概率论：二维随机变量的函数的分布课件

二、离散型随机变量函数的分布三、连续型随机变量函数的分布四、小结一、问题的引入第五节两个随机变量的函数的分布二、离散型随机变量函数的分布三、连续型随机变量函数的分布四1为了解决类似的问题下面我们讨论随机变量函数的分布.一、问题的引入为了解决类似的问题下面一、问题的引入2二、离散型随机变量函数的分布设(X,Y)为二维离散型随机变量，则函数是一维离散型随机变量．若已知(X,Y)的分布律，如何得到的分布律?二、离散型随机变量函数的分布设(X,Y)为二维离散3例1设二维r.v.(X,Y)的概率分布为XYpij-112-10求的概率分布例1设二维r.v.(X,Y)的概率分布为XYpij4解

根据(X,Y)的联合分布可得如下表格：PX+YX

-YXYY/X(X,Y)(-1,-1)(-1,0)(1,-1)(1,0)(2,-1)(2,0)-2-101120-1213210-10-2010-10-1/20解根据(X,Y)的联合分布可得如下表格：PX+5故得PX+Y-2-1012PX-Y-10123故得PX+Y-2-106PXY-2-101PY/X-1-1/201PXY-2-107结论结论8例2设两个独立的随机变量X与Y的分布律为求随机变量Z=X+Y的分布律.得因为X与Y相互独立,所以解例2设两个独立的随机变量X与Y的分布律为求9可得所以可得所以10

设X~B(n1,p),Y~B(n2,p),且独立，具有可加性的两个离散分布

设X~P(1),Y~P(2),且独立，则X+Y~B(n1+n2,p)则X+Y~P(1+2)

证明过程见73页例3.21

设X~B(n1,p),Y~B(n2,p),11问题

已知二维随机变量(X,Y)的密度函数，g(x,y)为已知的二元函数，求Z=g(X,Y)的密度函数.方法

从求Z的分布函数出发,将Z的分布函数转化为(X,Y)的事件三、连续型随机变量函数的分布问题已知二维随机变量(X,Y)的密度函数，求Z=12连续型随机变量函数的分布主要形式这里X,Y相互独立。连续型随机变量函数的分布主要形式这里X,Y相互独立。13设(X,Y)为连续型随机向量，具有概率密度f(x,y)，又Z=g(X,Y)(g(x,y)为一已知的连续函数)。大部分情况下，Z是一连续型随机变量。为求Z的概率密度，可先求出Z的分布函数1.和分布：Z=X+Y的分布求解过程中，关键在于将事件{Z≤z}等价地转化为用(X,Y)表示的事件{g(X,Y)≤z}={(X,Y)},其中。设(X,Y)为连续型随机向量，具有概率密度f(x14•z•zx+y=z设(X,Y)的联合概率密度为f(x,y)，现求Z=X+Y的概率密度。令，则Z的分布函数为•z•zx+y=z设(X,Y)的联合概率密度为15由此可得概率密度函数为由于X与Y对称,当X,Y独立时,卷积公式称之为函数

fX

与fY

的卷积由此可得概率密度函数为由于X与Y对称,当X,16

例3

设随机变量X,Y相互独立,且均服从标准正态分布,求Z=X+Y的概率分布.所以由卷积公式得Z=X+Y概率密度为

〖解〗因为X,Y独立且其概率密度分别为1、考虑被积函数的非零区域;

2、z在(-∞,+∞)上取值;3、x在(-∞,+∞)上积分;4、在xoz系中综合上述各点确定z的分段情形.例3设随机变量X,Y相互独立,且均服从标17所以Z~N(0,2).所以Z~N(0,2).18说明

有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布.说明有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然19

正态随机变量的结论（定理3.1）

若X,Y相互独立,则

若相互独立则推广正态随机变量的结论（定理3.1）若X,Y相互独立,则20例4设随机变量X,Y相互独立,且概率密度均为：

〖

解〗因为X,Y独立,所以和分布概率密度可由卷积公式计算:求Z=X+Y概率密度。

计算积分思路:1.被积函数非零区域;2.z取任意实数;3.x在(-∞,+∞)上积分;4.综合上述就z分段.例4设随机变量X,Y相互独立,且概率密度均为：21

由边缘概率密度确定

的表达式,特别是其非零区域:由题目条件得:故得:由边缘概率密度确定22

计算卷积:

函数自变量为z,积分变量为x,当z取值范围确定后,x由-∞积分至+∞(只需在非零区域内一段上积分).

计算卷积:函数自变量为z,积分变量为23

因为所以因为所以24综上可得:□综上可得:□25

参照D就z在(-∞,+∞)上进行分段;

对上述各分段中取定的z值,就x从-∞积分至+∞,实际只需在非零区域D上一段积分.

卷积计算思路

在xoz平面上确定被积函数及其非零区域D;

注意：上述也是一般参量积分的计算方法。参照D就z在(-∞,+∞)上进行分段;26练习若X和Y独立,具有共同的概率密度求Z=X+Y的概率密度.解由卷积公式练习若X和Y独立,具有共同的概率密度求Z=X27暂时固定故当或时,当

时,当

时,于是暂时固定故当或时,28概率论：二维随机变量的函数的分布课件29推广推广30例例31解解32概率论：二维随机变量的函数的分布课件33概率论：二维随机变量的函数的分布课件34概率论：二维随机变量的函数的分布课件35概率论：二维随机变量的函数的分布课件36需要指出的是，当X1,…,Xn相互独立且具有相同分布函数F(x)时,常称M=max(X1,…,Xn)，N=min(X1,…,Xn)为极值.由于一些灾害性的自然现象，如地震、洪水等等都是极值，研究极值分布具有重要的意义和实用价值.需要指出的是，当X1,…,Xn相互独立且具有37小结1.离散型随机变量函数的分布律小结1.离散型随机变量函数的分布律382.连续型随机变量函数的分布这里X,Y相互独立。2.连续型随机变量函数的分布这里X,Y相互独立。39例题

设随机向量(X,Y)服从区域D={(x,y)|1≤x≤3,1≤y≤3}上的均匀分布,求U=|X-Y|的概率密度函数.解(X,Y)的联合概率密度为1331(1)u≤0时,F(u)=0y-x=uy-x=-uy-x=-2由分析可见,u=2是两种类型积分区域的划分点.Gf(u)=0例题设随机向量(X,Y)服从区域解(X,Y)的联合40(2)0<u<2时,(3)u≥2时,F(u)=1f(u)=1-u/2f(u)=0所以1331y-x=uy-x=-uy-x=-2G(2)0<u<2时,(3)u≥2时,F(u)=1f(u41例设随机变量X与Y独立，概率密度函数为解(X,Y)的联合密度函数为例设随机变量X与Y独立，概率密度函数为解(X,Y)的42所以,练习84页11题所以,练习84页11题43二、离散型随机变量函数的分布三、连续型随机变量函数的分布四、小结一、问题的引入第五节两个随机变量的函数的分布二、离散型随机变量函数的分布三、连续型随机变量函数的分布四44为了解决类似的问题下面我们讨论随机变量函数的分布.一、问题的引入为了解决类似的问题下面一、问题的引入45二、离散型随机变量函数的分布设(X,Y)为二维离散型随机变量，则函数是一维离散型随机变量．若已知(X,Y)的分布律，如何得到的分布律?二、离散型随机变量函数的分布设(X,Y)为二维离散46例1设二维r.v.(X,Y)的概率分布为XYpij-112-10求的概率分布例1设二维r.v.(X,Y)的概率分布为XYpij47解

根据(X,Y)的联合分布可得如下表格：PX+YX

-YXYY/X(X,Y)(-1,-1)(-1,0)(1,-1)(1,0)(2,-1)(2,0)-2-101120-1213210-10-2010-10-1/20解根据(X,Y)的联合分布可得如下表格：PX+48故得PX+Y-2-1012PX-Y-10123故得PX+Y-2-1049PXY-2-101PY/X-1-1/201PXY-2-1050结论结论51例2设两个独立的随机变量X与Y的分布律为求随机变量Z=X+Y的分布律.得因为X与Y相互独立,所以解例2设两个独立的随机变量X与Y的分布律为求52可得所以可得所以53

设X~B(n1,p),Y~B(n2,p),且独立，具有可加性的两个离散分布

设X~P(1),Y~P(2),且独立，则X+Y~B(n1+n2,p)则X+Y~P(1+2)

证明过程见73页例3.21

设X~B(n1,p),Y~B(n2,p),54问题

已知二维随机变量(X,Y)的密度函数，g(x,y)为已知的二元函数，求Z=g(X,Y)的密度函数.方法

从求Z的分布函数出发,将Z的分布函数转化为(X,Y)的事件三、连续型随机变量函数的分布问题已知二维随机变量(X,Y)的密度函数，求Z=55连续型随机变量函数的分布主要形式这里X,Y相互独立。连续型随机变量函数的分布主要形式这里X,Y相互独立。56设(X,Y)为连续型随机向量，具有概率密度f(x,y)，又Z=g(X,Y)(g(x,y)为一已知的连续函数)。大部分情况下，Z是一连续型随机变量。为求Z的概率密度，可先求出Z的分布函数1.和分布：Z=X+Y的分布求解过程中，关键在于将事件{Z≤z}等价地转化为用(X,Y)表示的事件{g(X,Y)≤z}={(X,Y)},其中。设(X,Y)为连续型随机向量，具有概率密度f(x57•z•zx+y=z设(X,Y)的联合概率密度为f(x,y)，现求Z=X+Y的概率密度。令，则Z的分布函数为•z•zx+y=z设(X,Y)的联合概率密度为58由此可得概率密度函数为由于X与Y对称,当X,Y独立时,卷积公式称之为函数

fX

与fY

的卷积由此可得概率密度函数为由于X与Y对称,当X,59

例3

设随机变量X,Y相互独立,且均服从标准正态分布,求Z=X+Y的概率分布.所以由卷积公式得Z=X+Y概率密度为

〖解〗因为X,Y独立且其概率密度分别为1、考虑被积函数的非零区域;

2、z在(-∞,+∞)上取值;3、x在(-∞,+∞)上积分;4、在xoz系中综合上述各点确定z的分段情形.例3设随机变量X,Y相互独立,且均服从标60所以Z~N(0,2).所以Z~N(0,2).61说明

有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布.说明有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然62

正态随机变量的结论（定理3.1）

若X,Y相互独立,则

若相互独立则推广正态随机变量的结论（定理3.1）若X,Y相互独立,则63例4设随机变量X,Y相互独立,且概率密度均为：

〖

解〗因为X,Y独立,所以和分布概率密度可由卷积公式计算:求Z=X+Y概率密度。

计算积分思路:1.被积函数非零区域;2.z取任意实数;3.x在(-∞,+∞)上积分;4.综合上述就z分段.例4设随机变量X,Y相互独立,且概率密度均为：64

由边缘概率密度确定

的表达式,特别是其非零区域:由题目条件得:故得:由边缘概率密度确定65

计算卷积:

函数自变量为z,积分变量为x,当z取值范围确定后,x由-∞积分至+∞(只需在非零区域内一段上积分).

计算卷积:函数自变量为z,积分变量为66

因为所以因为所以67综上可得:□综上可得:□68

参照D就z在(-∞,+∞)上进行分段;

对上述各分段中取定的z值,就x从-∞积分至+∞,实际只需在非零区域D上一段积分.

卷积计算思路

在xoz平面上确定被积函数及其非零区域D;

注意：上述也是一般参量积分的计算方法。参照D就z在(-∞,+∞)上进行分段;69练习若X和Y独立,具有共同的概率密度求Z=X+Y的概率密度.解由卷积公式练习若X和Y独立,具有共同的概率密度求Z=X70暂时固定故当或时,当

时,当

时,于是暂时固定故当或时,71概率论