高三数学复习资料-第十一章 算法初步与复数

第十一章算法初步、复数第一节算法与程序框图最新考纲：1.了解算法的含义，了解算法的思想；2.理解程序框图的三种基本逻辑结构：顺序结构、条件结构、循环结构；3.理解几种基本算法语句——输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句的含义．1．算法的定义算法是指按照一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤．2．程序框图(1)程序框图又称流程图，是一种用规定的图形、指向线及文字说明来准确、直观地表示算法的图形．(2)程序框图通常由程序框和流程线组成．(3)基本的程序框有终端框(起止框)、输入、输出框、处理框(执行框)、判断框．3．三种基本逻辑结构名称内容顺序结构条件结构循环结构定义由若干个依次执行的步骤组成的，这是任何一个算法都离不开的基本结构算法的流程根据条件是否成立有不同的流向，条件结构就是处理这种过程的结构从某处开始，按照一定的条件反复执行某些步骤的情况，反复执行的步骤称为循环体程序框图↓步骤n↓步骤n＋1↓或：或：问题探究：三种基本逻辑结构的共同点是什么？提示：三种逻辑结构的共同点即只有一个入口和一个出口，每一个基本逻辑结构的每一部分都有机会被执行到，而且结构内不存在死循环．4．输入语句、输出语句、赋值语句的格式与功能语句一般格式功能输入语句INPUT“提示内容”；变量输入信息输出语句PRINT“提示内容”；表达式输出常量、变量的值和系统信息赋值语句变量＝表达式将表达式的值赋给变量5.条件语句(1)算法中的条件结构与条件语句相对应．(2)条件语句的格式及框图①IF－THEN格式②IF－THEN－ELSE格式6．循环语句(1)算法中的循环结构与循环语句相对应．(2)循环语句的格式及框图．①UNTIL语句②WHILE语句7．算法案例(1)辗转相除法辗转相除法是用于求两个正整数的最大公约数的一种方法，这种算法是由欧几里得在公元前330年左右首先提出的，因此又叫欧几里得算法．(2)更相减损术的定义任给两个正整数(若是偶数，先用2约数)，以较大的数减较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数，直到所得的数相等为止，则这个数(等数)(或这个数与约简的数的乘积)就是所求的最大公约数．(3)秦九韶算法秦九韶算法是我国南宋数学家秦九韶在他的代表作《数书九章》中提出的一种用于计算一元n次多项式的值的方法．1．判断正误(在括号内打“√”或“×”)(1)算法只能解决一个问题，不能重复使用．()(2)算法的每一步都有确定的意义，且可以无限地运算．()(3)一个程序框图一定包含顺序结构，也包含条件结构(选择结构)和循环结构．()(4)条件结构的出口有两个，但在执行时，只有一个出口是有效的．()(5)输入语句可以同时给多个变量赋值．()[答案](1)×(2)×(3)×(4)√(5)√2．(2015·北京卷)执行如图所示的程序框图，输出的结果为()A．(－2，2) B．(－4，0)C．(－4，－4) D．(0，－8)[解析]初始值x＝1，y＝1，k＝0，执行程序框图，则s＝0，t＝2，x＝0，y＝2，k＝1；s＝－2，t＝2，x＝－2，y＝2，k＝2；s＝－4，t＝0，x＝－4，y＝0，k＝3，此时输出(x，y)，则输出的结果为(－4，0)，故选B.[答案]B2题图3题图3．(2016·南昌调研)执行下图的程序框图，若p＝0.8，则输出的n＝()A．4 B．3C．2 D．1[解析]执行该程序框图得n＝1，S＝0；S<0.8，S＝0＋eq\f(1,2)＝0.5，n＝1＋1＝2；S<0.8，S＝0.5＋eq\f(1,22)＝0.75，n＝2＋1＝3；S<0.8，S＝0.75＋eq\f(1,23)＝0.875，n＝3＋1＝4，此时S>0.8，跳出循环，输出n＝4.故选A.[答案]A4．如图所示是一算法的程序框图，若此程序运行结果为S＝720，则在判断框中应填入关于k的判断条件是()A．k≥6? B．k≥7?C．k≥8? D．k≥9?[解析]第一次运行结果为S＝10，k＝9；第二次运行结果为S＝10×9＝90，k＝8；第三次运行结果为S＝720，k＝7.这个程序满足判断框的条件时执行循环，故判断条件是k≥8？.故选C.[答案]C5．(2015·洛阳统考)执行下面的程序，若输入的x＝2，则输出的所有x的值的和为__________．[解析]分析程序框图可知，输出的所有x的值的和为2＋4＋8＋16＋32＋64＝126.[答案]126考点一算法的基本逻辑结构1．顺序结构是最简单的算法结构，语句与语句之间、框与框之间是按从上到下的顺序进行的．2．利用条件结构解决算法问题时，要重点分析判断框内的条件是否满足．3．循环结构分当型循环结构和直到型循环结构，关键是明确何时进入循环体，何时退出循环体．条件结构涉及分类讨论思想，常与分段函数联系密切．(1)执行如下图所示的程序框图，如果输入的t∈[－2，2]，则输出的S属于()A．[－6，－2] B．[－5，－1]C．[－4，5] D．[－3，6](2)(2015·福建卷)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果为()A．2 B．1C．0 D．－1[解题指导]切入点：判断程序框图的结构特征；关键点：根据条件结构和循环结构的特征逐步求解．[解析](1)由程序框图知，当0≤t≤2时，输出S＝t－3，此时S∈[－3，－1]；当－2≤t<0时，执行t＝2t2＋1后1<t≤9，执行1<t≤9时，输出S＝t－3，此时S∈(－2，6]．因此输出S的值属于[－3，6]．故选D.(2)i＝1，S＝0，S＝0＋coseq\f(π,2)＝0，i＝2；2>5不成立，执行循环：S＝0＋coseq\f(2π,2)＝－1，i＝3；3>5不成立，执行循环：S＝－1＋coseq\f(3π,2)＝－1，i＝4；4>5不成立，执行循环：S＝－1＋coseq\f(4π,2)＝－1＋1＝0，i＝5；5>5不成立，执行循环：S＝0＋coseq\f(5π,2)＝0，i＝6；6>5成立，停止循环，输出S的值等于0，故选C.[答案](1)D(2)C(1)已知程序框图，求输出的结果，可按程序框图的流程依次执行，最后得出结果；(2)已知程序框图及输出的结果，求输入的值，可依据程序框图得出其功能，找出输入值与输出值的关系，由输出值即可得出输入值．[拓展探究]若本例(1)的程序框图不变，输出的S∈[－4，5]，则输入的t的范围如何来求？[解]由程序框图知，该程序框图的功能是求函数S＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2t2＋1，t<0，,t－3，t≥0))的值．由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(t<0，,－4≤2t2＋1≤5，))得－2≤t<0；由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(t≥0，,－4≤t－3≤5，))得0≤t≤6.故输入的t的范围是[－2，6]．考点二程序框图的应用程序框图问题的重点是识别程序框图和完善程序框图．解决这类问题首先要明确程序框图中的顺序结构、条件结构和循环结构；其次要识别运行程序框图，理解框图解决的实际问题；第三按照题目的要求完成解答．循环结构表示的算法，要先确定是当型循环结构，还是直到型循环结构；再选择准确的表示累计的变量；还要注意在哪一步开始循环，满足什么条件不再执行循环体．(1)(2015·陕西卷)根据如图所示的框图，当输入x为2006时，输出的y＝()A．2 B．4C．10 D．28(1)题图(2)题图(2)(2015·重庆卷)执行如图所示的程序框图，若输出k的值为8，则判断框内可填入的条件是()A．s≤eq\f(3,4)？ B．s≤eq\f(5,6)？C．s≤eq\f(11,12)？ D．s≤eq\f(25,24)？[解题指导]切入点：判断程序框图的功能；关键点：利用相关知识，进行推理计算．[解析](1)由题意可得，x依次为2006，2004，2002，…，0，－2，执行y＝3－(－2)＋1＝10，故输出的y＝10.故选C.(2)第一次循环，得k＝2，s＝eq\f(1,2)；第二次循环，得k＝4，s＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,4)＝eq\f(3,4)；第三次循环，得k＝6，s＝eq\f(3,4)＋eq\f(1,6)＝eq\f(11,12)；第四次循环，得k＝8，s＝eq\f(11,12)＋eq\f(1,8)＝eq\f(25,24)，此时退出循环，输出k＝8，所以判断框内可填入的条件是s≤eq\f(11,12)？，故选C.[答案](1)C(2)C对条件结构的程序框图采取分类的思想，对循环结构的程序框图问题的最有效的求解方法就是当循环次数比较少时，把每一次循环之后每个变量的取值都一一列出；当循环次数比较多时，利用数列通项把每次循环之后每个变量的取值统一表示．对点训练1．阅读如图所示的程序框图，若输入的k＝10，则该算法的功能是()A．计算数列{2n－1}的前10项和B．计算数列{2n－1}的前9项和C．计算数列{2n－1}的前10项和D．计算数列{2n－1}的前9项和[解析]由程序框图可知：S＝0，i＝1；S＝1＋2×0＝1＝20，i＝2；S＝1＋2×1＝1＋2＝20＋21，i＝3；S＝1＋2×3＝20＋21＋22，i＝4；……，观察得到对应数列的通项公式为an＝2n－1.k＝10时，i>10时输出，说明是求前10项的和．故选A.[答案]A2．(2015·山西四校联考)执行如图所示的程序框图，则输出的S的值为()A．3 B．－6C．10 D．－15[解析]第一次循环，得到S＝0－12＝－1，i＝2；第二次循环，得到S＝－1＋22＝3，i＝3；第三次循环，得到S＝3－32＝－6，i＝4；第四次循环，得到S＝－6＋42＝10，i＝5；第五次循环，得到S＝10－52＝－15，i＝6，跳出循环，输出S＝－15.故选D.[答案]D3．(2015·南京、盐城模拟)执行如图所示的程序框图，则输出的k的值为__________．[解析]逐次写出运行结果．该流程图运行4次，各次S的取值分别是1，2，6，15，所以输出的k＝4.[答案]4

考点三基本算法语句1．赋值语句在程序运行时给变量赋值，“＝”的右侧必须是表达式，左侧必须是变量，一个语句只能给一个变量赋值．2．条件语句的主要功能是实现算法中的条件结构．3．循环语句中的变量一般需要进行一定的初始化操作，循环语句在循环的过程中需要有“结束”的机会，在循环中要改变循环条件的成立因素．将一个变量的值赋给另一个变量时，前一个变量的值保持不变．(1)(2015·沧州统考)根据下列算法语句，当输入x为60时，输出y的值为()A．25 B．30C．31 D．61(2)运行如下所示的程序，当输入a，b分别为2，3时，最后输出的m的值为__________．[解题指导]切入点：弄清算法语句的含义及功能；关键点：根据语句功能推理运算．[解析](1)由算法语句可知y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0.5x，x≤50，,25＋0.6（x－50），x>50，))所以当x＝60时，因60>50，故y＝25＋0.6×(60－50)＝25＋6＝31.故选C.(2)∵a＝2，b＝3，∴a<b，应把b值赋给m，∴m的值为3.[答案](1)C(2)3解决算法语句有三个步骤，首先通读全部语句，把它翻译成数学问题；其次领悟该语句的功能；最后根据语句的功能运行程序，解决问题．对点训练1．为了在运行如图所示的程序之后得到结果y＝16，则键盘输入的x应该是()A．±5 B．5C．－5 D．0[解析]∵f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（x＋1）2，x<0，,（x－1）2，x≥0.))∴当x<0时，令(x＋1)2＝16，∴x＝－5；当x≥0时，令(x－1)2＝16，∴x＝5，∴x＝±5.故选A.[答案]A2．根据程序写出相应的算法功能为__________．[解析]根据算法语句可知该算法的功能是求和12＋32＋52＋…＋9992.[答案]求和12＋32＋52＋…＋9992————————方法规律总结————————[方法技巧]1．解决程序框图问题时首先要进行结构的选择，若所要解决的问题不需要分情况讨论，只用顺序结构就能解决；若所要解决的问题要分若干种情况讨论时，就必须引入条件结构；若所要解决的问题要进行许多重复的步骤，且这些步骤之间又有相同的规律时，就必须引入变量，应用循环结构．2．应用循环结构解题时，要明确何时进入循环体，何时退出循环体；要明确每次进入循环体时，累加或累乘变量的变化．[易错点睛]1．赋值号左右不能对换，赋值语句是将赋值号右边的表达式的值赋给赋值号左边的变量．2．判断条件把握不准，循环次数搞不清楚．课时跟踪训练(五十六)一、选择题1．(2015·黄冈质检)如图所示，程序框图(算法流程图)的输出结果是()A．－3 B．－2C．－1 D．0[解析]由条件，第一次运行后x＝2，y＝0；第二次运行后x＝4，y＝－1；第三次运行后x＝8，y＝－2；则输出结果是－2.故选B.[答案]B2．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是()A．3 B．11C．38 D．123[解析]a＝1，a<10，a＝12＋2＝3；a＝3<10，a＝32＋2＝11；a＝11>10，∴输出a＝11.故选B.[答案]B2题图3题图3．(2015·贵州七校联考)执行如图所示的程序框图，则输出的结果为()A．－1 B．1C．－2 D．2[解析]第1次循环，得i＝1，S＝2，A＝eq\f(1,2)；第2次循环，得i＝2，S＝1，A＝－1；第3次循环，得i＝3，S＝－1，A＝2；第4次循环，得i＝4，S＝－2，A＝eq\f(1,2)；第5次循环，得i＝5，S＝－1，A＝－1；第6次循环，得i＝6，S＝1，A＝2；第7次循环，得i＝7，S＝2，A＝eq\f(1,2)……由此可知，输出S的值以6为周期，而当i＝2015时退出循环，输出S，又2015＝335×6＋5，故输出的结果为－1，故选A.[答案]A4．如图给出的是计算eq\f(1,2)＋eq\f(1,4)＋eq\f(1,6)＋…＋eq\f(1,30)的值的一个程序框图，则菱形判断框内应填入的条件是()A．i<15? B．i>15?C．i<16? D．i>16?[解析]注意到eq\f(1,2)＋eq\f(1,4)＋eq\f(1,6)＋…＋eq\f(1,30)是数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,2n)))的前15项和，结合题意得，菱形判断框内应填入的条件是“i>15？”，故选B.[答案]B4题图5题图5．(2015·兰州诊断)执行如图所示的程序框图，若输出的结果为132，则判断框中应填()A．i≥10? B．i≥11?C．i≤11? D．i≥12?[解析]由题意知S＝1，i＝12，S＝12，i＝11；S＝132，i＝10，此时输出S，所以判断框中应填“i≥11？”，故选B.[答案]B6．(2015·湖南卷)执行如图所示的程序框图，如果输入n＝3，则输出的S＝()A.eq\f(6,7) B．eq\f(3,7)C.eq\f(8,9) D．eq\f(4,9)[解析]第一次循环，S＝eq\f(1,1×3)，此时i＝2，不满足条件，继续第二次循环，S＝eq\f(1,1×3)＋eq\f(1,3×5)，此时i＝3，不满足条件，继续第三次循环，S＝eq\f(1,1×3)＋eq\f(1,3×5)＋eq\f(1,5×7)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)－\f(1,5)))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)－\f(1,7)))))＝eq\f(3,7)，此时i＝4>3，退出循环，输出S的值为eq\f(3,7)，故选B.[答案]B6题图7题图7．(2015·天津卷)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为()A．－10 B．6C．14 D．18[解析]执行程序框图可知，i＝2，S＝18；i＝4，S＝14；i＝8，S＝6.故输出S的值为6.故选B.[答案]B8．(2015·四川卷)执行如图所示的程序框图，输出S的值为()A．－eq\f(\r(3),2) B．eq\f(\r(3),2)C．－eq\f(1,2) D．eq\f(1,2)[解析]由程序框图与循环结束的条件“k>4？”可知，最后输出的S＝sineq\f(5π,6)＝sineq\f(π,6)＝eq\f(1,2)，故选D.[答案]D8题图9题图9．(2015·新课标全国卷Ⅱ)如图所示的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a，b分别为14，18，则输出的a＝()A．0 B．2C．4 D．14[解析]第一次执行，输入a＝14，b＝18，因为a<b，所以b＝18－14＝4；第二次执行，因为a＝14，b＝4，a>b，所以a＝14－4＝10；第三次执行，因为a＝10，b＝4，a>b，所以a＝10－4＝6；第四次执行，因为a＝6，b＝4，a>b，所以a＝6－4＝2；第五次执行，因为a＝2，b＝4，a<b，所以b＝4－2＝2，此时a＝b＝2.故选B.[答案]B10．(2015·山西质量监测)执行如图所示的程序框图，若输入的a的值为3，则输出的i＝()A．4 B．5C．6 D．7[解析]第1次循环，得M＝100＋3＝103，N＝1×3＝3，i＝2；第2次循环，得M＝103＋3＝106，N＝3×3＝9，i＝3；第3次循环，得M＝106＋3＝109，N＝9×3＝27，i＝4；第4次循环，得M＝109＋3＝112，N＝27×3＝81，i＝5；第5次循环，得M＝112＋3＝115，N＝81×3＝243，i＝6，此时M<N，退出循环，输出的i的值为6，故选C.[答案]C11．(2015·新课标全国卷Ⅰ)执行如图所示的程序框图，如果输入的t＝0.01，则输出的n＝()A．5 B．6C．7 D．8[解析]由程序框图可知，S＝1－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)，m＝eq\f(1,4)，n＝1，eq\f(1,2)>0.01；S＝eq\f(1,2)－eq\f(1,4)＝eq\f(1,4)，m＝eq\f(1,8)，n＝2，eq\f(1,4)>0.01；S＝eq\f(1,4)－eq\f(1,8)＝eq\f(1,8)，m＝eq\f(1,16)，n＝3，eq\f(1,8)>0.01；S＝eq\f(1,8)－eq\f(1,16)＝eq\f(1,16)，m＝eq\f(1,32)，n＝4，eq\f(1,16)>0.01；S＝eq\f(1,16)－eq\f(1,32)＝eq\f(1,32)，m＝eq\f(1,64)，n＝5，eq\f(1,32)>0.01；S＝eq\f(1,32)－eq\f(1,64)＝eq\f(1,64)，m＝eq\f(1,128)，n＝6，eq\f(1,64)>0.01；S＝eq\f(1,64)－eq\f(1,128)＝eq\f(1,128)，m＝eq\f(1,256)，n＝7，eq\f(1,128)<0.01.故选C.[答案]C11题图12题图12．某班有24名男生和26名女生，数据a1，a2，…，a50是该班50名学生在一次数学学业水平模拟考试中的成绩(成绩不为0)，如图所示的程序框图用来同时统计全班成绩的平均数A，男生平均分M，女生平均分－W.为了便于区别性别，输入时，男生的成绩用正数，女生的成绩用其相反数，那么在图中空白的判断框和处理框中，应分别填入()A．T>0？，A＝eq\f(M＋W,50) B．T<0？，A＝eq\f(M＋W,50)C．T<0？，A＝eq\f(M－W,50) D．T>0？，A＝eq\f(M－W,50)[解析]依题意知，全班成绩的平均数应等于班级中所有学生的成绩总和除以总人数，注意到当T>0时，输入的是某男生的成绩；当T<0时，输入的是某女生的成绩的相反数．结合题意知选D.[答案]D二、填空题13．(2015·福州质检)运行如图所示的程序，输出的结果是__________．[解析]∵a＝4，b＝5，∴a＝a＋b＝9，b＝a－b＝9－5＝4，∴输出的结果为4.[答案]414．执行如图所示的程序框图，则输出的0的概率为__________．[解析]因为eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(7,4)))的长度为eq\f(7,4)－1＝eq\f(3,4)，[1，3]的长度为3－1＝2，所以输出0的概率为eq\f(\f(3,4),2)＝eq\f(3,8).[答案]eq\f(3,8)15．(2015·山东卷)执行如图的程序框图，若输入的x的值为1，则输出的y的值是________．[解析]由程序框图，知x＝1，1<2，x＝2；2<2不成立，y＝3×22＋1＝13，故输出的y的值是13.[答案]1316．(2016·云南统一检测)如图所示的程序框图描述的算法称为欧几里得辗转相除法，若输入m＝2010，n＝1541，则输出的m的值为__________．[解析]按框图逐步执行，r＝469，m＝1541，n＝469；r＝134，m＝469，n＝134；r＝67，m＝134，n＝67；r＝0，m＝67，n＝0，故输出的m＝67.[答案]67第二节数系的扩充与复数的引入最新考纲：1.理解复数的基本概念；2.理解复数相等的充要条件；3.了解复数的代数表示法及其几何意义；4.会进行复数代数形式的四则运算；5.了解复数代数形式的加、减运算的几何意义．1．复数的有关概念(1)复数的概念形如a＋bi(a，b∈R)的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b＝0，则a＋bi为实数，若b≠0，则a＋bi为虚数，若a＝0且b≠0，则a＋bi为纯虚数．(2)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．(3)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝c，,b＝－d))(a，b，c，d∈R)．(4)复数的模向量eq\o(OZ,\s\up5(→))的模r叫作复数z＝a＋bi的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝eq\r(a2＋b2)．问题探究1：任意两个复数能比较大小吗？提示：不一定，只有这两个复数全是实数时才能比较大小．2．复数的几何意义(1)复平面的概念：建立直角坐标系来表示复数的平面叫作复平面．(2)实轴、虚轴：在复平面内，x轴叫作实轴，y轴叫作虚轴，实轴上的点都表示实数；除原点以外，虚轴上的点都表示纯虚数．(3)复数的几何表示：复数Z＝a＋bieq\o(→,\s\up5(一一对应))复平面内的点Z(a，b)eq\o(→,\s\up5(一一对应))平面向量eq\o(OZ,\s\up5(→))．3．复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；④除法：eq\f(z1,z2)＝eq\f(a＋bi,c＋di)＝eq\f(（a＋bi）（c－di）,（c＋di）（c－di）)＝eq\f(ac＋bd＋（bc－ad）i,c2＋d2)(c＋di≠0)．(2)复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1、z2、z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．问题探究2：复数a＋bi(a，b∈R)为纯虚数的充要条件是a＝0吗？提示：不是，a＝0是a＋bi(a，b∈R)为纯虚数的必要条件，只有当a＝0，b≠0时，a＋bi才为纯虚数．1．判断正误(在括号内打“√”或“×”)(1)任何数的平方都不小于0.()(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)中，虚部为bi.()(3)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小．()(4)原点是实轴与虚轴的交点．()(5)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模．()[答案](1)×(2)×(3)×(4)√(5)√2．(2015·四川卷)设i是虚数单位，则复数i3－eq\f(2,i)＝()A．－i B．－3iC．i D．3i[解析]i3－eq\f(2,i)＝－i－eq\f(2i,i2)＝－i＋2i＝i，故选C.[答案]C3．设复数z的共轭复数为z，若(1－i)z＝2i，则复数z＝()A．－1－i B．－1＋iC．i D．－i[解析]解法一：设复数z＝a＋bi，∴z＝a－bi，∵(1－i)z＝2i，∴(1－i)(a－bi)＝2i，∴a－b－(a＋b)i＝2i，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a－b＝0，,－（a＋b）＝2，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－1，,b＝－1，))则z＝－1－i，故选A.解法二：z＝eq\f(2i,1－i)＝eq\f(2i（1＋i）,（1－i）（1＋i）)＝i(1＋i)＝－1＋i，∴z＝－1－i，故选A.[答案]A4．已知a是实数，若复数eq\f(a＋i,1－i)是纯虚数，则a＝()A．1 B．－1C.eq\r(2) D．－eq\r(2)[解析]eq\f(a＋i,1－i)＝eq\f(（a＋i）（1＋i）,（1－i）（1＋i）)＝eq\f(a－1＋（a＋1）i,2)，因为eq\f(a＋i,1－i)是纯虚数，所以a－1＝0且a＋1≠0，即a＝1.故选A.[答案]A5．(2015·重庆卷)设复数a＋bi(a，b∈R)的模为eq\r(3)，则(a＋bi)(a－bi)＝__________．[解析]设z＝a＋bi，则(a＋bi)(a－bi)＝zz＝|z|2＝3.[答案]3考点一复数的概念1．处理有关复数概念的问题，首先要找准复数的实部与虚部(若复数为非标准的代数形式，则应通过代数运算化为代数形式)，然后根据定义解题．2．两个复数相等的充要条件是两个复数的实部、虚部分别对应相等．解决相关问题时，常利用复数相等的条件，构造方程组来解决．a＋bi是纯虚数的条件是a＝0且b≠0.(1)(2015·新课标全国卷Ⅰ)设复数z满足eq\f(1＋z,1－z)＝i，则|z|＝()A．1 B．eq\r(2)C.eq\r(3) D．2(2)(2015·山东卷)若复数z满足eq\f(z,1－i)＝i，其中i为虚数单位，则z＝()A．1－i B．1＋iC．－1－i D．－1＋i[解题指导]切入点：共轭复数、复数的模等概念；关键点：化复数为a＋bi(a，b∈R)形式．[解析](1)由题意知1＋z＝i－zi，所以z＝eq\f(i－1,i＋1)＝eq\f(（i－1）2,（i＋1）（i－1）)＝i，所以|z|＝1.故选A.(2)由已知z＝i(1－i)＝i－i2＝i＋1，所以z＝1－i.故选A.[答案](1)A(2)A有关复数的概念问题，一般涉及到复数的实部、虚部、模、虚数、纯虚数、实数、共轭复数及复数相等，解决时，一定先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定其实部和虚部．对点训练1．若复数z满足(3－4i)z＝|4＋3i|，则z的虚部为()A．－4 B．－eq\f(4,5)C．4 D．eq\f(4,5)[解析]因为|4＋3i|＝eq\r(42＋32)＝5，所以已知等式为(3－4i)z＝5，即z＝eq\f(5,3－4i)＝eq\f(5（3＋4i）,（3－4i）（3＋4i）)＝eq\f(5（3＋4i）,25)＝eq\f(3＋4i,5)＝eq\f(3,5)＋eq\f(4,5)i，所以复数z的虚部为eq\f(4,5)，选择D.[答案]D2．(2016·山西四校联考)设x∈R，则“x＝1”是“复数z＝(x2－1)＋(x＋1)i为纯虚数”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件[解析]复数z＝(x2－1)＋(x＋1)i为纯虚数，则x2－1＝0且x＋1≠0，即x＝1，所以“x＝1”是“复数z为纯虚数”的充要条件，故选C.[答案]C3．(2015·南昌调研)iz＝3＋4i(i为虚数单位)，则复数z的模为__________．[解析]由题意可得z＝eq\f(3＋4i,i)＝4－3i，所以|z|＝|4－3i|＝eq\r(32＋42)＝5.[答案]5考点二复数的代数运算复数代数形式的运算是复数部分的重点，其基本思路就是应用运算法则进行计算．复数的加减运算类似于实数中的多项式的加减运算(合并同类项)，复数的乘除运算是复数运算的难点，在乘法运算中要注意i的幂的性质；在除法运算中，关键是“分母实数化”(分子、分母同乘以分母的共轭复数)．(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2.(1)(2015·湖南卷)已知eq\f(（1－i）2,z)＝1＋i(i为虚数单位)，则复数z＝()A．1＋i B．1－iC．－1＋i D．－1－i(2)(2015·西安八校联考)已知i是虚数单位，则eq\f(i2015,1＋i)＝__________．[解题指导]切入点：复数的运算法则；关键点：复数的除法运算．[解析](1)由题意得z＝eq\f(（1－i）2,1＋i)＝eq\f(－2i,1＋i)＝－i(1－i)＝－1－i，故选D.(2)eq\f(i2015,1＋i)＝eq\f(－i,1＋i)＝eq\f(－i（1－i）,2)＝eq\f(－1－i,2)＝－eq\f(1,2)－eq\f(1,2)i.[答案](1)D(2)－eq\f(1,2)－eq\f(1,2)i进行复数代数形式的四则运算，一方面要严格执行运算法则；另一方面也要注意一些运算技巧，如本例(1)转化为z＝eq\f(（1－i）2,1＋i).对点训练1．(2016·西安质检)eq\f(（1＋i）3,（1－i）2)＝()A．1＋i B．1－iC．－1＋i D．－1－i[解析]eq\f(（1＋i）3,（1－i）2)＝eq\f(（1＋i）（1＋i）2,－2i)＝eq\f(（1＋i）（1＋i2＋2i）,－2i)＝eq\f(－2＋2i,－2i)＝eq\f(1－i,i)＝－1－i.故选D.[答案]D2．已知复数z满足(1＋i)(z＋i)＝z－2(i为虚数单位)，则|z|＝()A．1 B．eq\r(2)C.eq\r(3) D．eq\r(5)[解析]由(1＋i)(z＋i)＝z－2，得z＝eq\f(－1－i,i)＝－1＋i，所以|z|＝eq\r(2)，故选B.[答案]B3.eq\f(－2\r(3)＋i,1＋2\r(3)i)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),1－i)))eq\s\up12(2014)＝__________．[解析]原式＝eq\f(i（1＋2\r(3)i）,1＋2\r(3)i)＋eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),1－i)))\s\up12(2)))eq\s\up12(1007)＝i＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,－2i)))eq\s\up12(1007)＝i＋i1007＝i＋i4×251＋3＝i＋i3＝0.[答案]0考点三复数的几何意义复数与复平面内的点是一一对应的，复数和复平面内以原点为起点的向量也是一一对应的，因此复数加减法的几何意义可按平面向量加减法理解，利用平行四边形法则或三角形法则解决问题．(1)(2015·安徽卷)设i是虚数单位，则复数eq\f(2i,1－i)在复平面内所对应的点位于()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限(2)(2014·新课标全国卷Ⅱ)设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1＝2＋i，则z1z2＝()A．－5 B．5C．－4＋i D．－4－i[解题指导]切入点：复数与复平面内点的对应关系；关键点：确定复数的实部和虚部．[解析](1)eq\f(2i,1－i)＝eq\f(2i（1＋i）,（1－i）（1＋i）)＝－1＋i，其在复平面内所对应的点位于第二象限．故选B.(2)由题意知：z2＝－2＋i.又z1＝2＋i，所以z1z2＝(2＋i)(－2＋i)＝i2－4＝－5.故选A.[答案](1)B(2)A复数a＋bi(a，b∈R)与复平面内的点(a，b)一一对应，所以可依据复数z＝a＋bi(a，b∈R)的实部和虚部的符号判断z对应的点所在的象限．对点训练1．在复平面内，复数eq\f(10i,3＋i)对应的点的坐标为()A．(1，3) B．(3，1)C．(－1，3) D．(3，－1)[解析]由eq\f(10i,3＋i)＝eq\f(10i（3－i）,（3＋i）（3－i）)＝eq\f(10（1＋3i）,10)＝1＋3i，得该复数对应的点的坐标为(1，3)，故选A.[答案]A2．(2016·长春质量监测)复数eq\f(1－i,2－i)的共轭复数对应的点位于()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限[解析]eq\f(1－i,2－i)＝eq\f(3,5)－eq\f(1,5)i，所以其共轭复数为eq\f(3,5)＋eq\f(1,5)i.故选A.[答案]A3．若复数z＝eq\f(a＋2i,1－i)(i为虚数单位)在复平面内对应的点在虚轴上，则实数a的值为__________．[解析]z＝eq\f(（a＋2i）（1＋i）,（1－i）（1＋i）)＝eq\f(a－2＋（a＋2）i,2)，如果复数z在复平面内对应的点落在虚轴上，则a－2＝0，即a＝2.[答案]2————————方法规律总结————————[方法技巧]1．应注意理解和掌握复数的基本概念，特别是虚数、纯虚数、共轭复数、两复数相等及复数的模等．2．复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算，除法关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，注意要把i的幂写成最简形式．3．复数的几何意义主要是复数在复平面内对应点的位置．[易错点睛]1．判定复数是实数，仅注重虚部等于0是不够的，还需考虑它的实部是否有意义．2．注意复数的虚部是指在a＋bi(a，b∈R)中的实数b，即虚部是一个实数．课时跟踪训练(五十七)一、选择题1．(2015·兰州诊断)复数z＝(1＋i)2的实部是()A．2 B．1C．0 D．－1[解析]因为z＝(1＋i)2＝2i，所以该复数的实部是0，故选C.[答案]C2．若复数z＝eq\f(m＋i,1－i)(i为虚数单位)为实数，则实数m＝()A．0 B．－1C．－1或1 D．1[解析]z＝eq\f(m＋i,1－i)＝eq\f(（m＋i）（1＋i）,（1－i）（1＋i）)＝eq\f(m－1＋（m＋1）i,2)，因为z为实数，所以m＋1＝0，即m＝－1.故选B.[答案]B3．若i为虚数单位，图中复平面上的点Z表示复数z，则表示复数eq\f(z,1＋i)的点是()A．E B．FC．G D．H[解析]由点Z(3，1)的坐标可知z＝3＋i，故eq\f(z,1＋i)＝eq\f(3＋i,1＋i)＝2－i，因此表示复数eq\f(z,1＋i)的点是H.故选D.[答案]D4．(2015·云南师大附中适应性考试)复数z满足(z＋2)(1＋i3)＝2(i为虚数单位)，则z＝()A．1－i B．1＋iC．－1－i D．－1＋i[解析]由题知，z＝－2＋eq\f(2,1－i)＝－1＋i，故选D.[答案]D5．(2015·新课标全国卷Ⅱ)若a为实数，且(2＋ai)(a－2i)＝－4i，则a＝()A．－1 B．0C．1 D．2[解析]由于(2＋ai)(a－2i)＝4a＋(a2－4)i＝－4i，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4a＝0，,a2－4＝－4，))解得a＝0.故选B.[答案]B6．(2015·湖北卷)i为虚数单位，i607的共轭复数为()A．i B．－iC．1 D．－1[解析]i607＝i4×151·i3＝－i，又－i的共轭复数为i，故选A.[答案]A7．(2015·云南统一检测)已知i为虚数单位，zi＝2i－z，则复数z在复平面内对应的点位于()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限[解析]由题意得z(i＋1)＝2i⇒z＝eq\f(2i,1＋i)＝1＋i，所以z在复平面内对应的点位于第一象限．故选A.[答案]A8．设z1，z2是复数，则下列命题中的假命题是()A．若|z1－z2|＝0，则z1＝z2B．若z1＝z2，则z1＝z2C．若|z1|＝|z2|，则z2·z1＝z1·z2D．若|z1|＝|z2|，则zeq\o\al(2,1)＝zeq\o\al(2,2)[解析]依据复数概念和运算，逐一进行推理判断．对于A，|z1－z2|＝0⇒z1＝z2⇒z1＝z2，是真命题；对于B，C易判断是真命题；对于D，若z1＝2，z2＝1＋eq\r(3)i，则|z1|＝|z2|，但zeq\o\al(2,1)＝4，zeq\o\al(2,2)＝－2＋2eq\r(3)i，是假命题．故选D.[答案]D9．已知复数z满足|z|－z＝2－4i，则z＝()A．3＋4i B．3－4iC．－3＋4i D．－3－4i[解析]解法一：设z＝x＋yi(x，y∈R)，则eq\