 1101102110 2100 10101 010 1 010 1

， 0 4 1 6 0 0 1 2 xx1

1 1 x x

1 12 4 ,基础解系为 ，通解为k