2023学年兰州第一中学高三最后一模数学试题（含答案解析）

2023高考数学模拟试卷注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．在中，，，分别为角，，的对边，若的面为，且，则（）A．1 B． C． D．2．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的表面积为（）A．8 B． C． D．3．五行学说是华夏民族创造的哲学思想，是华夏文明重要组成部分.古人认为，天下万物皆由金、木、水、火、土五类元素组成，如图，分别是金、木、水、火、土彼此之间存在的相生相克的关系.若从5类元素中任选2类元素，则2类元素相生的概率为（）A． B． C． D．4．已知集合，，则为()A． B． C． D．5．函数的图象与函数的图象的交点横坐标的和为（）A． B． C． D．6．某中学有高中生人，初中生人为了解该校学生自主锻炼的时间，采用分层抽样的方法从高生和初中生中抽取一个容量为的样本.若样本中高中生恰有人，则的值为（）A． B． C． D．7．执行如图所示的程序框图，若输出的，则①处应填写（）A． B． C． D．8．抛物线的焦点为，则经过点与点且与抛物线的准线相切的圆的个数有（）A．1个 B．2个 C．0个 D．无数个9．设，点，，，，设对一切都有不等式成立，则正整数的最小值为（）A． B． C． D．10．已知向量与的夹角为，，，则()A． B．0 C．0或 D．11．设函数若关于的方程有四个实数解，其中，则的取值范围是（）A． B． C． D．12．已知等差数列的前项和为，若，，则数列的公差为（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知向量，，若满足，且方向相同，则__________．14．从一箱产品中随机地抽取一件，设事件抽到一等品，事件抽到二等品，事件抽到三等品，且已知，，，则事件“抽到的产品不是一等品”的概率为________15．已知数列的前项和为，，且满足，则数列的前10项的和为______.16．在的二项展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则该二项展开式中的常数项等于_____.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数，.（1）若函数在上单调递减，且函数在上单调递增，求实数的值；（2）求证：（，且）.18．（12分）某中学准备组建“文科”兴趣特长社团，由课外活动小组对高一学生文科、理科进行了问卷调查，问卷共100道题，每题1分，总分100分，该课外活动小组随机抽取了200名学生的问卷成绩（单位：分）进行统计，将数据按照，，，，分成5组，绘制的频率分布直方图如图所示，若将不低于60分的称为“文科方向”学生，低于60分的称为“理科方向”学生.理科方向文科方向总计男110女50总计（1）根据已知条件完成下面列联表，并据此判断是否有99%的把握认为是否为“文科方向”与性别有关？（2）将频率视为概率，现在从该校高一学生中用随机抽样的方法每次抽取1人，共抽取3次，记被抽取的3人中“文科方向”的人数为，若每次抽取的结果是相互独立的，求的分布列、期望和方差.参考公式：，其中.参考临界值：0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.82819．（12分）已知在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，点的极坐标为．（1）求直线的极坐标方程；（2）若直线与曲线交于，两点，求的面积．20．（12分）的内角所对的边分别是，且，.（1）求；（2）若边上的中线，求的面积.21．（12分）已知数列为公差不为零的等差数列，是数列的前项和，且、、成等比数列，.设数列的前项和为，且满足.（1）求数列、的通项公式；（2）令，证明：.22．（10分）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，，直线过点，且与抛物线交于，两点．（1）求抛物线的方程及点的坐标；（2）求的最大值．

2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．D【答案解析】

根据三角形的面积公式以及余弦定理进行化简求出的值，然后利用两角和差的正弦公式进行求解即可．【题目详解】解：由，得，∵，∴，即即，则，∵，∴，∴，即，则，故选D．【答案点睛】本题主要考查解三角形的应用，结合三角形的面积公式以及余弦定理求出的值以及利用两角和差的正弦公式进行计算是解决本题的关键．2．D【答案解析】

根据三视图还原几何体为四棱锥，即可求出几何体的表面积．【题目详解】由三视图知几何体是四棱锥，如图，且四棱锥的一条侧棱与底面垂直，四棱锥的底面是正方形,边长为2,棱锥的高为2，所以，故选：【答案点睛】本题主要考查了由三视图还原几何体，棱锥表面积的计算，考查了学生的运算能力，属于中档题.3．A【答案解析】

列举出金、木、水、火、土任取两个的所有结果共10种，其中2类元素相生的结果有5种，再根据古典概型概率公式可得结果.【题目详解】金、木、水、火、土任取两类，共有：金木、金水、金火、金土、木水、木火、木土、水火、水土、火土10种结果，其中两类元素相生的有火木、火土、木水、水金、金土共5结果，所以2类元素相生的概率为，故选A.【答案点睛】本题主要考查古典概型概率公式的应用，属于基础题，利用古典概型概率公式求概率时，找准基本事件个数是解题的关键，基本亊件的探求方法有(1)枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的；(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本亊件的探求.在找基本事件个数时，一定要按顺序逐个写出：先，….，再，…..依次….…这样才能避免多写、漏写现象的发生.4．C【答案解析】

分别求解出集合的具体范围，由集合的交集运算即可求得答案.【题目详解】因为集合，，所以故选：C【答案点睛】本题考查对数函数的定义域求法、一元二次不等式的解法及集合的交集运算，考查基本运算能力.5．B【答案解析】

根据两个函数相等，求出所有交点的横坐标，然后求和即可.【题目详解】令，有，所以或.又，所以或或或，所以函数的图象与函数的图象交点的横坐标的和，故选B.【答案点睛】本题主要考查三角函数的图象及给值求角，侧重考查数学建模和数学运算的核心素养.6．B【答案解析】

利用某一层样本数等于某一层的总体个数乘以抽样比计算即可.【题目详解】由题意，，解得.故选：B.【答案点睛】本题考查简单随机抽样中的分层抽样，某一层样本数等于某一层的总体个数乘以抽样比，本题是一道基础题.7．B【答案解析】

模拟程序框图运行分析即得解.【题目详解】；；.所以①处应填写“”故选：B【答案点睛】本题主要考查程序框图，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.8．B【答案解析】

圆心在的中垂线上，经过点，且与相切的圆的圆心到准线的距离与到焦点的距离相等，圆心在抛物线上，直线与抛物线交于2个点，得到2个圆．【题目详解】因为点在抛物线上，又焦点，，由抛物线的定义知，过点、且与相切的圆的圆心即为线段的垂直平分线与抛物线的交点，这样的交点共有2个，故过点、且与相切的圆的不同情况种数是2种．故选：．【答案点睛】本题主要考查抛物线的简单性质，本题解题的关键是求出圆心的位置，看出圆心必须在抛物线上，且在垂直平分线上．9．A【答案解析】

先求得，再求得左边的范围，只需，利用单调性解得t的范围.【题目详解】由题意知sin，∴，∴，随n的增大而增大，∴,∴，即，又f(t)=在t上单增，f(2)=-1<0，f(3)=2>0，∴正整数的最小值为3.【答案点睛】本题考查了数列的通项及求和问题，考查了数列的单调性及不等式的解法，考查了转化思想，属于中档题.10．B【答案解析】

由数量积的定义表示出向量与的夹角为，再由，代入表达式中即可求出.【题目详解】由向量与的夹角为，得，所以，又，，，，所以，解得.故选：B【答案点睛】本题主要考查向量数量积的运算和向量的模长平方等于向量的平方，考查学生的计算能力，属于基础题.11．B【答案解析】

画出函数图像，根据图像知：，，，计算得到答案.【题目详解】，画出函数图像，如图所示：根据图像知：，，故，且.故.故选：.【答案点睛】本题考查了函数零点问题，意在考查学生的计算能力和应用能力，画出图像是解题的关键.12．D【答案解析】

根据等差数列公式直接计算得到答案.【题目详解】依题意，，故，故，故，故选：D．【答案点睛】本题考查了等差数列的计算，意在考查学生的计算能力.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．【答案解析】

由向量平行坐标表示计算．注意验证两向量方向是否相同．【题目详解】∵，∴，解得或，时，满足题意，时，，方向相反，不合题意，舍去．∴．故答案为：1．【答案点睛】本题考查向量平行的坐标运算，解题时要注意验证方向相同这个条件，否则会出错．14．0.35【答案解析】

根据对立事件的概率和为1，结合题意，即可求出结果来．【题目详解】解：由题意知本题是一个对立事件的概率，抽到的不是一等品的对立事件是抽到一等品，，抽到不是一等品的概率是，故答案为：．【答案点睛】本题考查了求互斥事件与对立事件的概率的应用问题，属于基础题．15．1【答案解析】

由得时，，两式作差，可求得数列的通项公式，进一步求出数列的和．【题目详解】解：数列的前项和为，，且满足，①当时，，②①-②得：，整理得：（常数），故数列是以为首项，2为公比的等比数列，所以（首项不符合通项），故，所以：，故答案为：1．【答案点睛】本题主要考查数列的通项公式的求法及应用，数列的前项和的公式，属于基础题．16．1【答案解析】

由题意可得，再利用二项展开式的通项公式，求得二项展开式常数项的值．【题目详解】的二项展开式的中，只有第5项的二项式系数最大，，通项公式为，令，求得，可得二项展开式常数项等于，故答案为1．【答案点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（1）1；（2）见解析【答案解析】

（1）分别求得与的导函数，由导函数与单调性关系即可求得的值；（2）由（1）可知当时，，当时，，因而，构造，由对数运算及不等式放缩可证明，从而不等式可证明.【题目详解】（1）∵函数在上单调递减，∴，即在上恒成立，∴，又∵函数在上单调递增，∴，即在上恒成立，，∴综上可知，.（2）证明：由（1）知，当时，函数在上为减函数，在上为增函数，而，∴当时，，当时，.∴∴即，∴.【答案点睛】本题考查了导数与函数单调性关系，放缩法在证明不等式中的应用，属于难题.18．（1）列联表见解析，有；（2）分布列见解析，，.【答案解析】

（1）由频率分布直方图可得分数在、之间的学生人数，可得列联表.根据列联表计算的值，结合参考临界值表可得到结论；（2）从该校高一学生中随机抽取1人，求出该人为“文科方向”的概率.由题意，求出分布列，根据公式求出期望和方差.【题目详解】（1）由频率分布直方图可得分数在之间的学生人数为，在之间的学生人数为，所以低于60分的学生人数为120.因此列联表为理科方向文科方向总计男8030110女405090总计12080200又，所以有99%的把握认为是否为“文科方向”与性别有关.（2）易知从该校高一学生中随机抽取1人，则该人为“文科方向”的概率为.依题意知，所以（），所以的分布列为0123P所以期望，方差.【答案点睛】本题考查独立性检验，考查离散型随机变量的分布列、期望和方差，属于中档题.19．（1）（2）【答案解析】

（1）先消去参数，化为直角坐标方程，再利用求解.（2）直线与曲线方程联立，得，求得弦长和点到直线的距离，再求的面积.【题目详解】（1）由已知消去得，则，所以，所以直线的极坐标方程为．（2）由，得，设，两点对应的极分别为，，则，，所以，又点到直线的距离所以【答案点睛】本题主要考查参数方程、直角坐标方程及极坐标方程的转化和直线与曲线的位置关系，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.20．（1），（2）【答案解析】

（1）先由正弦定理，得到，进而可得，再由，即可得出结果；（2）先由余弦定理得，，再根据题中数据，可得，从而可求出，得到，进而可求出结果.【题目详解】（1）由正弦定理得，所以，因为，所以，即，所以，又因为，所以，.（2）在和中，由余弦定理得，.因为，，，，又因为，即，所以，所以，又因为，所以.所以的面积.【答案点睛】本题主要考查解三角形，灵活运用正弦定理和余弦定理即可，属于常考题型.21．（1）,（2）证明见解析【答案解析】

（1）利用首项和公差构成方程组，从而求解出的通项公式；由的通项公式求解出的表达式，根据以及，求解出的通项公式；（2）利用错位相减法求解出的前项和，根据不等关系证明即可.【题目详解】（1）设首项为，公差为.由题意，得，解得，∴，∴，∴当时，∴，.当时，满足上式.∴（2），令数列的前项和为.两式相减得∴恒成立，得证.【答案点睛】本题考查等差数列、等比数列的综合应用，难度一般.（1）当用求解的通项公式时，一定要注意验证是否成立；（2）当一个数列符合等差乘以等比的形式，优先考虑采用错位相减法进行求和，同时注意对于错位的理解.22．（1），；（2）1．【答案解析】

（1）根据抛物线上的点到焦点和准线的