数学学习困难的诊断与辅导课件

數與量領域整數文字題的解題多位數整數乘除計算分數與小數數概念分數與小數乘除數與量領域整數文字題的解題兩類的數學知識概念性知識(conceptualknowledge)

knowingwhy程序性知識(proceduralknowledge)

knowinghow例:0.150.9＝0.135;量角器的使用

;怎麼找出圓心兩類的數學知識概念性知識(conceptualknowle案例一：整數數概念問題小宏(男)，小一下，智力為臨界智能不足確定能正確點數、寫出、以圈圈表示20以內的數無法拿出14、21元的道具硬幣，診斷發現欠缺集聚單位的概念。補救教學以硬幣為教具，學習以集聚單位來表示數量。案例一：整數數概念問題小宏(男)，小一下，智力為臨界智能不足計算能力的起點數數能力是計算能力的起點列出了算式卻無法解出答案，怎麼辦？27+()=5454-()=27()+39=82()-39=43撿紅點時，拿到一張7，你會想抽到什麼樣的牌？這不正是7+()=10計算能力的起點數數能力是計算能力的起點數數策略的應用CountingallCount-ona&count-downaCount-up-toa&count-down-toa選用學童特別熟悉的數字，例如整十的分解與合成。得出答案後，必須抽象化。數數策略的應用Countingall案例二：整數文字題花花(女)，小五下，智能中下。小二時低年級數學科篩選測驗百分等級46連最簡單的加減文字題，都亂湊運算符號以花片遊戲發展花花的語意理解能力以畫圖的方式表達題意相似的情境設計不同運算的文字題由孩子來擬題案例二：整數文字題花花(女)，小五下，智能中下。小二時低年級簡單加減文字題的類型—改變題結果量未知(改變1、2)小明有3顆糖，小華給了小明5顆糖，問小明現在有幾顆糖？小明有8顆糖，他給小華5顆糖，問小明現在有幾顆糖？改變量未知(改變3、4)小明有3顆糖，小華給小明一些糖後，現在小明有8顆糖，問小華給小明幾顆糖？小明有8顆糖，他給小華一些糖後，現在小明有3顆糖，問小明給小華幾顆糖？起始量未知(改變5、6)小明有一些糖，小華給他5顆糖後，現在小明有8顆糖，問小明原來有幾顆糖？小明有一些糖，他給小華5顆糖後，現在小明有3顆糖，問小明原來有幾顆糖？簡單加減文字題的類型—改變題結果量未知(改變1、2)簡單加減文字題的類型—比較題差異量未知(比較1、2)小明有8顆糖，小華有3顆糖，問小明比小華多幾顆糖？小明有8顆糖，小華有3顆糖，問小華比小明少幾顆糖？被比較量未知(比較3、4)小明有3顆糖，小華比小明多5顆糖，問小華有幾顆糖？小明有8顆糖，小華比小明少5顆糖，問小華有幾顆糖？參照量未知(比較5、6)小明有8顆糖，小明比小華多5顆糖，問小華有幾顆糖？小明有3顆糖，小明比小華少5顆糖，問小華有幾顆糖？簡單加減文字題的類型—比較題差異量未知(比較1、2)簡單乘除文字題—等組／等量1、等組(equalgroups)－單位量為離散量M、每個人有4個橘子，3個人共有幾個橘子？P、12個橘子平均分給3個人，每人可以分得幾個？Q、每人給4個橘子，12個橘子可以分給幾人？2、等量(equalmeasures)－單位量為連續量M、每個人有4.2公升的橘子汁，3個人共有多少橘子汁？P、4.2公升的橘子汁平均分給3個人，每個人可以分得多少？Q、每個人分給4.2公升的橘子汁，12.6公升可以分給幾人？簡單乘除文字題—等組／等量1、等組(equalgroups簡單乘除文字題—倍數改變題M、有一種彈簧可延長原長度的3.3倍，4.2公尺的彈簧可延多長？P、有一種彈簧可延長原長度的3.3倍，延長後為13.9公尺，原長度是多少公尺？Q、4﹒2公尺的彈簧可延長為13.9公尺，它的彈性是可以延長幾倍？簡單乘除文字題—倍數改變題M、有一種彈簧可延長原長度的3.3簡單乘除文字題—叉積與面積M、從甲鎮到乙鎮有三條路，由乙鎮到丙鎮有四條路，則由甲鎮經乙鎮到丙鎮有幾條不同的路徑？除、假如由甲鎮經乙鎮到丙鎮有12條不同的路徑，而從甲鎮到乙鎮有三條路，則由乙鎮到丙鎮有幾條路？M、一長方形的寬是3.3公尺，長是4.2公尺，求它的面積？除、一長方形的面積是13.9㎡，寬是3.3公尺，求求看它的長？簡單乘除文字題—叉積與面積M、從甲鎮到乙鎮有三條路，由乙鎮到練習畫畫圖等組乘法vs.等組的包含除畫圖也是一種表徵，學生不太會畫出關係表徵，需要教導數量表徵中低年級、數量小的問題上採圖畫式或象徵符號中高年級、數量大的問題採線圖關係表徵中低年級乘法用集合、一維連接；除法用分配中高年級則混著用練習畫畫圖等組乘法vs.等組的包含除比對試題這兩個問題有什麼不一樣？說說看？並畫圖說明。(1)1盒雞蛋裝10顆，媽媽買了5盒，總共有幾顆？

(2)冰箱有雞蛋10顆，媽媽又買了5顆，總共有幾顆？(3)1條巧克力有8顆，4條合起來有幾顆？

(4)弟弟有巧克力8顆，哥哥有4顆，合起來有幾顆？(5)1包湯圓有12顆，4包有多少顆？

(6)1包湯圓有4顆，12顆可以裝成多少包？比對試題這兩個問題有什麼不一樣？說說看？並畫圖說明。擬題活動模仿法：以替換課本等的文字題的數字或情境來產生新題目算式法：解完課本等的文字題後，用留下來的算式重新擬一個算式相同的題目訂正法：給一個題目，故意漏掉必要的條件，或有矛盾之處，讓學生訂正題目題材法：定主題或資料後（例如麥當勞的價目表），讓學生自由擬題擬題活動模仿法：以替換課本等的文字題的數字或情境來產生新題目案例三：小恬女生，五年級上學期，數學學習差，沒有補習，四下起即參加晨間輔導。1桶捲心酥有40根，老師買了6桶，分給班上32位小朋友，請問每個小朋友可以分到幾根？會剩下多少根？406＝160

16032＝50A：分到50根案例三：小恬女生，五年級上學期，數學學習差，沒有補習，四下起乘除計算的數字安排超過九九乘法範圍的乘法問題，應先安排什麼樣的數字？再下一步呢？乘法的教具與直式算則的對照。超過九九乘法範圍的除法問題，應先安排什麼數字？下列的順利合適嗎？要怎麼解說？728＝2455＝8469＝

84694＝53510或53530等除數為整十的何時出現？如果解說？乘除計算的數字安排超過九九乘法範圍的乘法問題，應先安排什麼樣乘除教學的教具多位數乘法的矩陣圖示多位數除法用分錢作為情境除法即乘數未知與減法的合併運算—估商以被乘數未知的乘法問題來思考以9來累；累的位置不對乘除教學的教具多位數乘法的矩陣圖示分數數概念教學案例掌握核心概念掌握範疇知識的結構超過1的分數概念較難（混淆單位1和全部）離散量較連續量的分數情境困難整數除法的結果是分數意義的一種比與比值意義的理解展現在表徵轉換中分數數概念教學案例掌握核心概念例如：分數是一種部分整體關係的表徵，所以重點是掌握等分割的部分和整體之間的關係。斜線部分代表幾分之幾？掌握核心概念例如：分數是一種部分整體關係的表徵，所以重點是掌掌握範疇知識的結構1、部分-整體模式：2、子集合-整體集合模式：3、數線模式：

4、商模式：3個蘋果分給6個人3÷6＝5、比值模式：兩個集合（或度量）相比的結果ex：2杯葡萄酒對3杯七喜混成的雞尾酒為

2：3＝

0¼13－62－3掌握範疇知識的結構1、部分-整體模式：3－62－3掌握哪些學習脈絡會影響難度模式的影響能懂一個蛋糕等分成2片，一片是1/2不能懂一盒月餅有2個，一個是1/2盒不能懂12＝1/2情境的影響能懂2桶沙拉油重4公斤，可表示成2：4不能懂2公升沙拉油重4公斤數字的影響不能懂一盒月餅有6個，2個月餅是1/3盒更不懂29/7公升沙拉油重4公斤掌握哪些學習脈絡會影響難度模式的影響案例三：分數的比例文字題小南(男)，小五下，四年級以前數學成績中上。五年級後數學常考三十幾分。前幾次的補救教學集中在分數概念的澄清。分數的比例問題題意讀不懂。簡化數字與情境是主要的策略。案例三：分數的比例文字題小南(男)，小五下，四年級以前數學成離散量情境-一盒草莓裝有12顆n/m盒和a顆草莓的轉換m=a,分母與內容物個數相同時

1顆草莓是多少盒？1/12盒是多少顆？

2顆草莓是多少盒？2/12盒是多少顆？a=km,內容物為分母的整數倍，指定分母。

2顆草莓是6分之幾盒？1/6盒是多少顆？

4顆草莓是六分之幾盒？2/6盒是多少顆？a=km,內容物為分母的整數倍，指定分子。

2顆草莓是多少分之一盒?2顆=1/()盒

4顆草莓是多少分之二盒？4顆=2/()盒離散量情境-一盒草莓裝有12顆n/m盒和a顆草莓的轉換單位1與分數量的轉換這是一盒章魚燒

請貼出2/6盒

1/2,1/3,3/2,4/3

21哪些會比較困難？

如何解說？這段紙條是原本一條長紙條的1/2，那原本的那一條紙條是多長？

是原本的1/3,1這4顆巧克力是一盒的1/4，那原本一盒是多少顆？2－33－61－2單位1與分數量的轉換這是一盒章魚燒

這段紙條是原本一條長紙數詞

(口語)具體物真實世界數字圖示意義的理解展現在情境轉換中數詞

(口語)具體物真實世界數字圖示意義的理解展現在情境轉換案例四：小玟的通分概念小六女生，具備分數的基本概念15顆金沙裝成1盒，1/3盒＝()/15盒

15

5

35=1524公升的紅茶裝一桶，6/8桶＝()/12盒

62

33

9

82＝43＝12認為約分和通分都可以處理異分母加減

1

1

1

12

1

1

2

2＋4＝2＋42＝2＋2＝2案例四：小玟的通分概念小六女生，具備分數的基本概念學習輔導就是情境的精緻布置每個人吃2/3顆葡萄柚，10顆葡萄柚夠讓幾個人吃？why?每個人吃1/2顆葡萄柚，10顆葡萄柚夠讓幾個人吃？102＝20

每個人吃2顆葡萄柚，10顆葡萄柚夠讓幾個人吃？102＝5學習輔導就是情境的精緻布置每個人吃2/3顆葡萄柚，10顆葡萄媽媽自製葡萄酒，每2/3公升裝1瓶，5公升可以裝幾瓶，剩多少公升？砂糖每0.3公斤裝1袋，7.6公斤可以裝幾袋？剩多少公斤？媽媽自製葡萄酒，每2/3公升裝1瓶，5公升可以裝幾瓶，剩多少生活中哪裡用得到分數？生活中的確不常使用分數，會說1「個」月餅，不說1/6「盒」月餅；會說600毫升，不說6/10公升遊戲一：給一個分數，例如3/4，由親子或學生輪流將之與各種單位搭配。。例如3/4小時、3/4公斤、3/4杯水…遊戲二：給定一個分數與搭配一個單位後，用來描述生活中的各種情況。例如：4/5公尺老師走一步大約4/5公尺，合理嗎？我們家的床長度大約4/5公尺，可能嗎？這類遊戲的重點不在正不正確，而是能透過豐富的情境理解分數的多種意義。生活中哪裡用得到分數？生活中的確不常使用分數，會說1「個」月數學學習困難的輔導原則要能系統地設計問題，以診斷出學童的困難所在能掌握同一數學問題類型中，各種數量或情境對學童的難易度，以便找到學童可以理解的起點以多元表徵方式發展學童的數量概念以多媒體提升學童的學習興趣數學學習困難的輔導原則要能系統地設計問題，以診斷出學童的困難數與量領域整數文字題的解題多位數整數乘除計算分數與小數數概念分數與小數乘除數與量領域整數文字題的解題兩類的數學知識概念性知識(conceptualknowledge)

knowingwhy程序性知識(proceduralknowledge)

knowinghow例:0.150.9＝0.135;量角器的使用

;怎麼找出圓心兩類的數學知識概念性知識(conceptualknowle案例一：整數數概念問題小宏(男)，小一下，智力為臨界智能不足確定能正確點數、寫出、以圈圈表示20以內的數無法拿出14、21元的道具硬幣，診斷發現欠缺集聚單位的概念。補救教學以硬幣為教具，學習以集聚單位來表示數量。案例一：整數數概念問題小宏(男)，小一下，智力為臨界智能不足計算能力的起點數數能力是計算能力的起點列出了算式卻無法解出答案，怎麼辦？27+()=5454-()=27()+39=82()-39=43撿紅點時，拿到一張7，你會想抽到什麼樣的牌？這不正是7+()=10計算能力的起點數數能力是計算能力的起點數數策略的應用CountingallCount-ona&count-downaCount-up-toa&count-down-toa選用學童特別熟悉的數字，例如整十的分解與合成。得出答案後，必須抽象化。數數策略的應用Countingall案例二：整數文字題花花(女)，小五下，智能中下。小二時低年級數學科篩選測驗百分等級46連最簡單的加減文字題，都亂湊運算符號以花片遊戲發展花花的語意理解能力以畫圖的方式表達題意相似的情境設計不同運算的文字題由孩子來擬題案例二：整數文字題花花(女)，小五下，智能中下。小二時低年級簡單加減文字題的類型—改變題結果量未知(改變1、2)小明有3顆糖，小華給了小明5顆糖，問小明現在有幾顆糖？小明有8顆糖，他給小華5顆糖，問小明現在有幾顆糖？改變量未知(改變3、4)小明有3顆糖，小華給小明一些糖後，現在小明有8顆糖，問小華給小明幾顆糖？小明有8顆糖，他給小華一些糖後，現在小明有3顆糖，問小明給小華幾顆糖？起始量未知(改變5、6)小明有一些糖，小華給他5顆糖後，現在小明有8顆糖，問小明原來有幾顆糖？小明有一些糖，他給小華5顆糖後，現在小明有3顆糖，問小明原來有幾顆糖？簡單加減文字題的類型—改變題結果量未知(改變1、2)簡單加減文字題的類型—比較題差異量未知(比較1、2)小明有8顆糖，小華有3顆糖，問小明比小華多幾顆糖？小明有8顆糖，小華有3顆糖，問小華比小明少幾顆糖？被比較量未知(比較3、4)小明有3顆糖，小華比小明多5顆糖，問小華有幾顆糖？小明有8顆糖，小華比小明少5顆糖，問小華有幾顆糖？參照量未知(比較5、6)小明有8顆糖，小明比小華多5顆糖，問小華有幾顆糖？小明有3顆糖，小明比小華少5顆糖，問小華有幾顆糖？簡單加減文字題的類型—比較題差異量未知(比較1、2)簡單乘除文字題—等組／等量1、等組(equalgroups)－單位量為離散量M、每個人有4個橘子，3個人共有幾個橘子？P、12個橘子平均分給3個人，每人可以分得幾個？Q、每人給4個橘子，12個橘子可以分給幾人？2、等量(equalmeasures)－單位量為連續量M、每個人有4.2公升的橘子汁，3個人共有多少橘子汁？P、4.2公升的橘子汁平均分給3個人，每個人可以分得多少？Q、每個人分給4.2公升的橘子汁，12.6公升可以分給幾人？簡單乘除文字題—等組／等量1、等組(equalgroups簡單乘除文字題—倍數改變題M、有一種彈簧可延長原長度的3.3倍，4.2公尺的彈簧可延多長？P、有一種彈簧可延長原長度的3.3倍，延長後為13.9公尺，原長度是多少公尺？Q、4﹒2公尺的彈簧可延長為13.9公尺，它的彈性是可以延長幾倍？簡單乘除文字題—倍數改變題M、有一種彈簧可延長原長度的3.3簡單乘除文字題—叉積與面積M、從甲鎮到乙鎮有三條路，由乙鎮到丙鎮有四條路，則由甲鎮經乙鎮到丙鎮有幾條不同的路徑？除、假如由甲鎮經乙鎮到丙鎮有12條不同的路徑，而從甲鎮到乙鎮有三條路，則由乙鎮到丙鎮有幾條路？M、一長方形的寬是3.3公尺，長是4.2公尺，求它的面積？除、一長方形的面積是13.9㎡，寬是3.3公尺，求求看它的長？簡單乘除文字題—叉積與面積M、從甲鎮到乙鎮有三條路，由乙鎮到練習畫畫圖等組乘法vs.等組的包含除畫圖也是一種表徵，學生不太會畫出關係表徵，需要教導數量表徵中低年級、數量小的問題上採圖畫式或象徵符號中高年級、數量大的問題採線圖關係表徵中低年級乘法用集合、一維連接；除法用分配中高年級則混著用練習畫畫圖等組乘法vs.等組的包含除比對試題這兩個問題有什麼不一樣？說說看？並畫圖說明。(1)1盒雞蛋裝10顆，媽媽買了5盒，總共有幾顆？

(2)冰箱有雞蛋10顆，媽媽又買了5顆，總共有幾顆？(3)1條巧克力有8顆，4條合起來有幾顆？

(4)弟弟有巧克力8顆，哥哥有4顆，合起來有幾顆？(5)1包湯圓有12顆，4包有多少顆？

(6)1包湯圓有4顆，12顆可以裝成多少包？比對試題這兩個問題有什麼不一樣？說說看？並畫圖說明。擬題活動模仿法：以替換課本等的文字題的數字或情境來產生新題目算式法：解完課本等的文字題後，用留下來的算式重新擬一個算式相同的題目訂正法：給一個題目，故意漏掉必要的條件，或有矛盾之處，讓學生訂正題目題材法：定主題或資料後（例如麥當勞的價目表），讓學生自由擬題擬題活動模仿法：以替換課本等的文字題的數字或情境來產生新題目案例三：小恬女生，五年級上學期，數學學習差，沒有補習，四下起即參加晨間輔導。1桶捲心酥有40根，老師買了6桶，分給班上32位小朋友，請問每個小朋友可以分到幾根？會剩下多少根？406＝160

16032＝50A：分到50根案例三：小恬女生，五年級上學期，數學學習差，沒有補習，四下起乘除計算的數字安排超過九九乘法範圍的乘法問題，應先安排什麼樣的數字？再下一步呢？乘法的教具與直式算則的對照。超過九九乘法範圍的除法問題，應先安排什麼數字？下列的順利合適嗎？要怎麼解說？728＝2455＝8469＝

84694＝53510或53530等除數為整十的何時出現？如果解說？乘除計算的數字安排超過九九乘法範圍的乘法問題，應先安排什麼樣乘除教學的教具多位數乘法的矩陣圖示多位數除法用分錢作為情境除法即乘數未知與減法的合併運算—估商以被乘數未知的乘法問題來思考以9來累；累的位置不對乘除教學的教具多位數乘法的矩陣圖示分數數概念教學案例掌握核心概念掌握範疇知識的結構超過1的分數概念較難（混淆單位1和全部）離散量較連續量的分數情境困難整數除法的結果是分數意義的一種比與比值意義的理解展現在表徵轉換中分數數概念教學案例掌握核心概念例如：分數是一種部分整體關係的表徵，所以重點是掌握等分割的部分和整體之間的關係。斜線部分代表幾分之幾？掌握核心概念例如：分數是一種部分整體關係的表徵，所以重點是掌掌握範疇知識的結構1、部分-整體模式：2、子集合-整體集合模式：3、數線模式：

4、商模式：3個蘋果分給6個人3÷6＝5、比值模式：兩個集合（或度量）相比的結果ex：2杯葡萄酒對3杯七喜混成的雞尾酒為

2：3＝

0¼13－62－3掌握範疇知識的結構1、部分-整體模式：3－62－3掌握哪些學習脈絡會影響難度模式的影響能懂一個蛋糕等分成2片，一片是1/2不能懂一盒月餅有2個，一個是1/2盒不能懂12＝1/2情境的影響能懂2桶沙拉油重4公斤，可表示成2：4不能懂2公升沙拉油重4公斤數字的影響不能懂一盒月餅有6個，2個月餅是1/3盒更不懂29/7公升沙拉油重4公斤掌握哪些學習脈絡會影響難度模式的影響案例三：分數的比例文字題小南(男)，小五下，四年級以前數學成績中上。五年級後數學常考三十幾分。前幾次的補救教學集中在分數概念的澄清。分數的比例問題題意讀不懂。簡化數字與情境是主要的策略。案例三：分數的比例文字題小南(男)，小五下，四年級以前數學成離散量情境-一盒草莓裝有12顆n/m盒和a顆草莓的轉換m=a,分母與內容物個數相同時

1顆草莓是多少盒？1/12盒是多少顆？

2顆草莓是多少盒？2/12盒是多少顆？a=km,內容物為分母的整數倍，指定分母。

2顆草莓是6分之幾盒？1/6盒是多少顆？

4顆草莓是六分之幾盒？2/6盒是多少顆？a=km,內容物為分母的整數倍，指定分子。

2顆草莓是多少分之一盒?2顆=1/()盒

4顆草莓是多少分之二盒？4顆=2/()盒離散量情境-一盒草莓裝有12顆n/m盒和a顆草莓的轉換單位1與分數量的轉換這是一盒章魚燒

請貼出2/6盒

1/2,1/3,3/2,4/3

21哪些會比較困難？

如何解說？這段紙條是原本一條長紙條的1/2，那原本的那一條紙條是多長？

是原本的1/3,1這4顆巧克力是一盒的1/4，那原本一盒是多少顆？2－33－61－2單位1與分數量的轉換這是一盒章魚燒

這段紙條是原本一條長紙數詞

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