大学文科数学-张国楚-不定积分课件

第五章微分的逆运算问题

——不定积分引言数学中的转折点是笛卡尔的变数.有了变数,进入了数学;有了变数,辩证法进入了数学;有了变数,微分和积分也就立刻成为必要的了,而它们也就立刻产并且是由牛顿和莱布尼茨大体上完成的,他们发明的.------恩格斯运动生,但不是由数学发展的动力主要来源于17世纪,面临的四类核心问题中的第四类问题,的长度、量.微积分的创立首先是为了解决当时数学即求曲线曲线围成的面积、曲面围成的体积、社会发展的环境力引言数学中的转折点是笛卡尔的变数.有了变数,进入了数学;有了变数,辩证法进入了数学;有了变数,微分和积分也就立刻成为必要的了,而它们也就立刻产并且是由牛顿和莱布尼茨大体上完成的,他们发明的.------恩格斯运动生,但不是由数学发展的动力主要来源于17世纪,面临的四类核心问题中的第四类问题,的长度、量.微积分的创立首先是为了解决当时数学即求曲线曲线围成的面积、曲面围成的体积、社会发展的环境力引言由求运动速度、曲线的切线和极值等问题产生了导数和微分,构成了微积分学的微分学部分;时由已知速度求路程、已知切线求曲线以及上述求面积与体积等问题,产生了不定积分和定积分,同构成了微积分学的积分学部分.前面已经介绍已知函数求导数的问题,们要考虑其反问题:已知导数求其函数,数或微分求原来函数的逆运算称为不定积分.现在我这种由导完教学目标：本章目标是介绍不定积分的概念、性质和求不定积分的主要方法（换元积分法和分部积分法）。要求理解不定积分的概念和性质、掌握不定积分的基本积分公式、换元积分法和分部积分法。了解莱布尼茨的生平事蹟和他对数学发展所作的贡献。教学重点：不定积分的概念和性质、不定积分的基本积分公式；教学时数：8学时；教学内容

§1逆向思维又一例——原函数与不定积分

§2矛盾转化法——换元积分和分部积分法

数学家启示录教学难点：不定积分的换元积分和分部积分法；1.1原函数与不定积分的概念定义1设函数与在区间I上有定义.若在I上，则称函数为在区间I上的一个原函数.研究原函数必须解决的两个重要问题：⑴什么条件下，一个函数存在原函数？⑵如果一个函数存在原函数，那么原函数有多少？原函数的概念从上述后面两个例子可见:唯一的.一个函数的原函数不是一个函数的任意二个原函数之间相差一个常数.事实上,则事实上,即有若为在区间上的原函数,(为任意常数).从而也是在区间上的原函数.设和都是的原函数,(为任意常数).由此知道,若为在区间上的原函数,则定理1若函数在区间I上连续，则在I上存在原函数.定理2设是在区间I上的一个原函数，则⑴也是的一个原函数，其中C为任意常数；⑵的任意两个原函数之间，相差一个常数.以下两个定理为我们作了回答.不定积分的概念注:由定义知,求函数的不定积分,就是求的全体原函数,在中,故求不定积分的运算实质上就是求导(或求微积分)运算的逆运算.积分号表示对函数实行求原函数的运算,完例1问与是否相等?解不相等.设则而由不定积分定义所以完例2求下列不定积分解(1)所以是的一个原函数,从而(2)所以是的一个原函数,从而(3)因为因为因为例2求下列不定积分解(2)因为所以是的一个原从而(3)因为函数,的原函数,从而完故是的不定积分的几何意义若是的一个原函数，则称的图象为的一条积分曲线.于是，函数的不定积分在几何上表示的积分曲线族，它可由的某一条积分曲线沿y轴方向上下平移而得到.显然，曲线族中每一条积分曲线横坐标相同点处的切线相互平行.（如图）微分运算与积分运算的关系由不定积分的定义知,即所以原函数,若为在区间上的或则在区间内的不定积分为易见是的原函数,或所以又由于是的原函数,或微分运算与积分运算的关系所以又由于是的原函数,或从上可见微分运算与积分运算是互逆的.两个运算连在一起时,一常数.完全抵消,抵消后差完基本积分表(7)(9)(10)(11)(12)(13)(8)完说明:完直接积分法从前面的例题知道,不定积分是非常不方便的.为解决不定积分的计算质和积分基本公式,直接求出不定积分的方法,直接积分法.利用不定积分的定义来计算问题,这里我们先介绍一种利用不定积分的运算性即例如,计算不定积分不定积分性质积分基本公式直接积分法不定积分性质积分基本公式注:多个不定积分作代数和运算时,只需统一记一个积分常数完例4求解例3求.解例6求不定积分解完例7求不定积分解完例8求不定积分解完例9求不定积分解完例10求下列不定积分:解完例11求不定积分解完第一类换元法(凑微分法)问题?观察从公式令则有解法可将微分凑成的形式,即第一类换元法(凑微分法)一般地,设具有原函数即则换元回代第一类换元法(凑微分法)回代部分常用的凑微分公式:(1)(2)应用凑微分法求的关键是将它化为上述方法称为第一类换元法或凑微分法.第一类换元法(凑微分法)部分常用的凑微分公式:(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)完2.1换元积分法换元积分法的实质是一种矛盾转化法，分为第一换元积分法和第二换元积分法.1.第一换元积分法定理1（第一换元积分法）设及连续，且则作变量代换后，有例1解求不定积分利用凑微分公式所以完换元回代例2求解令，则.由公式有例3求解例4解求不定积分换元回代注:一般情形:完例5解计算不定积分换元回代注:一般情形:完例5解计算不定积分注:对变量代换比较熟练后,可省去书写中间变量的换元和回代过程.例6求.解例7求⑴⑵解⑴⑵例8解求不定积分换元回代注:一般情形:完例9求下列不定积分解例9求下列不定积分解注:一般情形:完例10求下列不定积分.解(1)(2)原式原式完例11求下列不定积分(1)解原式例11求下列不定积分解注:一般情形:完例12解法一求不定积分原式解法二原式解法三原式注:一般情形:完例13求不定积分解完例14解求不定积分原式注:利用平方差公式进行根式有理化是化简积分计算的常用手段之一.完例15求解由于所以例16求解（利用例15的结果）从以上几例可以看到，使用第一换元积分法的关键是设法把被积表达式凑成

的形式，因此，第一还原积分法又称为“凑微分法”.第二类换元法问题方法通过变量替换引入新的积分变量.例如,令则用”凑微分”即可求出结果2

第二换元积分法定理2（第二换元积分法）设及均连续，且又存在原函数F(t),则运用第二换元积分法的关键是变量代换存在反函数注：从定理2可知，第二类换元积分法与第一类换元积分法的换元与回代过程正好相反.例1求解为取掉被积函数中的根式，令则有，于是例2求不定积分解令变量即作变量代换从而微分所以不定积分完例3求不定积分方法当被积函数含有两种或两种以上的根式时,可令(为各根指数的最小公倍数).解令完例4求解为去掉被积函数中的根号，令（在的其它单调区间上也同样讨论），则于是我们用如下的方法还原变量x.因，有.作如图所示的直角三角形.从而有且在内存在反函数于是例5求解令（在的其它单调区间上也可同样讨论）.于是借助右图，求得故有例6解求不定积分令完分部积分公式问题思路利用两个函数乘积的求导公式,设函数和具有连续导数,则移项得两边积分得或分部积分公式求解关键如何将所给积分化为分部积分公式求解关键如何将所给积分化为形式,并使它更容易计算,主要采用凑微分法,例如,利用分部积分法计算不定积分,选择好非常、关键,选择不当将使积分的计算变得更加复杂,例如,分部积分公式例如,更复杂下面将通过例题介绍分部积分法的应用.完2.2分部积分法定理（分部积分法）若与可导且不定积分存在，则也存在，且有(5.9)公式(5.9)可将积分转化为积分，称为分部积分公式，常简写为(5.10)有关分部积分公式的几点说明1.有些函数的积分需要连续多次应用分部积分法;2.有些函数的积分在连续两次应用分部积分法后出现了原来的积分式,这时通过解方程可得到所求不定积分;3.一般来说,下列类型的被积函数常考虑应用分部积分法,其中都是正整数.等.完例1求解令则有由(5.10)有例2求解把看作u，dx看作dv，则例3求解通过以上各例可知，使用分部积分法的关键在于选定被积表达式中的u和dv，使等式(5.10)右边的不定积分容易求出.例4求不定积分解令完例4求不定积分解令例5求不定积分解令小结若被积函数是幂函数和对数函数或幂函数和反三角函数的乘积,可设对数函数或反三角函数为而将幂函数凑微分进入微分号,使得应用分部积分公式后,对数函数或反三角函数消失.例6求不定积分解完例7求不定积分解令则于是完数学家启示录（5）符号大师——莱布尼茨

莱布尼茨是德国著名数学家、物理学家和哲学家。他的研究兴趣极为广泛，涉及数学、力学、光学、机械学等40多个领域，且在每一领域都有杰出成就。主要表现如下：⑴创始微积分他与同时代的牛顿在不同国家，各自独立地创建了微积分学，阐明了求导数和积分是互逆的运算，发明了比牛顿的符号优越的微积分符号，奠定了微积分学基础，为变量数学的兴起和发展作出了奠基性、开创性贡献。⑵高等数学上的众多成就

他的研究及成果渗透到高