函数的极值与最大（小）值（第一课时） 函数的极值 课件-高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

第一课时函数的极值

5.3.2函数的极值与最大（小）值问题引入：

在用导数研究函数的单调性时，我们发现利用导数的正负可以判断函数的增减.如果函数在某些点的导数为0，那么在这些点处函数有什么性质呢？探究1：观察下图，我们发现当t=a时，高台跳水运动员距水面的高度最大，那么函数h(t)在此点处的导数是多少？

此点附近的函数图象有什么特点？相应地，导数的正负有什么变化规律?放大t=a附近的函数

h(t)的图象，可以看出，；可以看出，；在t=a的附近，当t<a时，函数

h(t)单调递增，；当t>a时，函数

h(t)单调递减，.在

t=a附近，函数值先增后减.这样当

t在

a的附近从小到大经过a时，先正后负，且连续变化，于是有.对于一般的函数y=f(x)，是否具有同样的性质？探究2函数

y=f(x)在

x=a,b,c,d,e等点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系

？

y=f(x)在这些点的导数值是多少？

在这些点附近，y=f(x)的导数的正负性有什么规律？函数

y=f(x)在点

x=a的函数值f(a)比它在点

x=a附近其他点的函数值都小，；而且在点

x=a附近的左侧，右侧.把

a

叫做函数

y=f(x)的极小值点，

f(a)叫做函数

y=f(x)的极小值；函数

y=f(x)在点

x=b的函数值

f(b)比它在点

x=b附近其他点的函数值都大，；而且在点x=b附近的左侧，右侧.把b

叫做函数

y=f(x)的极大值点，

f(b)叫做函数

y=f(x)的极大值.极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值.极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画了函数的局部性质思考：极大值一定大于极小值吗？小试牛刀设y＝f′(x)的图象与x轴的交点从左到右横坐标依次为x1，x2，x3，x4，则f(x)在x＝x1，x＝x3处取得极大值，在x＝x2，x＝x4处取得极小值x1x2x3x4思考导数值为0的点一定是函数的极值点吗？提示：导数值为0的点不一定是函数的极值点

一般地，函数

y=f(x)在一点的导数值为0是函数

y=f(x)在这点取极值的必要条件，而非充分条件.

[解析]由导函数的图象可知：x∈(－∞，0)∪(2,4)时，f′(x)>0，x∈(0,2)∪(4，＋∞)时，f′(x)<0，因此f(x)在(－∞，0)，(2,4)上单调递增，

在(0,2)，(4，＋∞)上单调递减，所以x＝0取得极大值，x＝2取得极小值，x＝4取得极大值，角度一：知图判断函数的极值角度二：求不含参数的函数极值问题[解]函数的定义域为R，f′(x)＝2xe－x＋x2·e－x·(－x)′

＝2xe－x－x2·e－x

＝x(2－x)e－x.令f′(x)＝0，得x(2－x)·e－x＝0，解得x＝0或x＝2.x(－∞，0)0(0,2)2(2，＋∞)f′(x)－0＋0－f(x)单调递减极小值0单调递增极大值4e－2单调递减当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：因此当x＝0时，f(x)有极小值，且极小值f(0)＝0；求函数极值的步骤(1)确定函数的定义域；(2)求导数f′(x)；(3)解方程f′(x)＝0得方程的根；(4)利用方程f′(x)＝0的根将定义域分成若干个小区间，列表，判定导函数在各个小区间的符号；(5)确定函数的极值，如果f′(x)的符号在x0处由正(负)变负(正)，则f(x)在x0处取得极大(小)值．

[解]

(1)当m＝1时，f(x)＝－x3＋x2，f′(x)＝－x2＋2x，

故f′(1)＝1.所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率为1.角度三：求含参数的函数极值问题所以f(x)在(－∞，1－m)，(1＋m，＋∞)内单调递减，在(1－m,1＋m)内单调递增．函数f(x)在x＝1－m处取得极小值f(1－m)，x(－∞，1－m)1－m(1－m，1＋m)1＋m(1＋m，＋∞)f′(x)－0＋0－f(x)单调递减极小值单调递增极大值单调递减(2)f′(x)＝－x2＋2x＋m2－1.

令f′(x)＝0，解得x＝1－m或x＝1＋m.因为m＞0，所以1＋m＞1－m.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：[例4]已知f(x)＝ax5－bx3＋c在x＝±1处的极大值为4，极小值为0，试确定a，b，c的值．已知函数的极值求参数x(－∞，－1)－1(－1,0)0(0,1)1(1，＋∞)f′(x)＋0－0－0＋f(x)单调递增极大值单调递减无极值单调递减极小值单调递增[解]

f′(x)＝5ax4－3bx2＝x2(5ax2－3b)．由题意，f′(x)＝0应有根x＝±1，故5a＝3b，于是f′(x)＝5ax2(x2－1)，①当a＞0，x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：②当a＜0时，同理可得a＝－3，b＝－5，c＝2.又5a＝3b，解得：a＝3，b＝5，c＝2.综上可知a＝3，b＝5，c＝2或a＝－3，b＝－5，c＝2.已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，注意两点(1)根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解；(2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证充分性．

解析：若a<－1，

∵f′(x)＝a(x＋1)(x－a)，

∴f(x)在(－∞，a)上单调递减，在(a，－1)上单调递增，

∴f(x)在x＝a处取得极小值，与题意不符；若－1<a<0，则f(x)在(－1，a)上单调递增，在(a，＋∞)上单调递减，从而在x＝a处取得极大值．若a>0，则f(x)在(－1，a)上单调递减，在(a，＋∞)上单调递增，与题意矛盾，故选D.[解]

因为f(x)在x＝－1处取得极值且f′(x)＝3x2－3a，所以f′(－1)＝3×(－1)2－3a＝0，所以a＝1.所以f(x)＝x3－3x－1，f′(x)＝3x2－3，由f′(x)＝0，解得x1＝－1，x2＝1.当x<－1时，f′(x)>0；当－1<x<1时，f′(x)<0；当x>1时，f′(x)>0.所以由f(x)的单调性可知，f(x)在x＝－1处取得极大值f(－1)＝1，在x＝1处取得极小值f(1)＝－3.因为直线y＝m与函数y＝f(x)的图象有三个不同的交点，结合f(x)的图象可知，m的取值范围是(－3,1)．作出f(x)的大致图象如图所示：因为直线y＝m与函数y＝f(x)的图象有三个不同的交点，解：由例题解析可知：当m＝－3或m＝1时，直线y＝m与y＝f(x)的图象有两个不同的交点；

当m<－3或m>1时，直线y＝m与y＝f(x)的图象只有一个交点．m＝－3m＝11．研究方程根的问题可以转化为研究相应函数的图象问题，一般地，方程f(x)＝0的根就是函数f(x)的图象与x轴交点的横坐标，方程f(x)＝g(x)的根就是函数f(x)与g(x)的图象的交点的横坐标．2．事实上利用导数可以判断函数的单调性，研究函数的极值情况，并能在此基础上画出函数的大致图象，从直观上判断函数图象与x轴的交点或两个函数图象的交点的个数，从而为研究方程根的个数问题提供了方便．函数的极值与导数的关系(1)函数的极小值与极小值点若函数f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)